Мостовской А.П. Информационные технологии в математике

Подождите немного. Документ загружается.

1.2 Числа 11

139/95 ⇒ 2.46316.

Значением постоянной Pi есть число π. Его можно узнать с произ-

вольной точностью - команда N[P i, 500] дает приближенное значение

π, содержащее 500 цифр. n Degree означает n градусов.

Например, Sin[45 Degree]//N ⇒ 0.707107.

1.2.2 Точность.

Математика рассматривает десятичные числа в вычислениях с опре-

деленной точностью, если ей не указана заранее точность вычислений.

Чтобы узнать эту точность для данного компьютера, надо ввести ко-

манду $MachinePrecision. На компьютере, где печатается этот текст,

точность равна 16.

Значение функции Precision[x] есть число значащих цифр в деся-

тичном числе x минус 1, если их больше 17 и 16 - в противном случае.

Если число x целое, то значением этой функции будет бесконечность -

Infinity.

Значение функции Accuracy[x] есть число значащих десятичных

цифр справа от десятичной точки, если P recision[x] ≥ 17 и равно 17

минус число цифр в x до десятичной точки в противном случае. При-

меры:

P recision[123.1234567891234567891234] ⇒ 24

P recision[123.1234] ⇒ 16

P recision[123] ⇒ Infinity

Accuracy[12345.123456789] ⇒ 12

Accuracy[12345.123456789123456789] ⇒ 18

Accuracy[1234519] ⇒ Infinity

Наименьшее машинное число (машинный ноль) $MachineEpsilon,

если его прибавить к 1.0 получим не 1.0:

$MachineEpsilon ⇒ 2.22045 · 10

−16

Следующая сумма выводится на экран как 1, но Математика знает,

что эта сумма больше 1:

1.0 + $MachineEpsilon ⇒ 1.

Найдем разность:

1 − % ⇒ −2.22045 · 10

−16

Команда Chop[exp] заменяет в выражении exp все числа с деся-

тичной точкой, близкие к нулю (с точность 10

−11

), числом 0.

Например, Chop[2.10

−11

+ (a + b)10

−13

] ⇒ (a + b)/10000000000000.

12 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

1.2.3 Преобразование чисел.

Следующие три команды (наибольшее целое число, не большее x;

наименьшее целое число , не меньшее x; целое число, ближайшее к x)

переводят данное число в целое число:

{Floor[3.5], Ceiling[3.5], Round[3.5]} ⇒ {3, 4, 4}.

Отметим, что эти команды записаны в виде списка - то есть в строч-

ку через запятую и заключены в фигурные скобки. Ответ имеет такую

же форму.

Несколько команд можно сразу выполнить не применяя список. Для

этого достаточно записать каждую команду в отдельную строку. Стро-

ки могут располагаться в одной ячейке (переход на новую строку той

же ячейки - клавиша Enter) При этом, в конце строк запятые не ста-

вятся.

Перевод десятичного числа в рациональное:

Rationalize[3.45679] ⇒

345679

100000

Команда допускает следующую форму:

Rationalize[3.45679, 0.01] ⇒

- рациональное число найдено с

точность 0.01 к исходному.

Команда FactorInteger[60075] дает разложение числа на простые

множители. Ответ приводится в виде : {{5, 2}, {3, 3}, {89, 1}}, что озна-

чает следующую запись: 5

· 3

· 89

Команда Divisors[75] приводит делители числа 75: {1, 3, 5, 15, 25, 75}.

Команды GCD[n1, n2, ...] и LCM[n1, n2, ...] вычисляют наиболь-

ший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел n1, n2, ... На-

пример, GCD[25, 15, 55] ⇒ 5 и LCM[25, 15, 55] ⇒ 825.

Предикат PrimeQ[n] имеет значение True, если n - простое и False

в противном случае. Проверка на четность числа n осуществляется

командой EvenQ[n], нечетность - OddQ[n]. Есть и другие команды -

тесты. Так, SameQ[n, m] (или ===) имеет значение True, если вы-

ражения m и n одинаковы и False - в противном случае. Например,

3. === 3 (то есть SameQ[3., 3]) ⇒ F alse, но 3. == 3 ⇒ T rue.

Команда IntegerDigits[n] приводит список десятичных цифр цело-

го числа n, команды IntegerPart[n] и FractionalPart[n] - вычисляют

целую и дробную части числа n.

Команда RealDigits[n] приводит список десятичных цифр десятич-

ного числа n и число цифр слева от десятичной точки.

Команда BaseForm[m, n] переводит m из десятичной системы счи-

1.2 Числа 13

сления в число системы счисления по основанию n, n ∈ [2, 36].

Имена основных математических функции в Математике:

Sqrt[x] - квадратный корень;

Exp[x] - e

;

Log[x], Log[a, x] - натуральный логарифм, логарифм x по основа-

нию a;

Sin[x], Cos[x], Tan[x] - тригонометрические функции;

Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x] - гиперболические функции;

ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x] - обратные тригонометрические

функции;

n! - n-факториал, Abs[x] - модуль числа x;

Mod[n, m] - n по модулю m;

Random[] - псевдослучайное число между 0 и 1,

Random[тип числа, {a, b}] псевдослучайное число между a и b,

тип числа указывает на тип псевдослучайного числа : Integer - целое

число, Real - действительное, Complex - комплексное число.

Например, Random[Real, {1, 100}] ⇒ 82.0314.

1.2.4 Комплексные числа

Комплексные числа имеют вид a + b I, где I - мнимая единица;

= −1, Im[z], Re[z] - мнимая и действительная части, Abs[z] - мо-

дуль, Arg[z] - аргумент комплексного числа z; Conjugate[z] - число

комплексно-сопряженное для z.

Дополнительные возможности при работе с комплексными числами

дает пакет (package) ReIm. Для загрузки этого пакета (и аналогичных)

необходимо выполнить команду

<< Algebra`ReIm`

или команду

Needs[”Algebra`ReIm`”]

Здесь апостроф берется на клавише с тильдой ” ∼ ”. Эти команды

загрузки пакета должны располагаться в отдельной ячейке и выпол-

няются только один раз. Пакет ReIm расширяет возможности команд

ядра работы с комплексными числами (см., пример ниже ).

Задачи. 1. Какое число больше: E

или π

? E - основание нату-

рального логарифма.

14 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

2. Вычислить sin (2), sin (2.0), 1234!, Mod[5, 2], sin (123

◦

), log

(x + y),

arcsin(1).

3. Простое ли число 123753573? Если нет, то разложите его на про-

стые множители.

4. Получим формулы умножения и деления комплексных чисел. Вве-

дем два комплексных числа

z = a + bI

w = c + dI

Потребуем, чтобы числа a, b, c, d были действительными. Для этого

выполним команды: Im[a]

∧

= 0, Im[a]

∧

= 0, Im[a]

∧

= 0, Im[a]

∧

= 0.

Если теперь выполним коман ду Re[z w] + Im[z w]I, то не получим

привычной формулы умножения комплексных чисел. Загрузим пакет

ReIm: << Algebra`ReIm`. Выполним команду Re[z w] + Im[z w]I,

получим ответ в виде

ac − bd + I(bc + ad).

Получите формулу для деления комплексных чисел.

1.3 Списки

В Математике разнородные данные (числа, матрицы, графики и др.)

можно объединять под одним заданным именем. Для объединения та-

ких данных используется список (list). Список данных - это строка,

ограниченная фигурными скобками, элементы которой есть данные,

разделенные запятыми. Например, {1, 4, 2, 7, 9} или {1, b, Sin[c], d, e}.

Элементом списка может быть список (вложенные списки). В списке

{a, {d, c, r}, 2, 3, {1, d, e}} второй элемент есть список {d, c, r}.

Векторы и матрицы также являются списками. Например, вектор

трехмерного пространства задается своими координатами {4, 3, 5}. Ма-

тематика рассматривает вектор как одномерный список. Матрица раз-

мерности 3×3 задается как список, элементы которого есть списки, со-

стоящие из элементов строк матрицы: {{a, b, c}, {d, c, r}, {f, d, e}}. Ма-

тематика рассматривает матрицу как двумерный список.

Для создания списков применяются команды Table, Range, Array.

Table[expr, {m}] создает список, содержащий m экземпляров вы-

ражения expr.

Table[expr, {i, m}] создает список значений expr при i, изменяю-

щемся от 1 до m.

Table[expr, {i, m, n}] - i изменяется от i = m до i = n.

1.3 Списки 15

Table[expr, {i, m,n, d}] - i изменяется от i = m до i = n с шагом d.

Table[expr, {i, m1, n1}, {j, m2, n2 }, ...] возвращает вложен-

ный список. Внешним является список по переменной i. Число индексов

i,j,... есть размерность вложенного списка. Если размерность списка

равна 2, то данный список есть матрица, i - номер строки матрицы, j -

номер столбца, а (i,j) элемент матрицы или j-ый элемент i-го элемента

списка.

Примеры:

T able[S, {5}] ⇒ {S, S, S, S, S}.

T able[Sin[i], {i, 1, 5}] ⇒ {Sin[1], Sin[2], Sin[3], Sin[4], Sin[5]}.

T able[N[Exp[i]], {i, 0, 2, 0.5}] ⇒ {1., 1.64872, 2.71828, 4.48169, 7.38906}

- список из 5 значений степеней E. Показатель степени меняется с ша-

гом 0.5.

T able[i ∗ j, {i, 1, 4}, {j, 1, 3}] ⇒ {{1, 2, 3}, {2, 4, 6}, {3, 6, 9}, {4, 8, 12}} -

вложенные списки или матрица порядка 3 × 4.

Команды Range[n], Range[n,m], Range[n,m,d] создают числовые

списки.

Команда Range[5] создает список {1,2,3,4,5}.

Команда Range[-5,10] создает список {-5,-4,-3,...,9,10}.

Команда Range[5,9,0.5] создает список, состоящий из чисел от 5

до 9 с шагом 0.5: {5,5.5,6,6.5,7,7.5,8,8.5,9}.

Символьные массивы можно также конструировать с помощью ко-

манды Array:

Array[f, n] генерирует список длины n с элементами f[i], i=1,2,...,n.

Например, Array[Sin, 3] ⇒ {Sin[1], Sin[2], Sin[3]}.

Array[f, {n

, n

, ...}] генерирует массив с размерностью n

× n

× ..

в виде вложенных списков с элементами f[i

, i

, ...].

Списки можно обозначать для последующей с ними работы. Если

последний вывод на экране есть список, то его можно обозначить, по-

ложив, например, lq=%. Обозначить список можно сразу, при его со-

здании, например

ls = Table[i ∗ j, {i, 1, 4}, {j, 1, 3}]

- двумерный список (матрица) обозначен через ls. Обозначение спис-

ка позволяет работать с элементами списка: ls[[i]] есть i-ый элемент

списка, (i строка матрицы). Например, ls[[3]] есть элемент {3, 6, 9}, а

%[[2]] равно 6 - второму элементу последнего списка. Элемент ls[[i,j]]

есть (i,j) элемент списка ls.

На множестве всех списков равной длины определены всевозмож-

16 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

ные математические операции, действующие поэлементно. Если a и b

- два списка данных, то определены списки: сложение a+b, степень a

поэлементные умножение и деление списков a b, a/b, операция нахо-

ждения синуса от элементов списка a : Sin[a] и так далее.

Отметим, что поэлементное произведение списков обозначается про -

белом. Точка вместо пробела дает произведение матриц или скалярное

произведение векторов. Например, для векторов a= {3, 6, 9}, b= {5, 7,

3} число a.b = 3 ·5 + 6 ·7 + 9 ·3 = 84 есть скалярное произведение. Если

a,b - матрицы, то a.b есть произведение матриц.

Для вывода элементов списка list в виде таблицы или матрицы при -

меняется команды TableForm или MatrixForm в следующем виде

TableForm[list] или MatrixForm[list]. Эти команды можно записать

как опцию в конце команды, результатом работы которой есть список.

Например, чтобы получить произведение матриц a.b в привычном виде

матрицы, надо записать:

a.b// MatrixForm

Отметим некоторую декоративность последнего вывода: если обо-

значить, например, q=a.b// MatrixForm, то в последующем тексте зна-

чением q не будет являться произведение матриц. Исправить положе-

ние можно командой

(q=a.b)// MatrixForm

Отметим, что команду MatrixForm можно будет не писать, если

включить опцию Cell->DefaultOutputFormatType->TraditionalForm.

Перечислим ряд команд, работающих со списками.

Permutations[list] порождает список всевозможных перестановок

элементов в списке list.

Length[list] возвращает число элементов списка list.

Dimensions[list] возвращает размерность списка.

MemberQ[list,form] проверяет, есть ли form в списке, и возвра-

щает True, если это так и False в противном случае.

Count[list,form] находит число вхождений form в список.

FreeQ[list,form] проверяет, свободен ли список от form: если да -

возвращает True, иначе возвращает False.

Position[list,form] возвращает номер позиции form в списке.

DeleteCases[list, pattern ] удаляет из списка list элементы по

образцу pattern;

DeleteCases[list, pattern, level] удаляет из уровня level списка

list элементы по образцу pattern (по поводу уровней см. §6).

1.3 Списки 17

Приведем примеры. Удалим в списке m = {1, 2, 3, a} все целые эле-

менты: DeleteCases[m, Integer] ⇒ {a}. Еще пример: команда

DeleteCases[{Sin[1], 23, ”56”, e, ”это − строка”}, String] удалит из

списка все строки , в результате получим {Sin[1], 23, e}.

Drop[list, n] удаляет из списка list первые n элементов.

Drop[list, -n] удаляет из списка list последние n элементов.

Drop[list, {n}] удаляет n-ый элемент списка list.

Drop[list, {m, n}] удаляет из списка list элементы от m до n.

Last[list] возвращает последний элемент списка list.

Rest[list] возвращает список без первого элемента.

Take[list, n] возвращает первые n элементов списка list.

Take[list, {n}] возвращает n-ый элемент списка list.

Take[list, -n] возвращает последние n элементов списка list.

Take[list, {m, n}] возвращает элементы списка c порядковыми

номерами от m до n.

Union[list1, list2] объединяет списки, убирая дублирующие эле-

менты.

Union[list] убирая дублирующие элементы в list.

Complement[list, l1,l2,...] убирает в list элементы, принадлежа -

щие l1, l2,.....

Например, Complement[{1, 2, 3, 4, 5, 6}, {1, 3}, {2, 5}] ⇒ {4, 6}.

Append[list,element] добавляет element в конец списка list (спи-

сок list при этом не меняется).

AppendTo[list,element] добавляет element в конец списка list и

обозначает новый список старым именем list.

Prepend[list,element] добавляет element в начало списка list.

PrependTo[list,element] добавляет element в начало списка list

и обозначает новый список старым именем list.

Insert[list,element,n] вставляет element в позицию n>0 (отсчет

позиции ведется с начала списка, а если задано n<0, то с конца спис-

ка).

Flatten[list] выравнивает (превращает в одномерный) список дан-

ный вложенный список list. Например, F latten[{{1, 2}, 3}] ⇒ {1, 2, 3}.

Reverse[list] возвращает список с обратным порядком расположе-

ния элементов.

RotateLeft[list] возвращает список после однократного поворота

влево. RotateLeft[{1, 2, 3}] ⇒ {2, 3, 1}.

RotateLeft[list,n] возвращает список после n-кратного поворота

18 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

влево.

RotateRight[list] возвращает список после однократного поворота

вправо.

RotateRight[list,n] возвращает список после n-кратного поворота

вправо.

Sort[list] сортирует список list по возрастанию элементов, Max[list],

Min[list] находят максимальный и минимальный элемент списка list.

Transpose[list] транспонирует (переставляет строки и столбцы) дву-

мерные списки (матрицы).

ToString[expr] выражение expr конвертирует в строку.

Join[list1, list2, ...] объединяет списки в единую цепочку (выпол-

няет конкатенацию). Join[{1, 2}, {3, 4}] ⇒ {1, 2, 3, 4}.

Characters[s] из элементов символьной строки s составляет список.

Например, Characters[”abc”] ⇒ {a, b, c}.

StringJoin[”a

”, ”a

”, ...] (или <>) - объединяет строки ”a

”, ”a

”,....

Например, ”Объединение” <> ”строк” ⇒ ”Объединение строк ”.

ReplacePart[list,a,n] заменяет на a n-ый элемент списка list.

ReplacePart[list,a,{i,j}] заменяет на a элемент вложенного списка

list в позиции (i,j), то есть в i-ом элементе списка list заменяет j-ый

элемент.

Cross[a,b] - векторное произведение трехмерных векторов a и b,

заданных своими координатами , как списки.

Select[list,patten] - выбирает из списка list элементы по правилу,

указанному в patten. Примеры: Select[{1, 2, 3, 4, 5}, # < 4&] ⇒ {1, 2, 3}

(см. ”чистые функции”), Select[{1, a, 3, c, 5}, NumberQ] ⇒ {1, 3, 5}. В

первом примере, из списка выбираются числа удовлетворяющие усло-

вию x < 4, во-втором, выбираются только числа.

Задача. Ввести два списка a,b одинаковой длины и проверить для

них все команды этого параграфа. В частности, найти a

, a + b, a b, a.b,

Sqrt[a], Exp[a], Sin[a].

1.4 Матрицы и определители

Матрицы в Математике , как уже отмечалось, - это вложенные спис-

ки или списки векторов-строк матрицы. Например, m={{1,2,3},{2,3,4}}

- матрица порядка (размерности) 2 × 3.

Для создания матриц можно применить команды Table и Array.

Для матриц справедливы команды предыдущего пункта, в частно-

1.4 Матрицы и определители 19

сти, команда Dimensions[m] позволяет узнать размерность матри-

цы,команда Length[m] - число строк матрицы m, транспозиция пря-

моугольной матрицы m производится коман дой Transpose[m], коман-

ды вырезания строк - Drop[m, n] и так далее.

Команды MatrixQ[m], MatrixQ[m, NumberQ] проверяют явля-

ется ли m - матрицей, числовой матрицей. Например, если

m = {{1, 2, 3}, {1, a, 3}}, n = {{1, 2, 3}, {1, 2}},

то

MatrixQ[m] ⇒ T rue, MatrixQ[n] ⇒ F alse, MatrixQ[m, NumberQ] ⇒

F alse.

Рассмотрим команды, позволяющие осуществлять основные опера-

ции над матрицами. Пусть m - матрица, элементами которой могут

быть числа и символы, или только числа, или только символы.

Команды m[[i]], m[[i, j]] возвращают i-ую строку и j-ый элемент i-ой

строки матрицы, а команда m[[All, i]] возвращает i-ый столбец ма-

трицы m. Например, если m = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}, то m[[1]] = {1, 2, 3},

m[[2, 3]] = 6, а m[[All, 2]] = {2, 5} (подробно см. п. 1.6). Команда m[[2]] =

2m[[2]] − m[[1]] заменяет 2-ую строку матрицы m на {7, 8, 9}. Эту ко-

манду лучше применять в виде (m[[2]] = 2m[[2]]−m[[1]])//MatrixF orm

Команда N[m] числовые элементы матрицы m переводит в деся-

тичный формат записи. Например, {{

√

2, 3}, {Sin[1], Cos[2]}}]//N или

N[{{

√

2, 3}, {Sin[1], Cos[2]}}] ⇒ {{1.41421, 3.}, {0.841471, −0.416147}}.

Det[m] вычисляет определитель квадратной матрицы m.

DiagonalMatrix[list] создает диагональную матрицу с главной диа-

гональю, сформированной из элементов списка list, и 0 - остальные

элементы матрицы.

Dot[a, b, c] находит произведение векторов, матриц и тензоров.

Операцию произведения можно задавать также в виде a.b.

IdentityMatrix[n] создает единичную матрицу с размером n × n (у

нее диагональные элементы имеют значения 1, остальные 0).

Inverse[m] находит обратную матрицу для квадратной невырожден-

ной матрицы m.

MatrixExp[N[m]] находит экспоненциал числовой матрицы m.

MatrixPower[m, n] находит n-ную степень числовой матрицы m.

Minors[m, k] создает вложенный список всех миноров порядка k × k

матрицы m. Внутренние списки состоят из всех миноров k-го порядка

матрицы m, элементы которых принадлежат одним и тем же строкам

матрицы m.

20 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Приведем пример поясняющий расположение миноров ответа. Пусть

m = {{a

, a

}, {a

, a

}, {a

, a

}}

Следующая команда выписывает все миноры второго порядка ма-

трицы m : Minors[m, 2] ⇒

{{−a

+ a

, −a

+ a

, −a

+ a

{−a

+ a

, −a

+ a

, −a

+ a

{−a

+ a

, −a

+ a

, −a

+ a

}}

Любой минор из этого списка можно выделить. Так,

Minors[m, 2][[3, 2]] ⇒ −a

+ a

- есть 2 минор в 3 элементе списка всех миноров 2-го порядка матри-

цы m;

Minors[m, 2][[1]] ⇒ {−a

+ a

, −a

+ a

, −a

+ a

}

- первый элемент списка всех миноров матрицы m.

m[[i

; ; i

, j

; ; j

]] возвращает матрицу из элементов, стоящих на пе-

ресечении i

, ..., i

строк и j

, ..., j

столбцов. В Mathematica 5 эта ко-

манда не работает.

m[[i; ; , ; ; j]] возвращает матрицу из элементов, стоящих на пересе-

чении i, ..., n строк и 1, ..., j столбцов. Аналогично работают команды

m[[; ; i, j; ; ]], m[[i; ; , j; ; ]] и так далее.

m[[i; ; i, j

; ; j

]] возвращает матрицу-строку из элементов j

, ..., j

ой строки, то есть матрицу вида {{a

, ..., a

}}.

m[[i, j

; ; j

]] возвращает вектор из элементов j

, ..., j

i-ой строки, то

есть вектор вида {a

, ..., a

m[[i

; ; i

, j; ; j]] возвращает матрицу-столбец из элементов i

, ..., i

ого столбца, то есть матрицу вида {{a

}, ..., {a

}}.

m[[i

; ; i

, j]] возвращает вектор из элементов i

, ..., i

j-ого столбца,

то есть вектор вида {a

, ..., a

m[[{i

, i

, ..., i

}, {j

, j

, ..., j

]] возвращает минор матрицы m состоя-

щий из элементов, стоящих на пересечении i

, i

, ..., i

строк и j

, j

, ..., j

столбцов. m[[{i

, i

, ..., i

}]] возвращает минор матрицы m состоящий

из элементов i

, i

, ..., i

строк.

m[[All, {i

, i

, ..., i

}]] есть минор матрицы m состоящий из элемен-

тов i

, i

, ..., i

столбцов.

NullSpace[m] создает список векторов базиса нулевого простран-

ства матрицы m, (то есть подпространства, ортогонального подпро-

странству, натянутому на векторы-строки матрицы).

RankMatrix[m] - ранг матрицы m

или