Овчаров Л.А. и др. Математические модели информационых процессов и управления
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Ú.Â. ÍÓÌÒÚËÚÛÂÌÚ‡Ï Â‰ËÌˈ˚.
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êàë. 3.7
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ÙÛÌ͈ËÈ Ë Ëı ‚Á‡ËÏÓÒ‚flÁÂÈ ÔË Ì·Óθ¯ÓÏ ˜ËÒΠ‡„ÛÏÂÌ-
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ÙÛÌ͈ËÈ Ô‰ÔÓ·„‡˛ Ú Ì‡Î˘Ë ÓÔ‰ÂÎÂÌÌ˚ı ͇ÌÓÌ˘ÂÒÍËı
ÙÓÏ. í‡ÍËÏË Í‡ÌÓÌ˘ÂÒÍËÏË, ËÒıÓ‰Ì˚ÏË ÙÓχÏË ‰Îfl ‡Ì‡ÎË-
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ÙÛÌ͈ËË (ëçî).
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̇ ‚ ‰‚Ûı ÙÓχı: ÎË·Ó ‚ Òӂ¯ÂÌÌÓÈ ‰ËÁ˙˛ÌÍÚË‚ÌÓÈ ÌÓ-
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‰ËÌˈ˚; ÎË·Ó ‚ Òӂ¯ÂÌÌÓÈ ÍÓÌ˙˛ÌÍÚË‚ÌÓÈ ÌÓχθÌÓÈ
ÙÓÏ (ëäçî), Ú.Â. ÍÓÌ˙˛Ì͈ËË ÍÓÌÒÚËÚÛÂÌÚ ÌÛÎfl.
Ñ Ó Í ‡ Á ‡ Ú Â Î ¸ Ò Ú ‚ Ó . ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÔÓËÁ‚ÓθÌÛ˛ ÙÛÌÍˆË˛
ÚÂı ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚, Á‡‰‡ÌÌÛ˛ Ú‡·Î. 3.8.
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‡‚̇ ‰ËÌˈÂ,  ÏÓÊÌÓ Ô‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ ‚ ‚ˉ ‰ËÁ˙˛Ì͈ËË ÍÓÌ-
ÒÚËÚÛÂÌÚ Â‰ËÌˈ˚:
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∨⋅ ⋅ ∨⋅ ⋅xxx xxx
1 23 1 23
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˚ı ÙÛÌ͈Ëfl ‡‚̇ ‰ËÌˈ (ÒÏ. Ú‡·Î. 3.8), ÏÓÊÌÓ Û·Â‰ËÚ¸Òfl ‚
‡‰ÂÍ‚‡ÚÌÓÒÚË Ú‡·Î˘ÌÓ„Ó Á‡‰‡ÌËfl ÙÛÌ͈ËË Ë Á‡‰‡ÌËfl ÙÛÌ͈ËË
‚ Òӂ¯ÂÌÌÓÈ ‰ËÁ˙˛ÌÍÚË‚ÌÓÈ ÌÓχθÌÓÈ ÙÓÏÂ.
èÓ͇ÊÂÏ ˝ÚÓ ‰Îfl ÔÓËÁ‚ÓθÌÓÈ ÙÛÌ͈ËË n-‡„ÛÏÂÌÚÓ‚. ÑÎfl
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1111
130
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i
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i
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2
2
n
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(3.13) ÚÂÓÂÏÛ ‰Â åÓ„‡Ì‡, ÔÓÎÛ˜ËÏ
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131
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Fxxx mmmm(, , )
1 23 0 1 23
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∨⋅ ∨⋅ ∨⋅ ∨⋅0 1 00
4567
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i
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‰fl Á̇˜ÂÌËfl ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚÓ‚ ÍÓÌÒÚËÚÛÂÌÚ ÌÛÎfl, ÔÓÎÛ˜ËÏ ëäçî
Á‡‰‡ÌÌÓÈ ÙÛÌ͈ËË:
êàë. 3.8
132
Fxxx MMMM(, , ) .
1 23 6431
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ÔÓ͇Á˚‚‡ÂÚ, ˜ÚÓ Î˛·Û˛ ÙÛÌÍˆË˛ ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ ÎË·Ó Ò ÔÓ-
ÏÓ˘¸˛ ÍÓÌÒÚËÚÛÂÌÚ ÌÛÎfl, ÎË·Ó Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÍÓÌÒÚËÚÛÂÌÚ Â‰ËÌË-
ˆ˚. ùÚË ‰‚ ͇ÌÓÌ˘ÂÒÍË ÙÓÏ˚ ÙÛÌ͈ËË Ì ËÏÂ˛Ú Ò‡ÏÓÒÚÓfl-
ÚÂθÌÓ„Ó Á̇˜ÂÌËfl, Ӊ̇ÍÓ ÓÌË fl‚Îfl˛ÚÒfl ËÒıÓ‰Ì˚ÏË ‰Îfl ·Óθ-
¯ËÌÒÚ‚‡ ÏÂÚÓ‰Ó‚ ‡Ì‡ÎËÁ‡ ·Û΂˚ı ÙÛÌ͈ËÈ.
äÓÏ ÚÓ„Ó, ÚÂÓÂχ “Ó ‰‚Ûı ÙÓχı” ËÏÂÂÚ Ó˜Â̸ ‚‡ÊÌÓÂ
ÒΉÒÚ‚ËÂ. é̇ ÔÓÁ‚ÓÎflÂÚ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ Ó‰ÌÛ ËÁ ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓ
ÔÓÎÌ˚ı ÒËÒÚÂÏ ËÎË ·‡ÁËÒÓ‚.
é Ô Â ‰ Â Î Â Ì Ë Â. ëËÒÚÂχ ·Û΂˚ı ÙÛÌ͈ËÈ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl
ÔÓÎÌÓÈ, ÂÒÎË Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÙÛÌ͈ËÈ, ‚ıÓ‰fl˘Ëı ‚ ˝ÚÛ ÒËÒÚÂÏÛ,
ÔËÏÂÌflfl ÓÔ‡ˆËË ÒÛÔÂÔÓÁˈËË Ë ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚ÍË, ÏÓÊÌÓ ÔÓÎÛ-
˜ËÚ¸ β·Û˛ ÒÍÓθ Û„Ó‰ÌÓ ÒÎÓÊÌÛ˛ ·ÛÎÂ‚Û ÙÛÌÍˆË˛.
Ç ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ÚÂÓÂÏÓÈ ‚ ˝ ÚÛ ÒËÒÚÂÏÛ ‚ıÓ‰flÚ: ‰ËÁ˙˛ÌÍ-
ˆËfl; ÍÓÌ˙˛Ì͈Ëfl Ë ËÌ‚ÂÒËfl. ùÚÛ ÒËÒÚÂÏÛ ËÌÓ„‰‡ ̇Á˚‚‡˛Ú
ÓÒÌÓ‚Ì˚Ï ·‡ÁËÒÓÏ.
îÛÌ͈ËÓ̇θÌÓ ÔÓÎÌÛ˛ ÒËÒÚÂÏÛ, ÒÓÒÚÓfl˘Û˛ ËÁ ÙÛÌ͈ËÈ
“̇‚ÌÓÁ̇˜ÌÓÒÚ¸, ÍÓÌ˙˛Ì͈Ëfl Ë ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ ‰ËÌˈ‡”, ÔÓÁ‚Ó-
ÎflÂÚ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ ÚÂÓÂχ Ü„‡ÎÍË̇.
íÂÓÂχ Ü„‡ÎÍË̇. ã˛·‡fl ·Û΂‡ ÙÛÌ͈Ëfl ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸
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è‰ÔÓÎÓÊËÏ, ˜ÚÓ Á‡‰‡Ì‡ ÔÓËÁ‚Óθ̇fl ·Û΂‡ ÙÛÌ͈Ëfl
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˜ËÒΠ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚ Ò ÌÓχÏË (1, 2, 3,..., i,..., p).
èÓ͇ÊÂÏ, ˜ÚÓ ·Û΂‡ ÙÛÌ͈Ëfl ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Á‡ÔË҇̇ ‚ ‚ˉÂ
ÓÚˈ‡ÌËfl ‡‚ÌÓÁ̇˜ÌÓÒÚË (Ì ‡‚ÌÓÁ̇˜ÌÓÒÚË) ÍÓÌÒÚËÚÛÂÌÚ
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̇ ‰ËÌˈÂ, Ú.Â. ‚ ‚ˉÂ
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3
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‡‚̇ ‰ËÌˈÂ, ÚÓ ÓÒڇθÌ˚ ‡‚Ì˚ ÌÛβ. ç‡ÔËÏÂ, ‰Îfl ̇-
·Ó‡ Ò ÌÓÏÂÓÏ i ÔÓÎÛ˜ËÏ
m
1
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2
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i
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p
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g 1 g ... g 0 = 1. (3.22)
àÒÔÓθÁÛfl ‚˚‡ÊÂÌË (3.21), ÏÓÊÌÓ ÔÂÂÈÚË Í ÙÓÏÂ
133
(3.20). ÑÎfl ˝ ÚÓ„Ó ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ Ô‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ ÍÓÌÒÚËÚÛÂÌÚ˚ ‰ËÌË-
ˆ˚ ‚ ‚ˉ ÍÓÌ˙˛Ì͈ËË ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚, Á‡ÏÂÌËÚ¸ ‚Ò ËÌ‚ÂÒÌ˚Â
Á̇˜ÂÌËfl ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ‚˚‡ÊÂÌËÂÏ (3.2), ÔÂ-
ÂÏÌÓÊËÚ¸ Ë ÔË‚ÂÒÚË ÔÓ‰Ó·Ì˚ ˜ÎÂÌ˚ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ Ò ‚˚-
‡ÊÂÌËÂÏ (3.5).
ç‡ÔËÏÂ, ‰‡ÌÓ
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m
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ê‡ÒÍ˚‚ ÒÍÓ·ÍË Ë Ô˂‰fl ÔÓ‰Ó·Ì˚ ˜ÎÂÌ˚, ÔÓÎÛ˜ËÏ Á‡ÔËÒ¸
ÙÛÌ͈ËË ‚ ÙÓÏ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂ̇:
m
i
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1
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2
⋅x
3
g x
2
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3
⋅x
4
g x
1
⋅x
2
⋅x
3
⋅x
4
.
í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ‰Îfl ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ ÙÛÌÍˆË˛ ‚ ‚ˉÂ
ÏÌÓ„Ó˜ÎÂ̇, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ô‰ÒÚ‡‚ËÚ¸  ‚ ‚ˉ ÓÚˈ‡ÌËfl ‡‚-
ÌÓÁ̇˜ÌÓÒÚË ÍÓÌÒÚËÚÛÂÌÚ Â‰ËÌˈ˚ ̇ ÚÂı ̇·Ó‡ı, ̇ ÍÓÚÓ˚ı
ÙÛÌ͈Ëfl ‡‚̇ ‰ËÌˈÂ, Á‡ÏÂÌËÚ¸ ‚Ò ËÌ‚ÂÒÌ˚ Á̇˜ÂÌËfl
‡„ÛÏÂÌÚÓ‚ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ‚˚‡ÊÂÌËÂÏ (3.2), ‡ÒÍ ˚Ú¸ ÒÍÓ·-
ÍË Ë ÔË‚ÂÒÚË ÔÓ‰Ó·Ì˚ ˜ÎÂÌ˚ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ Ò ‚˚‡ÊÂÌËÂÏ
(3.5).
è Ë Ï Â 1 . á‡ÔËÒ‡Ú¸ ‚ ‚ˉ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂ̇ ÙÛÌÍˆË˛ F(x
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ÎÛ˜ËÏ
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g x
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1
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2
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íÂÓÂχ Ü„‡ÎÍË̇ ‰‡ÂÚ ËÌÛ˛ ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓ ÔÓÎÌÛ˛ ÒËÒ-
ÚÂÏÛ ÙÛÌ͈ËÈ, ˜ÂÏ ÚÂÓÂχ “Ó ‰‚Ûı ÙÓχı ÙÛÌ͈ËÈ”, ÔÓ˝ÚÓÏÛ
ˆÂÎÂÒÓÓ·‡ÁÌÓ ‡ÒÒÏÓÚÂÚ¸ ‚ÓÔÓÒ Ó ÚÓÏ, ͇ÍËÏË Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ÏË
‰ÓÎÊÌ˚ ӷ·‰‡Ú¸ ÙÛÌ͈ËË, ˜ÚÓ·˚ ÒÓÒÚ‡‚ËÚ¸ ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓ
ÔÓÎÌÛ˛ ÒËÒÚÂÏÛ. ÑÎfl ˝ÚÓ„Ó ÌÛÊÌÓ Í·ÒÒËÙˈËÓ‚‡Ú¸ ·Û΂˚
ÙÛÌ͈ËË ÔÓ Ëı Ò‚ÓÈÒÚ‚‡Ï.
3.2. èüíú äãÄëëéÇ ÅìãÖÇõï îìçäñàâ
ëÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔflÚ¸ Í·ÒÒÓ‚ ÙÛÌ͈ËÈ, ӷ·‰‡˛˘Ëı ÚÂÏ Ò‚ÓÈÒÚ-
‚ÓÏ, ˜ÚÓ Î˛·‡fl ·Û΂‡ ÙÛÌ͈Ëfl, ÔÓÎÛ˜ÂÌ̇fl Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÓÔ ‡-
ˆËÈ ÒÛÔÂÔÓÁˈËË Ë ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚ÍË ËÁ ÙÛÌ͈ËÈ ‰‡ÌÌÓ„Ó Í·ÒÒ‡,
·Û‰ÂÚ ÔË̇‰ÎÂʇڸ Í ˝ÚÓÏÛ Ê Í·ÒÒÛ.
ùÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ÔflÚ¸ Í·ÒÒÓ‚:
134
ÎËÌÂÈÌ˚ ÙÛÌ͈ËË,
ÙÛÌ͈ËË, ÒÓı‡Ìfl˛˘Ë ÌÛθ,
ÙÛÌ͈ËË, ÒÓı‡Ìfl˛˘Ë ‰ËÌˈÛ,
ÏÓÌÓÚÓÌÌ˚ ÙÛÌ͈ËË,
Ò‡ÏÓ‰‚ÓÈÒÚ‚ÂÌÌ˚ ÙÛÌ͈ËË.
é Ô Â ‰ Â Î Â Ì Ë Â. ÅÛ΂‡ ÙÛÌ͈Ëfl ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÎËÌÂÈÌÓÈ, ÂÒ-
ÎË Ó̇ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Á‡ÔË҇̇ ÔÓÎËÌÓÏÓÏ Ô‚ÓÈ ÒÚÂÔÂÌË:
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ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ, ÂÒÎË Í‡Ê‰ÓÏÛ Ì‡·ÓÛ ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚÓ‚ ‡
0
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1
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n
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ÚÓ ‚ÒÂ„Ó Ú‡ÍËı ˜ËÒÂÎ, ‡ ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ ÙÛÌ͈ËÈ, ·Û‰ÂÚ 2
n+1
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F
0
(x) = x g x = 0,
F
1
(x) = 1 g
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F
2
(x) = 1 g x =
x ,
F
3
(x) = x g
x = 1.
îÛÌ͈Ëfl F
0
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1
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̘ÂÚÌÓ„Ó ˜ËÒ· ı.
îÛÌ͈Ëfl F
2
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3
(ı), ‡‚ÌÛ˛ ‰ËÌˈÂ,
‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ‚˚‡ÊÂÌËÂÏ (3.2) Á‡ÔËÒ‡Ú¸ ËÌ-
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x = 1 g x, Á‡ÚÂÏ ÔÓ‰ÒÚ‡‚Ë‚ Â„Ó ‚
‚˚‡ÊÂÌË ÙÛÌ͈ËË F
3
(x) = x g x g 1 = 0 g 1 = 1. á‰ÂÒ¸
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ÔÓÎÛ˜ËÚ¸
F
3
(x)
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ãËÌÂÈÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ ‰‚Ûı ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚ ‚ÓÒÂϸ. îÛÌ͈ËË ËÏÂ-
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135
F
0
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F
3
(x, y) = x g y g y = x,
F
5
(x, y) = x g x g y = y,
F
6
(x, y) = x g y,
F
9
(x, y) = 1 g x g y = x ∼ y,
F
10
(x, y) = 1 g y g x g x =
y,
F
12
(x, y) = 1 g x g y g y =
x,
F
15
(x, y) = x g x g y g y g 1 = 1.
í Â Ó Â Ï ‡. èË ÒÛÔÂÔÓÁˈËË ÎËÌÂÈÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ Ë ÔÓ‰-
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F
1
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1
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1
x
1
g a
2
x
2
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n
x
n
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1
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1
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1
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11
y
1
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12
y
2
g ... g b
1m1
y
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,
ϕ
2
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2
(y
1
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2
,..., y
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) = b
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g b
21
y
1
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22
y
2
g ... g b
2m2
y
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,
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ϕ
i
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i
(y
1
, y
2
,..., y
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i1
y
1
g b
i2
y
2
g ... g b
imi
y
mi
,
............................................................................................
ϕ
n
= ϕ
n
(y
1
, y
2
,..., y
mn
) = b
n0
g b
n1
y
1
g b
n2
y
2
g ... g b
nmn
y
mn
,
„‰Â a
i
Ë b
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i
‚ÏÂÒÚÓ ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚ x
i
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i
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i
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2
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F
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2
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3
) = x
1
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2
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3
,
ϕ
1
(y
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2
, y
3
) = y
1
g y
2
g y
3
,
ϕ
2
(y
2
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3
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4
) = 1 g y
2
g y
3
g y
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,
ϕ
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2
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3
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4
) = y
2
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3
g y
4
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í·ÛÂÚÒfl ÔÓ͇Á‡Ú¸, ˜ÚÓ ÙÛÌ͈Ëfl F
2
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2
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136
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1
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3
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2
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3
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4
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ÏÂÌÌ˚Â y
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ÒÓ‰ÂÊËÚ ÚÓθÍÓ ÎËÌÂÈÌ˚ ÙÛÌ͈ËË, ÚÓ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ‰Ó͇-
Á‡ÌÌÓÈ ‚˚¯Â ÚÂÓÂÏÓÈ, ËÏÂfl ÚÓθÍÓ ÎËÌÂÈÌ˚ ÙÛÌ͈ËË, ÌÂθ-
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ëΉÛÂÚ ÓÚÏÂÚËÚ¸, ˜ÚÓ ÌÂθÁfl ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓ
ÔÓÎÌÛ˛ ÒËÒÚÂÏÛ ËÁ ÙÛÌ͈ËÈ Ó‰ÌÓ„Ó ‡„ÛÏÂÌÚ‡, Ú‡Í Í‡Í ‚Ò ÓÌË
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ÌÛθ, Ë ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚Í ‚ ˝ÚË ÙÛÌ͈ËË ÔÂÂÏÂÌÌ˚ı ÔÓÎÛ˜‡˛ÚÒfl
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‚Ò ‡„ÛÏÂÌÚ˚ ‡‚Ì˚ ÌÛβ, Á̇˜ËÚ Ë ÙÛÌ͈Ëfl ÒÓı ‡ÌflÂÚ
ÌÛθ.
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2
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2
, y
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2
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ÌÛθ. ➤
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‰ÂʇڸÒfl ıÓÚfl ·˚ Ӊ̇ ÙÛÌ͈Ëfl, Ì ÒÓı‡Ìfl˛˘‡fl ÌÛθ, Ú.Â.
‡‚̇fl ‰ËÌˈ ̇ ÌÛ΂ÓÏ Ì‡·ÓÂ.
ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ, ÂÒÎË ÒËÒÚÂχ ÒÓ‰ÂÊËÚ ÚÓθÍÓ ÙÛÌ͈ËË,
ÒÓı‡Ìfl˛˘Ë ÌÛθ, ÚÓ, ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ÚÂÓÂÏÓÈ, ÌÂθÁfl ÔÓ-
ÎÛ˜ËÚ¸ ‚ ˝ÚÓÈ ÒËÒÚÂÏ ÙÛÌÍˆË˛, Ì ÒÓı‡Ìfl˛˘Û˛ ÌÛθ.
ÅÛ΂˚ ÙÛÌ͈ËË, ÒÓı ‡Ìfl˛˘Ë ‰ËÌˈÛ. é Ô Â ‰ Â Î Â Ì Ë Â.
îÛÌ͈ËÂÈ, ÒÓı‡Ìfl˛˘ÂÈ Â‰ËÌˈÛ, ̇Á˚ ‚‡˛Ú Ú‡ÍÛ˛, ÍÓÚÓ‡fl
‡‚̇ ‰ËÌˈ ̇ ‰ËÌ˘ÌÓÏ Ì‡·Ó ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚ (1, 1,..., 1).
í Â Ó Â Ï ‡. èË ÒÛÔÂÔÓÁˈËË ÙÛÌ͈ËÈ, ÒÓı‡Ìfl˛˘Ëı ‰Ë-
ÌˈÛ, Ë ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚Í ‚ ˝ÚË ÙÛÌ͈ËË Ô ÂÏÂÌÌ˚ı ÔÓÎÛ˜‡˛ÚÒfl
ÚÓθÍÓ ÙÛÌ͈ËË, ÒÓı‡Ìfl˛˘Ë ‰ËÌˈÛ.
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó ÚÂÓÂÏ˚ ‡Ì‡Îӄ˘ÌÓ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Û Ô‰˚-
‰Û˘ÂÈ.