Мостовской А.П. Информационные технологии в математике

Подождите немного. Документ загружается.

1.9 Построение кривых на плоскости и в пространстве 41

Команда

ContourPlot[f[x,y],{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] порожда-

ет контурный график функции f[x,y].

Команда

ListContourPlot[m] формирует контурный график из значений вы-

сот, составляющих квадратную матрицу m.

Так, команда ContourP lot[Sin[x

] − Cos[y

], {x, −3, 3}, {y, −3, 3},

ColorF unction−> Hue, P lotP oints−> 525, F rame−> F alse] рисует

такой контурный график

1.9.8 Построение графиков плотности

Функцией двух переменных f[x,y] может описываться плотность не-

которой среды. Для построения графиков плотности используются сле-

дующие команды:

DensityPlot[f[x, y], {x, x

min

, x

max

}, {y, y

min

, y

max

}]

строит график плотности функции f[x,y],

ListDensityPlot[m]

формирует график плотности из массива значений высот - элементов

прямоугольной матрицы m.

Внешне график плотности похож на контурный график. Однако, для

него характерно выделение элементарных участков (с равной плотно-

стью) в форме квадратиков.

1.9.9 Примитивы двумерной графики

Примитивами двумерной графики называют команды, по которым

Математика строит привычные геометрические фигуры - окружность,

отрезок, многоугольник и другое. Для формирования двумерного гра-

фического изображения применяется команда

42 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Graphics[primitives, option −>value,...],

где вместо primitives может стоять одна из следующих коман д.

Circle[{x, y}, r] рисует окружность радиусом r, центр окружности

находится в точке {x, y}.

Circle[{x, y}, {rx, ry}] строит эллипс с полуосями rx и ry.

Circle[{x, y}, r, {θ1, θ2}] представляет дугу окружности, располо-

женную между углами θ1 и θ2.

Line[{{x

, y

}, {x

, y

}, ...}] рисует линию , соединяющую последова-

тельно точки с указанными координатами.

Rectangle[{x

, y

}, {x

, y

}] рисует прямоугольник с диагональны-

ми точками {x

, y

}, {x

, y

}].

Rectangle[{x

, y

}, {x

, y

}, graphics] рисует прямоугольник, запол-

ненный в соответствии с указанием graphics.

Raster[{{a

, a

, ...}, ...}] рисует прямоугольный массив ячеек яр-

кости.

RasterArray[{{g11, g12, ...}, ...}] рисует прямоугольный массив яче-

ек, окрашенных в соответствии с графическими директивами g

Text[expr, {x,y}] выводит на экран текст expr, начинающийся в

точке с координатами {x,y}.

Опции в команде Graphics аналогичны многим опциям команды Plot.

Для вывода графического изображения на экран применяется коман-

да Show.

Если надо изменить стиль выводимых на экран графических изо -

бражений, то применяется команда

Graphics[{dir

, dir

, ..., primitives}, option−> value, ...],

где вместо dir

, dir

,... могут стоять следующие директивы: рисовать

пунктирную линию - Dashing[{d}] , установить толщину линий -

Thickness[n], или RGBColor[r,g,b] - задать цвет линии или плос-

кой области, полученный объединением красного, зеленого и синего в

соответствии с параметрами r, g, b ∈ [0, 1].

Примеры. 1). Команда

Show[Graphics[Circle[{1, 2}, 1]], Graphics[Circle[{0, 0}, 2]],

AspectRatio−> Automatic] выводит на экран две окружности.

2). Пусть v = {{0, −1}, {1, 0}, {0, 1}, {−1, 0}}, - координаты вершин

ромба.

p = Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], P olygon[v]}] - рисует (не на экране)

часть плоскости, ограниченной ромбом, цвет - красный,

q = Graphics[{T hickness[0.02], RGBColor[0, 0, 1], Line[v]}] - рисует

1.10 Построение поверхностей 43

ромб, толщина линий 0.02(

) дюйма, цвет - синий.

Show[p, q] - вывод на экран рисунков p и q.

Clear[v, p, q] - очищение переменных.

3). Совмещение текста и графика.

r = Graphics[{Hue[0.7], T ext[”Э то парабола”, {5, 20}]}],

t = P lot[x

, {x, −10, 10}],

Show[t, r].

4). Epilog - опция в графических командах, указывающая на гра-

фические примитывы, которые должны быть построены, после того,

как основная часть графической команды выполнена. Вместо этой оп-

ции можно использовать команду Show, выводящую одновременно на

экран уже построенные раздельно графики - основной график и графи-

ческий примитив.

P lot[x, {x, 0, 2}, Epilog−> {P ointSize[0.5], Hue[1], P oint[{.5, 1}]}]

1.10 Построение поверхностей

1.10.1 Построение графиков функции двух переменных

Для построения графика функций

z = f[x,y], при x ∈ [x

min

, x

max

], y ∈ [y

min

, y

max

применяется команда:

Plot3D[f[x, y], {x, x

min

, x

max

}, {y, y

min

, y

max

}, option−> value, ...].

Команда

Plot3D[{f[x, y], s}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]

строит график функции f[x,y]. Если не указана директива s, то цвет

и освещение графика устанавливается Математикой автоматически.

Можно закрасить график одним цветом - для этого надо вместо s на-

писать Hue[n] или RGBColor[r,g,b], где n, r, g, b ∈ [0, 1] - параметры

цвета.

Построенная поверхность заключена в координатный прямоуголь -

ный параллелепипед, заданный неравенствами:

min

≤ x ≤ x

max

}, {y

min

≤ y ≤ y

max

}, {z

min

≤ z ≤ z

max

Координатные линии поверхности x=const, y=const, нарисованные

с достаточно малым шагом, образуют координатную сетку и разбива-

ют поверхность на маленькие ”квадраты”. Математика рисует каждый

такой квадрат, как плоский участок. Из плоских квадратов и состоит

построенная поверхность. Точки пересечения координатных линий на-

44 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

зываются узловыми точками поверхности.

Команда

ListPlot3D[m]

рисует поверхность, заданную прямоугольной матрицей m, элементы

которой есть высоты узловых точек поверхности.

С этими командами применяются следующие опции:

BoxRatios−> {n, m, p} задает отношения n:m:p длин сторон ко-

ординатного прямоугольного параллелепипеда, содержащего поверх-

ность.

BoxStyle−> value задает вид ребер координатного прямоугольно-

го параллелепипеда. Вместо значения опции value можно поставить

Dashing[{n}], Hue[m] или Thickness[p] (см. PlotStyle).

Background−> value опция, указывающая цвет ф она. Вместо value

можно поставить Hue[m] или RGBcolor[r, g, b].

Mesh−> False удаляет координатную сетку на поверхности.

ClipFill−> None - части поверхности, отсекаемые координатным

прямоугольным параллелепипедом, не выводятся на экран. По умолча-

нию - такие части поверхности заменяются частями грани координат-

ного прямоугольного параллелепипеда.

FaceGrids−> All выводит линии сетки на гранях координатного

прямоугольного параллелепипеда.

Shading−> False опция, снимающая затенение поверхностей.

Boxed−> False удаляет координатный прямоугольный параллеле-

пипед, окружающий поверхность.

ViewPoint−> {n, m, p} устанавливает точку, из которой рассма-

тривается поверхность.

PlotPoints−> {n, m} устанавливает количество ”квадратов”, со-

ставляющих поверхность на единицу длины в направлении осей ко-

ординат.

PlotRange−> {{x

, x

}, {y

, y

}, {z

, z

}} указывает, что на экран

будут выведены точки поверхности, принадлежащие параллелепипеду

≤ x ≤ x

, y

≤ y ≤ y

, z

≤ z ≤ z

Примеры.

1). P lot3D[Sin[x y], {x, 0, 5}, {y, 0, 5}]

2). P lot3D[{Sin[x y], Hue[0.6]}, {x, −10, 10}, {y, −10, 10}]

3). P lot3D[x y, {x, −10, 10}, {y, −10, 10}]

4). P lot3D[x y, {x, −10, 10}, {y, −10, 10}, BoxRatios−> {1, 1, 2}]

5). P lot3D[x y, {x, −10, 10}, {y, −10, 10}, BoxRatios−> {1, 1, 2},

1.10 Построение поверхностей 45

V iewP oint−> {1.028, −3.222, 0.109}]

6). P lot3D[x y, {x, −10, 10}, {y, −10, 10}, BoxRatios−> {1, 1, 2},

V iewP oint−> {1.028, −3.222, 0.109}, Background−> Hue[0.5]]

7). ListP lot3D[{{1, 2, 3, 4, 5}, {5, 4, 3, 2, 1}}].

8). ListP lot3D[T able[Sin[x y], {x, 0,

π,

π}, {y, 0,

π,

π}]].

1.10.2 Построение поверхностей, заданных неявно

Для построения множества, заданного уравнением вида f(x, y, z) =

0, надо загрузить пакет программ

<< Graphics`ContourPlot3D`

и выполнить команду

ContourPlot3D[f[x, y, z], {x, x

min

, x

max

}, {y, y

min

, y

max

}, {z, z

min

, z

max

}]

Например, команда

ContourP lot3D[x

+ y

+ z

− 1, {x, −1, 1}, {y, −1, 1}, {z, −1, 1},

P lotP oins−> {5, 5}, Boxed−> F alse, Axes−> F alse]

рисует сферу единичного радиуса. Опции взяты из предыдущего пара-

графа.

1.10.3 Параметрическое задание поверхности

Для построения поверхности, заданной параметрическими уравне-

ниями

x = x[u, v], y = y[u, v], z = z[u, v],

где u ∈ [u

min

, u

max

], v ∈ [v

min

, v

max

], применяется следующая команда

ParametricPlot3D[{x[u, v], y[u, v], z[u, v]},

{u, u

min

, u

max

}, {v, v

min

, v

max

}, option−> value, ...]

Команда

ParametricPlot3D[{{x

[u, v], y

[u, v], z

[u, v]},

[u, v], y

[u, v], z

[u, v]}, ...},

{u, u

min

, u

max

}, {v, v

min

, v

max

}, option−> value, ...]

строит на одном чертеже поверхности, заданные параметрическими

уравнениями

{x = x

[u, v], y = y

[u, v], z = z

[u, v]},

{ x = x

[u, v], y = y

[u, v], z = z

[u, v]},...

при u ∈ [u

min

, u

max

], v ∈ [v

min

, v

max

46 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Примеры.

1). Тор: P arametricP lot3D[{(5 + 2 Cos[u])Cos[v],

(5 + 2 Cos[u])Sin[v], 5 Sin[u]}, {u, 0, 2 π}, {v, 0, 2 π}].

2). Сфера. P arametricP lot3D[{10 Cos[u]Cos[v],

10 Cos[u]Sin[v], 10 Sin[u]}, {u, −

}, {v, 0, 2 π}].

3). P arametricP lot3D[{Sin[u]Sin[v],

Sin[u]Cos[v], u}, {u, −π, π}, {v, 0, 2 π}].

4). P arametricP lot3D[{Sin[u]Sin[v],

Sin[u]Cos[v], u}, {u, −π, π}, {v, 0, 2 π},

P lotRange−> {{0, 1}, {0, 1}, {0, 1}}].

1.10.4 Примитивы трехмерной графики

Команда

Graphics3D[primitives, options−> value] формирует трехмерное

графическое изображение; вместо primitives могут стоят следующие

команды.

Cuboid[{x, y, z}] порождает единичный куб с центром в точке с

координатами {x, y, z}, ребра которого параллельны осям координат.

Вывод куба как и остальных графических примитивов осуществляется

командой Show[Graphics3D[Cuboid[{x,y,z}]]] (см. примеры).

1.10 Построение поверхностей 47

Cuboid[{x

, y

, z

}, {x

, y

, z

}] порождает прямоугольный парал-

лелепипед, заданный координатами противоположных вершин.

Point[{x, y, z}] порождает точку с данными координатами.

Polygon[{{x

, y

, z

}, {x

, y

, z

}, ...}] порождает возможно не плос-

кий многоугольник с данными координатами вершин.

PolygonIntersections−> True опция, устанавливающая закраску

общей части многоугольников.

Примеры.

1. Show[Graphics3D[{ Cuboid[{0, 0,0}],Cuboid[{1, 0,0}], Cuboid[{0, 1,0}]}]]

2. Show[Graphics3D[ Cuboid[{0, 0,0},{1, 1,1}]]]

3. Построим ломаную в пространстве. Пусть q = Table[Random[], Random[],

Random[], i, 1, 8]; вершины ломаной. Выполним команду

Show[Graphics3D[Line[q]], ViewPoint -> 1.848, 2.455, 1.418], получим

4. Построим дом из кубиков. Создадим массивы центров ”кирпичей”,

составляющих стены, потолок и крышу.

q1 = Flatten[Table[{0, i, j}, {i, 0, 10}, {j, 1, 6}], 1];

q2 = Flatten[Table[{10, i, j}, {i, 0, 10}, {j, 1, 6}], 1];

q3 = Flatten[Table[{i, 0, j}, {i, 0, 10}, {j, 1, 6}], 1];

q4 = Flatten[Table[{i, 10, j}, {i, 0, 10}, {j, 1, 6}], 1];

q5 = Flatten[Table[{-7 + j, i, j}, {i, 0, 10}, {j, 6, 12}], 1];

q6 = Flatten[Table[{17 - j, i, j}, {i, 0, 10}, {j, 6, 12}], 1];

q7 = Flatten[Table[{i, j, 7}, {i, 0, 10}, {j, 0, 10}], 1];

Объединим массивы в один список:

w = Join[q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7];

Зададим массив центров ”кирпичей”, удаление которых даст окна и

дверь.

d = {{2, 0, 3}, {2, 0, 4}, {3, 0, 3}, {3, 0, 4}, {7, 0, 3},

{7, 0, 4}, {8, 0, 3}, {8, 0, 4}, {10, 4, 1}, {10, 4, 2},

{10, 4, 3}, {10, 4, 4}, {10, 5, 1}, {10, 5, 2}, {10, 5, 3},

{10, 5, 4}, {10, 6, 1}, {10, 6, 2}, {10, 6, 3}, {10, 6, 4}};

48 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Удалим из массива w координаты, принадлежащие d:

w = Complement[w, d];

и выполним команду построения кубиков, координты центров которых

составляют список w:

Show[Graphics3D[Cuboid /@ w], Axes -> True];

1.10.5 Каркасы поверхностей

Программа, рисующая каркас поверхности , содержится в пакете

<< Graphics`Shapes`

Обозначим теперь через g графический образ поверхности, соста-

вленной из многоугольников (полигонов). К таким поверхностям от-

носятся все поверхности, построенные командами построения графики

Plot3D, ParametricPlot3D и другими.

Команда WireFrame[g] делает каждый полигон поверхности g про-

зрачным. В результате формируется новый графический образ - каркас

поверхности. Для вывода его на экран надо применить команду Show.

1.11 Построение областей, заданных неравенствами 49

Пример. Пусть

g = P arametricP lot3D[{10 Cos[u]Cos[v], 10 Cos[u]Sin[v], 10 Sin[u]},

{u, −π/2, π/2}, {v, 0, 2 π}].

Графический образ g есть сфера. Выполним команду (не забудьте

загрузить пакет Shapes)

Show[WireFrame[g]]

На экране появится каркас сферы (правый рисунок).

1.11 Построение областей, заданных неравенства-

ми

Для построения плоских или пространственных областей, заданных

системами неравенств

, необходимо загрузить пакет

<< Graphics`InequalityGraphics`

Команда

InequalityPlot[ineqs, {x, x

min

, x

max

}, {y, y

min

, y

max

}]

рисует на плоскости переменных x, y множество решения системы не-

равенств ineqs. Неравенства в ineqs разделяются логическими знака-

ми && ( ”и”), || ( ”или”).

Аналогично работает команда

InequalityPlot3D[ineqs, {x, x

min

, x

max

}, {y, y

min

, y

max

}, {z, z

min

, z

max

}]

рисующая пространственное множество-решение системы неравенств

ineqs.

Данные команды можно приводить в виде

InequalityPlot[ineqs, {x}, {y}]

InequalityPlot3D[ineqs, {x}, {y}, {z}],

если заранее известно, что множество-решение ограничено.

Примеры.

1). InequalityP lot[1 ≤ x

≤ 4&&x

> y

, {x, −10, 10}, {y, −10, 10}]

2). InequalityP lot3D[x

+ y

+ z

< 1&&x

+ z

− y

< .1, {x, −4, 4},

{y, −4, 4}, {z, −4, 4}]

Построения выполняются в версиях Mathematica 4.1 и выше.

50 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Для построения областей, заданных неравенствами в комплексной

плоскости, применяется команда

ComplexInequalityPlot[eqnes, {z}];

где eqnes - логическое объединение неравенств, реализованных с по-

мощью функций Abs, Re, Im.

Примеры.

1. ComplexInequalityP lot[Abs[z

− 2z] > 1&&Abs[z

] < .5, {z}];

2. ComplexInequalityP lot[1.6 < Abs[z

+ 5z

+ 4z − 1] < 2, {z}];

1.12 Решение уравнений и систем уравнений

Для решения уравнений или систем уравнений в Математике преду-

смотрены команды Solve, NSolve, Roots, FinedRoots, LinearSolve.

1.12.1 Аналитическое решение уравнений

Команда

Solve[f[x] == 0, x]

предпринимает попытку решить уравнение f(x)=0 относительно пе-

ременной x. Решения выводится на экран в следующем виде

{{x−> a1}, {x−> a2}, ...},