Мостовской А.П. Информационные технологии в математике
Подождите немного. Документ загружается.
2.2 Структура пакетов расширений 91
2.2 Структура пакетов расширений
Пакет стандартных программ Математики содержится по умолча-
нию в директории
C : \P rogramF iles\W olframResearch\Mathematica
\5.0\AddOns\StandardP ackages
и разбит на части, что отражено в названиях пакетов-директорий:
geometry, algebra и другие. Содержанием этих директорий являются
программы, составляющие данный пакет. Файлы в директории можно
просмотреть в любом редакторе DOS-файлов. Пакеты программ Ма -
тематики допускают расширение - их можно дополнить новым паке-
том (достаточно создать новую директорию - пустой пакет) программ
или добавить программу в уже существующий пакет. Расширим, для
примера, пакет программ algebpa программой решения системы урав-
нений методом Гаусса, приведенной выше. Файл-расширение назовем
Ggauss.m. Он содержит программу решения системы и некоторые до-
полнительные строки в начале и конце программы.
Структура любого файла пакета в минимальном виде выглядит сле-
дующим образом:
(*Вводный комментарий, ограниченный скобками и звез-
дочкой*)
BeginPackage[”Имя пакета ` ”]
Mean::usage = ”Имя функции[Параметры] Текстовый ком-
ментарий”
Begin[ ” `private` ”]
Программа
End[ ]
EndPackage[ ]
(* Завершающий комментарий *)
Поясним эти строки на примере файла Ggauss.m Пакет открывается
текстом, который ограничен скобками и звездочками (* ... *), и содер-
жит наименование фирмы, автора, историю развития, дату создания и
т.д.
Следующая строка начинается коман дой
BeginPackage[”Algebra`”]
где указывается имя пакета, в который будет помещена новая про-
грамма, в данном случае - algebra. Обратите внимание на апостроф
(клавиша с тильдой ˜ ) после названия пакета.
92 ГЛАВА 2. ПРОГРАММИРОВАНИЕ В МАТЕМАТИКЕ
Следующая строка программы сообщает о назначении и формате
основной команды, определенной в программе, в таком же формате ко-
манда будет вызываться из Математики:
common::usage = ”common[w] - команда, позволяющая най-
ти решение системы линейных уравнений с выводом проме-
жуточных результатов, w - матрица коэффициентов и свобод-
ных членов.”
Эти сообщения выводятся, если после загрузки пакета ввести ко-
манду ??common. Эти сообщения не обязательны, но они обеспечива-
ют единство диалога с системой и необходимы при профессиональной
подготовке пакета. Обычно в этих сообщениях кратко указываются
правила применения команд.
Со следующей строки начинается главная часть файла - определения
новых коман д. Она открывается определением
Begin[” `Ggauss` ”]
Ggauss.m - название файла с программой, заключенное в апострофы
и кавычки. Под таким именем надо поместить файл с программой в
директорию algebra.
Далее следует текст программы . В некоторых случаях имена команд
в программе могут повторять ранее определенные в ядре системы. В
таких случаях надо позаботиться о снятии с них защиты перед новым
применением с помощью функции Unprotected (подробности - в любом
фирменном файле расширения).
Завершается эта часть файла командами
End[ ]
EndPackage[ ].
Выводимый на экран текстовый комментарий можно писать латин-
скими буквами. В файле Ggauss.m он написан по-русски и не будет чи-
таться. Для чтения комментария по-русски надо написать программу
пакета в Математике, что обычно и делается, и сохранить ее в режи-
ме PackageFormat, включение которого находится в окошке file/save as
special панели Математика 4.0
Приведем полный текст файла Ggauss.m:
BeginPackage[”Algebra`”]
common::usage = ”common[w] - команда, позволяющая най-
ти решение системы линейных уравнений с выводом проме-
жуточных результатов, w - матрица коэффициентов и свобод-
ных членов.”
2.2 Структура пакетов расширений 93
Begin[” `Ggauss` ”]
r[m , i , j ] := {p = m; p[[i]] = m[[j]]; p[[j]] = m[[i]]; p}[[1]]
c[m , i , j ] := Transpose[r[Transpose[m], i, j]]
common[w ] := {Clear[a1]; w1 = w;
ngw = Last[Dimensions[w]] − Length[NullSpace[w]];
b = Last[Transpose[w]];
m = Transpose[Drop[Transpose[w], −1]];
ld = Length[w1];
ngmo = Last[Dimensions[m]] − Length[NullSpace[m]];
If[ngw == ngmo == ld, Print[””],
If[ngw == ngmo < ld,
Print[”Many solutions.”]; Abort[],
Print[”No solutions”]];
Abort[]];
a1 = Array[a, {ld}];
Do[l = ld − d + 1;
q = [Abs[w1[[i + d − 1, j + d − 1]]], {i, 1, l}, {j, 1, l}];
s = Max[q];
i5 = Position[Abs[Transpose[Drop[
Transpose[w1], ld + 1]]], s][[1, 2]];
j5 = Position[Abs[Transpose[Drop[
Transpose[w1], ld + 1]]], s][[1, 1]];
w1 = r[w1, d, j5];
w1 = c[w1, d, i5];
a1 = r[a1, d, i5];
w1 = w1/.w1[[d]]−> w1[[d]]/w1[[d, d]];
Do[w1 = w1/.w1[[kk]]−> (w1[[kk]] − w1[[d]]w1[[kk, d]]),
{kk, d + 1, ld}];
Print[d, ” Step : ”, w1//TraditionalForm],
{d, 1, ld − 1}];
w1 = w1/.w1[[ld]]−> w1[[ld]]/w1[[ld, ld]];
Print[”Resultat : ”, w1//TraditionalForm];
y[ld] = w1[[ld, ld + 1]]/w1[[ld, ld]];
Do[y[i] = w1[[i, ld + 1]]−
Sum[w1[[i, j]]y[j], {j, ld, i + 1, −1}], {i, ld − 1, 1, −1}];
xo = Array[x, ld];
Do[x[a1[[i]][[1]]] = y[i], {i, 1, ld, 1}];
Do[Print[”x[”, i, ”] = ”, x[i]], {i, 1, ld, 1}};
94 ГЛАВА 2. ПРОГРАММИРОВАНИЕ В МАТЕМАТИКЕ
End[]
EndPackage[ ]
Для работы с программой из Математики достаточно в рабочем
поле Математики ввести команду
<< Algebra`Ggauss`
ввести матрицу w и выполнить командой common[w].
2.3 Задачи
2.3.1 Геометрия
1. Показать графически, что точки с координатами, полученными в
результате перестановок чисел a, b, c равномерно расположены на не-
которой окружности.
2. Построить поверхность (эллиптический параболоид, гиперболи-
ческий параболоид, эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполост-
ный гиперболоид), некоторую точку M на этой поверхности и
а) вычислить полную и среднюю кривизну поверхности в точке M.
б) построить главные направления поверхности в точке M.
в) построить поле единичных нормальных векторов к поверхности
в окрестности точки M.
3. Построить линии кривизны поверхности.
4. Построить асимптотические линии на двуполостном гиперболои-
де.
5. Построить поверхность вращения плоской кривой.
6. Нарисовать кривую , построить на ней точку и вычислить кривиз-
ну и кручение кривой в этой точку.
7. Построить локсодромии на сфере.
8. Решить натуральные уравнения плоской кривой.
9. Решить натуральные уравнения пространственной кривой.
10. Исследовать поверхность методом сечений.
11. Построить плоскую (пространственную) кривую заданную неяв-
но.
12. Построить плоскую (пространственную) кривую заданную неяв-
но.
13. Построить геодезические на поверхности.
2.3 Задачи 95
14. Привести кривую второго порядка к каноническому виду.
15. Найти кривизну и кручение кривой, заданной неявно.
16. Построить эволюту и эвольвенту плоской кривой.
17. Построить стрелку в пространстве. Построить школьную систе-
му координат.
18. Построить новую систему координат в пространстве по матрице
преобразования координат.
19. Построить лист Мебиуса, тор, круг.
20. Построить систему координат Френе кривой.
21. Построить индикатрису Дюпена в данной точке поверхности.
22. Построить анимацию планетарной системы солнце-земля-луна.
23. Построить анимацию, иллюстрирующую касательную как пре-
дельное положение секущих.
24. Найти решение задачи о четырех кругах на плоскости: даны ра-
диусы четырех кругов, попарно касающихся друг друга. Найти ра диус
окружности, касающейся каждого круга.
25. Построить поверхность и соприкасающийся параболоид к по-
верхности в данной точке.
26. Дан список вершин пространственного многоугольника. Упоря-
дочить список так, чтобы многоугольник можно было построить ко-
мандой Polygon.
2.3.2 Алгебра
1. Составить программу вычисления ранга произвольной матрицы.
2. Составить программу ортогонализации Грамма-Шмидта системы
векторов.
3. Перевести число из десятичной системы счисления в любую дру-
гую, например, в 345-ричную.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
6. Построить график, показывающий количества цифр в числе π,
взятом с 10 000 знаками после запятой.
7. Решить диафантовое уравнение.
8. Построить все латинские квадраты по данной перестановке.
9. Найти определитель, приведением его к диагональному (треуголь-
ному) виду.
10. Составить программу доказывающую, что существует натураль-
96 ГЛАВА 2. ПРОГРАММИРОВАНИЕ В МАТЕМАТИКЕ
ное число, состоящее из одних единиц, кратное 196 673.
11. Составить программу перевода арабских цифр в римские.
2.3.3 Математический анализ
1. Построить функцию, аргументом которой является общий член
ряда, а значением - решение, сходится ряд или нет.
2. Составить функцию, показывающую последовательность действий
при интегрировании по частям.
3. Составить программу построения асимптот и графика данной функ-
ции.
Глава 3
Система L
A
T
E
X
В этой главе рассматривается программа BaKoMa, предназначен-
ная для набора математических текстов с помощью технологии T
E
X.
Приводится минимальное количество команд, служащих основой про-
цесса набора текста в T
E
X’е. При этом не проводится четкой границы
между L
A
T
E
X-ом и A
M
S-L
A
T
E
X-ом и оба расширения T
E
X’а обознача-
ются как T
E
X или L
A
T
E
X. Достаточно полное описание команд T
E
X’а
можно найти в книге [7].
3.1 Введение. Установка программы.
Издательская система T
E
X была разработана в конце 70-х гг. аме-
риканским математиком и программистом Дональдом Кнутом.
Дональд Кнут разрешил пользователям усовершенствование систе-
мы при условии, что ядро системы должно оставаться в неизменном
виде и называться T
E
X. Первое расширение T
E
X’а - Plain T
E
X, напи-
санное самим Д. Кнутом, является достаточно сложным в применении.
Так как большинство пользователей T
E
X’а не ставят своей целью дос-
конально изучить T
E
X, они просто хотят иметь средство для грамотно-
го оформления своих научных работ, то появились достаточно простые
разновидности T
E
X’а.
Л.Лампорт создал L
A
T
E
X (версии 2.09 и 2е), который предназначал-
ся в основном для оформления работ с математическими формула-
ми, таблицами, графиками и сложной версткой. М. Спивак написал
макрорасширение A
M
S-T
E
X по заказу Американского математическо-
го общества. К категории расширений T
E
X’а относятся такие паке-
ты как A
M
S-L
A
T
E
X (объединение возможностей L
A
T
E
X’а и A
M
S-T
E
X’а),
ChemTeX для оформления химических текстов и т.д. Широко извест-
98 ГЛАВА 3. СИСТЕМА L
A
T
E
X
ны такие коммерческие версии как VTeX, TurboTeX, Y &Y T eX, а среди
кириллических - ViTeX и ProTeX.
В настоящее время наибольшую популярность завоевали два ма -
крорасширения T
E
X’а: макропакеты A
M
S-L
A
T
E
X Американского мате-
матического общества и L
A
T
E
X Лесли Лэмпорта.
Полиграфическое качество работ по математике, физике, химии и
другим естественным и гуманитарным наукам, созданных в T
E
X’е,
столь высоко, что T
E
X принят в качестве стандарта во многих научно-
технических издательств мира (Addison Wesley Longman, Kluwer, AMS,
Springer-Verlag, SIAM, Мир, ТВП, Факториал и др.). Несмотря на до-
статочно солидный возраст и на появление новых, чрезвычайно мощ-
ных издательских систем, популярность T
E
X’а в научной среде во всем
мире продолжает расти.
Русификация T
E
X’а привела к созданию ряда вариантов програм-
мы T
E
X. При этом было утрачено основное достоинство системы T
E
X -
совместимость различных ее реализаций. При работе с англоязычны-
ми текстами наблюдается совпадение результатов работы различных
версий системы - как начальных файлов - tex, так и конечных файлов
- dvi, их можно переносить с одной версии системы на другую не толь-
ко внутри одной платформы, но и между разными платформами, что
нельзя сказать о российских разработках вариантов T
E
X’а.
К 1995 году сложилась ситуация, когда достаточно распространен-
ными оказалось несколько версий русифицированного T
E
X’а, несовме-
стимые между собой не только на уровне dvi-файлов, но и на уровне
входного языка.
Большинство вариантов программ T
E
X’а, в силу своей модульно-
сти, требую некоторых усилий при работе с ними. Неоднократно со-
вершались попытки объединить все возможности T
E
X’а в одну про-
грамму. Одна из таких программ, названная BаKоMа
1
, была созда-
на В.К.Малышевым. Базовый набор этой программы состоит из сле-
дующих трех файлов: bkmtex.exe, latex2e.bkz, cyrfonts.bkz. Для
расширенного применения графики потребуется файл graphics.bkz.
Эти файлы можно найти в Интернете на любом CTAN’е (сеть архивов
T
E
X’а), например, на ftp сервере
ftp : //ftp.dante.de/tex −archive/systems /win32/bakoma/index.html.
Для установки программы надо запустить первым файл bkmtex.exe
1
http://www.bakoma-tex.com/ Программа распространяется как shareware, то есть, после инстал-
ляции, можно бесплатно ознакомится с работой программы некоторое время (28 дней).
3.2 CENTAUR Text Editor 99
и следовать инструкциям программы установки. Программа инстал-
ляции покажет директорию, в которой будет размещена программа
(С:\BaKoMa.TeX) и предложит установить в нужных окошках галоч-
ки для подтверждения загрузки модулей или шрифтов. Рекомендуется
установить все галочки. По окончанию установки , дважды щелкните
на файл latex2e.bkz и проделайте аналогичные действия, затем дважды
щелкните на файл cyrfonts.bkz.
Программа инсталляции создаст в меню программ строчку BaKoMa
TeX, содержащую помимо названий информационных файлов, в част-
ности, название программы редактора CENTAUR Text Editor и на-
звание программы просмотра окончательного документа DVIEW DVI
wiewer. Щелкните мышкой по названию редактора и на экране появит-
ся основной рабочий теховский редактор. В этом редакторе и будем
писать начальный файл-заготовку документа. Транслирование и про-
смотр сверстанного документа запускается нажатием двух кнопок на
панели редактора. Но, прежде чем что-то начать делать, надо разо-
браться с возможностями редактора и произвести его настройку на
нужный рабочий режим.
3.2 CENTAUR Text Editor
Интерфейс программы редактора напоминает интерфейс Worda’а.
В первой строчке панели редактора расположены почти традицион-
ные пункты меню File, Edit, Seach, Project, TeX, Utilites, Spell, Insert,
Macro, Options, Windows и Help. Эти раскрывающиеся меню содер-
жат все команды редактора. Кнопки на панели редактора дублируют
некоторые команды меню. Количество кнопок панели редактора регу-
лируется в пункте меню Options->Toolbar Customization. Рассмотрим
каждый пункт меню первой строки.
100 ГЛАВА 3. СИСТЕМА L
A
T
E
X
В меню File основными командами являются Open/New - открыть
старый файл с расширением tex или создать новый. Команда открыва-
ет проводник по файлам. Здесь возможны два варианта. Вы находите
существующий файл с расширением tex, щелкаете по нему мышкой
и нажимаете на клавишу ”Открыть”. Если открывается файл, с кото-
рым недавно работали, то его имя можно найти на форме, вызывае-
мой командой меню File->Recent Files List, выделить его имя щелчком
мышки и нажать значок для открытия. Заметим, что в поле редак-
тора загружаются в виде кулис все файлы с ко-
торыми вы работали в последнюю сессию и не
закрыли их перед закрытием программы ре-
дактора. Названия всех загруженных файлов
присутствует на закладках в верхней части ра-
бочего поля редактора . Воз-
можно, что требуется создать новый файл. Для
этого вводите название нового файла латин-
скими буквами в окне ”Имя файла” и нажима-
ете кнопку ”Открыть.” Далее нужно подтвердить создание на диске
нового файла с вашим именем, нажать кнопку OK на форме подтвер-
ждения. В результате, в рабочем окне редактора на переднем пла-
не появится новое окно, а в его верхней части будет написано имя
файла. Команда Context Sensitive Open открывает файл, под име-
нем которого в тексте стоит курсор. Так можно посмотреть содер-
жание графического файл, вставленного в текст командой, например,
\includegraphics[height=0.2in]{image003.jpg} (см. вставка графи-
ки в текст).
Save, Save As, Save All - сохранить текущий (current) файл под ста-
рым именем, сохранить файл под новым именем или под старым, но в
другой папке, сохранить все открытые к данному моменту файлы.
List of Available TeX Fonts - интересная функция редактора, позво-
ляющая просмотреть каждый из существующих T
E
X’овских шрифтов.
Close - закрыть текущий файл.
Exit - завершение работы редактора.
Об этих и остальных второстепенных пунктах меню можно посмо-
треть в Help->Editor User’s Guide.
В меню Edit основными командами являются Undo, Redo - вернуть-
ся на одно действие назад, вперед. Cut, Copy, Paste, Clear - команды
для работы с выделенной частью текст: вырезать и копировать в бу-