Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Космология, вьфастающая из точного естествознания, имеющая

свои корни в астрономии, возвышает свой голос за бесконечность вселен-

ной во времени и в пространстве.

Спор о бесконечности вселенной ведется главным образом на ло-

гической и гносеологической почве; аргументы те, о которых мы говорили

уже выше - решение проблемы о бесконечности вселенной в положитель-

ном или отрицательном смысле, становится в зависимость от того, при-

знается ли актуальная бесконечность свободной от противоречия, познава-

ема она или нет.

Но против бесконечности вселенной существуют возражения, так

сказать, чисто астрономического характера. Упомянем одно из них. Еще в

1826 году знаменитый астроном Ольберс сделал следующее замечание:

„Если число тел Вселенной, испускающих тепло и свет бесконечно, то каж-

дая точка пространства должна получить бесконечное число световых и

тепловых лучей, и, поэтому, должно быть бесконечно [много] тепла и све-

та".

Отсюда делается вывод, что число звезд не бесконечно велико, а ко-

нечно. Но при этом остается и другой выход, именно: предположение о

поглощаемости световых и тепловых лучей межзвездным пространством.

Кант

споре о бесконечности вселенной занимает, так сказать, ней-

тральную позицию. Он считает, что два положения:

а) вселенная имеет начало во времени и границы в пространстве и

б) вселенная безначальна и безгранична в пространстве, - пред-

ставляют так называемые антиномии.

Как первое положение (тезис), так и второе (антитезис) могут быть

с равным успехом доказаны в предположении, что мировое целое, т.е. пол-

ный ряд явлений, в нем дан. Но как то, так и другое положение должны

быть в действительности отвергнуты, поскольку мир сам по себе не суще-

ствует. Мир, каков он во времени и в пространстве, - это только наше

представление; мир как он [существует] в себе, (вещь в себе) недоступен

нашему восприятию.

Мир во времени и в пространстве, это только ряд последователь-

ных обзоров явлений. Часть вселенной в пределах нашей солнечной сис-

темы - это тоже только продолжение ряда восприятий. Говорить о беско-

нечном мире, значит признавать возможность беспредельного продолже-

ния того же ряда восприятий.

Говорить о конечном мире, значит указывать границы этому ряду.

Мы не будем исследовать кантовское разрешение антиномий. По

нашему мнению, ни тезис, ни антитезис не являются доказанными. Тезис

доказывается логически. Кант основывается на невозможности актуально-

го бесконечного числа. Об этого рода доказательствах мы уже говорили.

Но антитезис доказывается отнюдь не чисто логическим путем, а с

помощью гносеологических исследований, т.е. учения о субъективности

времени и пространства.

Литература к лекции IV

На русском языке:

1) Больцано. Парадоксы бесконечного. "Матезис". Одесса.

2) Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа. Перев. Шатунов-

ского. "Матезис". Одесса. 1909.

3) Васильев. Введение в анализ.

4) Жегалкин. Трансфинитивные числа. Москва. 1907.

На французском языке:

1) Carnot. Reflexions sur la methaphisique du calcul infinitesimal. Paris.

Gauthier Villars. 1881.

2) Cauchy, Sept lecons de physique generale.

3) Conturat. L'infini mathematique (богатая библиография).

4) Evellin. Iiifinic etquantite. Gernier Baillere. 1880.

5) Borel. Theorie des fonclions. Paris. Gauthier villars. 1898.

На немецком языке:

1) Cohn. Geschichte des Unendlichkeitsproblems. Leipzig. Engelmann. 1896.

2) H. Cohen. Das princip der Infinitesimal-Methode und seineGeschiclue.

Berlin. 1883. (богатая библиография).

3) Du Bois-Reymond. Allgemeine Functionen theorie.

4) G. Cantor. Grundlagen einer allgemeinen Mannicllfaltigskeitslehre

(einmathematisch-philosophischer dersuch in derLehre des Unendlichen).

Leipzig. Teubner. 1883. См. также его статьи в Mathematische Annalen

t. V, XV, XVII, XX, XXI, Journal de Crelle: t. LXXXVH, LXXXIV, Acta

Mathematica t.VII.

5) Geissler. Die Grundsatze und das Wesen des Unendlichen in der

Mathematikund Philosophie. Leipzig. Teubner. 1902.

ПСИХОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МЫШЛЕНИЯ.

Введение.

Современная эмгафическая психология, идя по пути других эмпирических

наук, кропотливо собирает факты, чтобы не иначе, как опираясь на них,

получить общие выводы, относящиеся к различным явлениям психичес-

кой жизни. При этом очевидно, какое значение должны иметь для психоло-

гии всевозможные монографии, относящиеся к различным, порой весьма

специального характера, явлениям.

Эти монографии являются часто драгоценными хранилищами фак-

тических данных. Но этим не ограничивается их значение для более обще-

го характера вопросов психологии.

Изучая какую-либо специальную душевную способность, напри-

мер,

талант художника или поэта, мы встречаемся с более яркими и более

дифференцированными проявлениями различных психических способно-

стей,

чем те, которые мы можем заметить, наблюдая психическую жизнь с

более общих точек зрения. Изучая, например, фантазии поэта, мы, правда,

изучаем фантазии со специальной окраской, но бесспорно, что в этом изу-

чении мы черпаем и более глубокие познания о фантазии вообще, так как

поэзия - это именно та область, где эта способность является в наиболь-

шем своем блеске.

Во французской психологической литературе мы находим отдель-

ные психологии специальных способностей: Внимания, Памяти, Страсти

(Рибо), Смеха, Трусости (Дюгас), Радости и Грусти (Дюма) и т.д., затем

психологии различных профессий: музыканта (Дорьяко), художника (Ар-

реа) и т.д.

Нам представляете не лишенной интереса и значения и психоло-

гия ученых разного рода, среди которых особенного внимания заслужива-

ет психология математика и главным образом не психология характера, а

психология мышления.

В виду совершенно специфического характера математического

мышления и математического таланта, такого рода монография была бы в

особенности интересна.

Чем ум математика отличается от ума другого ученого? Может ли

всякий даровитый ученый стать хорошим математиком? Может ли способ-

ность к математике считаться мерилом ума?

Тот факт, что такие светила, как Гете и Дарвин, сознавались в пол-

ной своей неспособности к математике, указывает на то, что способность к

математика не всегда присуща даже гениальным людям, что между мате-

магическим умом и нематематическим есть существенная разница, иссле-

дование которой представляет большой интерес для психологии.

Предлагаемый нами краткий труд на эту тему отнюдь не представ-

ляет собой работы вполне в духе французской психологической школы. Мы

не имеем возможности собрать достаточно фактов. В то время, как поэты и

художники о себе пишут много и порой даже слишком много, математики

при своей объективности в противоположность субъективности поэтов,

говорят о себе очень мало, а чаще даже совсем не говорят.

От недостатка фактических данных, а равным образом от того, что

исследуемая область заключается в области на наш взгляд еще мало иссле-

дованной, а именно в психологии мышления, выводы наши могут местами

показаться несколько смелыми и значительно выходящими за рамки наме-

ченной нами темы.

Мы позволяем себе назвать психологию мышления малоисследо-

ванной, несмотря на широко развитую теорию ассоциаций, так как после-

дняя,

по нашему мнению, скорее относится к свободному течению пред-

ставлений, к мышлению образами, но не к отвлеченному мышлению поня-

тиями математика, и едва ли она дает разгадку тому, каким образом мате-

матик может с большей или меньшей скоростью и с большей или меньшей

удачей вызывать в мысли длинную цепь умозаключений, ведущих его к

намеченной цели. Нам кажется, что при всех этих недостатках предлагае-

мая в настоящей статье попытка может иметь некоторое-значение главным

образом потому, что она написана специалистом-математиком. На месте

фактов, собранных от многих лиц, у нас стоит самонаблюдение, которое,

конечно мы не претендуем считать равносильным тем богатым фактичес-

ким материалам, которые даются в вышеупомянутых французских моно-

графиях. Мы льстили себя надеждой, что может быть эта еще не вполне

совершенная попытка вызовет другие, более удачные, вызовет собирание

более полного фактического материала и более строго на нем обоснован-

ных выводов.

§1.

Закулисная работа математической мысли.

В математическом мышлении следует различать два процесса: постанов-

ку проблемы и ее решение.

Первый процесс вовсе не сокращается до произвольного выбора.

Научным математическим мышлением не может быть названо последова-

тельное решение ряда уравнений, произвольно нами написанных. Взятая

для решения проблема не выбирается, а скорей разыскивается. Научную

ценность она приобретает только тогда, когда она полезна для науки.

Под пользой следует разуметь отнюдь не практическую жизнен-

ную пользу, а значение проблемы для стройности и простоты всей науки,

как синтез различных дисциплин в том смысле, что решение этой пробле-

мы может создать большую гармонию между различными ее частями ука-

зывая, что

1)иекоторые истины представляют только частные случае более

общих,

2)что части, па первый взгляд, грубые и разнородные, имеют между

собой шетимную связь и, наконец,

3)что к уже открытым истинам через ряд новых проблем открыва-

ется более простой и скорый путь.

Конечно, для успешной постановки подобного рода проблемы глав-

ным необходимым условием является творческое воображение. Оценка

проблемы предполагает иногда как бы наперед ее решение. Для того, что-

бы утверждать, что данное положение служит звеном, связующим более

кратким путем два положения, следует знать это положение.

Относительно положения: "все В суть D", мы не можем утверж-

дать,

что его связуст положение "А есть В и А есть С", раньше чем не

узнаем, что все "D суть С". Таким образом, уже при самом выборе пробле-

мы иногда необходимо делать гипотезу, необходима не точная цепь силло-

гизмов, а воображение.

Процесс разыскания решения поставленной проблемы начинается

с составления гипотетического плана ее решения, разбивки ее на несколько

частных вопросов, решение которых, по нашему расчету, приводит нас к

решению интересующей нас проблемы. Так, при решении геометрической

задачи на определение какой-либо геометрической величины через дру-

гие,

мы рассчитываем прийти к определению неизвестного через последо-

вательное определение других неизвестных. Приступая к решению перво-

го вопроса, а затем, в случае удачи, второго и всех остальных вопросов,

мы первым делом прибегаем к памяти, стараясь подвести его, как част-

ный случай, под уже известные нам проблемы.

Только в случае неудачи, которая может явиться следствием как

недостаточного запаса познаний, так и отсутствия вполне подходящих ме-

тодов на современной стадии развития науки, мы приступаем к самостоя-

тельному поиску решения. Если мы теперь проанализируем эти поиски,

то увидим, что закулисная, сторона точного мышления носит совсем

другой характер, чем тот ряд теорем в готовом и законченном виде,

каждый член которого не колеблясь тянет последующие.

Точный разул», двигающей эту цепь теорем, повернут спиной по

направлению своего движения; он видит тот путь, который прошел, но не

видит того, который ему следует пройти. Один он шел бы действительно

вперед; из посылки он вполне точно выводил бы заключение, но он никог-

да бы не знал, куда идет, он не мог бы решить ни одной наперед поставлен-

ной задачи. Решение какой бы то ни было задачи, не подходящей прямо

под общий случай, делающий решение чисто механическим, требует по-

мощи гипотезирующего и колеблющегося разума. Мы делаем ряд попы-

ток, более или менее удачных, при нахождении решения. Конечно, при

выборе различных путей для решения мы не предоставлены вполне игре

воображения, Главным двигателем здесь является аналогия. Если нам при-

ходит в голову та или иная попытка, так именно потому, что она приносила

успех в аналогичных случаях, Что же касается степени аналогии данного

случая со случаем известным, то эта аналогия может быть весьма поверх-

ностной. Если нам дано какое-либо дифференциальное уравнение, то, от-

чаявшись подвести это уравнение под уже известные типы, мы стараемся

проинтегрировать его, применяя различные методы, применявшиеся к ин-

тегрированию других аналогичных дифференциальных уравнений. Но оче-

видно, что те аналогии, которые заставляют блуждающую мысль остано-

виться на той или другой методе, часто не идут дальше внешнего вида пред-

ложенного уравнения, Вполне естественно, если математику в тот момент,

когда он убедится, что уравнение:

(а

х + Ь

)у<"> + (а,х + Ь

(

)у<"-

[

> + ... (а

(

х + Ь,

)уу' + (a

x + b

)y =

не подходит ни под один из известных ему типов дифференциаль-

ных уравнений, придет на мысль попытка интегрировать это уравнение

подстановкой y=e

, как линейное уравнение с постоянными коэффициен-

тами.

Конечно, такая мысль придет только вследствие чисто внешней ана-

логии формы этих двух весьма различных по своим свойствам уравнений.

У опытного математика не будет детального проведения этой по-

пытки, приводящей, конечно, к неудаче, Такая мысль пробежит в один мо-

мент поле его сознания, так как, при привычной ему быстроте в этой обла-

сти соображения, неудача ему будет почти очевидна. Но начинающий вос-

произведет все выкладки.

Возьмем более сложный пример. Известно, что эйлеровское урав-

нение

dx dy

V»w"

Л)'

где R (х) полином 4-ой степени имеет алгебраический интеграл. Обобще-

ние эйлеровских исследований на случай, когда R (х) полином какой угод-

но степени, может иметь интерес и значение для науки. Бесспорно, что не

один исследователь, до развития теории ультра-эллиптических интегра-

лов,

делал попытки обобщения, при этом конечно он вполне доверялся по-

строенной им гипотезе о возможности существования алгебраического ин-

теграла у обобщенного эйлеровского уравнения. Приступая затем к интег-

рированию такого уравнения, этот исследователь не обладал другим ору-

жием,

кроме заключения по аналогии, и конечно первой мыслью у него

должна была бы явиться попытка применения к тому же уравнению тех

методов, которые употреблял Эйлер для своего уравнения; эта попытка не

увенчалась бы успехом, так как при производстве выкладок обнаружилось

[бы],

что успех методы Эйлера зависит от сокращения некоторых членов,

которые не сократятся в общем случае, и поэтому в известном пункте цепь

рассуждений обрывается. В этом примере мы видим не только ошибоч-

ность предположения, относящегося к методе решения предложенной про-

блемы, но и ошибочность сделанного предположения относительно резуль-

тата, который придает главным образом ценность исследуемой проблеме.

Подобное описание механизма закулисной работы математичес-

кой мысли согласно с показаниями математиков.

"В разговоре о роли воображения в научных трудах, - говорит Ли-

бих, - один великий французский математик выразил мнение, что боль-

шинство математических истин приобретены ие дедукцией, а вообра-

жением'".

Цитируя это место, Рибо

справедливо замечает, что этот матема-

тик мог бы сказать "все", не сделав ошибки.

"Всякое математическое открытие - сперва гипотеза, которую сле-

дует доказать, т.е. привести к общим принципам, предварительно установ-

ленным; перед решительным моментом рациональной проверки она толь-

ко воображаема"...

Мы со своей стороны должны сделать только следующую поправ-

ку: эта гипотеза не только воображаема, она выбрана не пустой игрой во-

ображения, она есть плод или аналогии, как мы упомянули выше, или ин-

дукции, как гипотеза эмпирической науки.

"Рассуждение, - говорит также Рибо, - это только средство контро-

ля и проверки; оно преобразует труд воображения в следствия - допусти-

мые и наличные. Если предварительно не воображали, метод без цели и

без употребления, так как невозможно рассуждать о совершенно неизвест-

ном.

Даже когда кажется, что проблема движется одна к решению од-

ним рассуждением, воображение беспрестанно входит под формой ряда

попыток...".

$2.

Синтез и анализ.

Обыкновенно различают две методы разыскания решений математичес-

ких проблем: анализ и синтез.

Дюамель в "Методах умозрительных наук", подвергая строгой кри-

тике различные определения анализа и синтеза, останавливается на следу-

ющем описании анализа:

1-я форма анализа. Метод для доказательства гипотез:

"Когда требуется найти доказательство данному предложению, то

сначала ищется - может ли оно быть выведено как необходимое следствие

из принятых предложений, и если так, то оно само должно быть принято и

будет, следовательно, доказано. Если нельзя открыть, из каких известных

предложений оно может быть выведено, то отыскивают, из какого непри-

нятого еще предложения оно могло бы быть выведено, и тогда вопрос сво-

дится к доказательству истины последнего предложения. Если оно может

выводиться из принятых предложений, то будет признано истинным, сле-

довательно, и предложенное; если же нет, то нужно искать, из какого не-

принятого еще предложения оно могло бы быть выведено, и вопрос опять

приводит к тому, чтобы доказать истину этого последнего. Таким образом

следует продолжать до тех пор, пока не будет достигнуто предложение,

признанное истинным, и тогда истина предложенного будет доказана. От-

сюда видно, что метод, названный анализом, состоит в установлении цепи

предложений, начинающейся с того, которое желают доказать и кончаю-

щейся известным; цепь составляется при этом такими предложениями, из

которых каждое, начиная с первого, должно быть необходимым следстви-

ем последующего. Откуда происходит, что первое является следствием пос-

леднего и поэтому столь же истинно, гак последнее" §5.

Анализ Дюамель называет методой приведения. Роль гипотезиру-

ющего разума здесь состоит в установлении следующих гипотез, требую-

щих проверки;

1) Предположения, которое следует доказать. Это основная гипо-

теза, в которую мы не перестаем верить во все время анализирования.

2) Целого ряда гипотез, относящихся к каждому из предложен™,

которые мы хотим включить в цепь доказательства, которые во время про-

цесса анализирования отстраняются одна задругой по причине или их лож-

ности, или бесполезности для нашей цели, т.е. для нахождения связи пред-

ложенной гипотезы с известной, вплоть до того момента, когда удастся

найти полный ряд подходящих промежуточных положений.

Отмечаемая Дюамелем другая форма анализа, названная "анали-

тической методой решения проблем", состоит в сведении предложенной

для решения проблемы к другой, так что при решении ее первая будет ре-

шена, этой другой к третьей и т.д., noica не достигнем такой, решение кото-

рой известно §28; все в конце концов переходят в первую. Для того, чтобы

судить о том, что та проблема, к которой сводится данная, проще нее, надо

иметь хоть какое-либо представление о том, как она может быть решена,

т.е. необходима гипотеза, к ней относящаяся, необходимо иметь доказа-

тельства, хотя бы спорные, для некоторых положений.

"Синтез, другая метода математического исследования, состоит, по

Дюамелю, в том, что из предложений, принятых истинными, выводятся

другие, как необходимые следствия, из этих новые и таким образом далее

до тех пор, пока не достигнем данного, которое в этом случае само призна-

ется истинным". §38. Это, по мнению Дюамеля, метод редуктивпый. Та-

ким образом и в синтезе устанавливаются гипотезы для проверки:

1) основная, относительно истинности высказанной теоремы.

2) гипотеза, что данную известную теорему можно взять за исход-

ный пункт, и что выводимые из нее другие теоремы идут в надлежащем

направлении.

Относительно второй формы синтеза, указываемой Дюамелем, мы

можем сделать совершенно то же замечание, гак о второй форме анализа.

С какой методы свойственно математическому уму начинать свои

исследования?

Вообразим себе, что мы перенесены с завязанными глазами в ка-

кое-либо неизвестное нам место, где мы видим ценные сокровища, кото-

рые мы желаем постепенно перетащить в свой дом. Должны ли мы искать

тотчас дорогу домой или ждать, когда мы опять тем же образом попадем

домой и начать поиски уже оттуда? Я думаю, что покуда нам не снимут с

глаз повязки, мы не больше будем иметь надежды перенести к себе эти

сокровища, чем в том случае, если бы мы их видели во сне. Если мы в

конце концов благополучно решаем проблемы и к высказываемым нами

теоремам приставляем доказательства, так это именно потому, что наши

глаза не завязаны непроницаемой повязкой. До того, как лучи строгого и

ясного познания осенят наш мозг, мы все-таки видим, хотя видим весьма

мало и в густом тумане, Мы не можем сказать, начинает ли мысль с альфы

или с омеги? Но мы наверное знаем, что она вначале указывает, хотя бы

гипотетично, на основании самых поверхностных аналогий, что здесь аль-

фа, а там омега, что высказанную теорему или заданную проблему можно

связать именно с этим данным и уже известным положением или пробле-

мой.

Затем ощупью мы начинаем разыскивать и промежуточные звенья.

"За синтезом, - говорит Дюамель, - важная невыгода, что он ие

указывает причину, заставляющую выбирать пункт отправления, так и вся-

кое из последовательных следствий".

Поэтому может показаться, что мысль, чувствуя себя более колеб-

лющейся при гипотезе, всегда предполагает начинать с более верной мето-

ды,

именно с анализа, Но то же обвинение ложится и на анализ.

Откуда мы можем знать, что то положение, к которому приводится

данное, ведет нас ближе к цели? Верно, что в синтезе гипотетична точка

исхода, но нет сомнения, что в этом случае направление самого движения

более определяется, чем в анализе. Ведь мы здесь находимся в том же по-

ложении, как в том случае, когда соединяем две точки линией. В ан&чизе

же такая точка только одна, это то положение, к которому подыскиваем

доказательство, и направление линии здесь находится еще в большей нео-

пределенности, чем в первом случае.

Нам представляется совершенно ошибочным мнение Дюамеля, по

которому "синтетический метод совершенно неприложим для открытия

способа решения предложенных проблем, что им можно открывать только

случайные проблемы". Если бы это было так, то такой метод не имел бы

никакой цены, как метод исследования, за ним оставалось бы значение толь-

ко методы изложения и, притом, методы крайне искусственной. Ведь, как

мы выше заметили, случайных проблем, не находящихся в связи с целым,

наука ие признает; мы не должны предаваться в науке свободному течению

представлений. Из данной теоремы можно выводить бесконечную массу

следствий, но вряд ли это можно признать за научное мышление.

На такой точке зрения относительно синтеза стоит пор-рояльская

логика, считающая анализ за метод разрешения, а синтез за метод состав-

ления или метод доктрины.

Совершенно справедливо говорит Арно (Дюамель), что доказы-

вать происхождение данного лица от Людовика Святого можно

двояко:

ука-

зывая его отца, деда и т.д. вплоть до Людовика (анализ), или, начиная с

Людовика, переходить к его детям, внукам и т.д. вплоть до данного лица

(синтез). Мы прибавим, что таким образом не только доказывают, что дан-

ное лицо - потомок Людовика Святого, но и разыскивают генеалогию дан-

ного лица. Для доказательства происхождения данного лица от Людовика,

причем, конечно, до начала разыскания, должно быть какое-либо основа-

ние подозревать это высокое происхождение; не идут только в одном на-

правлении от данного лица

его предкам, но стараются подробнее изучить

и генеалогию Людовика, и именно в том направлении, в котором могут

встретить какие-либо намеки на возможность происхождение фамилии

данного лица от потомков Людовика, Вернее всего, что мысль поступает

аналогично тому, как мы поступаем, желая продеть нитку в иголку: мы

двигаем как ниткой, так и иголкой. Движение идет с обоих концов: мы

попеременно и приводим и редуцируем.

Из известного положения, представляющегося иам подходящим,

мы выводим следствия, обещающие привести нас к цели, неизвестное или

недоказанное приводим к другим, тоже недоказанным, и так продолжаем,

пока оба наши движения не столкнутся на одном общем положении и не

обратятся в непрерывное течение.

§3.

Сводятся ли математические способности к

трудолюбию, соединенному с хорошей памятью?

Успех, более или менее быстрый, при разыскании решения задачи зависит

от числа неудачных попыток и от большей или меньшей скорости от-

дельных проверок. Как

то,

так и другое находится в зависимости от памяти

и содержания последней, т.е. в зависимости от более или менее сильных

воспроизводительных способностей.

Отсюда следует, что хорошая, математическая способность, пред-

полагает сильную память и причем, главным образом, на предметы того

типа, с которым имеет дело математика. Следует заметить, что очень пол-

ное содержание памяти может до известной степени компенсировать сла-

бость последней. Если много знающему трудно вспомнить какую-либо оп-

ределенную методу, то в его распоряжении остается целый выбор других

метод, из которых хотя бы одна придет ему на ум, и в этом случае может

столько же выиграть как сильная, но бедная память, принужденная оста-

ваться при одной в ней содержащейся методе.