Мостовской А.П. Информационные технологии в математике

Подождите немного. Документ загружается.

1.5 Работа с выражениями 21

Last[Dimensions[m]]-Length[NullSpace[m]]

QRDecomposition[N[m]] возвращает QR-разложение для число-

вой матрицы m. Результат представляет собой список {q, r}, где q -

ортогональная матрица, r-верхняя треугольная матрица.

CharacteristicPolynomial[m,x] находит характеристический мно-

гочлен матрицы m с переменной x.

Eigensystem[N[m]] формирует список {values,vectors} собствен-

ных значений и собственных векторов данной числовой матрицы m.

Eigenvalues[N[m]] формирует список собственных значений число-

вой матрицы m.

Eigenvectors[N[m]] ф ормирует список собственных векторов чи-

словой матрицы m.

Задача. Ввести матрицу порядка 3 × 3 с числовыми и символьны-

ми элементами. Выполнить для этой матрицы все команды данного

пункта. Рассмотреть прямоугольные матрицы.

1.5 Работа с выражениями

Для работы с алгебраическими выражениями в Математике суще-

ствует несколько команд. Пусть, например,

e =

(x − 1)

(2 + x)

(1 + x)(x − 3)

Для упрощения выражений используется команда Simplify:

Simplify[expr] или expr//Simplify или Simplify[%n] пытается при-

вести математическое выражение expr (или %n) к наиболее простой

форме .

Siplify[e] ⇒

(−1 + x)

(2 + x)

9 + 3x − 5x

+ x

Команда FullSimplify, применяемая так же как и Simplify, подвер-

гает выражение более широкому классу преобразований. Так, если ко-

манда Simplify[Log[x−x

]−Log[x]] не дает существенного результата,

то команда F ullSimplify[Log[x −x

] −Log[x]] преобразует выражение

к виду Log[1 −x]. При этом учитываются ограничения на переменные,

входящие в выражение. Рассмотрим пример. Пусть

expr =

(

Cos[t]

+ a

Sin[t]

+ (a

Cos[t]

+ a

Sin[t]

)

+ a

Cos[t]

+ a

Sin[t]

)

22 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Тогда команда expr//FullSimplify приведет выражение expr к виду

+ b

)

+ b

)

а команда FullSimplify[expr, a > 0&&b > 0] проведет упрощение вы-

ражения с учетом знака переменных a, b :

+ b

Expand[expr] раскрывает произведения и положительные целые

степени в expr.

Expand[e] ⇒

(1 + x)(x − 3)

ExpandAll[expr] раскрывает все произведения и целочисленные сте-

пени в любой части expr.

ExpandAll[2 Cos[y] Sin[x], T rig−> T rue] ⇒ Sin[x − y] + Sin[x + y]

(см. стр. 7 или выполнить команду ??Triq).

ExpandAll[2 Cos[x]

, T rig−> T rue] ⇒ 1 + Cos[2x]

ExpandAll[e] ⇒

9 + 3x − 5x

+ x

9 + 3x − 5x

+ x

9 + 3x − 5x

+ x

Together[expr] приводит дроби к общему знаменателю.

T ogether[%] ⇒

2 − 3x + x

9 + 3x − 5x

+ x

Apart[expr] приводит выражение expr к сумме с возможно наи-

меньшим количеством знаменателей.

Apart[e] ⇒ 1 +

(−3 + x)

4(−3 + x)

4(1 + x)

Factor[expr] разлагает выражение expr на множители над полем

действительных чисел.

F actor[9 − 10x

+ x

− 6y

+ 2x

+ y

] ⇒ (−3 − 2x + x

+ y

)(−3 +

2x + x

+ y

F actor[x

+ 1] ⇒ x

+ 1

Для разложения на множители над полем комплексных чисел надо

указать в команде Factor опцию GaussianIntegers -> True:

1.6 Полная форма выражения 23

F actor[x

+ 1, GaussianIntegers−> T rue] ⇒ (−I + x)(I + x)

FactorTerms[expr] - выносит за скобки общий числовой множитель

слагаемых в выражении expr.

F actorT erms[3x

+ 9Sin[x]] ⇒ 3(x

+ 3Sin[x])

FactorTerms[expr,a] - выносит за скобки общий множитель сла-

гаемых в expr, не содержащих выражения a. Вместо a может стоять

список из тех выражений или переменных, которые не должны входить

в общий множитель. Например,

F actorT erms[3x

y + 9xSin[x], y] ⇒ 3x(xy + 3Sin[x]).

ComplexExpand[expr] раскрывает expr, в предположении, что все

переменные в expr действительные.

ComplexExpand[expr, {x

, x

, ...}] раскрывает expr в предположе-

нии, что все переменные x

, x

, ..., - комплексные.

ComplexExpand[1 + x

, x] ⇒ 1 − Im[x]

+ 2IIm[x]Re[x] + Re[x]

ComplexExpand[Sin[a + bI]] ⇒ Cosh[b]Sin[a] + ICos[a]Sinh[b]

PowerExpand[expr] раскрывает вложенные степени, степени про-

изведений, логарифмы от степеней и логарифмы от произведений.

P owerExpand[Sqrt[xy]] ⇒ Sqrt[x]Sqrt[y].

Collect[expr, x] группирует слагаемые выражения expr по степе-

ням переменной x.

Collect[1 + x + 3x − 5x + x

] ⇒ 1 − x + x

Collect[expr, {x

, x

, ...}] приведение подобных членов выражения

по степеням указанных переменных x

, x

, .....

Задача. Доказать, что множество точек плоскости, заданное урав-

нением a

−2a

−2b

+2a

−2b

+2x

= 0,

состоит из двух окружностей.

1.6 Полная форма выражения

Программа Математика имеет дело с различными математически-

ми объектами - функциями, формулами, списками, графиками. Все та-

кие объекты в Математике записываются одним и тем же способом

и называются выражениями. Для Математики нет принципиального

различия между двумя такими выражениями.

Каждое выражение имеет так называемую полную форму - обозна-

чение, присущее Математике: сумма x + y + z имеет полную форму

вида Plus[x,y,z], произведение x y z, ⇒ Times[x, y, z], степень имеет

полную форму x

⇒ Power[x, n], список {a, b, c} ⇒ List[a, b, c], им-

24 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

пликация a−> b ⇒ Rule[a, b], равенство a = b ⇒ Set[a, b] и так далее.

Каждая полная форма состоит из заголовка (Plus, Times, List,...) и ар-

гументов x,y,z,...

Для вывода математического выражения expr в полной форме ис-

пользуется команда FullForm[expr].

Пример: Если q = 1 + x

+ (y + z)

, то команда q//FullForm или

FullForm[q] выводит полную форму выражения q:

%//F ullF orm = P lus[1, P ower[x, 2], P ower[P lus[y, z], 2]]

Понятие уровня выражения: первый уровень - это аргументы пер-

вой полной формы выражения. В последнем примере к первому уров-

ню относятся аргументы первого Plus’а: 1, Power[x,2],Power[Plus[y,z],2].

Аргументы полной формы элементов первого уровня составляют вто-

рой уровень выражения. Ко второму уровню относятся x,2 и Plus[y,z],2.

Элементы y,z составляют третий уровень .

Для определения заголовка выражения expr вводится команда

Head[expr]: если s=1 + 2 + 3 -целое число (Integer), то Head[s] ⇒

Integer, Head[f[x, y, z]] ⇒ f, Head[a+b+c] ⇒ P lus, Head[x

] ⇒ P ower,

Head[{a, b, c}] ⇒ List и т.д.

Работа с частями выражений напоминает работу со списками, на-

пример, команда expr[[n]] - выделяет n-ый аргумент первой полной

формы выражения expr, expr[[-n]] - выделяет n-ый аргумент полной

формы выражения, начиная с конца, expr[[n

, n

, ..., n

]] - выделяет ар -

гументы выражения expr следующим образом: б ерется аргумент n

первого уровня, у него берется аргумент n

, у аргумент n

берется ар-

гумент n

и так далее, у аргумента n

(k−1)

выделяется аргумент n

результат действия данной команды .

Пример. Пусть s = 1 + x

+ (y + z)

, как в примере выше. Тогда

s[[2]] = x

, а s[[−1]][[2]] = 2 или, что тоже самое, s[[−1, 2]] = 2. Если

написать s[[−1, 2, 3]], то появится сообщение об ошибке, показывающее,

что у второго аргумента нет третьего аргумента:

Part::partd: Part specification (1+x

+(y+z)

)[[−1, 2, 3]] is longer

than depth of object

1.6.1 Команды работы с выражениями

Рассмотрим основные команды работы с выражениями.

Отключение вывода такого сообщения производится командой Oﬀ[Part::”partd”]; Включение -

On[Part::”partd”]. Аналогично можно поступить и с другими сообщениями.

1.6 Полная форма выражения 25

Apply[f, expr] или f@@expr замещает заголовок выражения expr

на f. Например, Apply[f, {a, b, c}] ⇒ f[a, b, c], T imes@@{a+b+c} ⇒ abc.

Nest[f, expr, n] возвращает выражение, полученное n-кратным при-

ложением f к expr (Nest[f, x, 3] ⇒ f[f[f[x]]]).

Map[f, expr] или f/@expr применяет f к каждому элементу на пер-

вом уровне в expr в следующем смысле:

Map[f, {a, b, c}] ⇒ {f[a], f[b], f[c]},

N[Exp/@{1, 2, 3}]] ⇒ {2.71828, 7.38906, 20.0855},

Map[f, 1 + 2 + c] ⇒ f[3] + f[c],

Map[f, expr, levelspec] применяет f к частям expr, указанным с

помощью levelspec.

Map[f, {{1, 2}, {3, 4}}, 1] ⇒ {f[{1, 2}], f[{3, 4}]},

Map[f, {{1, 2}, {3, 4}}, 2] ⇒ {f[{f[1], f[2]}], f[{f[3], f[4]}]}.

MapAll[f,expr] или f//@expr применяет f ко всем частям выра-

жения expr.

Пусть m = {{a, b}, {c, d}}. Тогда Map[f, m] ⇒ {f[{a, b}], f[{c, d}]},

MapAll[f, m] ⇒ f[{f[{f[a], f[b]}], f[{f[c], f[d]}]}]).

Команда Through[{f,g,h}[a]] порождает список {f[a],g[a],h[a]}.

ReplaceAll[expr, rule] или, что тоже самое, expr/.rule заменяет

в выражении expr переменные по правилу, указанному в rule. Эта

команда позволяет, в частности, вычислять значения алгебраических

выражений.

Рассмотрим примеры:

ReplaceAll[x y

, x−> a] ⇒ ay

ReplaceAll[f[x], f −> g] ⇒ g[x].

ReplaceAll[x

, x−> 2] ⇒ 8,

ReplaceAll[x + y

, {x−> a, y−> b}] ⇒ a + b

Эти замены обычно пишут так:

x y

/.x−> a ⇒ a y

, f[x]/.f−> g ⇒ g[x], x

/.x−> 2 ⇒ 8

x + y/.{x−> 2, y−> 3} ⇒ 5, x + y

/.{x−> a, y−> b} ⇒ a + b

ReplaceRepeated[expr, rule, options−> n] или expr//.rule заме-

няет в выражении expr переменные по правилу, указанному в rule

до тех пор, пока expr не перестанет изменяться. Максимальное чи-

сло замен (итераций) устанавливает опцией MaxIterations−> n (по

умолчанию n=65536).

Например, ReplaceRepeated[Cos[x], x−> Cos[x], MaxIterations−>

100]/.x−> 0.5 ⇒ 0.739085.

26 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Большое число команд для работы с выражениями полезны при про-

граммировании, при создании пакетов расширения системы Матема-

тика для выполнения символьных преобразований и расчетов.

Примеры: Пусть s={1,2,3,4}. Найдем среднее арифметическое чи-

сел списка s: Apply[P lus, s]/Length[s] ⇒

Среднее геометрическое для чисел списка:

Apply[T imes, s

∧

(1/Length[s])] ⇒ 24

Вычисление гармонического среднего для чисел списка:

Length[s]/Apply[P lus, 1/s] ⇒

Задачи. 1). Найти полную форму выражений x−y

, s = Sin[x]/(a+

. Найти s[[1, 2]].

2). Пусть s = {y → (a + b)}. Найти s[[1, 2]] и s[[1]][[2]].

3). Вычислить x + y + 2z/.{x → 1, y → 3, z → 4}, T an[x]/.x → π/2.

4). В чем различие между

RealDigits[N[π, 1000]][[1]] и RealDigits[N[π, 1000]][[2]]?

5). Сколько раз цифра 7 входит в десятичное число N[π, 1000]? При-

мените команду Count и задачу 4.

1.7 Переменные и функции

1.7.1 Переменные

Под переменной в Математике понимается любой набор символов, не

содержащий пробелы и не начинающийся с цифры. Например, x5expr

- переменная, а под выражением 5xexpr понимается произведение 5 ∗

xexpr. Равенство x=5 означает, что переменной x присвоено значение

5 и всюду далее под x понимается 5 до тех пор, пока переменная x не

будет переопределена (например, x = 7) или с переменной будет снято

значение (переменная очищена). Другими словами x - глобальная пе-

ременная. Очистить переменную можно командой x=. или, что то же

самое, Clear[x] (или Clear[x,y,z,...], если требуется очистить несколь-

ко переменных - x, y, z, ...). Команда Remove[”Global` ∗ ”] очищает

все глобальные переменные (здесь, апостроф ”`” находится на кла-

више с ” ∼ ”). Значением переменной может быть любое выражение,

то есть матрица, график, уравнение и так далее.

Кроме присваивания x = 5 существует присваивание вида x:=5. В

первом случае x принимает значение 5 сразу же по выполнению ко-

манды присваивания. Во втором случае, x принимает значение 5 толь-

1.7 Переменные и функции 27

ко тогда, когда идет обращение к x. Например, рассмотрим два при-

сваивания: x = Random[] ⇒ 0.104826, y := Random[] ⇒ нет вывода,

y не вычисляется. Теперь, дважды введем команду {x, y}: {x, y} ⇒

{0.104826, 0.456789}, {x, y} ⇒ {0.104826, 0.234795}. Значение x одно и

тоже в обоих примерах, а значение y - меняется, y - вычисляется всякий

раз, когда к нему обращаются.

Рассмотрим еще один пример: a = 1 ⇒ 1. Сделаем два присваи-

вания: x = a + 2 ⇒ 3, y := a + 2 ⇒ нет вывода. Отсюда получим:

{x, y} ⇒ {3, 3}. Переопределим теперь a, напишем a = 2 ⇒ 2. Тогда

{x, y} ⇒ {3, 4}, так как x было сразу вычислено и не переопределялось,

а y вычисляется в каждый момент обращения к y.

1.7.2 Локальные переменные. Команды Block и Module

Переменные можно считать локальными в некоторой части рабоче-

го поля (точнее - программы, в которых локальные переменные обычно

применяются). Для выделения такой части рабочего поля и перечисле-

ния локальных переменных применяются похожие команды Block и

Module. Формат команд одинаков:

Block[{x,y,z,...},body]

или

Block[{x = x

, y = y

, z = z

, ...}, body]

В скобках указаны имена локальных переменных (во втором случае

и их начальные значения) и участок программы body, где эти пере-

менные являются локальными. Локальность переменной x, например,

означает, что, если x=5 до команды Block ( Module), то после выполне-

ния команды ее значение не изменилось, x=5. Внутри body переменная

x может принимать любые значения.

Отличие между Block и Module поясняется следующим примером:

m = i

⇒ i

Block[{i = a}, i + m] ⇒ a + a

Module[{i = a}, i + m] ⇒ a + i

1.7.3 Функции

В Математике для определения функции одной переменной доста-

точно ввести команду f[x

] := expr, где expr - выражение. Например,

f[x ] := x

. Теперь можно проводить вычисления:

{f[x], f[y], f[3], f[a + 4]} ⇒ {x

, y

, 9, (a + 4)

28 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Функцию можно было бы определить и так: f[x ] = expr. Различия

между этими определениями такие же, как и для переменных.

Подчеркивание у аргумента приводится один раз и только

при определении функции!.

После определения, функция в дальнейшем применяется без подчер-

кивания у аргумента (например, при интегрировании функции, взятии

производной и так далее).

При определение функции часто применяется конструкция вида

f[x ] := Block[{локальные переменные}, expr],

в которой указываются локальные переменные, используемые в теле

блока expr, и приводится последовательность команд expr, реализую-

щая функцию. Команды в expr разделяются точкой с запятой. Приме-

ры таких функций смотрите в параграфе ”Примеры программирования

в Математике”.

Примеры.

1. Введем функцию двумя способами: выполним последовательно две

команды f[x ] = Dimensions[x][[1]] и h[x ] := Dimensions[x][[1]]. Для

первой функции появится сообщение, что у аргумента x нет части [[1]]

и поэтому функция не будет определена как надо. После ввода вто-

рой функции не будет сообщения, но при выполнении далее команды

h[{{1}, {2}}] получим ответ 2, так как, аргумент имеет вид списка

x = {{1}, {2}} и поэтому размерность его Dimensions[x] имеет вид

списка {2, 1}. Последний список имеет часть [[1]], равную 2.

Отметим, что первая функция может иметь смысл, если до ее опре-

деления переменной x было присвоено некоторое значение. Например

x = {{1}, {2}}. При выполнении команды f[x ] = Dimensions[x][[1]] не

будет получено ошибки, так как правая часть при данном значении x

имеет смысл и равна 2. Поэтому функция f[x] будет равна 2 при всех

значений аргумента.

При определении функции, очищайте значения аргументов

в нее входящих!

2. Функция f[r ] := D[r, x], отложено (то есть до последующего обра-

щения к функции) вычисляет производную выражения r, по x (см. стр.

45), а функция h[x

] = D[r, x] всегда равна нулю, так как ее значе-

нием есть производная от r, а она будет равна нулю, если до опре-

деления функции h[x] переменная r не была приравнена к некоторому

дифференцируемому выражению, содержащему x. Поэтому, f[x

] = 2x,

1.7 Переменные и функции 29

а h[x

] = 0.

В определении функции можно указывать и заголовок аргумента.

Например, x Real означает, что переменная x - действительное число,

x Integer - целая переменная, x Complex - комплексная переменная,

x List - переменная x есть список. Например, если определим функ-

цию, вычисляющую факториал так: f[x Integer]:=x!, то f[3] ⇒ 6, а

f[3.2] ⇒ f[3.2] - Математика тестирует переменную и если она не соот-

ветствует указанному заголовку, то функция не вычисляется. Сравните

с функцией g[x ]:=x!.

Для задания функции на определенном интервале применяется ко-

манда

expr/; conditions

Здесь expr вычисляется, если выполняется условия conditions.

Например, функция f[x ] := x

/; (0 6 x 6 1) определена только на

интервале [0,1]. Эту же функцию можно определить и так: f[x /; 0 6

x 6 1] := x

. Такой способ задания функций позволяет определять

кусочно-гладкие или кусочно-непрерывные функции. Так, функция g[x],

определенная равенствами g[x /; 0 6 x 6 1] := x

и g[x /; 1 6 x 6 4] :=

x, будет кусочно-непрерывна и определена на интервале [0, 4].

Аналогично определяются функции нескольких переменных:

f[x , y , z ] := expr, где expr - выражение.

Не допускается при определении функции использовать переменную с

индексом.

Примеры. Введем команды (каждую команду - в отдельную строчку

и без запятых): x = ., y = ., f[x , y ] = x + Sin[y] ⇒ x + Sin[y]. Тогда,

f[2, 3] ⇒ 5, а частная производная D[f[x, y], y] ⇒ Cos[y].

Функция может иметь в качестве аргумента вектор. Так функция

f[{x , y , z }] := expr, где expr - выражение, есть скалярная функция

векторного аргумента w = {x, y, z}. Для вычисления значения функ-

ции теперь надо написать f[w] или f[{x, y, z}].

1.7.4 Чистые функции

Следующее задание функции не содержит переменных в явном ви-

де: body&, где body обычная функция, в которой вместо первой пе-

ременной записан знак #1, второй - #2, и так далее. Такие функции

называются чистыми (pure) функциями.

30 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Примеры. 1. Запишем функцию x

в ”чистом” виде: #

&. Посчита-

ем значение этой функции на значении 2, введем команду: #

&[2] ⇒ 4

(вместо двух квадратных скобок можно записать @: #

&@2 ⇒ 4).

Заменить каждый элемент списка q значением функции D[x] от

элемента списка можно командой Map (другое ее обозначение /@)

по следующему правилу: Map[D[#]&,q] (или D[#]&/@q.) Например:

Map[#

&, {a, b, c}] ⇒ {a

, b

, c

}. Еще пример, сделаем числа {a, b, c, d}

действительными (см. пример 5, §2): (Im[#]

∧

= 0)&/@{a, b, c, d}

2. Функция двух переменных: (#1

+ #2)&. Вычислим ее на паре

(2,3): (#1

+ #2)&[2, 3] ⇒ 11. Вычислим эту же функцию на последо-

вательности аргументов , например {{2, 3}, {4, 5}, {6, 7}}:

Apply[(#1

+ #2)&, {{2, 3}, {4, 5}, {6, 7}}, 1] ⇒ {11, 69, 223}.

Задачи. 1. Найти полную форму выражения e = {{y−> f [x]}},

выяснить на каком уровне находится функция f[3] и написать команду

вычисления f[3].

2. Представить функцию x

−Exp[y]z в виде чистой функции и вы-

числить ее на значениях (1,2,3).

1.7.5 Рекурсии

Присваивания вида x = f[x] приводят к рекурсии и зависанию ком-

пьютера от которого можно освободиться нажав на клавишу Alt и удер-

живая ее нажимать на клавишу с точкой в латинской раскладке клави -

атуры. Либо перезапустить ядро программы. Рекурсии не будет, если

перед выполнением команды x = f[x] присвоить x некоторое значение.

1.8 Многочлены

Приведем команды, работающие с многочленами (полиномами).

Пусть p[x ] = x

− x

+ x − 1, q[x ] = x

− 1.

Factor[poly] выполняет разложение многочлена на множители над

целыми числами. (F actor[p[x]] ⇒ (−1 + x)(1 + x

)).

Factor[poly, Modulus−> p] выполняет разложение по модулю про-

стого p. (F actor[p[x], Modulus−> 2] ⇒ (1 + x)

FactorList[poly] приводит список множителей многочлена с их по-

казателями степени . (F actorList[p[x]] ⇒ {{(−1 + x, 1}, {1 + x

, 1}}).

FactorList[poly, Modulus−> p] приводит список множителей мно-

гочлена по модулю простого p. (F actorList[p[x], Modulus−> 5] ⇒ {{(2+