Мостовской А.П. Информационные технологии в математике
Подождите немного. Документ загружается.
3.6 Начинаем набирать математику 121
Для автоматической нумерации формул или систем уравнений их
надо поместить в окружение
\begin{equation}уравнение или система уравнений \end{equation}
В стиле документа article формулы, системы уравнений нумеру-
ются последовательно во всем документе, начиная с (1), метка состоит
просто из одного номера . В стилях документа book, report формулы
нумеруются последовательно внутри каждой главы, начиная с (X.1),
где X - номер главы, а все метки состоят из двух чисел. Так, автома-
тически нумерованная формула
(x + y)(x − y) = x
2
− y
2
. (3.1)
получена следующими командами:
\begin{equation} (x + y)(x - y) = x^2 - y^2. \label{AA}
\end{equation}
Первое число номера указывает на главу, которой принадлежит ф ор-
мула, второе - порядковый номер формулы в главе (настоящий текст
имеет стиль ”book”). Необязательный параметр команды \label — со-
здает ссылку на эту формулу из другой части текста, имя ссылки АА.
Например команды \ref{AA} и \pageref{AA} дают ссылку на уравне-
ние - 3.1 и на страницу с уравнением - 121.
Пример выделенной цветом формулы с номером:
\begin{equation}
\color{red} $\sum_{i=1}^n i_n$
\end{equation}
n
X
i=1
i
n
(3.2)
Окружение \begin{eqnarray}...\end{eqnarray} позволяет записы-
вать несколько уравнений, без знака системы с нумерацией каждого
уравнения, например, список
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
(3.3)
a
21
x
1
= b
2
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
(3.4)
получен командой
\begin{eqnarray}
a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2 \\
\nonumber a_{21} x_1 =b_2 \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2
\end{eqnarray}
122 ГЛАВА 3. СИСТЕМА L
A
T
E
X
Команда \nonumber запрещает нумеровать уравнение своей строки, а
замена eqnarray на eqnarray* запретит нумерацию уравнений.
Окружение gather предназначено для набора уравнений или фор-
мул. Каждая формула центрируется относительно левого или правого
края. Приведем пример. Выполним команды
\begin{gather}
a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2 \label{eq:r2}\\
a_{31} x_1 + a_{32} x_2=b_3 \tag{$*$} \\
a_{41} x_1 = b_4 \notag \\
a_{51} x_1 = b_5+с_3\\
a_{61} x_1 + a_{62} x_2=b_6 \tag*{34} \\
a_{71} x_1 + a_{72} x_2=b_7 \tag{35}\\
a_{81} x_1 + a_{82} x_2=b_8 \tag{\ref{eq:r2}$’$}
\end{gather}
В результате получим:
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
(3.5)
a
31
x
1
+ a
32
x
2
= b
3
(∗)
a
41
x
1
= b
4
a
51
x
1
= b
5
+ с
3
(3.6)
a
61
x
1
+ a
62
x
2
= b
6
34
a
71
x
1
+ a
72
x
2
= b
7
(35)
a
81
x
1
+ a
82
x
2
= b
8
(3.5
0
)
Нумерация формул автоматическая. При этом можно запретить ну-
меровать формулу командой \notag, изменить номер или метку форму-
лы командой \tag или изменить номер формулы командой \tag*, при
этом, номер печатается без скобок. Команды \label \ref позволяют
создавать подчиненную нумерацию формул. В этих командах служеб -
ное слово eq обязательно, а r2 - произвольная метка формулы предна-
значенная для ссылки на формулу.
Знак системы можно ставить справа от системы. Для этого надо
применить окружение \begin{array}...\end{array}. Например,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
a
21
x
1
= b
2
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
(3
0
)
получена командами
3.6 Начинаем набирать математику 123
$$
\left .
\begin{array}{l}
a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2 \\
a_{21} x_1 =b_2 \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2
\end{array}
\right \} \eqno (3’)
$$
Отметим, что разделитель ”.” обязателен.
Наконец, просто уравнения с одним номером
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
a
21
x
1
= b
2
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
(4)
получены командами
$$
\begin{array}{l}
a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2 \\
a_{21} x_1 =b_2 \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2
\end{array}
\eqno (4)
$$
Покажем как можно изменить размер уравнений. Например, урав-
нений последней системы выделим полужирными буквами и увеличим
их до размера \Large:
$$
{\Large \begin{array}{l}
{\bf a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2} \\
{\bf a_{21} x_1 =b_2 }\\
{\bf a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2}
\end{array}}
\eqno (4)
$$
124 ГЛАВА 3. СИСТЕМА L
A
T
E
X
в результате получим систему вида:
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
a
21
x
1
= b
2
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
(4)
Уравнения системы можно выделять цветом, например, система
a
11
x
1
+ a
12
x
2
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
получена командами
\begin{equation*}
\begin{cases}
\colorbox{green}{
{\color{blue}$a_{11} x_1 + a_{12} x_2=b_1$}}\\
{\color{blue} a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2} \\
\colorbox{red}{ $a_{21} x_1 + a_{22} x_2=b_2$} \\
\end{cases}
\end{equation*}
Отметим, что замена слова equation на equation* отменяет нуме-
рацию формулы. Следующая нумерованная формула продолжит сквоз-
ную нумерацию.
3.6.3 Многострочные формулы
Окружение split применяется внутри окружений equation или aline
и служит для разбивки длинных формул в несколько строк. При этом
нумерация формулы ставится по центру блока, занимаемого формулой.
Приведем пример:
\begin{equation}
\begin{split}
S\leq \int_0^{\phi_0} \int_0^{\rho_0} |
{\partial \over {\partial \phi}}
\land {\partial \over {\partial \rho}}|
d\phi d\rho =\int_0^{\phi_0} d\phi \int_0^{\rho_0} |
3.6 Начинаем набирать математику 125
{\partial \over {\partial \phi}}| d\rho\leq \\
\int_0^{\phi_0} d\phi \int_0^{\rho_0} {1\over \sqrt{K_0}}
\sin{\sqrt{K_0} \rho } d \rho
= {2\phi_0 \over K_0}\sin^2 {{\sqrt{K_0}\rho_0}\over 2}
\end{split}
\end{equation}
Формула разбита на две строки командой \\ с нумерацией по центру
формулы.
S ≤
Z
φ
0
0
Z
ρ
0
0
|
∂
∂φ
∧
∂
∂ρ
|dφdρ =
Z
φ
0
0
dφ
Z
ρ
0
0
|
∂
∂φ
|dρ ≤
Z
φ
0
0
dφ
Z
ρ
0
0
1
√
K
0
sin
p
K
0
ρdρ =
2φ
0
K
0
sin
2
√
K
0
ρ
0
2
(3.7)
Напомним, что замена в окружении слова equation на слово equation*
выводит формулу без нумерации.
3.6.4 Интегралы
Для набора интегралов служат команды \int - для одинарного ин-
теграла, \iint- для двойного, \iiint - для тройного, \iiiint - для че-
тверного и \idotsint - произвольного кратного интеграла. Интеграл
по контуру обозначается коман дой \oint Приведем примеры.
R
V
f(x)dx $$\int\limits_V f(x)dx $$
R
b
a
f(x)dx $$\int_a^b f(x)dx $$
b
R
a
f(x)dx $$\int\limits_a^b f(x)dx $$
RR
V
f(x)dx $$\iint_V f(x)dx $$
RR
V
f(x)dx $$\iint\limits_V f(x)dx $$
RRR
V
f(x)dx $$\iiint\limits_V f(x)dx $$
RRRR
V
f(x)dx $$\iiiint\limits_V f(x)dx $$
R
···
R
V
f(x)dx $$\idotsint\limits_V f(x)dx$$
H
V
f(x)dx $$\oint\limits_V f(x)dx$$
126 ГЛАВА 3. СИСТЕМА L
A
T
E
X
3.6.5 Диаграммы
Для создания простых диаграмм, без диагональных стрелок, необхо-
димо загрузить пакет amscd, поместив в преамбулу команду загрузки
пакета \usepackage{amscd}. Отметим, что существую более мощные
пакеты для рисования диаграмм, такие как XY-pic, Diagram 3 и др.
Следующая диаграмма
S
W
Λ
⊗ T
j
−−→ T
j
−−→ T
ee
y
rr
y
End P
y
End P
(S ⊗ T )/I (Z ⊗ T )/J (Z ⊗T )/K
получена командами
$$\begin{CD}
S^{\mathcal{W}_\Lambda}\otimes T @>j>>T @>j>>T\\
@VeeVrrV @VV{\End P}V@VV{\End P}V\\
(S\otimes T)/I @= (Z\otimes T)/J @=(Z\otimes T)/K
\end{CD}$$
Здесь присутствует новый оператор \End, который можно создать
командой \DeclareMathOperator{\End}{End}, помещенной в преамбу-
лу. Можно убрать бэкслеш в команде \End и посмотреть на отличие
новой диаграммы от первоначальной.
В окружении CD команды @>>>, @<<<, @VVV, @AAA рисуют стрелки,
направленные соответственно вправо, влево, вниз и вверх. В горизон-
тальных стрелках символы стоящие между первым и вторым знаком
> или между первым и вторым знаком < отображаются сверху гори-
зонтальной стрелки, а символ стоящий между вторым и третьим зна-
ком набирается в нижней части горизонтальной стрелки. Аналогично,
знаки, стоящие между первыми двумя или последними двумя буквами
AAA или VVV будут отображаться рядом с вертикальными стрелка-
ми, слева или справа от стрелок.
Похожую диаграмму можно нарисовать не применяя пакет amscd.
Так, команды
$$\begin{array}{ccc}
S^{\mathcal{W}_\Lambda}\otimes T&
\stackrel{j}{\longrightarrow} & T\\
\Big\downarrow &\searrow &
\Big\downarrow\vcenter{%
\rlap{$\scriptstyle{\mathrm{End}}\,P$}}\\
3.6 Начинаем набирать математику 127
(S\otimes T)/I & = & (S\otimes T)/J
\end{array}$$
нарисуют следующую диаграмму:
S
W
Λ
⊗ T
j
−→ T
y
&
y
End P
(S ⊗ T )/I = (S ⊗ T )/J
3.6.6 Верхние и нижние пределы
Знаки суммы \sum, интеграла \int, предела \lim, точной нижней
грани \inf имеют похожее написание пределов. Приведем три вариан-
та написания пределов для знака \sum, для других знаков написание
пределов происходит аналогично.
1. Команда
$m=\sum_{t=1}^{10}x(t)$ включает формулу в строку в виде m =
P
10
t=1
x(t)
2. Команда
$\displaystyle m=\sum_{t=1}^{10}x(t) $
включает формулу в строку, но формула записана в выключенной фор-
ме:
m =
10
X
t=1
x(t)
3. Следующая команда
$m=\sum \limits_{t=1}^{10}x(t) $
аналогична предыдущей, она так же включает формулу в строку, но
знак суммы меньше:
m =
10
P
t=1
x(t)
4. В выключенном стиле (межстрочном) команда:
$$ m=\sum_{t=1}^{10}x(t) $$ выглядит как и в п. 3:
m =
10
X
t=1
x(t)
Во всех примерах, кроме 3, вместо слова
P
может стоять любая
команда, выводящая математический символ.
128 ГЛАВА 3. СИСТЕМА L
A
T
E
X
3.6.7 Матрицы, определители и таблицы
Следующая таблица
Φ Ψ B
Γ Γ S
T A Z
получена такими командами:
$$ \begin{array}{ccc}
\bf \Phi & \Psi & B \\
\mit\Gamma & \Gamma & \cal S \\
T & \rm A & Z
\end{array} $$
Число букв ”c” указывает на число столбцов, при этом элементы на ка-
ждом месте центрируются. Если вместо некоторой буквы ”c” написать
”r” или ”l”, то элементы соответствующего столбца примут крайнее
правое или левое положение соответственно.
Отметим, что область действия команд \bf и \cal оканчивается
следующими символами или командами: &, \\ или \end{array}.
Слева и справа от таблицы можно поставить ограничители в ви-
де скобок круглых, квадратных, вертикальных черточек и так далее.
Столбцы таблицы или матрицы можно разделить вертикальными чер-
точками. Ограничим например таблицу круглыми скобками и поста-
вим одну вертикальную черту (черта между буквами ccc):
Φ
Ψ B
Γ Γ S
T A Z
получаются следующими командами
$$
\left (
\begin{array}{cc|c}
\bf \Phi & \Psi & B \\
\mit\Gamma & \Gamma & \cal S \\
T & \rm A & Z\\
\end{array}
\right )
$$
3.6 Начинаем набирать математику 129
Таблица. Следующие коман ды
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Категория & Значение & Элемент \\
\hline
\hline
${\it Nml}$ & цифры & $N$ \\
\hline
${\it UnOps}$ & операторы & $\alpha$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
порождают таблицу вида
Категория Значение Элемент
Nml цифры N
UnOps операторы α
Параметр ”l” (”c”, ”r”) означает, что данные первых ячеек будут при-
жаты влево (центрированы, прижаты вправо), при этом, вертикальные
черточки означают три вертикальные линии в таблице. Количество
параметров ”l”, ”r” или ”c” вместе указывает на число столбцов в та-
блице. Команда \hline проводит горизонтальную черту. Количество
таких линий равно количеству черточек в фигурных скобках и команд
\hline - если вместо одной черты или команды \hline поставить, на-
пример, три, то в таблице появятся три соответствующие линии.
Вертикальные расстояния в ячейках таблицы можно менять коман-
дой вида \renewcommand{\arraystretch}{1.5}. Например таблица
Категория Значение Элемент
Nml цифры N
получена такими командами
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
130 ГЛАВА 3. СИСТЕМА L
A
T
E
X
\hline
Категория & Значение & Элемент \\
\hline
\hline
${\it Nml}$ & цифры & $N$ \\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}
Более сложную таблицу можно составить с помощью окружений
array, tabular , применяя команду \char{i-j}, которая проводит го-
ризонтальную черту через колонки от i-ой до j-ой, включительно. На-
туральные числа i, j обязательны, они могут быть и равными. Коман-
да должна находиться после команды команды \\ или после \cline.
Приведем пример, таблица
ноль $13.65
один .01
два три 92.50
четыре 33.33
пять шесть 8.99
построено командами
\begin{center}
$\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
ноль &\$13.65& \\
\cline{2-3}
& один & .01 \\
\hline
\hline
два & три & 92.50 \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
четыре & & 33.33 \\
\hline
\hline
пять & шесть & 8.99 \\
\hline