Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Воспоминание вовсе не находится, как часто говорят, в душе, оно

пребывает в месте своего возникновения в той или другой части нервной

системы.

Для такого рода частных памятей необходимо поэтому особое ана-

томическое устройство (например, органа зрения), соответствующее дан-

ному чувству.

§21.

Классификация родов памяти.

Какая память главным образом свойственна математику? Психологичес-

кий анализ не может удовольствоваться одним признанием существования

специфической математической памяти, он должен исследовать простей-

шие элементы, на которые разлагается этот сложный психический акт, дав

возможность с различных точек зрения отнести ее к более общим видам

памяти.

Прежде, чем провести на наш взгляд наиболее естественную клас-

сификацию видов памяти, мы сделаем одно замечание, на первый взгляд

представляющееся парадоксальным.

Память не сохраняет непосредственно отвлеченных понятий, она

сохраняет лишь ощущения, которые при своем воспроизведении застав-

ляют пас мыслить об этих понятиях.

Процесс воспоминания представляет движение от центральной не-

рвной системы к периферической, где, по мнению Рибо, мы и находим иско-

мое, но, прибавим, не мысль, а лишь отпечаток пережитого периферичес-

ким нервом ощущения, и только через обратное центростремительное дви-

жение воскресает понятие. Желая вспомнить, в чем состоит система Спино-

зы,

мы вспоминаем раньше термины: субстанция, атрибут, модус и т.д., ко-

торыми пользовался Спиноза, и только затем, постепенно, по ассоциации

идей,

воскресают в нашей голове различные пункты его системы. Желая

вспомнить математическую теорему, мы сперва вспоминаем или алгебраи-

ческую формулу, или чертеж.

Такой взгляд нас склоняет к признанию стольких видов памяти,

сколько существует видов ощущений. Но помимо этого, за ту же класси-

фикацию говорят и факты, ясно обнаруживающие специфический и неза-

висимый характер, слуховой, зрительной и т.д., к отдельным видам ощу-

щений относящихся памятей. А именно, возможно, например, существо-

вание сильной слуховой памяти при слабой зрительной, и обратно.

Итак, мы говорим, что существуют памяти: слуховая, зритель-

ная,

обонятельная, осязательная, вкусовая и мышечная..

Содержание обоняния, вкуса и осязания является слишком редким

предметом отвлеченного мышления.

Слова запоминаются некоторыми лицами слуховой памятью, так

что они вспоминают ухом, так сказать, слышат то слово, которое желают

вспомнить. Другие лица, вспоминая, вызывают зрительный образ напи-

102

санного слова. Это лица с преимущественным развитием зрительной па-

мяти. К этим двум типам, отмеченным некоторыми психологами, присое-

диняем еще третий, когда запоминаются не звуки, не изображение ряда

букв,

а манера писать данное слово, т.е. рад мышечных ощущений руки.

Этому типу свойственна мышечная память,

В виду того, что форма и размеры предмета познаются как соб-

ственно зрительными ощущениями, т.е. действием на нервные элементы,

соединенные с сетчаткой оболочкой глаза, так и мышечными чувствами,

непосредственно связанными с аккомодацией и конвергенцией глаза, то и

память о форме и размерах предметов может быть как зрительной, так и

мышечной, вследствие чего легко возможно смешение обоих видов памя-

ти.

Пространственная память, или память на взаимное расположение

предметов в пространстве, (в частном случае, их расстояние) есть частный

случай мышечной памяти.

§22. Пространственная память математика.

Геометру необходима именно этого рода, т.е. пространственная память, его

элементарная память должна быстро усваивать и легко воспроизводить

геометрические построения.

Память геометра - не зрительная память, геометр не помнит зри-

тельный образ чертежа, ои помнит только взаимное расположение линий и

поверхностей, или их частей.

Следует заметить, что, хотя память зрительная и пространствен-

ная представляют различные виды памяти, как различны ощущения цвета

и ощущения мышечные, тем не менее, они могут быть смешаны. Орга-

низм человека не имеет безупречной гармонии в том смысле, что ко всяко-

му движению, направленному к известной цели, присоединяются вторич-

ные автоматические движения, которые от низшей стадии развития до выс-

шей постепенно сокращаются, никогда, впрочем, окончательно не уничто-

жаясь.

Ребенок, начинающий писать, совершенно не может производить

движения только рукой, он двигает, обыкновенно, и языком, и мускулами

лица, и даже ногой, но мало-помалу он перестает делать эти излишние

движения. Точно таким же образом, желая запомнить фигуру, мы запоми-

наем невольно и цвета и тратим на последнее психическую энергию на-

прасно. Бесспорно, что у шахматиста, как и математика, центр тяжести

лежит в пространственной памяти, но к ней частью примешивается и зри-

тельная.

Впрочем, в иных случаях, те движения, которые являются до изве-

стного момента вторичными, могут потом заменить главные. Душа, стре-

мясь по линии наименьшего сопротивления, может поступить таким обра-

зом с целью легчайшего достижения известной цели. "Между шахматис-

J03

тами-игроками, - говорит Бинэ

, имеющими способность играть, не гля-

дя на доску, существует огромное число говорящих, что во время игры они

воображают шахматную доску и фигуры, как будто бы их видели. Иные

видят формы фигур, даже цвет".

Бинэ называет их память конкретной зрительной памятью.

По нашему мнению, цвет и фигуры в большинстве случаев - это

только вторичная память. Игроку достаточно помнить расположение коня

относительно пешки, но не цвет или те, или другие, особенности формы

этих фигур. Зрительная память, таким образом, большей частью здесь яв-

ляется бесполезной, но с другой стороны, бывает, что с ее помощью мысль

игрока бессознательно выбирает кратчайший, легчайший способ фиксиро-

вания и различения фигуры, Ей нет необходимости всегда помнить ход; ей

достаточно до поры до времени помнить только цвет и, хотя бы в очень

неясной форме, фигуру, и только в случае необходимости, по цвету и фигу-

ре восстанавливать ее ход. Впрочем, в виду того, что несколько пешек, два

коня,

две туры и т. д.- одного цвета, необходимы еще другие признаки их

различения, которые, вероятно, всегда исключительно пространственного

характера, так, правая тура, т.е. стоящая с правой руки, отличается от ле-

вой.

Эту конкретную зрительную память Бинэ отличает от зрительной

геометрической памяти тех шахматистов, которые, воображая шахматную

доску, не видят ни цвета, ни форм фигуры.

Единственным различием фигуры является тот путь, который она

должна сделать, чтобы достигнуть армии неприятеля. Такая зрительная

геометрическая память сводится к почти чистой пространственной памя-

ти;

зрительная память имеет очень слабый эффект.

Тем не менее она действует побочно и воспоминанием ходов раз-

личных фигур воскрешает вид шахматной доски; эти шахматные игроки

все-таки видят.

Исследование Бинэ устанавливает, что к пространственной памя-

ти шахматиста примешивается еще зрительная, Тот же факт имеет место и

у геометра, Вспоминая доказательство какой-либо теоремы, он мысленно

чертит чертеж таким именно образом и вспоминает взаимное расположе-

ние его частей; в этом воспоминании непрерывного ряда мышечных ощу-

щений и состоит геометрическая память. Но

этой памяти безусловно, как

в вышеприведенном примере шахматиста, примешивается и зрительная

память. Геометр часто видит чертеж, как видит шахматист доску при обе-

их разновидностях шахматной памяти.

Здесь, как и в мышлении шахматиста, могут быть как полезные,

так и вредные элементы. Вместе с необходимым запоминаются и затем

воспроизводятся памятью обозначения различных точек и углов, и другие

детали, являющиеся лишь балластом при мышлении. Но иногда переход

104

от мысленного черчения к видению есть акт полезный для души: это бес-

сознательный выбор линии наименьшего сопротивления.

В то время, как пространственная память разлагается на ряд мы-

шечных ощущений во времени и подобно осязанию ощупывает предмет,

зрение схватывает его во всей его целостности. Мысленное черчение дает

нам действительно чертеж, который мы видим в воображении и который

может сохраняться зрительной памятью.

Сделаем еще одно важное замечание, относящееся к математичес-

кой памяти.

На первый взгляд представляется, что математикам свойственны

два рода памяти: память геометрическая, т.е. память к геометрическим

построениям, и алгебраическая, т.е. память к алгебраическим формулам и

цифрам,

Но мы думаем, что память алгебраическая ничем существенно не

отличается от геометрической, и представляет ту же пространственную

память.

Мы ведь запоминаем не зрительный образ формулы

(а

-I-

Ь)

= а

и-

2ab + Ь

-Ь

и т.д.

а запоминаем эти формулы совершенно так же, как геометрические пост-

роения, т.е. как известное расположешге буш а, в и цифры 2 по отношению

друг к другу.

То же самое относится и к цифровой памяти,

§23.

Педагогическое значение математики.

В связи с психологическим исследованием математической способности

находится разрешение вопроса о педагогическом значении преподавания

математики.

Специфический характер математической способности является

причиной существования у некоторых лиц других умственных способнос-

тей,

значительно превосходящих норму, с почти полным отсутствием ма-

тематических способностей, Достаточно вспомнить два глубоко философ-

ских ума, широкие области которых, хотя и соприкасались между собой,

но в общем не совпадали, Я говорю о Гете и Дарвине.

Более того, наше исследование нам показало, что философский и

математический умы обладают психологическими элементами, находящи-

мися друг с другом в антагонизме. Философу, мысль которого работает все-

цело в лучах сознания, математические открытия могут показаться рядом

каких-то фокусов. Он согласится с доказательствами математика, но ему

покажется естественным задать вопрос (как [это делал] Шопенгауэр), от-

чего при доказательстве теоремы проводят ту или другую линию, и он ие

105

удовлетворится разъяснением, что такое действие потом приведет к желан-

ной цели. Ведь мы, покуда ведем исследование, скажет он, еще не знаем

этой цели. Что это за суфлер, который раньше времени нам все подсказы-

вает? Этот суфлер, как мы показали выше, это неточное мышление, глубо-

ко заходящее в подсознательные области.

Повторяем, математик подобен музыканту, который часть своих

быстрых и ловких движений должен совершать бессознательно, и для ко-

торого сознание может явиться лишь тормозом.

Математик мыслит быстро, математику присуще остроумие, но мы

не можем назвать математический ум умом высшей ценности.

Математический ум не видит того, что видит ум философский. Он

не видит, да и ие стремится увидеть, весь предмет; он видит только часть

его,

ту часть, которая служит как бы крючком, на который он прицепляет те

логические цепи, при помощи которых желает связать все им мыслимое.

Обычное заблуждение, присущее математикам, состоит в смеше-

нии всего предмета с этой небольшой частью, доступной их взору, в сме-

шении математических определений, скользящих, так сказать, только по

поверхности, с самой сущностью предмета. Разве понятие о вероятности

совпадает с понятием о некоторой дроби, которая служит в математике оп-

ределением вероятности? Понятие о кривизне шире, чем то определение,

которое дает геометрия. Математики с трудом могут примириться |с тем],

чтобы даже в геометрических аксиомах находилось что-либо, не поддаю-

щееся математической формулировке, что-либо кроме крючков, за кото-

рые можно было бы привесить длинную цепь доказательств. Знаменитый

математик Пуанкаре

доходит до того, что совершенно забывает созерца-

тельный характер геометрических аксиом н считает их за скрытые опреде-

ления... ergo, между геометриями четырех

трех измерений нет существен-

ной разницы!

Таким образом, ум в своем сознательном развитии, в стремлении

обнять окружающий мир более глубоким и широким взором, не найдет

себе в математике подходящей сферы, Такой ум должен необходимо выйти

за границы логических определений и математических терминов и доказа-

тельств, он должен видеть в предмете также и то, что не может быть выра-

жено никакими математическими формулами, то, для чего не только фор-

мула, но и слово может служить только намеком.

Таким образом, математические способности - ненадежное ме-

рило ценности ума.

Такое мерило аналогично оценке богатств человека по одному ко-

личеству десятин земли, забывая другое движимое и недвижимое имуще-

ство,

которое может существовать совершенно независимо от земли и да-

вать еще лучший доход. Специфический характер математической способ-

ности делает математику доступной не всем: некоторый, и довольно боль-

шой,

процент ее совершенно не понимает, у некоторых ее изучение почти

сводится к одному заучиванию механических действий над символами.

J Об

Чисто интеллектуальный ее характер, не говорящий ничего чув-

ству, делает ее интересной только крайне ограниченному кругу учеников.

Таким образом, не все могут ею заниматься и очень немногие же-

лают ею заниматься.

Поэтому в общем цикле преподавания в общеобразовательных за-

ведениях (а таковыми должны быть средние учебные заведения) матема-

тические науки не должны представлять основу общего среднего обра-

зования. Мы должны стараться, чтобы в предметах, ближайших к матема-

тике (таковы физика и космография) и неспособный к математике приоб-

ретал максимум познаний.

Педагогическое значение предмета может быть трояко:

1) предмет может быть полезен,

2) может давать гимнастику ума, упражнением развивающую его

гибкость и другие качества,

3) может развивать, расширяя кругозор учащегося.

Удовлетворяя первым двум требованиям, математика вряд ли удов-

летворяет третьему.

Едва ли математика, этот фундамент, но не вершина наук, может

расширить кругозор. Можно знать математику и кроме нее не знать ни

одной науки. Между тем, как физику необходимо до известной степени

знать также и математику.

Существование совершенно юных математических гениев, вроде

12-летнего Клеро, представляющего свой мемуар академии, или 20-лет-

него Галуа, создающего один из величайших отделов алгебры, указывает,

при каком узком кругозоре можно быть не только хорошим, но и гениаль-

ным математиком.

Мы слишком далеки от мнения Платона, начертавшего при входе в

свою академию слова: " Ауеооиетр-птос; еючто" (да не входит не

знающий геометрии). Если бы в душе самого хозяина академии не ужи-

вался рядом с геометром еще поэт, который контрабандой, вопреки вывес-

ке вошел в академию, то мы не имели бы платоновской философии. Но

этот случай уживания в одной душе геометра и поэта, создающего двой-

ственность души, случай очень редкий, явление вроде двойственности со-

знания. Обыкновенно звук каждой из этих струн души заглушает другую.

Не полагая математику основой среднего образования, мы тем ие

менее далеки от взгляда Шопенгауэра, по мнению которого единственная

непосредственная польза математики заключается в том, что она может

приучить рассеянный и легкомысленный ум сосредоточивать свое внима-

ние.

Главное педагогическое значение математики состоит в том, что

в математике, преимущественно перед другими предметами, ученику

предоставляется самостоятельная умственная работа.

107

В других предметах ему главным образом приходится понимать

мысли других, в математике при решении задач ему приходится мыслить

самостоятельно.

СЛУЧАЙ И БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ.

§1.

Теория вероятностей и будущее.

По теореме Якова Бернулли, по вероятности какого-либо события можно

судить о том, насколько часто будет появляться это событие при предстоя-

щем ряде испытаний. Если вероятность игрока выиграть партию равна

-j,

то следует ожидать на две партии одного выигрыша.

Если последнее правило будет систематически нарушаться, если

у игрока будут непрерывные полосы проигрышей по 20-30 раз, то мы со-

чтем такое явление настолько исключительным, настолько противореча-

щим выводам теории вероятностей, которая в подобных элементарных

выводах является здравым смыслом, выраженным математическими фор-

мулами, что будем вынуждены прийти

убеждению, что не случай опреде-

ляет исход событий, а нечестные действия партнеров.

Вероятность есть отношение числа благоприятных событию слу-

чаев к числу всех единственно возможных случаев, причем все случаи пред-

полагаютсяравно-возможными. Если

урне 10 белых и 10 черных шаров,

то вероятность вынуть черный (или белый) шар равна 10/20 = ^. При этом

предполагается, что вероятность выхода каждого определенного шара одна

и та же. Но если игрок сознательно вынимает белый шар, руководствуясь

осязанием по царапинам, предварительно нанесенным на каждом из чер-

ных шаров, то равновозможность случаев уже не имеет места, вероятность

уже ие определяется числом ^, и белый шар не следует ожидать 1 раз на 2

выхода.

Равновозможность случаев мы устанавливаем при предположении

совершенно идеальной обстановки, предполагая отсутствие каких-либо

факторов, действующих в строго определенном направлении, в сторону

появления событий какой-либо определенной категории. При определении

вероятности выхода черного шара из урны, где находятся как черные, так

и белые шары, мы предполагаем, что эти шары мы не видим, что мы не

можем осязанием различить черного от белого, что шары не положены в

урну преднамеренно нами же в таком порядке, что белые шары оказыва-

ются наверху, а черные - внизу, и потому белые первыми попадаются под

РУку.

Несходство действительно наблюдаемого числа появлений собы-

тий,

например, появления черного шара при последовательных вынима-

ниях шаров из урны, с тем, которое дается теорией вероятностей, указыва-

ет на наличие факторов, нарушающих эту идеальную обстановку, которы-

109

ми мы при машем вычислении вероятности и предвычислении ожидаемо-

го числа появлений события не могли пренебречь вследствие значительно-

го их влияния.

Обстановка, при которой производились испытания, оказывается

значительно отклоняющейся от той математической схемы, с которой она

отождествляется в теории вероятностей.

Теория вероятностей учит, что вероятность последовательного по-

явления счастливой карты равняется произведению вероятностей ее появ-

ления в каждой из партий, что эта вероятность мала, что случаи, когда

игрок выигрывает несколько раз подряд, очень редки. Если вероятность

выигрыша при одной партии а, то вероятность последовательных выигры-

шей при п партиях равна а". Но теория вероятностей смотрит на вероят-

ность событий, как геометр - на тела, или как механик - на движение,

принимая в расчет только наиболее значительные силы. Теория вероятнос-

тей предполагает, что ход игры зависит только от числа благоприятных

комбинаций карт и пренебрегает теми факторами, которые, хотя и имеют

место, ибо мы имеем дело с действительностью, а не с идеальной схемой,

но оказывают слишком слабое влияние на исход игры.

§2.

Математическая схема жизни и действительность.

Но столь ли незначительны тс силы, которые выводят действительность за

рамки этой геометрической схемы? Факты, о которых говорит и народная

мудрость, и горький опыт тех, которые имеют постоянное дело с случаем,

иногда резко идут против принципов теории вероятностей, указывая, что

геометрическая схема слишком тесна для жизни, мрачную глубину кото-

рой нельзя ни измерить, ни вычислить.

Они учат о полосах, счастливых и несчастных случаев, о неумоли-

мой и капризной судьбе, имеющей своих любимцев и пасынков. Во всех

этих случаях мы должны признать действие силы, которую теория вероят-

ностей не в состоянии изловить и выразить в числах.

Если вероятность выиграть в первую партию d, то, по теории ве-

роятностей, вероятность последовательных выигрышей в п партий равна

". Но, вследствие действия неведомого фактора, склоняющего судьбу в

сторону игрока, вероятность во вторую партию не а, а а -1-е

, где е

хотя

и малая, но некоторая, отличная от нуля, положительная величина, при

третьей партии вероятность не а и не a-l-s

, а а+е

, где е

> е

, затем

а+е

и т.д. Вероятность п последовательных выигрышей

ПО

и может быть значительно больше а" и даже очень велика, если члены

ряда

быстро возрастают. Под действием такой силы, вероятность выигрыша (или

проигрыша) при последовательных партиях возрастает.

Но такое действие, как учит горький опыт, имеет место лишь пока

полосы несчастных и счастливых событий продолжаются. Как известно

каждому, эти полосы обрываются сразу, игрок подобен канатному плясу-

ну, который каждую минуту рискует оборваться; он движется шаг за ша-

гом,

счастливый шаг дает ему уверенность в новом шаге, пока не дойдет до

последнего рокового шага, который и ввергнет его в пропасть. Счастье иг-

рока подобно приятному сновидению, которое внезапно обрывается, воз-

вращая его к прежней действительности. Посмотрим, что говорит "игрок"

Достоевского.

"Не помню я уже тут ни расчета, ни порядка моих ставок. Помню

только, как во сне, что я уже выиграл, кажется, тысяч шестнадцать флори-

нов,

вдруг тремя несчастными ударами спустил из них двенадцать; потом

двинул последние четыре тысячи в "раз" (но уже почти ничего не ощущал

при этом, я только был каким-то механизмом бессмысленным) опять вы-

играл,

затем выиграл четыре раза сряду. Помню только, что я забирал

деньги тысячами, запоминаю я тоже, что чаще всех выходило двенадцать

средних, к которым я и привязывался. Они выходили как-то регулярно,

непременно раза три, четыре сряду, потом исчезали на два раза и потом

возвращались опять раза на три или четыре сряду. Эта удивительная регу-

лярность встречается иногда полосами и вот это-то и сбивает с толку за-

писных игроков, рассчитывающих с карандашом в руках

Эти фанты отнюдь не приводят нас к признан™ метафизического

элемента, действия трансцендентной сущности, живущей вне времени и

пространства и направляющей судьбу игрока разумно к выполнению сво-

их, нам неведомых целей.

Нам представляется совершенно бесцельным и бессмысленным

распределение даров фортуны, как между различными людьми, так и для

одного человека в различное время.

Эти полосы счастливых и несчастных случаев представляют [со-

бой] нелепые подражания однажды происшедшему, причем не носят на

себе никакой печати разумной целесообразности и какого-либо интереса к

тому, несут ли они счастье или гибель человеку.

Здесь невольно возникает образ обезьяны или идиота, который тупо

повторяет телодвижения стоящего перед ним человека.

"Математическая" точка зрения устанавливается теорией вероят-

ностей и на всю человеческую жизнь, которую можно рассматривать как

ряд игр в том широком смысле слова, каким пользуется теория вероятнос-

тей,

где игроком является сам человек, ставящий себя на карту по своему