Мостовской А.П. Информационные технологии в математике

Подождите немного. Документ загружается.

1.8 Многочлены 31

x, 1}, {3 + x, 1}, {4 + x, 1}}).

FactorTerms[poly] извлекает полный (общий) числовой множитель

в многочлене poly.

PolynomialDivision[p, q, x] вычисляет частное и остаток, полу-

ченные делением многочлена p(x) на q(x).

(P olynomialDivision[p[x], q[x], x] ⇒ {−1 + x, −2 + 2x}).

PolynomialGCD[poly1, poly2, ...] находит наибольший общий де-

литель многочленов poly1, poly2, ... . (P olynomialGCD[p[x], q[x]] ⇒

−1 + x).

PolynomialGCD[poly1, poly2, ..., Modulus−> p] вычисляет наи-

больший общий делитель многочленов poly1, poly2, ... по модулю про-

стого p.

PolynomialLCM[poly1, poly2, ...] находит наименьшее общее крат-

ное многочленов poly1, poly2, ... . (P olynomialLCM[p[x], q[x]] ⇒ −1 +

PolynomialLCM[poly1, poly2, ..., Modulus−> p] находит наимень-

шее общее кратное по модулю простого p.

PolynomialMod[poly, m] возвращает многочлен poly, приведен-

ный по модулю m.

PolynomialQ[expr, var] выдает значение True, если expr является

многочлен от переменной var, иначе дает False.

PolynomialQuotient[p, q, x] вычисляет частное от деления мно-

гочленов p и q, как многочленов от x, игнорируя какой-либо остаток.

(P olynomialQuotient[p[x], q[x], x] ⇒ −1 + x).

PolynomialRemainder[p, q, x] возвращает остаток от деления p

на q как многочленов от x. (P olynomialRemainder[p[x], q[x], x] ⇒ −2 +

2x).

Resultant[poly1, poly2, var] вычисляет результат многочленов

poly1 и poly2 по переменной var.

Resultant[poly1, poly2, var, Modulus−> p] вычисляет результат

по модулю простого p.

Decompose[poly, x] представляет функцию poly от переменной x

в виде композиции более простые многочленов.

32 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

1.9 Построение кривых на плоскости и в простран -

стве

С этой главы начинается рассмотрение кривых и поверхностей на

плоскости и в пространстве. Рассмотрим всевозможные случаи зада-

ния геометрических образов - явное, неявное, параметрическое и другие

задания.

После ввода графической команды, на экране выделяется прямо-

угольная область для вывода графики. В каждой такой области ”при-

сутствует” прямоугольная (декартова)система координат. Опции в ко-

мандах вывода графики позволяют управлять выводом системы ко-

ординат на экран . При построении графиков Математика может пе-

редвигать систему координат так, чтобы график выглядел наиболее

наглядно, при этом оси координат не всегда пересекаются в начале

координат.

Отметим одну интересную особенность пространственных постро-

ений. Она заключается в том, что каждую построенную поверхность

или пространственную кривую можно вращать с помощью мышки

Для этого необходимо выполнить команду

<< RealTime3d`

после которой выполнить команду построения графика. Затем, захва-

тить мышкой график и начать перемещать курсор по экрану. Отмена

режима вращения трехмерного образа мышкой задается командой

<< Default3d`

Отметим, что здесь апостроф берется с клавиши с тильдой ” ∼ ”.

1.9.1 Построение графиков функций одной переменной

Для построения графика функции f[x] используется команда Plot:

Plot[f[x], {x, x

min

, x

max

}, option−> value, option−> value, ...] стро-

ит график функции f[x] аргумента x в интервале от x

min

до x

max

Plot[{f

[х], f

[x], ...}, {x, x

min

, x

max

}, option−> value, ...] совмещает

на одном чертеже графики нескольких функций f

[x], определенных на

одном интервале [x

min

, x

max

Операция доступна только в пакетах Математика версий больших 3.

1.9 Построение кривых на плоскости и в пространстве 33

Опции в этих командах позволяют изменять вид графика и его окру-

жения по своему усмотрению. В этих командах можно не ставить опции

”option−> value” - Математика сама установит основные параметры

графика. Например, команда

P lot[Sin[x], {x, −10, 10}] строит синусоиду на интервале [-10,10].

Перечислим основные опции ”option−> value”, используемые с ко-

мандой Plot: PlotStyle−> {{1стиль}, {2стиль}, ...} - опция для гра-

фиков функций, указывающая вид линий графиков. Вместо значений

стилей может стоять Dashing[{n

, n

, ...}] (пунктирная линия, со-

стоящая из чередующихся отрезков графика длиной n

(

) дюйма и

пробела длиной n

(

) дюйма...), Hue[m

] (цвета линии, соответствую-

щий параметру m

) или Thickness[m

] означающее, что линия графи-

ка будет иметь толщину, равную m

(

) дюйма, 0 ≤ n

, n

, m

≤

1. Например, команда

P lot[{x

, Sin[x], Cos[x]}, {x, −1, 1},

P lotStyle−> {Dashing[{0.02}], Hue[0.4], T hickness[0.01]}]

нарисует 3 линии, причем параболу пунктирной линией, (длина пунк-

тира будет равна 0.02

дюйма). Значение Hue[0.4] устанавливает цвет

синусоиды, соответствующий параметру 0.4, Thickness[0.01] устана-

вливает толщину графика косинуса в 0.01

дюйма. У одной кривой

можно менять несколько параметров. Так. команда

P lot[{x

, Sin[x], Cos[x]}, {x, −1, 1}, P lotStyle−> {{Dashing[{0.02}],

Hue[0.7], T hickness[0.005]}, Hue[0.4], T hickness[0.01]}]

нарисует параболу пунктирной линией, цветом, соответствующим па-

раметру 0.7 и толщиной в 0.02

дюйма, а графики синуса и косинуса

останутся прежними.

AspectRatio−>

- опция для команд Plot и Show, определяющая

пропорцию размеров двумерного графика - отношение высоты к шири-

не

. По умолчанию задано золотое сечение 1/GoldenRatio.

34 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Axes−> value. Если value есть True (False), то оси координат ри-

суются (не рисуются). По умолчанию за дано Automatic.

AxesLabel−> value - опция, устанавливающая обозначения (сим-

вольные метки) для осей. Например, значение value = {”x”, ”y”} для

двумерного графика горизонтальную ось помечает символом x, вер-

тикальную - y. По умолчанию значение опции есть None и метки не

ставятся.

AxesOrigin−> {x

, y

} - опция для двумерной графики, указываю-

щая команде Plot координаты точки пересечения осей).

Frame−> True - устанавливает рамку вокруг графика. По умолча-

нию - False.

FrameLabel−> text указывает, что слева от рамки , установленной

предыдущей опцией, помещается текст text, например

DefaultFont−> font, где вместо font можно указать, например,

{”Times − Italic”, 6}, выводит на экран текст и цифры высотой 6

pt и шрифтом Times-Italic.

TextStyle -> {FontSlant -> ”Italic”, FontSize -> 27}

ImageSize -> 72 8,

P lot[x

, {x, −10, 10}, F rame−> T rue, F rameLabel−> parabola].

P lot[x

, {x, −10, 10}, DefaultF ont−> {”T imes − Italic”, 6},

F rame−> T rue, F rameLabel−> parabola].

GridLines−> value - опция для двумерной графики, рисует коорди-

натную сетку. Значение value = {{x

, x

, ..., x

}, {y

, y

, ..., y

}}, есть

точки осей, через которые проходит координатная сетка. Вместо вну-

треннего списка можно указать Automatic. По умолчанию value=

False.

Пример. P lot[Log[x]+Sin[x+Sqrt[x]Sin[x]], {x, 1, 12}, GridLines−>

{{

, π,

π, 2π,

π}, Automatic}].

PlotDivision−> n - опция для Plot, которая указывает максималь-

ное количество делений при построении гладкой кривой. Сравните

P lot[Sin[5 x], {x, −10, 10}, P lotDivision−> n] при n = 1, 10.

PlotLabel−> text - опция выводит текст text над графиком.

PlotLabel−> FontForm[text, {”Helvetica − Bold”, 12}] - опция

выводит текст text над графиком высотой 12 pt, шрифтом Helvetica-

Bold.

Например, P lot[Sin[x], {x, −10, 10}, P lotLabel−>

F ontF orm[С инусоида, {”Helvetica − Bold”, 12}]]

PlotRange−> {{x

, x

}, {y

, y

}} - опция, указывающая команде,

1.9 Построение кривых на плоскости и в пространстве 35

что надо выводить только те точки графика, которые принадлежат

прямоугольнику x

≤ x ≤ x

, y

≤ y ≤ y

RotateLabel−> True - опция для двумерного графика , которая ука-

зывает, следует ли обозначения (метки) на вертикальной стороне пря-

моугольника, установленного опцией F rame−> T rue, развернуть так,

чтоб они стали вертикальными. Например,

P lot[Sin[x + Sqrt[3] Sin[x]], {x, −6, 6}, F rame−> T rue,

F rameLabel−> {”x − ось”, ”y − ось”}, RotateLabel−> T rue]

Ticks−> {{x

, x

, ...}, {y

, y

, ...}} - опция, устанавливающая раз-

метку осей координат. Например,

P lot[Sin[x], {x, 0, 2π}, T icks−> {{0,

, π,

3π

, 2π}, Automatic}]

- ось x-ов будет размечена точками 0,

, π,

3π

, 2π, разметка оси y-ов -

на усмотрение Математики.

Часто встречается ситуация, когда надо найти значения функции

прежде, чем строить ее график. Типичный случай, когда строятся гра-

фики ряда функций, полученных с помощью команды Table. Такой под-

ход к построению графиков реализуется следующими командами:

Plot[Evaluate[f[x]], {x, a, b}]

- здесь функция f[x] сначала вычисляется, а затем строится ее график;

Plot[Evaluate[Table[f[x], ...]], {x, a, b}]

- генерируется список функций, функции вычисляются, затем строятся

их графики одновременно.

Построим на одном чертеже графики функций Sin[n x], при n=1,...,8:

P lot[Evaluate[T able[Sin[n x], {n, 8}]], {x, 0, 2 π}]

или графики функций BesselJ[n,x] (см. п. 21) при n=1,2,3,4:

P lot[Evaluate[T able[BesselJ[n, x], {n, 4}]], {x, 0, 10}].

1.9.2 Построение графиков функций по точкам

График по точкам строится командой ListPlot:

ListPlot[{y

, y

, ...}] строит точки с координатами (1, y

), (2, y

), ...

ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ...}] строит точки с координатами

, y

), (x

, y

), ...

Опция PlotStyle−> PointSize[d] в этих командах рисует точки за-

крашенными кружочками диаметра d.

Опция PlotJoined−> True соединяет построенные точки отрезка-

ми (по умолчанию - False). Если эта опция установлена, то можно ука-

зать стиль линий установкой опции PlotStyle−> value. Значениями

36 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

value могут быть Dashing[{n1}], Hue[n2] и Thickness[n3] (см. PlotStyle).

Отметим, что опция P lotJoined−> T rue отменяет опцию P lotStyle−>

P ointSize[d]. Можно нарисовать отдельно каждый график и совме-

стить из с помощью коман ды Show, см. параграф ”Наложение графи-

ков”.

Примеры.

1). ListP lot[{3, 6, 2, 9}, P lotJoined−> T rue, P lotStyle−> Hue[0.8]].

2). ListP lot[T able[Count[RealDigits[N[π, 1000]][[1]], n], {n, 1, 9}],

P lotStyle−> P ointSize[0.03]].

1.9.3 Построение кривых, заданных параметрическими

уравнениями, на плоскости и в пространстве

Для построения плоской кривой, заданной параметрическими урав-

нениями x = x[t], y = y[t], t

min

≤ t ≤ t

max

, применяется следующая ко-

манда

ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, t

min

, t

max

}, option−> value, ...]

Команда

ParametricPlot[{{x

[t], y

[t]}, {x

[t], y

[t]}, ...},

{t, t

min

, t

max

}, option−> value, ...]

строит на одном чертеже кривые, заданные параметрическими уравне-

ниями {x = x

[t], y = y

[t]}, { x = x

[t], y = y

[t]},... при t ∈ [t

min

, t

max

Опции у команды ParametricPlot такие же, как у команды Plot.

Для построения пространственной кривой, заданной параметриче-

скими уравнениями x = x[t], y = y[t], z = z[t], t

min

≤ t ≤ t

max

, приме-

няется команда

ParametricPlot3D[{x[t], y[t], z[t], dir},

{t, t

min

, t

max

}, option−> value, ...]

здесь, dir называется директивой и имеет, например, вид

{Hue[n1], T hickness[n2]}. В соответствии с директивой кривая будет

нарисована данными цветом и толщиной. Директиву dir можно не пи-

сать в команде. Опции в команде ParametricPlot3D аналогичны многим

опциям команды Plot.

Как уже отмечалось, трехмерные графики можно вращать мышкой,

но при этом могут потеряться некоторые достоинства графика. Есть

еще один способ вращения графика с помощью опции вида

ViewPoint -> {2.819, 1.731, 0.713},

в команде построения графика (PlotsD, ContourPlot3D и др.). Эта оп-

1.9 Построение кривых на плоскости и в пространстве 37

ция меняет точку зрения на график - такой точкой становится точка с

координатами, указанными в опции. Проще всего выбрать такую точку

можно с помощью команды Input->3D View Point Selector. На по-

явившейся форме мышкой надо повращать куб, представляющий бокс,

содержащий график, и выбрать надлежащую точку зрения. Нажать

на клавишу Paste. На месте курсора на рабочем поле появится дан-

ная опция с координатами новой точки зрения. Курсор предваритель-

но можно поставить перед последней квадратной скобкой графической

команды (и не забывать, что опции в команде разделяются запятыми).

Команда

ParametricPlot3D[{{x

[t], y

[t], z

[t], dir

[t], y

[t], z

[t], dir

}, ...}, {t, t

min

, t

max

}, option−> value, ...]

строит на одном чертеже кривые, заданные параметрическими урав-

нениями

{x = x

[t], y = y

[t], z = z

[t]}, { x = x

[t], y = y

[t], z = z

[t]},... при

t ∈ [t

min

, t

max

Характеристики кривых можно указать директивами dir

, dir

...,

которые можно и не писать.

Примеры.

1). P arametricP lot3D[{Sin[2 t], Sin[3 t], Cos[t]}, {t, 0, 2 π}]

2). P arametricP lot3D[{Sin[2 t], Sin[3 t], Cos[t], {Hue[0.3],

T hickness[0.02]}}, {t, 0, 2 π}, V iewP oint− > {2.120, 0.961, 2.456}]

3). P arametricP lot[{Sin[2 t], Sin[3 t]}, {t, 0, 2 π},

P lotStyle−> T hickness[0.01]]

4). P arametricP lot[{{6Cos[t], 6Sin[t]}, {6 − 3t

, 4t

}}, {t, 0, 2 π}]

38 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

1.9.4 Построение графиков функций, заданных неявно

Математика может строить графики функций, заданных неявно,

или в более общем случае, строить множество точек, заданное урав-

нением вида f[x, y] == 0. (Напомним, что в программе Математика

вместо знака = (то есть присваивания) в уравнениях пишут знак ра-

венства в виде: ==).

Ядро Математики состоит из программ, решающих конечное число

задач. Решения ряда задач осуществляется программами, дополняю-

щими программы ядра Математики. К таким задачам относится и

данная задача. Поэтому для построения множества, заданного урав-

нением f[x, y] == 0, необходимо загрузить пакет программ (package),

решающих такую задачу. Для этого надо ввести команду

<< Graphics`ImplicitPlot`

(здесь и везде далее, апостроф ”`” в таких командах находится на

клавише с ” ∼ ”). Произойдет загрузка соответствующего графическо-

го пакета. Теперь можно вводить команду построения данного множе-

ства:

ImplicitPlot[f[x, y] == 0, {x, x

min

, x

max

}, options−> value]

В команде указывают интервал изменения только для одной пере-

менной. Эту команду можно применять и в таком виде

ImplicitPlot[f[x, y] == 0, {x, x

min

, x

max

}, {y, y

min

, y

max

options−> value]

Различие между этими командами содержится в способе построения

графиков.

Если надо построить несколько множеств , заданных уравнениями

[x, y] == 0, f

[x, y] == 0, ... при x ∈ [x

min

, x

max

то вводят команду

ImplicitPlot[{f

[x, y] == 0, f

[x, y] == 0, ...},

{x, x

min

, x

max

}, options−> value].

Значения опций такие же, как и у команды Plot.

Пример. Команду << Graphics`ImplicitP lot` выполняют один раз,

перед тем как выполнить команды вида

ImplicitP lot[{(x

+ y

)

== (x

− y

), (x

+ y

)

== 2x y}, {x, −2, 2},

P lotStyle−> {Hue[0.8], Dashing[{0.3}]}]

1.9 Построение кривых на плоскости и в пространстве 39

1.9.5 Графики в полярной системе координат

Перед построением кривой, заданной уравнением r = r(t) в поляр-

ной системе координат, необходимо загрузить пакет программ Graphics:

<< Graphics`Graphics`

и выполнить команду

PolarPlot[r[t], {t, a, b}].

Пример. Команда P olarP lot[Cos[20t] + Sin[20t], {t, 0, 2π},

P lotStyle−> {RGBColor[0, 0, 0.8]}, AxesStyle−> {Hue[0.7]}] рисует

такой график:

1.9.6 Наложение графиков

Для повторного вывода графика на экран, (возможно, с измененны-

ми опциями) или для объединения графиков различных видов приме-

няется команда Show. График для Математики есть выражение, по-

этому его можно обозначать как обычное математическое выражение.

Рассмотрим два графика p и q:

p = ListP lot[{2, 5, 3, 6}, P lotJoined−> T rue, P lotStyle−> Hue[0.7]]

q = ListP lot[{2, 5, 3, 6}, P lotStyle−> {Hue[0.7], P ointSize[0.03]}]

Для повторного вывода, например, графика p на экран надо ввести

команду

Show[p]

Команда

40 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

Show[p, option−> value] - построит снова график p с заданной оп-

цией.

Для одновременного (с наложением) вывода на экран графиков p и

q и, возможно, других графиков применяется команда

Show[p, q]:

Опции в данной команде относятся к окружению графиков.

Замечание. Если в командах построения графики на плоскости или

в пространстве (например, таких как P arametricP lot, P lot или в ко-

мандах следующих разделов P lot3D и подобных) указать опцию

DisplayF unction−> Identity,

то график кривой формируется, но не выводится на экран. Для вы-

вода графика на экран командой Show надо в Show указать опцию,

разрешающую вывод графики:

DisplayF unction−> $DisplayF unction.

Пример. Сравните действия команд:

p1 = P lot[x

, {x, −10, 10}];

p2 = P lot[x

, {x, −10, 10}];

Show[p1, p2];

p1 = P lot[x

, {x, −10, 10}, DisplayF unction−> Identity];

p2 = P lot[x

, {x, −10, 10}, DisplayF unction−> Identity];

Show[p1, p2, DisplayFunction -> $DisplayFunction];

1.9.7 Построение контурных графиков

Контурные графики, или графики линий равных высот, использу-

ются для изображения на плоскости трехмерных поверхностей. Они

удобны для выявления всех экстремумов функций 2-х переменных в

пределах области графика. Такие графики получаются при проектиро-

вании на координатную плоскость XOY линий пересечения поверхно-

сти с плоскостями, параллельными XOY. Такие графики применяются

в картографии.