Мостовской А.П. Информационные технологии в математике
Подождите немного. Документ загружается.
1.12 Решение уравнений и систем уравнений 51
означающем, что x = a1, x = a2, ... есть решения уравнения. Если функ-
ция f(x) содержит число с десятичной точкой или в конце команды сто-
ит //N, то численные решения будут числами с десятичной точкой.
Примеры. 1). Solve[3 x
2
− 5 x − 10 == 0, x] ⇒
{{x−>
5−Sqrt[145]
6
}, {x−>
5+Sqrt[145]
6
}}.
2. Solve[x
2
+ 2 == 0, x]//N ⇒
{{x−> −1.41421 I}, {x−> 1.41421 I}}.
Сравните с решениями уравнений
Solve[x
2
+ 2 == 0, x] и Solve[x
2
+ 2. == 0, x].
3. Solve[a x
2
+ b x + c == 0, x] ⇒
{{x−>
−b+Sqrt[b
2
−4ac]
2a
}, {x−>
−b−Sqrt[b
2
−4ac]
2a
}}.
Если теперь выполнить команду %/.{a−> 1, b−> 4, c−> 2}, то
получим решение данного уравнения при a=1, b=4, с=2:
{{x−>
−4−2Sqrt[2]
2
}, {x−>
−4+2Sqrt[2]
2
}}.
Команда N[%] предыдущий ответ приводит к следующему виду:
{{x−> −3.41421}, {x−> −0.585786}}.
Это решение можно получить и так:
N[Solve[a x
2
+ b x + c == 0, x]/.{a−> 1, b−> 4, c−> 2}]
Предыдущие действия - решение уравнения, подстановка коэффи-
циентов и нахождение численных значений корней - будут выполнены
одновременно.
1.12.2 Решение систем уравнений
Команда
Solve[{f
1
[x
1
, x
2
, ..., x
n
] == 0, f
2
[x
1
, x
2
, ..., x
n
] == 0, ...,
f
n
[x
1
, x
2
, ..., x
n
] == 0}, {x
1
, x
2
, ..., x
n
}]
решает систему уравнений
f
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = 0,
f
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = 0,
···
f
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = 0
(1)
относительно переменных x
1
, x
2
, ..., x
n
. Решение записывается в виде
{{x
1
−> a
1
}, {x
2
−> a
2
}, ..., {x
n
−> a
n
}}.
Команда
Solve[eqns, vars, elims]
52 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ
пытается решить уравнение или систему уравнений eqns относительно
переменным vars, исключая переменные elims.
О
Примеры.
3. Solve[{1 + x == y, y == x
2
}, {x, y}] ⇒
{{y−>
1
2
(3 − Sqrt[5]), x−>
1
2
(1 − Sqrt[5])},
{y−>
1
2
(3 + Sqrt[5]), x−>
1
2
(1 + Sqrt[5])}}.
4. Solve[{x
2
+ y == a, y
2
== a + b}, {x, y}].
1.12.3 Численное решение уравнений и систем уравнений
Для численного решения уравнений или систем уравнений применя-
ются следующие команды:
NSolve[f[x] == 0, x]
предпринимает попытку решить уравнение f(x)=0 относительно пе-
ременной x.
NSolve[f[x] == 0, x, n]
решает уравнение f(x)=0 относительно переменной x с заданной точ-
ностью n.
Команда
NSolve[{f
1
[x
1
, x
2
, ..., x
n
] == 0, f
2
[x
1
, x
2
, ..., x
n
] == 0, ...,
f
n
[x
1
, x
2
, ..., x
n
] == 0}, {x
1
, x
2
, ..., x
n
}]
численно решает систему уравнений (1).
Команда
NSolve[eqns, vars, elims]
находит численное решение уравнения или систем уравнений eqns от-
носительно переменным vars, исключая переменные elims.
1.12.4 Нахождение корней многочленов
Для вычисления корней полиномиальных уравнений применяется
команда Roots в следующем виде :
Roots[f[x] == 0, x, options−> value] (2),
где f[x] - многочлен от переменной x.
Для нахождения численного значения корней применяется команда
N[Roots[f[x] == 0, x, options−> value]]
или
1.12 Решение уравнений и систем уравнений 53
N[%m],
где %m - номер строки вывода результата команды (2).
Опции для команды Roots.
Modulus−> n - корни многочлена находятся по модулю n,
Cubics−> True - находятся точные значения корней кубического
многочлена,
Quartics−> True - находятся точные значения корней многочлена
четвертого порядка.
Значения двух последних опций принимаются по умолчанию.
Следующие примеры иллюстрируют применение функции Roots:
Roots[x
5
+ 8x
4
+ 31x
3
+ 80x
2
+ 94x + 20 == 0, x]. Ответ этой задачи
записывается в следующем виде:
x == −2||x == −1 − 3I||x == −1 + 3I||
x ==
−4−2Sqrt[3]
2
||x ==
−4+2Sqrt[3]
2
.
1.12.5 Метод Ньютона
Численное решение уравнений и систем уравнений методом Ньюто-
на реализован в команде FinedRoot. Так, команда
FindRoot[f[x] == 0, {x, a}]
ищет численное решение уравнения f(x) = 0, начиная с x = a.
Команда
FindRoot[{f
1
[x
1
, x
2
, ..., x
n
] == 0, ..., f
n
[x
1
, x
2
, ..., x
n
] == 0},
{x
1
, a
1
}, {x
2
, a
2
}, ..., {x
n
, a
n
}]
ищет численное решение системы уравнений, начиная с
x
1
= a
1
, x
2
= a
2
, ..., x
n
= a
n
.
Примеры.
1. F indRoot[Sin[x], {x, 4}] ⇒ {x−> 3.14159}.
2. F indRoot[Cos[x] == x, {x, 0.5}] ⇒ {x−> 0.739085}.
3. Команда F indRoot[Sin[x] == 2, {x, 1}] не приведет к решению.
Если рассмотреть комплексное начальное значение, то получим реше-
ние в поле комплексных чисел: F indRoot[Sin[x] == 2, {x, 1 + I}] ⇒
{x−> 1.5708 + 1.31696 I}.
4. Пусть eq = {Sin[x] + y
2
+ Log[z] == 7, 3x + 2
y
−z
3
== −1, x + y +
z == 5}- система уравнений. Команды Solve[eq,{x,y,z}] и NSolve[eq,{x,y,z}]
не могут решить данную систему. Но,
F indRoot[eq, {x, 1}, {y, 1}, {z, 1}] ⇒
{x−> 0.599054, y−> 2.39593, z−> 2.00501}.
54 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ
Здесь, для каждой переменной задано начальное значение. Можно из-
менить начальные значения и получить другое решение системы. Сде-
лаем проверку - подставим найденные значения в систему: eq/.% ⇒
{T rue, T rue, T rue}.
1.12.6 Матричные уравнения
Систему n линейных уравнений с n неизвестными можно записать
в матричном виде A.X = B, где A - квадратная матрица, X - матрица
столбец из неизвестных, B - матрица-столбец свободных членов систе-
мы.
Команда
LinearSolve[A, B]
возвращает вектор X - решение матричного уравнения A.X==B.
Команда
Solve[A.X == B, X],
решает матричное уравнение, то есть находит вектор-решение X си-
стемы уравнений.
Пример. Пусть A={{3,1},{2,-5}}, X={x,y} и B={7,8}.
Solve[A.X == B, X] ⇒ {{x−>
43
17
, y−> −
10
17
}}.
LinearSolve[A, B] ⇒ {{x−>
43
17
, y−> −
10
17
}}.
1.13 Решение неравенств
Решением неравенств в Математике занимается команда
InequalitySolve[expr, per]
пакета
<< Algebra`InequalitySolve`
Здесь expr состоит из уравнений или неравенств, связанных логически-
ми командами, per - переменная или список переменных относительно
которых решаются неравенства.
Примеры.
InequalitySolve[x(x
2
− 2)(x
2
− 3) > 0, x] ⇒
−
√
3 < x < −
√
2 || 0 < x <
√
2 || x >
√
3
InequalitySolve[x/Abs[x − 1] ≥ 0&&1/x < x + 1, x] ⇒
1
2
(−1 +
√
5) < x < 1 || x > 1
InequalitySolve[x
2
+ y
2
< 1&&x < y, {x, y}] ⇒
1.14 Суммы и произведения 55
−1 < x ≤ −
1
√
2
&& −
√
1 − x
2
< y <
√
1 − x
2
||
−
1
√
2
< x <
1
√
2
&& x < y <
√
1 − x
2
1.14 Суммы и произведения
Суммы.
Следующие команды позволяют найти суммы и произведения ряда
данных.
Sum[f[i], {i, imax}] вычисляет сумму f[i] при i, изменяющемся от
1 до imax.
(Sum[i
2
, {i, 10}] ⇒ 385,
Sum[Sin[i], {i, 4}] ⇒ Sin[1] + Sin[2] + Sin[3] + Sin[4],
Sum[f[i]
2
, {i, 3}] ⇒ f[1]
2
+ f[2]
2
+ f[3]
2
).
Sum[f[i], {i, imin, imax}] начинает суммирование при значении
i=imin.
Sum[f[i], {i, imin, imax, di}] - индекс суммирования i изменяется
от i=imin до i=imax с шагом di.
(Sum[i
2
, {i, 0, 1, 0.25}] ⇒ 1.875)
Sum[f[i,j], {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}] проводит суммиро-
вание f[i,j] по двум индексам.
Sum[i ∗ j, {i, 1, 10}, {j, 2, 5}] ⇒ 770
NSum[f[i], {i, imin, imax}] возвращает численное значение суммы
f[i] при i, изменяющемся от imin до imax с шагом +1.
(NSum[Sin[i], {i, 4}] ⇒ 1.13509.)
NSum[f[i], {i, imin, imax, di}] возвращает сумму численных зна-
чений функции f[i] при i, изменяющемся от imin до imax с шагом
di.
(NSum[Sin[i], {i, 1, 5, 2}] ⇒ 0.02366.)
NSum[f[i,j,...], {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}, ...] возвращает
численную сумму, выполненную по двум или более индексам.
NSum[i j, {i, 1, 10}, {j, 2, 5}] ⇒ 770
Произведения. Команды вычисления произведения аналогичны ко-
мандам вычисления сумм.
Product[f[i], {i, imax}] вычисляет произведение значений f[i] при
i, изменяющемся от 1 до imax.
P roduct[Sin[i], {i, 4}] ⇒ Sin[1]Sin[2]Sin[3]Sin[4],
NProduct[f[i], {i, imax}] возвращает численное значение произве-
56 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ
дения значений f[i] при i, изменяющемся от 1 до imax.
(NP roduct[Sin[i], {i, 4}] ⇒ −0.0817177).
Product[f[i], {i, imin, imax}] вычисляет произведение значений
f[i] при изменении i от imin до imax с шагом +1.
NProduct[f[i], {i, imin, imax}] возвращает число, равное произ-
ведению значений f[i] при изменении i от imin до imax с шагом =
+1.
Product[f[i], {i, imin, imax, di}] возвращает произведение значе-
ний f[i] при i, меняющемся от значения imin до значения imax с шагом
di.
NProduct[f[i], {i, imin, imax, di}] возвращает численное значение
произведения значений f[i] при i, меняющемся от значения imin до
значения imax с шагом di.
Product[f[i,j,...], {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}, ...] возвращает
многократное произведение.
(P roduct[Sin[i j], {i, 1, 2}, {j, 1, 2}] ⇒ Sin[1] Sin[2]
2
Sin[4]).
NProduct[f[i,j,...], {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}, ...] возвра-
щает численное значение многократного произведение.
(NP roduct[Sin[i j], {i, 1, 2}, {j, 1, 2}] ⇒ −0.526543).
1.15 Вычисление пределов функций
Следующая команда позволяет найти предел функции f[x] при x,
стремящимся к x
0
:
Limit[f[x], x−> x
0
].
В этой команде применяются следующие опции.
Опция Direction−> ±1 указывает справа или слева стремится пе-
ременная x к x
0
: x−> x
0
± 0. По умолчанию предполагается, что
принята опция Direction−> Automatic. (Automatic - значение опции,
указывающее Математике самой выбрать +1 или -1, в зависимости от
задачи).
Опция Analytic−> False (или True) - опция для Limit и Series,
указывающая, следует ли функцию f[x] интерпретировать как анали-
тическую.
Примеры.
1). Limit[1/Log[x] − 1/(x − 1), x−> 1] ⇒
1
2
,
2). Пусть f[x, y] := (a x
2
+ b x y + c y
2
)/(d x
2
+ e x y + f y
2
).
1.16 Производные и дифференциалы функций 57
Limit[Limit[f[x, y], y−> 0], x−> 0] ⇒
a
b
.
3). Limit[(x
x
− a
a
)/(a
x
− x
a
), x−> a] ⇒
1+Log[a]
−1+Log[a]
.
4). Limit[Sin[n x]/x, x−> 0] ⇒ n.
5). Limit[(
tgx
x
)
1
x
2
, x−> 0] ⇒
3
√
e.
6). Limit[
e
x
−e
−x
−2x
x−sin x
, x−> 0] ⇒ 2.
7). Limit[(x
2
+ x + 2)/(x
2
− 2 x − 3), x−> 3, Direction−> −1] ⇒
Infinity.
Limit[(x
2
+x+2)/(x
2
−2 x−3), x−> 3, Direction−> +1] ⇒ −Infinity.
Limit[(x
2
+ x + 2)/(x
2
− 2 x − 3), x−> 3] ⇒ Infinity.
8). Limit[(x
2
+ 1)/(2 x
2
+ 3), x−> Infinity] ⇒
1
2
.
9). Limit[Sin[x], x−> Infinity] ⇒ Interval[{−1, 1}].
В последнем примере пределом является интервал −1 ≤ x ≤ 1. В
этом примере предел понимается обобщенно - в ответ вошли преде-
лы всевозможных сходящихся последовательностей {Sin[x
n
]} при x
n
→
Infinity.
1.16 Производные и дифференциалы функций
Следующие команды позволяют вычислять всевозможные производ-
ные функций одной и более переменных.
D[f[x], x] или f’[x] вычисляет производную функции f[x] по x.
Пусть f[x ] := x
3
. Тогда D[f[x], x] ⇒ 3x
2
или f
0
[x] ⇒ 3x
2
.
D[f[x], {x,n}] вычисляет n-ую производную функции f[x] по x. Пер-
вые производные можно обозначать штрихами: f’[x], f”[x],...
D[x
3
, {x, 3}] ⇒ 6 или f
000
[x] ⇒ 6.
D[f[x
1
, x
2
, ..., x
n
], {x
i
, n}] вычисляет частную производную n-го по-
рядка функции f[x
1
, x
2
, ..., x
n
] по переменной x
i
, i = 1, 2, ..., n.
Пусть f[x , y ] := Sin[x y]. Тогда D[f[x, y], {x, 3}] ⇒ −y
3
Cos[xy].
D[f[x
1
, x
2
, ..., x
n
], x1, x2, ...] вычисляет смешанную производную функ-
ции f[x
1
, x
2
, ..., x
n
] по переменным x
1
, x
2
, ...,. Переменные могут повто -
ряться и располагаться в любом порядке.
D[Sin[x y], x, y, x, x] ⇒ −3y
2
Cos[xy] + xy
3
Sin[xy].
Dt[f[х]] вычисляет полный дифференциал функции f[x]. Дифферен-
циал независимой переменной x обозначается Dt[x].
Dt[x
3
] ⇒ 3x
2
Dt[x].
Dt[f[х
1
, x
2
, ..., x
n
]] вычисляет полный дифференциал функции
f[х
1
, x
2
, ..., x
n
].
58 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ
Dt[Sin[xy]] ⇒ Cos[xy](ydt[x] + xDt[y]).
Dt[f[x,y,... ], x] вычисляет обобщенную производную функции f по
переменной x. При этом считается, что остальные переменные явля-
ются функциями от x.
Dt[Sin[xy], x] ⇒ Cos[xy](y + xDt[y, x].
Dt[f, {x, n}] вычисляет n-ную обобщенную производную по пере-
менной x.
Dt[f, x1, x2, ...] вычисляет смешанную обобщенную производную.
NonConstants−> list опция для команды D, которая указывает
команде зависимые переменные. Такие переменные перечисляются в
списке list, и считается, что они функционально зависят от перемен-
ных, по которым берутся производные.
D[Sin[x y z], x, NonConstants−> {y}] ⇒
Cos[x y z](yz + xD[y, x, NonConstants−> {y}]z).
1.17 Ряды
Команда
Series[f[x], {x, x
0
, n}]
дает разложение функции f[x] в степенной ряд в окрестности точки x
0
до членов порядка (x − x
0
)
n
. При x
0
= 0 получается ряд Маклорена
функции f[x].
Команда
Normal[%],
выполненная сразу же за разложением функции в ряд, отбрасывает
бесконечно малые порядка выше, чем n.
Например, Series[Sin[x], {x, 0, 5}] ⇒ x −
x
3
6
+
x
5
120
+ o(x
6
).
Далее, Normal[%] ⇒ x −
x
3
6
+
x
5
120
. Теперь можно ввести функцию,
например, f[x ]=% и построить ее график.
Команда
Series[f[x, y], {x, x
0
, xn}, {y, y
0
, yn}]
разлагает функцию двух переменных f[x,y] в степенной ряд в окрестно-
сти точки (x
0
, y
0
) сначала по переменной x до членов порядка (x − x
0
)
xn
,
а затем по y до членов порядка (y − y
0
)
yn
. При x
0
= y
0
= 0 получается
ряд Маклорена.
Команда
SeriesCoefficient[s,n]
вычисляет коэффициент при переменной n-ной степени ряда s.
1.18 Первообразная и определенный интеграл 59
SeriesData[x, x
0
, {a
0
, a
1
, ...}, n, m, d]
представляет степенной ряд от переменной x в окрестности точки x
0
.
Величины a
i
являются коэффициентами степенного ряда. Показатели
степеней (x − x
0
) представлены величинами
n
d
,
(n+1)
d
, ...,
m
d
.
Задача. Сравнить графики функции Sin[x] и функции, равной n чле-
нам ряда Маклорена функции Sin[x], при n=1,2,3.
1.18 Первообразная и определенный интеграл
1.18.1 Первообразная
Команда
Integrate[f[x],x] находит первообразную функции f[x] переменной x.
Integrate[a x
b
, x] ⇒
ax
1+b
1+b
.
Следующий пример показывает вычисление двойного неопределен-
ного интеграла двойным применением команды Integrate:
Integrate[Integrate[x
3
+ y
3
, x], y] ⇒
x
4
y
4
+
xy
4
4
.
1.18.2 Определенный интеграл
Для вычисления определенного интеграла в Математике применя-
ются следующие команды:
Integrate[f[x], {x, x
min
, x
max
}] находит значение определенного ин -
теграла функции f[x] при x, изменяющемся от x
min
до x
max
.
N[Integrate[f[x], {x, x
min
, x
max
}], n] находит численное значение оп-
ределенного интеграла функции f[x] при x, изменяющемся от x
min
до
x
max
с точностью n десятичных знаков после запятой.
Integrate[f[x, y, ...], {x, x
min
, x
max
}, {y, y
min
, y
max
}, ...] пытается вы-
числить кратный интеграл данной функции.
Данные интегралы могут быть и несобственными. Расходимость не-
собственного интеграла обозначается термином ”Indeterminate”.
Примеры.
1). Если f[x ] := x Sqrt[1 + x], то Integrate[f[x], {x, 0, 3}] ⇒
116
15
.
2). Integrate[1/Sqrt[1 − x
2
], {x, 0, π}] ⇒ ArcSin[π].
3). Integrate[x
2
, {x, a, b}] ⇒ −
a
3
3
+
b
3
3
.
4). Integrate[1/(x Sqrt[x
2
− 1]), {x, 1, Infinity}] ⇒
π
2
.
5). N[Integrate[1/(x Sqrt[x
2
− 1]), {x, 1, Infinity}], 6] ⇒ 1.570796.
6). Integrate[1/(x
2
+ 6x + 12), {x, −Infinity, Infinity}] ⇒
π
Sqrt[3]
.
60 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ
7). Integrate[x y z, {x, a, b}, {y, c, d}, {z, p, q}] ⇒
1
8
a
2
(c
2
−d
2
)(p
2
−q
2
)+
1
8
b
2
(c
2
− d
2
)(p
2
− q
2
)
8). Integrate[x
−2
, {x, −1, 1}] ⇒ Indeterminate.
Следующие примеры показывает, как вычисляются двойные и трой-
ные интегралы, пределы которых сами являются функциями:
Integrate[Integrate[2 − x − y, {x, y
2
, Sqrt[y]}], {y, 0, 1}] ⇒
11
30
.
Integrate[Integrate[Integrate[x y, {z, x y, x
2
y
3
}], {y, x, x
2
}],
{x, 0, 1}] ⇒
2
189
.
При вычислении нестандартных интегралов, например, не имеющих
представления через элементарные функции, Математика обращается
к своим пакетам расширений в попытке найти решение. Решение мо-
жет быть представлено через специальные математические функции.
Например, при выполнении коман ды Integrate[1/Sqrt[1 −x
n
], {x, 0, 1}]
появится сообщение о том , что для вычисления данного интеграла не-
обходимо загрузить соответствующий пакет расширения. Пакет явля-
ется дополнительной программой для вычисления интегралов данного
типа. В ответе присутствует гамма-функция:
Sqrt[π]Gamma[1/n]/nGamma[1/2 + 1/n].
1.18.3 Численное интегрирование
Для вычисления численных значений определенных интегралов со -
здан ряд приближенных методов - от простых (прямоугольников и тра-
пеций) до сложных, автоматически адаптирующихся к подынтеграль-
ной функции f[x]. В Математике эти методы реализованы в следующих
командах:
NIntegrate[f[х], {x, x
min
, x
max
}] находит численное значение инте-
грала от функции f[x] по переменной x на интервале от x
min
до x
max
,
NIntegrate[f[x, y, ...], {x, x
min
, x
max
}, {y, y
min
, y
max
}, ...] находит чис-
ленное значение кратного интеграла,
NIntegrate[f[x], {x, x
min
, x
1
, x
2
, ...x
max
}] - интервал {x
min
, x
max
} раз-
бивается точками x
1
, x
2
, ... на части, интегрирование на которых дает
более точное значение.
Данные команды имеют ряд опций.
Method−> value, где вместо value может стоять
DoubleExponential - назначает для исполнения алгоритм двойной
экспоненциальной сходимости. По умолчанию значением этой опции
является Automatic.