Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, на первый взгляд может показаться, что познание

может вполне заменить способности или же, что последние, поскольку они

касаются математики, сводятся только к большему или меньшему интере-

су к науке, соединенному с трудолюбием. К такому мнению приходит Шо-

пенгауэр

Доказывая рядом фактов и подтверждая своими метафизичес-

кими соображениями наследование от матери интеллектуальных свойств,

а от отца характера, он отмечает поразительный факт, [который], по его

мнению, лишь видимо противоречит его теории.

Оказывается, что в то время, как биографии поэтов и философов

на стороне Шопенгауэра, математики и представители ближайших к ней

наук дают факты другого рода, якобы говорящие [в пользу] наследования

ума от отца. Существуют целые семьи Бернулли, Кассини, Гершелей, Струве,

в которых математические способности идут по мужской, а не по женской

линии.

Шопенгауэр объясняет это тем, что "математика требует прежде

всего прилежания и настойчивости". Это-то и наследуется вместе с харак-

тером от отца, а что сверх этого, это столь ничтожно, что для этого особого

наследования не требуется.

Против такого взгляда говорят те факты, что существуют лица, об-

ладающие достаточным прилежанием и, тем не менее, с трудом усваиваю-

щие математические истины. Если объяснять это недостатком памяти и

сводить способность к тому или другому роду мышления к памяти, то сле-

дует признать, как мы будем еще ниже иметь случай говорить, [существо-

вание] особой специфической памяти математика, так как лица, неспособ-

ные к математике могут обладать прекрасной памятью на события своей

жизни или на музыкальные мотивы. Откладывая пока анализ математи-

ческой памяти, мы постараемся теперь указать другие характерные черты

математического мышления.

Большая быстрота одного ума в сравнении с другими в разыска-

нии решений, при одинаковой эрудиции и опытности в математических

изысканиях, указывает на то, что не одна только память является необхо-

димым условием математической способности, что необходимо присутствие

еще других специфических психологических элементов. В то время, как

сильный математический ум мало отклоняется от прямого пути, ведущего

к цели, делает мало неудачных попыток и в ложности каждой из них быс-

тро и легко убеждается, ум более слабый долго блуждает среди тщетных

попыток и детальных проверок, сделанных предположений.

§4. Необходимость для объяснения математического

мышления введения в рассмотрение бессознательного

мыслительного процесса.

Отчего в то время, как одному уму почти сразу является прямое решение,

другой должен долго блуждать, прежде, чем придет к желанной цели? В

чем состоит волшебное свойство тех людей, которые, как говорит Кант

"как бы с волшебным жезлом в руках умеют отыскивать сокровища позна-

ния,

хотя бы они никогда этому не учились. И этому они не могут научить и

других, но только могут идти впереди них: это уже дар природы".

Мы думаем, что на этот вопрос рефлексия нам вполне не может

ответить. Поскольку мы анализируем сознательную мысль, мы в ней нахо-

дим только большее или меньшее число гипотез и их вполне сознательных

проверок. В сильном и быстром уме эти гипотезы создаются и гибнут с

большой быстротой. Едва успевает такая гипотеза родиться, как ум нано-

сит ей смертельный удар. Откуда появляются эти враги, борьба которых

проектируется на экране сознания? Если мы вспомним, что многие психи-

ческие явления находят свою разгадку в бессознательной психической де-

ятельности, что наш ум способен, как крот под землей, производить не

менее кропотливую и сложную работу в потемках подсознания, чем при

свете сознания, то мы будем в состоянии дать следующее указание, где

искать разгадку.

До того, как в работающую сознательную мысль приходит ка-

кое-либо предположение, в бессознательной мысли, всегда работающей

параллельно сознанию, гибнет масса других предположений, только наи-

более обещающие выступают за порог сознания.

В то время, как в слабом и медленном уме вся работа вчерне совер-

шается в сознании, в сильном и быстром [уме] в мир сознания все являет-

ся в почти готовом виде. Чудесный волшебный жезл следует искать в бес-

сознательном мыслительном процессе.

§5. Роль бессознательного мыслительного процесса при

проверке предварительных гипотез.

Проверю сделанного предположения обыкновенно бывает не полной. При-

нятая гипотеза отвергается, если имеется хоть один аргумент против нее,

но этот аргумент в большинстве случаев бывает столь же неточного харак-

тера, как аргумент в пользу этой гипотезы.

Так, сделанная гипотеза об интегрируемости в конечном виде эл-

липтического интеграла, после большого числа попыток найти для него

выражение, отвергается как ложная, и уже не возбуждает интереса мате-

матиков, доказательство же интегрируемости дается много позже. То же

относится и к решению в радикалах буквенного уравнения пятой степени.

Здесь против сделанного предположения говорит только шаткий аргумент,

состоящий в том, что масса опытных и, более того, гениальных математи-

ков,

произвели ряд тщетных попыток его решения, к которым присоедини-

лись, может быть, еще менее успешные попытки с нашей стороны. Впро-

чем,

гипотеза может быть отвергнута не только как ложная, но и как беспо-

лезная, в том случае, когда проверка се требует решения проблем, заведо-

мо очень трудных, которые мы никак не рассчитываем решить.

Если мы говорим, что только наиболее обещающие гипотезы всплы-

вают в сознании, то нам незачем предполагать, что бессознательное мыш-

ление произвело их детальную и точную проверку, достаточно, чтобы на

основании неточных заключений по аналогии оно остановилось на этих

гипотезах.

Высказывая такое объяснение, мы находим необходимым излолсить

наш взгляд на свойства бессознательной мысли, может быть, несколько

идущий вразрез с общепринятыми.

§6. Ошибается ли бессознательная мысль?

Характерное отличие сознательных и бессознательных актов состоит в

меньшей погрешности

последЕшх.

Все бессознательные действия отлича-

ются особой правильностью и первый луч пробудившегося сознания часто

является подобным тормозящему стержню, попавшему между спиц быст-

ро и правильно вертящегося колеса. Шитье, игра на рояле и многие другие

действия идут тогда наиболее успешно, когда те элементы, на которые они

разлагаются, находятся на пороге сознания или спускаются еще ниже, т.е.

представляют так называемые лейбницевы перцепции.

Мы охотно признаем только меньшую погрешность бессознатель-

ных актов, в частности бессознательного мышления, но мы будем оспари-

вать положение Гартмана о безусловной безошибочности бессознательных

психических актов.

Наоборот, везде где [мы] стараемся дополнить сознательный про-

цесс бессознательным, в последнем предполагаются свойства, присущие

первому.

Внезапное появление в сознании готового решения какой-либо за-

дачи, которую мы не могли долго решить, мы объясняем бессознательным

мышлением, которое в то время, как сознание было занято посторонними

вещами, продолжало заниматься [этой] задачей. Здесь возможны две ги-

потезы: или бессознательная мысль является, как "deus ex machjna", "не

колеблется и не сомневается, но мгновенно обнимает в один и тот же мо-

мент и результат, и производящий его целый мыслительный процесс, мыс-

лит все члены процесса зараз" (Гартман), или же эта мысль продолжает

совершать ту же кропотливую работу, что сознательная мысль, переходя

через ряд сомнений и ошибок к истине, per aspera ad astra. При первом

предположении, стадия в которой получается верный результат, должна

сейчас же следовать за моментом, когда обсуждение задачи перешло из

сознания в область бессознательного, процесс бессознательного мышле-

ния затем обрывается и через некоторое время задача опять воскресает в

сознании: в психической жизни таким образом предполагается сомнитель-

ный разрыв.

Гораздо вероятнее второе предположение, при котором весь про-

цесс предполагается непрерывно заполняющим все время, когда сознание

не занято обсуждением задачи вплоть до результата, который всплывает за

порог сознания.

Таким образом, по нашему мнению, бессознательное мышление

так же ошибается (хотя и в меньшей степени), как сознательная мысль.

Большая быстрота и легкость бессознательной мысли зависит еще

от следующих причин. В то время, как в сознании может быть в данный

момент только одна мысль, бессознательная мысль может сразу совершать

по нескольку работ. Возможно в одно время слушать чтение и шить.

На этом основании можно предположить, что в напряженной мыс-

ли с главным, так сказать, центром притяжения, с главной системой дви-

жущихся психических элементов, представляющих сознание, образуются

еще частные центры притяжения, частные системы. Между различными

системами устанавливается сообщение только в критических случаях.

§7. Различные роли бессознательной мысли в мышлении

математика и философа.

Если мы от математического мышления перейдем к философскому, кото-

рое,

как математик, мыслит отвлеченно, причем в иных случаях пользует-

ся,

как математик, дедукцией, то легко увидим разницу в конструкции их

мыслительных способностей, именно в том значении, которое имеет для

мыслителей этих двух типов подсознательная работа мысли.

В то время, как математик доказывает, философ) только убежда-

ет.

Как

тот,

так и другой начинают с гипотезы, но второй большей частью

и кончает гипотезой.

Как тот, так и другой творческим воображением создают несколь-

ко предположений, из которых и производят выбор через проверку каждо-

го.

В математике проверка может быть признана вполне законченной лишь

тогда, когда к проверяемым предположениям может быть приставлено стро-

гое доказательство. В философии же порой эта проверка сводится лишь к

невозможности увидеть какие-либо противоречия, содержащиеся во взя-

том предположении, и к способности этого предположения служить объяс-

нением возможно широкого круга явлений.

Таким образом, философский ум в силу своей меньшей точности,

чем ум математический, скорее и легче приходит к цели в этом закулисном

выборе сперва только воображаемых, а затем- или строго доказуемых, или

подтверждаемых рядом аргументов предположений. Но, кроме меньшей

точности философского ума, этот факт обусловливается еще другой причи-

ной.

Даже самый широкий творческий ум не в состоянии создать столько

философских объяснений, сколько может прийти даже посредственному

математическому уму различных предположений, относящихся к решению

какой-либо задачи. В то время, как мысли в голове математика вспыхива-

ют и тухнут, пока не зажжется, наконец, последняя и единственно истин-

ная,

философ зажигает и тушит одну иллюминацию за другой. Но можно

наверно сказать, что тагах иллюминаций бывает обыкновенно немного.

Философ это полупоэт, полуученый; начинает он мыслить, как поэт; каж-

дая его мысль при первом появлении - это фантазия поэта, и только затем

она идет на суд философа-ученого.

Мышление философа представляет [собой] мышление меньшего

напряжения, чем мышление математика, поскольку оно касается не первой

своей стадии, именно, построения философской гипотезы, а второй - про-

верки ее или отыскания ряда подтверждающих ее аргументов.

Вполне естественно предполагать, что в мышлении философа ра-

бота мысли идет тольков сфере сознания, мало распространяясь в под-

сознательные области. Мышление математика, наоборот, глубоко вне-

дряется в бессознательную сферу, то всплывая па ее поверхность, то

погружаясь в глубину.

Математик не сознает каждого шага своей мысли, как виртуоз -

движения смычка.

Известны случаи, когда в состоянии эпилептических припадков

продолжали играть на рояле или когда трудно разыскиваемое решение гео-

метрической задачи всплывало с утренним пробуждением ото сна, в про-

должение которого неусыпная бессознательная мысль продолжала рабо-

тать;

но нам неизвестны философские теории, созданные в эпилепсии или

во сне.

§8. Разница между склонностью и способностью ума.

При анализе математической способности следует резко отличать: склон-

ность к известному роду занятий от способностей. Мы думаем, что вся-

кая стоящая выше нормы способность соединена с некоторой склоннос-

тью,

избыток силы всегда стремится проявиться. Человеке сильными мус-

кулами почти всегда имеет любовь к физическим упражнениям. Если сила

не разряжается в серьезном деле, она находит себе выход в игре. Но мы не

можем сказать обратного. Если человек выказывает к чему-либо особен-

ную склонность, то эта склонность не является показателем особенной,

выше нормы стоящей, способности. В иных случаях она указывает лишь

на относительное превосходство одной способности над другой. Человек

мыслит не всегда по доброй охоте, а часто лишь по принуждению неумоли-

мых обстоятельств и, в таком случае, вполне естественно, что ум выбирает

для своей цели легчайший путь, т.е. тот путь, к которому у него более всего

способностей. Но все-таки нельзя утверждать, что так именно всегда бы-

вает. Характер человека откладывает свой отпечаток не только на чувствах

и желаниях, влияние его распространяется даже на манеру мыслить.

Более или менее подвижный характер должен сказаться в тех или

других склонностях даже самого отвлеченного ума.

Ипохондрик, живущий более своим внутренним миром, чем окру-

жающим, будет иметь ум, более склонный к самоанализу, чем к наблюде-

нию окружающей его природы; для него мышление отвлеченными поняти-

ями будет более подходящей сферой, чем индукция естественных наук.

Сколько людей рождается с характером и склонностями ученого, но с умом,

едва достигающим будничной нормы.

Собственно говоря, большинство классификаций относится

склон-

ностям, а не к способностям ума.

Выражения: остроумный, глубокий, тупой, поверхностный и т.д.

определяют способности ума, ум индуктивный и дедуктивный, как мы

постараемся доказать, определяют склонности.

Под какой из общеизвестных типов подвести математический ум?

§9. Остроумие как одно из характерных свойств

математической способности.

Одна из трудностей при ответе на этот вопрос, это сравнительная неяс-

ность общепринятых терминов для свойств, характеризующих эти типы.

Кант' определяет остроумие следующим образом: "способность к обще-

му правилу подыскивать частное есть способность суждения, способность

для частного подыскивать общее есть остроумие". С таким определением,

сводящим остроумие к способности к индукции, мы едва ли можем согла-

ситься.

Острый ум может, как меткая стрела, идя издалека, попадать

цель.

Остряком называют человек!, способного находить общие черты в видимо

совершенно разнородных предметах; конечно, ему должна принадлежать

способность идти от частного к общему, но центр тяжести его остроумия

лежит не в этом, а в способности обнимать умом сразу два совершенно

разнородных предмета. Таким образом, остроумие - это способность

обнимать в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей

мысли. Психологический анализ математического мышления показывает,

что математикам главным образом присуще остроумие. В предваритель-

ной работе над созданием и проверкой делаемых гипотез мысль математи-

ка должна перелетать к различным уже известным ему положениям и ме-

тодам, отыскивая в них признаки по своей аналогии с теми, которые ои

находит в поставленной проблеме, дающие надежды на удачу. Отчаявшись

найти помощь вблизи, ему приходится обращаться за ней в самые отдален-

ные области в сфере его математического мышления, связь которых с об-

ластью настоящего исследования, может быть, открывается впервые. Ма-

тематик должен быть остроумным, и лучшей школой остроумия является

математика.

§10.

Быстрота математического мышления.

Другое

характсрЕюе

свойство математического ума это его быстрота. Если

читатель вспомнит наш взгляд на механизм математического мышления,

то он легко увидит, что это свойство обуславливается той работой, которую

совершает бессознательное мышление в помощь сознательному. Бесспор-

но,

что из всех ученых наиболее быстро мыслят математики, но бесспорно

также и то, что этот класс мыслителей-теоретиков значительно уступает в

быстроте многим мыслителям-практикам, финансистам, политикам и пол-

ководцам.

В самом деле, последние гораздо более связаны временем, они дол-

жны прийти к окончательному результату не позже определенного дня и

часа. Такого определенного ограничения времени для математика нет, он

должен только недолго останавливаться на каждой гипотезе, так как иначе,

вследствие огромного их числа, он слишком долго не мог бы дойти до ре-

зультата. -

Это свойство, обуславливаемое, как мы выше уже заметили, зна-

чительной ролью бессознательного мышления, не особенно выделяется в

том случае, когда ум, не представляя чистый тип математического ума,

приближается своим характером к философскому. Подобно тому, как вся-

кое движение совершается быстро и без колебаний, если это движение ав-

томатическое, без вмешательства сознания, точно так же и мышление, по-

скольку оно принимает во всех своих стадиях характер сознательного фи-

лософского размышления, проигрывает в бывтроте.

§11.

Философ и математик.

Но есть одно свойство ума, которым вознаграждается менее быстрый, в

сравнении с умом математическим, ум философский. Такова широта ума,

если под последней разуметь способность ума познавать в виде связного

целого широкие области.

В то время как в быстром уме главную роль играет бессознатель-

ный момент, в широком уме главным двигателем является ясное, недрем-

лющее сознание.

Заметим кстати, что остроумие более присуще философскому уму,

чем быстрота мысли. Смелые и удачные скачки принадлежат иногда и

философским умам. Но все-таки, остроумие принадлежит преилгуществен-

но к характерным свойствам математического ума. Если философ широк,

в то время, как математик быстр, то вместе с тем философ глубок, в то

время как математик остроумен.

Мы уже выше сказали, что в то время, как в математике главная

трудность - в доказательстве, в оправдании сделанных предположений, в

философии - не оправдание, а, главным образом, построение этих пред-

положений, составляет затруднение. Затруднение это и устраняет глубоко-

мыслие

—

способность делать вперед к намеченной цели большие шаги.

При этом важна не столько строгость и простота доказательства, главную

роль играет именно разыскание последовательного ряда проблем, прямо,

не отклоняясь ни в одну сторону, ведущего в самые недра исследуемой об-

ласти.

§12. Шахматист и математик.

Обнаруженные нашим анализом характерные свойства математического

ума - остроумие и быстрая сообразительность, не дают полной его харак-

теристики. Эти свойства присущи также в большой степени и шахматисту,

и другого рода игрокам, принужденным мыслить очень быстро в сфере

огромного числа комбинаций.

Механизм мышления игрока, в сущности говоря, почти тот же, что

у математика. Первая стадия - гипотеза, воображаемый ход, вторая - про-

верка, т.е. вывод некоторого более или менее длинного ряда последствий

из него, и в случае присутствия явно неблагоприятных среди последних -

отказ от этого хода. Но мы должны здесь отметить одно существенное раз-

личие.

В то время, как математик успокаивается окончательно лишь

[тогда], когда будет найден весь комплект аргументов за сделанное пред-

ложение, игрок мирится с ними при более скромном требовании, чтобы

не было никаких возражений против.

Конечно, в этом отношении математик находится в более затруд-

нительном положении, ему трудно, так сказать, не находя около себя дру-

зей,

идти искать их в более далекие области, в то время как для игрока,

важно только убедиться, что около него нет врагов. Таким образом, у ма-

тематика будет перевес в остроумии, в то время как у игрока, по тем же

причинам, гаку финансиста, полководца и т.д., перевес в быстроте сооб-

ражения.

§13.

Поэт и математик.

Мы уже сказали, что математическое мышление начинает с воображения.

Здесь мы должны отметить разницу, которая существует, по нашему мне-

нию,

между понятиями: воображение и фантазия. Воображение это де-

ятельность, соединяющая в себе как воспроизведение, сознательное или

произвольное, пережитых сложных впечатлений, так и воссоздание, при

помощи разложения и комбинирования, составных частей, при помощи

фантазии, в новые, еще не пережитые представления.

Таким образом, фантазию мы рассматриваем как составную часть

воображения, именно воображение в его созидательном моменте.

Для того, чтобы быть хорошим математиком, нужно обладать хо-

рошим воображением. Это же требование предъявляется и поэту. Вслед-

ствие своего могучего воображения, математик кажется поэтом среди дру-

гих ученых.

Но отсюда слишком далеко до того, чтобы выводить, что поэтичес-

кое творчество родственно математическому.

"Я понимаю - пишет Шабельской Софья Ковалевская, - что вас

так удивляет, что я могу заниматься зараз и литературой и математикой.

Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать матема-

тику, смешивают ее с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же

это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков

нашего столетия говорит: совершенно верно, что нельзя быть математи-

ком,

не будучи поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность

этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт дол-

жен что-то сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел это одно и

то же. Мне кажется, что поэт должен только видеть, чего не видят другие,

видеть глубже других. И это же должен математик".

Мы со своей стороны не считаем нужным выступать защитником

математики от обвинения ее в сухости. Мы считаем, что хороший матема-

тик е то время, когда от мыслит как математик, никогда не бывает

поэтом. Мы скорей склонны думать, что математическому воображению

присущ совершенно специфический характер: существует огромная раз-

ница между воображением математика и поэта. Здесь нет ошибки, порож-

денной предрассудком, о которой говорит С. Ковалевская.

К тому же еще следует заметить, что фантазия и вымысел это не

одно и то же - с этим легко согласиться, но что фантазия поэта должна

быть без вымысла, что поэт должен видеть одну реальность, обратившись

из художника в фотографа, это положение весьма спорно и во всяком слу-

чае совершенно не согласуется с фактическими данными психологии твор-

чества поэтов.

Воображение математика и воображение поэта принадлежат

двум

различным типам воображения, отмеченным Вуидтом

"Индивидуальное воображение, - говорит Вундт,- может отличаться

или способностью

чрезвычайно живым и ярким представлениям, или же

способностью к весьма разнородному комбинированию представлений:

первую форму фантазии можно назвать воспринимающей, вторую комби-

нирующей. Редко вообще бывает она развита в обоих этих направлениях.

Чем значительнее чувственные силы представляющего воображения, тем

труднее для апперцепции быстро переходить от одного представления к

другому".

Математикам, спекулятивным философам и изобретателям прису-

ща, по Вундту, комбинирующая фантазия. Естествоиспытатели преимуще-

ственно обладают воспринимающей фантазией. Этого последнего типа

фантазией вооружены и поэты. Классификация Вундта будет более пол-

ной,

если тип воспринимающей фантазии [мы] распределим на два подти-

па, но, смотря по тому, относится ли она к чувствам или к огцугцениям, в

первом случае она может быть названа субъективной, во втором случае

объективной. Конечно, фантазия поэта должна быть отнесена к первому

из этих подтипов.

Вундт из математиков выделяет' геометров, которым приписывает

вместо комбинирующей воспринимающую фантазию, которая должна быть,

конечно, объективного характера.

В мнении В)'ндта, как нам кажется, правильно только то, что гео-

метр отличается от алгебриста большим развитием воспринимающей

фантазии. В этом смысле геометр ближе к поэту, чем алгебрист. Можно

- сказать, что в синтетической геометрии древних более поэзии, чем в со-

временной аналитической. Все эти отличия создают совершенно различ-

ные облики умам поэта и математика, ставят их в виде двух различных

полюсов на сфере человеческого мышления.

Математикам часто доставляет удовольствие, когда сравнивают их

науку с поэзией, им представляется, что подобное сравнение служит толь-

ко похвалой для их любимого занятия и снимает вечно тяготеющее над

ними обвинение в сухости. Между тем сходство только в том, что как в

поэзии, так и в математике необходима мощная сила воображения, и быс-

трое и энергичное течение в первом случае образов, во втором - отвлечен-

ных мыслей, заставляет мыслителя позабыть об окружающем, улетать в

надзвездные сферы. Фактические данные отнюдь не говорят за какое-либо

интимное родство математики и поэзии. Наоборот, среди математиков слиш-

ком мало находится любителей поэзии. А среди поэтов, можно сказать не

гиперболизируя, любителей математики совсем нет. Достаточно вспомнить

Гете, Надсона и т.д.

§14. Активное и пассивное воображение.

Таким образом, не только поэту и математику не присуще одно и то же

воображение, одна и та же фантазия, но различного рода математики, гео-

метры и алгебристы, отличаются между собой характером своего вообра-

жения.

"Следует заметить, - говорит Рибо

, что не существует вообще на-

учного воображения, что форма его должна меняться сообразно природе

наук и что, следовательно, она разлагается на некоторое число родов или

даже видов. Отсюда следует необходимость монографий, из которых каж-

дая принадлежала бы лицу компетентному".