Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Никто не сомневается, что математикам присущ особый род вооб-

ражения, но это еще слишком общо. Арифметики, алгебристы и вообще

аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме

прерывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут

воображать, как геометр.

Можно ли думать, что творец начертательной геометрии Монж,

который освободил своим трудом строителей, архитекторов, механиков от

их рутинных правил, мог иметь то же воображение, как математик, посвя-

щающий себя теории чисел.

Мы выше видели, что особые окраски воображения зависят от того,

такая из фантазий, воспринимающая или комбинирующая, преобладает в

них. Мы укажем сейчас еще другой пункт различия.

Согласно Вундту, у фантазии существует два рода деятельностей,

которые всегда бывают между собой перемешаны.

Пассивная деятельность фантазии состоит в том, что ум предается

игре представлений, не делая в них сознательного выбора.

Активная деятельность состоит в том, что воля выбирает извест-

ные представления из конкретных элементов, на которые разложилось слож-

ное представление, и таким образом соединяет эти элементы в стройное

целое.

Характер той и другой деятельности определяется тем, в каком на-

правлении может возбуждаться течение представлений в первом случае при

пассивном состоянии души, а во втором - при активном.

Иначе говоря, пассивная деятельность воображения определяется

главным образом характером ассоциаций, а активная

—

свойствами памя-

ти.

Фантазия представляется функцией именно этих двух переменных.

Комбинациям различных родов этих способностей отвечают различные

типы воображения.

Мы имеем теперь возможность отметить еще другое отличие меж-

ду воображением научным, в частном случае математическим, и вообра-

жением поэта. Это отличие состоит, между прочим, и в большем преобла-

дании у поэта пассивной, а у ученого активной деятельности воображе-

ния.

Конечно, ученый также начинает с пассивной деятельности; пер-

вым толчком бывает ассоциация (например, при открытии закона всемир-

ного тяготени5[ - падающее яблоко), но воля раньше вступает в свои права,

и течение мыслей более в ее власти, чем это бывает у поэта, к которому

поэтические образы слетаются часто без всяких усилий с его стороны.

§15. Роль пассивного воображения в математическом

мышлении.

Весьма интересно исследовать участие бессознательной мысли в пассив-

ной деятельности воображения.

Ассоциация идей распространяется не только па сознательную

область, она может вызывать образы и представления, стоящие ниже

сознания.

Такое утверждение может показаться необычайно парадоксальным.

Мы предполагаем все области, сознательную и бессознательную, связан-

ными между собой, так сказать, потенциально. Ощущения, находящиеся в

сознании, вообще не вызывают тех ощущений, которые составляют пред-

мет бессознательного мышления, но при некоторых особенных состояниях

мозга порог сознания может значительно понизиться, бессознательные

ощущения могут тогда дойти до той степени интенсивности, при которой

они должны быть осознаны. В этот момент потенциальная связь переходит

в актуальную, и эти ощущения могут войти в ассоциативную цепь и быть

вызваны сознательными ощущениями, так как если бы эти ощущения сами

были когда-либо сознательными.

Только таким именно образом объясняется факт, что в процесс со-

знательного мышления могут проникнуть результаты бессознательной

мыслительной деятельности.

Эти результаты находились у самого порога сознания, который по-

стоянно находится в состоянии колебания, то понижаясь, то повышаясь. В

том случае, когда порог сознания настолько понизился, что результат этот

поднялся над порогом сознания, то может всегда случиться, что какая-либо

сознательная мысль, имеющая какое-либо сходство с этим результатом,

вызовет его в сознание по ассоциации.

Отсюда мы видим, сколь важную роль играет пассивная деятель-

ность воображения в математическом мышлении. Мысля, мы то натягива-

ем,

то распускаем волоки, то наша мысль направляется актом воли по оп-

ределенному направленно, то она пассивно отдается свободному течению

мыслей.

Момент соприкосновения сознания с бессознательной мыслитель-

ной деятельностью это, в сущности говоря, вторая фаза процесса творения

по схеме Рибо, которая состоит в следующем:

1 фаза. Приготовление (бессознательная деятельность).

фаза. Появление в уме идеи, вдохновение, вторжение (irruption).

(Переходный момент).

3 фаза. Период построения и развития (сознательная деятель-

ность).

Более крупные математические способности предполагают боль-

ше связей между сознательной и бессознательной областями. Для этого

необходима более энергичная, более интенсивная бессознательная деятель-

ность, при которой большое количество результатов придвигается к само-

му порогу сознания.

Здесь будет уместно также упомянуть, в каком смысле ассо1щация

идей может явиться тормозящей причиной для математического мышле-

ния.

А именно, она заставляет мысль, как только воля распускает вожжи,

возвращаться в те же дурные области. Здесь замечается особый автома-

тизм мысли. Мысль, от отвергнутой новой идеи по ассоциации, невольно

возвращается к одной из старых и, попав на нее, затем автоматически бы-

стро и легко движется по старой дороге, повторяя все те же ошибки. Во

избежание этого необходимо постоянное вмешательство воли, управляе-

мой сознательной памятью.

§16. Психология математических ошибок.

Исследование конструкции математического мышления приводит нас ес-

тественно к вопросу о психологических причинах математических оши-

бок.

Вопрос о заблуждениях очень стар, если заблуждения рассматри-

вать с логической точки зрения. В этом смысле он рассматривался еще

Аристотелем. Первое же психологическое исследование может быть отне-

сено только к Бэкону, которому принадлежит известное учение об идолах

(обманчивых признаках истины, иллюзиях). Но ясно, что все классифици-

рованные Бэконом заблуждения могут касаться только неточного мышле-

ния,

когда нет еще речи о доказательствах. Все эти заблуждения если и

могут иметь место при процессе подыскивания предварительных гипотез,

то во всяком случае, окончательно фильтруются производимой затем про-

веркой и влияние аффектов, даже высших интеллектуальных типов, сво-

дится к нулю.

Математические ошибки суть ие что иное, как погрешности

памяти или внимания.

Чтобы понять это, возьмем простейший пример. Проанализируем,

в чем состоит ошибка при вычислении, например, при слежении несколь-

ких многозначных чисел.

Желая сложить три числа

53890987

34567848

55166239

мы складываем сперва в уме 7+8+9 и фиксируем в памяти вторую

цифру полученного числа 24. Затем складываем 8+4+3=15, прикладываем

к нему вторую цифру фиксированного первого числа - 2.

Далее ход мысли следующий: 15+2=17, единица фиксируется, скла-

дываем 9+8+2=19, 19+1=20 и так далее.

Когда мы дойдем до сложения седьмого столбца, т.е. цифр 3,4, 5 у

нас в памяти будут следующие цифры: от первого сложения 2, от второго 1,

от третьего 2, от четвертого 1, от пятого 2, от шестого 1. Бесспорно, что при

производстве действий интенсивность нашего внимания сильно колеблет-

ся,

а вследствие этого колеблется и сила, с которой запоминаются упомяну-

тые выше числа, и они вспоминаются с различной степенью легкости. При

быстром вычислении импульс воли для вызова в памяти желаемой цифры

ничтожно мал, участие воли можно сравнить с рукой, которая отклоняет на

секунду упругий стержень, чтобы этот последний сам собой принял перво-

начальное свое положение. Фиксируя цифру 1 при 6-м сложении, мы на

секунду отвлекаем внимание, чтобы написать цифру 6, когда же мы пере-

стаем думать о ней, единица сразу всплывает в нашей памяти.

Такой акт вполне аналогичен следующему: мы смотрим в окно,

затем отвлекаем наше внимание, смотрим, например, на лежащую перед

нами книгу, затем закрываем глаза - перед нами восстает без усилия воли

образ окна. Если теперь при падении внимания цифра 1 недостаточно фик-

сировалась памятью, она уже не может восстановиться. Тогда в сознание

проникают другие цифры, более резкие отпечатки результатов других, только

что сделанных вычислений при более интенсивном внимании. Обыкно-

венно одна из таких цифр, а именно та, которая является первой, т.е. та,

которая резче сохранилась памятью, и принимается за искомую.

Подобного же рода ошибка, хотя более редко, может быть при сло-

жении цифр одного столбца без перехода

следующему. По сложении 7 с 8

запоминается число 15, для прочтения 9 употребляется краткий промежу-

ток времени, в который 15 может забыться.

Помимо этой попэешности элементарной памяти, т.е. памяти, свя-

зующей элементарные звенья мыслительного процесса, возможна еще по-

грешность удерживающей памяти. Мы можем недостаточно хорошо вспом-

нить в краткий промежуток времени, употребленный на вычисление, тот

пункт таблицы сложения или умножения, который нам необходим. Подоб-

ная ошибка, невозможная в спокойном состоянии достаточно опытного в

вычислениях ума, не представляется невозможной, когда при быстром

вычислении сознание постоянно наполняется различными мыслями. Сре-

ди массы незнакомых лиц можно легко не узнать и хорошо знакомого, как

это часто с нами случается на улице. В сущности, все то, что мы сказали об

ошибке в сложении, дает полную схему весьма общего типа математичес-

ких ошибок. Вот в общем виде эта схема:

Объекту А приписывается признак а, означили это положение

через (А, а). Внимание отвлекается от А к В, затем возвращается- к А,

причем припоминается (А, а), затем В приписывается признак р, отвле-

каются от В к С, вспоминают (В, pj. Ошибка состоит в том, что вмес-

то (В, fi) берут (В, а).

Но под этот тип вполне подходят далеко не все математические

ошибки. В отличие от ошибок, о которых сейчас велась речь и которые

могут быть названы ошибками исчисления, ошибки, о которых мы сейчас

будем говорить, могут быть названы ошибками доказательств. Они со-

стоят в том, что посылка

(А,-

а) заменяется другой (А, р\), где |3 не припи-

сывалось еще пи одному объекту, но по своему сходству или по смежно-

сти может легко быть смешано памятью с ос. Наиболее частой и наибо-

лее трудно избегаемой ошибкой является та, при которой

представляет

более общий случай, чем а. Положение (A, (3J при этом утверждается при

некоторых, часто только подразумеваемых условиях. Об этом в дальней-

шем ходе доказательства совершенно забывается, и положение (А, (3) бе-

рется во всей его общности.

Я говорю, что эти ошибки в математике весьма часты и трудно

избегаемы, так как, если бы математик всякий раз упоминал об ограниче-

ниях, которые должны подразумеваться, он сделался бы слишком скучным

и, утруждая внимание отклонениями от основной темы, мог бы проиграть

в ясности. Таге, математики говорят в нескольких главах о функциях, под-

разумевая их непрерывными, хотя об этом ограничении упоминается толь-

ко на первой странице первой главы. О том, что функция принадлежит

типу аналитических функций, об этом иногда и не говорят совсем, считая

вполне естественным такое предположение.

Ясно,

что предпринимающий дальнейшие исследования читатель

может совершенно забыть об этих ограничениях, в особенности, если при-

менение положений, годных только при этих ограничениях, к общему слу-

чаю,

не только не приводит его ни к каким противоречиям, но и открывает

новое широкое поле исследований.

К этим типам математических ошибок следует присоединить еще

третий: ошибки в обозначениях.

Какой-нибудь объект А обозначается знаком а, другой В знаком

в. Если между айв есть сходство, то память может спутать их и

относить ъкА и а к В. Причина смешения может быть в восприятии:

один знак можно просто принять за другой.

Молено, например, греческую а принять за латинское а. В то вре-

мя,

как указанные выше два типа ошибок представляют ошибки памяти,

ошибки последнего типа, во второй своей форме, представляют уже ошиб-

ки внимания.

Мы еще укажем один тип ошибок внимания, совершенно иного

рода.

Знакомому с научными математическими мемуарами хорошо из-

вестно, что в этих мемуарах доказывается не все, ведь в противном случае

и маленький мемуар вырос бы в целый том. Не доказываются мелочи, не

доказываются такие утверждения, в которых каждому опытному читателю

не доставляет большого труда убедится. Таким образом, некоторые звенья

в цепи умозаключений пропускаются, их следует вставить уже самому чи-

тателю.

Но нам кажется, что таким же образом до известной степени по-

ступает не только читатель, но и сам автор.

Доказательство теоремы составляется следующим образом. Спер-

ва [набрасываются] эскизы, намечаются главные пункты, которые следует

доказать. Доказываются сперва они вчерне, т.е. так, что детали пока оста-

ются без рассмотрения, остается еще кое-что спорное, кое-что недоказан-

ное.

Только постепенно обезвреживаются всевозможные возражения и про-

изводится проверка различных второстепенных утверждений. При несколь-

ко раз производимой проверке всего построения, мы не разбираемся в не-

которых выставленных нами положениях, доказательство которых нам пред-

ставляется простым и обычным, мы проходим мимо них с мыслью, что

здесь именно все обстоит благополучно, не воспроизводя для каждого из

них всего доказательства. Случается, что даже при последней окончатель-

ной проверке мы оказываем то же пренебрежение на вид обычным и про-

стым положениям, но таящим в себе смертельный яд и гибель для всего

организма нашего построения.

Иногда к подобному пренебрежению деталями нас склоняют и дру-

гие факторы. В геометрии, например, такую роль может играть чертеж, на

котором случайно пересеклись какие-нибудь две прямые, пересечение ко-

торых нам представляется очевидным в том смысле, что доказательство

этого так просто и обычно, что нечего себя им утруждать.

Не такого ли рода ошибка Декарта, утверждавшего, что нормали к

двум плоским кривым, именно

проекциям, линии двоякой кривизны, сами

будут проекциями нормали этой кривой. Вот психология подобной ошиб-

ки:

1) Доказательство этого неверного положения показалось Декарту

настолько же простым, насколько просто доказательство подобного поло-

жения для касательных.

2) Весьма вероятно, что в этом его убедило и неправильно пред-

ставленное геометрическое построение.

Подобного рода ошибки могут быть и при вычислении, когда мы

отбрасываем различные члены в виде упрощения. Нам кажется очевид-

ным,

что такое отбрасывание мало повлияет на результат, причем кажется,

что доказательство этого так просто, что не стоит на нем останавливаться,

а между тем это часто ведет к роковым ошибкам.

§17. Ум математика как ум дедуктивный.

Существуют, помимо намеченных выше типов, еще два типа, на которые

принято делить умы и таланты. Эти два типа выражаются терминами: де-

дуктивный и индуктивный. К первому типу относят математиков и фило-

софов.

"Важнейшие индивидуальные различия,- говорит Вундт

- в на-

правлении умственной деятельности обусловливаются соединением извес-

тных сторон способности воображения с известными сторонами спо-

собности собственно мыслительной. Происходящее отсюда умственное

предрасположение называется обыкновенно талантом. Соответственно двум

направлениям воображения и двум направлениям ума можно различать

четыре главных формы таланта".

О различных типах воображения мы уже говорили выше. Направ-

ление же ума по Вундту следующее; индуктивный ум склонен связывать

отдельные факты, т.е. отдельные объекты наших представлений в форме

понятий. Дедуктивный же ум, напротив, в высшей степени склонен подво-

дить отдельные факты под общие формы, созданные мышлением. Первый

стремится собрать наблюдения и обобщить их, второй выводит следствие

из общих понятий и правил, или, взяв общий принцип, разлагает его на

отдельные частные случаи. Если классификация умов по типам воображе-

ния является классификацией по способностям, то деление на ум индук-

тивный и дедуктивный отвечает скорей делению по склонностям. Способ-

ности к чистой дедукции

или

силлогизму, как главному двигателю ее, нет.

Не требуется особой способности, чтобы из фактов: люди смертны и Петр

человек, вывести, что Петр умрет. Трудность дедуктивного мышления со-

стоит в направлении ряда силлогизмов к намеченной цели, в подведении

данного случая под тот из более общих, к каждому из которых он принад-

лежит, который приводил бы к решению интересующих мыслителя про-

блем.

Иначе говоря, от дедуктивного мыслителя требуются только тог-

да особые способности; когда он перестает быть дедуктивным мысли-

телем.

Ведь для такой цели, как мы выше видели, ум пользуется вообра-

жением, индукцией и аналогией. Поэтому нельзя противополагать матема-

тика и философа натуралисту, как умы способные

двум противоположно-

го рода операциям: дедукции и индукции. Математик в своей закулисной

работе - мыслитель индуктивный; различие его способностей от способ-

ностей натуралиста лежит только в специфических видах воображения и в

способности приводить в движение при закулисной работе бессознатель-

ную мысль в самых широких размерах.

Классификация умов и талантов на дедуктивные и индуктивные,

таким образом, есть классификация по склонностям ума. Как мы выше

сказали, такие склонности могут обуславливаться характером человека.

§18. Некоторые соображения, относящиеся к

памяти вообще.

Мы уже упомянули, что характер воображения зависит от свойства памя-

ти.

Для воспроизведения пережитых впечатлений мыслителем необходи-

ма память, причем именно такая, которая могла бы вызвать именно того

рода впечатления, которые относятся к области его мышления. Музыкаль-

ное воображение не может существовать без музыкальной памяти. Мате-

матическое воображение не может быть без математической памяти. По-

этому вполне естественно, коснувшись специфических свойств математи-

ческого воображения, перейти к анализу математической памяти.

Этому анализу мы предпосылаем некоторые соображения, относя-

щиеся к памяти вообще. Необходимым условием мышления во всех его

разновидностях является память, которая, как цемент, связывает различ-

ные звенья мыслительного процесса,

В памяти могут быть отмечены три момента:

1) Усвоение памятью известного состояния.

2) Сохранение воспринятого в потенциальной форме.

3) Воспроизведение его.

Различные ощущения, чувства и мысли могут нами запоминаться

с различной степенью легкости на различные сроки, с различной ясностью

сохраняться в памяти и, наконец, более или менее легко могут быть ею

вызваны.

Мы различаем первый и второй момент

как

два различных момен-

та.

Некоторые состояния, хотя и вполне нами сознаваемые, могут быть со-

вершенно не усвоенными памятью. Произнесенное подряд большое число

цифр или слов не может быть нами воспроизведено, хотя бы мы пожелали

это сделать тотчас по их произнесении. Этот акт усвоения содержания со-

знания памятью отнюдь не тождествен с переходом данного состояния за

порог сознания. Произносимые слова ясно сознаются нами не только как

совокупность определенных звуков, но как знаки определенно и ясно со-

знаваемых нами понятий.

Если взять обычное сравнение памяти с отпечатком на мягкой по-

верхности, то бессознательному акту будет соответствовать движение от-

печатываемого предмета в некотором отдалении от этой поверхности, со-

знательному акту, не усвояемому памятью, соприкосновение с данной по-

верхностью без оставления на ней следа. Если лее предполагать, что тот

же

предмет производит давление на эту поверхность, то соответственно тому,

принадлежит ли эта поверхность вполне упругому телу, после давления

возвращающемуся тотчас к первоначальной форме, или, в силу некоторой

неупругости, оставляющему на себе след от давления, мы получаем два

явления, отвечающие или одному первому моменту, или совокупности двух

первых.

Мысля, мы связываем памятью различные звенья мыслительного

процесса. Для того, чтобы вывести умозаключение, нужно помнить, поку-

да оно не выведено, отдельные посылки. Эту самую первичную форму па-

мяти, которая проявляется в каждом, даже наиболее грубом, мыслитель-

ном процессе и действие которой ие идет дальше простого связывания от-

дельных моментов мышления, мы называем элементарной памятью

В элементарной памяти, позволяющей перейти от одной посылки

к последующей, второй момент, можно сказать, почти исчезает, получае-

мый промежуточный член усваивается для того, чтобы тотчас воспроизве-

стись и затем подвергнуться забвению. Для того, чтобы хорошо мыслить,

необходимо, чтобы весь мыслительный процесс представлял неразрывную

и крепкую цепь, необходима известная чувствительность некоторых не-

рвных элементов, но эти последние могут обладать большой степенью уп-

ругости и могут воспроизводить данное состояние достаточно сильно только

в скором времени от момента усвоения, сохраняя эти состояния на более

или менее долгое время. Для того, чтобы шахматист играл хорошо или

математик хорошо вычислял, необходимо, чтобы первый помнил свои ходы,

а второй свои числа; но по окончании игры или вычисления, и те и другие

могут совершенно стереться из памяти.

Большим или меньшим развитием способности сохранения дан-

ного восприятием содержания обусловливается развитие человека. В то

время, как для человека дела эта способность не играет существенной роли,

ученый без памяти, как хранилища необходимых познаний, является со-

вершенно бессильным.

§19. Удерживающая память математика.

Но не у всех ученых удерживающей памяти дано то же значение. Ясно,

что чем более связи между различными объектами, запечатлеваемыми па-

мятью, тем легче их запомнить. Всякая связь делает необходимым запоми-

нание только части их числа, так как часть может уже без усилия воли

вызвать и всю остальную совокупность. Математику нет необходимости

удерживать в памяти все доказательство теоремы, необходимо лишь по-

мнить исходный и конечный пункт, и идею доказательства.

Правда, ученый-математик должен удерживать в памяти огромное

число формул и метод, но объем его памяти должен быть гораздо меньше,

чем у натуралиста или историка.

В то время, как математик, утеряв в памяти что-либо, может это

искать, восстанавливая промежуточные логические звенья между вспомя-

нутым и забытым, натуралист, историк, химик и т.д., имея часто дело с

совершенно обособленными и ненаходящимся между собой в связи объек-

тами,

должны совершенно в этом отчаяться.

100

Быстрое соображение, дающее возможность произвести подобные

розыски в самое короткое время, позволяет математику и при сравнитель-

но ничтожном объеме удерживающей памяти хорошо мыслить, между тем

как, например, натуралист без памяти огромного числа фактов и терминов

своей обширной номенклатуры совершенно бессилен.

От памяти математика требуется главным образом чувствитель-

ность, требуется, чтобы она быстро усваивала каждое звено той длинной

цепи,

через которую проходит мысль, и чтобы быстро и в неискаженном

виде воспроизводила его при переходе к последующим звеньям.

От математика требуется главным образом элементарная, а

не удерживающая память, требуется не 2-й, а 1-й и 3-й вышеупомяну-

тые моменты акта запоминания.

Взяв приведенное выше сравнение, можно сказать, что память ма-

тематика должна быть подобна гибкой и упругой поверхности.

§20. Различные роды памяти.

Нельзя сказать, что в этом исключительно состоит отличие математичес-

кой памяти. Нельзя сказать, что память совершенно равнодушна к содер-

жанию.

Иной легко запоминает музыкальные мотивы, другой, лишенный

этой способности, быстро запоминает цифры.

Правда, память, как мускулы, развивается упражнением, но для

существования памяти к известному классу восприятий, необходимо, все-

таки,

наличие некоторых элементов. Известно, что с музыкальной памя-

тью родятся, и из двух братьев, слышавших одни и те же мотивы, один

может запомнить все, а другой ни одного.

"Фактические данные современной психологии, - говорит Рибо

- говорят против воззрения, приводимого Дюгальдом Стюартом, что нера-

венства в способности сохранения памятью состояний различных типов

зависит от неравенства употребляемого нами внимания по отношению к

различным предметам и выбора, который ум делает из явлений и вещей,

обращающих на себя внимание. Мы имеем случаи удивительной зритель-

ной памяти художников Горация Вернэ и Густава Доре, рисующих портре-

ты на память, шахматистов, могущих a l'aveugle

играть несколько партий,

знаменитых счетчиков вроде Диаманди и Иноди, производящих

уме боль-

шие вычисления <...>.

Психологический анализ, таким образом, показывает, что не суще-

ствует единичной памяти, а есть только память множественная; точно так-

же нет и какого-либо определенного местонахождения памяти, а есть

столько различных мест, сколько [есть] различных видов памяти".

101