Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Но причина такой кажущейся невероятности чисто психологичес-

кая,

это факт скрытых аксиом, которые и дают нам своего рода ходули при

логических построениях. Полную систему аксиом нам трудно, а может быть,

психологически и невозможно собрать.

Но,

если мы предположим ее собранной, то можно утверждать, что

выведение всех положений математики может быть совершено по прави-

лам формальной логики, при этом возможность эта рассматривается с ло-

гической точки зрения, а ие с психологической.

То,

что может быть невозможно психологически, возможно логи-

чески. Но логическая точка зрения отличается также и от гносеологичес-

кой.

Возможность выведения математических положений из аксиом не есть

еще возможность их познания, ибо познание не дается одной логикой.

Установка логических аксиом для интуитивного материала, подве-

дение последнего под логические категории требует операций, которые ие

могут быть выражены никакими логическими формулами.

Интеллектуализм Рассела и Кутюра заходит слишком далеко, ут-

верждая, что построение всего математического знания возможно из чисто

логических понятий и аксиом.

Кант называет аналитическими такие суждения, в которых только

раскрывается содержание подлежащего, и синтетическими [те суждения]

в которых подлежащему прибавляется нечто новое.

"Тело протяженно" - суждение аналитическое, ибо уже в понятие

тела входит признак протяженности.

"Тело весомо" - суждение синтетическое.

Для обоснования интеллектуализма следует прежде всего доказать,

что математические суждения не представляют [собой] суждений синтети-

ческих.

Для этого, конечно, открывается единственно возможный путь:

доказать возможность чисто логических определений математических

объектов и выведения из этих определений всех положений математики.

Но легко увидеть, что этим Кант еще не опровергнут. Синтетический мо-

мент [состоит] отнюдь не в выведении из аксиом, относящихся к некото-

рым логическим признакам геометрических объектов (принимаемых ло-

гиками за определения), дальнейших положений, по в приписывании объек-

ту, данному интуицией, определенных логических признаков.

Прямая дается нам интуицией, в этом интуитивно данном отнюдь

не заключается определяемость прямой двумя точками или пересекаемость

двух прямых в одной точке или аксиома о параллельных. Для этого необ-

ходим акт, привносящий нечто, не заключавшееся в первоначально дан-

ном представлении прямой.

Синтетические суждения в геометрии именно и возможны, соглас-

но Канту, благодаря пространственной интуиции. Гносеология поэтому

выдвигает на первый план проблему пространства и реальной (но не логи-

ческой) возможности неевклидовых пространств.

В популярно-научных сочинениях, относящихся к неевклидовым

геометриям, часто для оправдания существования последних приводятся

аргументы в пользу возможности реального существования пространства

с устанавливаемыми ими свойствами. Наиболее доступной для понимания

является иаивно-реалистичсская и эмпирическая точка зрения. Простран-

ство рассматривается как вещь, которая представляется нам почти такой

же,

какова она в действительности. Опыт знакомит нас со свойствами про-

странства совершенно так же, как он знакомит нас со свойствами окружа-

ющих предметов и совершенно так же, как мы можем сделать незначи-

тельную ошибку в каких-либо опытных измерениях, мы можем сделать

или даже делаем в тех основных свойствах, которые мы на основании опы-

та приписываем пространству. Мы можем, например, ошибиться относи-

тельно аксиомы о параллельных, утверждая существование одной прямой,

проведенной через точку М и не пересекающей данную L, не заметив бес-

конечного множества таких прямых, заключающихся в очень малом про-

странстве, или может быть совершенно недоступном опыту.

Согласно этому воззрению, математические знания становятся воз-

можны только благодаря опытной индукции, предшествующей логическим

построениям.

Эти взгляды развиты Гельмгольцем. По Гельмгольцу, например,

аксиома свободной подвижности, утверждающая возможность неизменно-

го передвижения геометрических фигур, лежащая в основе учения о конг-

руэнции, дается опытом, наблюдением твердых, не деформирующихся тел.

Существо, живущее в мире быстро деформирующихся облаков и водных

течений, не могло бы иметь подобной аксиомы.

Но уже в этом взгляде ясно выступает ошибка эмпириков. Неиз-

менность или деформация твердого тела сознается сравнением его формы

с первоначальной, т.е. измерением. Измерение же само предполагает неиз-

менную меру, т.е. логически постулирует свободную подвижность.

Но,

если, стоя на реалистической точке зрения, признать простран-

ство реально существующим, но не только субъективной формой нашей

интуиции, как это делает Кант, то было бы разумнее предполагать ошибку

в его восприятии гораздо больше, чем та, которая обнаруживается взамен

действительно существующей геометрии Лобачевского "неточной" евкли-

довой геометрией.

При реалистических предпосылках несравненно последовательнее

Дельбеф. По его мнению прямые, круги, параболы нашего ума ие суть сред-

ние приближения, результаты опытной индукции, это типы, подражания

реальным явлениям, то, что мы получаем первым, так сказать, грубым

приближением, в предположении, что нет разнообразия в пространстве и

времени. Поэтому, по Дельбефу, мы получаем два пространства: одно иде-

алыгае, геометрическое, другое эмпирическое, причем последнее есть вме-

сте с тем и реальное.

Постулат возможности существования подобных фигур (аксиома

Валлиса), эквивалентный постулату параллельных, выставляется Дельбе-

фом как одно из основных свойств идеального пространства, как основной

постулат однородности (гомогенности), который формулируется следую-

щим образом:

"Всякий quantum можно рассматривать как уменьшенный или уве-

личенный образ большего и меньшего quantum ".

"Сказать, - замечает Дельбеф,- что пространство, которое мы на-

селяем, евклидово, что фигуры могут быть вычерчены в различных масш-

табах, сводится к тому, чтобы сказать, что, если все измерения во Вселен-

ной будут увеличены или уменьшены в одинаковом отношении, мы не бу-

дем в состоянии заметить этого изменения; это сказать: наша вселенная не

имеет абсолютной величины, а только относительную". Чтобы образно

показать, что реальному пространству не присуще свойство гомогенности,

Дельбеф заставляет фиктивное существо Мегамикрос совершать путеше-

ствие, изменяя свои размеры, переходя из нашего мира в мир лилипутов,

но являясь в этом последнем не в роли Гулливера, а сокращаясь до разме-

ров лилипута. Перелет Мегамикроса в это волшебное царство совершает-

ся во время его сна. Предположим, что в этой стране сохранена полная

пропорциональность частей, что планета лилипутов представляет нашу

землю во всех ее деталях, но только с радиусом, уменьшенным, скажем, в

20 раз.

Если эмпирическое пространство однородно, как геометрическое,

то Мегамикрос никогда не догадается, что он совершил во время сна путе-

шествие. Но на самом деле будет не так. На каждом шагу он будет встре-

чаться с такими явлениями, которые совершенно ясно будут говорить ему,

что он находится не на своей родине. Так например, если для утоления

жажды на своей родине он выпивал ежедневно 4 стакана воды, то в стране

лилипутов, он сейчас же заметит, что 4 лилипутовых стакана будет ему

мало,

ибо в то время как объем стакана уменьшился в 20

= 8000 раз, по-

верхность тела его, а потому и скорость испарения, уменьшилась лишь в

= 400 раз. Поэтому ему придется выпить не 4, а 80 стаканов.

Ясно,

что при воззрениях Дельбефа неевклидова геометрия не най-

дет себе места, ибо геометрическое пространство евклидово, а эмпиричес-

кое таково, что для него не может быть уже никакой геометрии. Но против

Дельбефа можно выставить возражение, состоящее в том, что он опровер-

гает однородность не пространства, а вселенной. Пространство получает-

ся только по исключении различного рода чисто физических свойств.

Мегамикрос должен был совершить прогулку в пространстве; как

бесплотный геометрический дух, интересуясь только геометрическими

фигурами. Если бы ему необходимо было создать более богатую обстанов-

ку, т.е. окружить эти фигуры вселенной, "подобной" настоящей, такой, что-

бы невозможно было уловить изменение, то необходимо было бы умень-

шить в соответствующей пропорции молекулы, а в этом случае, как пока-

зал Лешаля, вычисления Дельбефа оказываются неверными.

Если Дельбеф отделяет геометрическое пространство от эмпири-

ческого и последнее признает реальным, то Лотце, тоже противник метаге-

ометрии, отожествляет геометрическое с эмпирическим, противополагая

ему реальное. У него тоже два пространства, причем второе еще менее

походит на геометрическое, чем эмпирическое пространство Дельбефа. Оно,

по выражению самого Лотце, также отличается от геометрического про-

странства, как интервал между двумя нотами отличается от прямой линии.

Оно состоит во взаимоотношении между монадами, сознающими эти вза-

имоотношения, как модификацию их внутренних состоянии. Таким обра-

зом это "второе" пространство таково, что для него какая-либо геометрия

представляется невозможной. А так как первое пространство единствен-

ное,

представляемое нами евклидовым, то отсюда вытекает невозможность

других пространств, кроме евклидова.

Влияние Канта достаточно сильно в гносеологии, чтобы грубо реа-

листические и эмпирические взгляды могли бы долго выжить. Более глу-

бокий анализ естественно приводит метагеометров к Канту. В основе гно-

сеологических взглядов Канта лежит учение о пространстве и времени как

априорных формах интуиции. По учению Канта пространство не дается

нам опытом, а само предваряет всякий опыт и, в противоположность уче-

нию Ньютона, не представляет собой находящееся вне нас вместилище

вещей, [также как], в противоположность учению Лейбница, не является

свойством этих последних, а представляет собой субъективную форму, на-

ходясь не вне нас, а внутри нас.

Аксиомы арифметики и геометрии даются интуицией и представ-

ляют [собой] синтетические суждения.

Защитники иного существования метагеометрии, чем логическое,

должны были сделать уступки Канту. Сдаться ему вполне они не могли,

ибо "чистый Кант" признавал только одну геометрию, т.е. ту евклидову

геометрию, которая дается интуицией. Априорность пространств доказы-

вается Кантом аподиктичностью (т.е. характером безусловной необходи-

мости) аксиом и, обратно, из априорности выводится аподиктичность ак-

сиом.

Признавая другие геометрии, мы посягаем на аподиктичность ак-

сиом и вместе с тем и на априорность пространства.

Поэтому следовало не во всем уступать Канту, необходимо было

создать нового Канта или "полу-Канта".

Полукантианцем является Рассел, справедливо отделяющий гно-

сеологическую точку зрения от психологической, смешение которых на-

блюдается у Канта. Отличая вопрос о субъективности пространства, как

вопрос психологический, от вопроса об априорности, как вопроса гносео-

логического, Рассел исследует только последний, признавая только некото-

рые свойства пространства предваряющими опыт.

Но в то время, как для Канта пространство представляет [собой]

голую интуицию, причем аксиомы геометрии даются только интуицией, по

Расселу пространство предваряет опыт, как концепция, понятие, из которо-

го вытекает логически ряд пространственных аксиом. Априорным про-

странство является только как концепция формы внешности, дающей воз-

можность рассматривать объекты опыта, как находящиеся во внеположен-

иости, одно вне другого. Все остальные признают пространства не предва-

ряют опыт, а являются элементами апостериорными, данными опытом.

Нельзя сказать, чтобы выводы априорных аксиом из концепции

формы внешности молено было бы признать строгими и едва ли Рассел

мог бы их уложить в строго логические схемы, построенные по правилам

его формальной логики.

Аксиомами априорными являются прежде всего его зрительные

аксиомы. Из аксиом метрических:

1) Аксиома свободного передвижения: пространственные величи-

ны могут быть перемещаемы без деформаций.

2) Аксиома измерений: пространство имеет конечное число изме-

рений.

3) Аксиома расстояния: существует одно и только одно отношение

мелсду двумя точками.

Аксиома о параллельных является одной из апостериорных ак-

сиом.

Нам представляется главным возражением против реальности не-

еквилидовых геометрий то, что при эмпирическом взгляде Гельмгольца и

полуэмпирическом взгляде Рассела остается необъясненной аподактичность

геометрических аксиом. Поэтому приходится или отрицать этот факт, или

давать то объяснение якобы кажущейся аподикгичности аксиом, которое

мы находили у Юма и недостаточность которого вполне доказана Кантом.

Сколько бы раз ни повторялся опыт, он никогда не мог бы дать тот харак-

тер безусловной необходимости, который имеют геометрические аксиомы.

Степень очевидности аксиомы о гомогенности пространств едва ли мень-

ше,

чем аксиомы об изогенности пространства, утверждаемой первой мет-

рической аксиомой Рассела, и этот факт допускает единственное объясне-

ние, что обе аксиомы имеют одно и тоже происхождение, одну и ту же гно-

сеологическую ценность.

Как одну из аксиом, логически вытекающих из концепции формы

внешности, Рассел выставляет аксиому измерений, требующую обязатель-

но конечного числа измерений для пространства. Трехмерность же про-

странств, т.е. тот факт, что число измерений равно трем, Рассел считает за

опытное данное. Вследствие того, что число измерений [есть] число целое,

а эмпирическое пространство должно мало отличаться от действителыго-

го,

то трехмерность нашего пространства должна быть признана за досто-

верный факт.

Отсюда следует, что, например, геометрия четырехмерного про-

странства не может претендовать на того рода возможность, которая пре-

доставляется геометрии Лобачевского. По Расселу и эмпирикам, евклидо-

ва геометрия может представлять и, вероятно, представляет приближение

к "истинной" геометрии Лобачевского или Римапа. Что касается четырех-

мерной геометрии, то она имеет исключительно логическое значение.

Нам кажется, что дело обстоит как раз наоборот. Если сознатель-

ная душевная жизнь не представляет всей полноты психической жизни,

если сознание должно быть дополнено подсознанием, в котором психичес-

кими явлениями управляют те же законы, которые

мы

усматриваем в обла-

сти,

озаренной сознанием, то будет вполне естественно мыслить форму

интуиции для расширенного опыта бессознательной психики тоже шире.

Если сознанию доступна только гиперплоскость, или только поверхность

четырехмерного пространства, то в глубине бессознательного может выс-

тупить интуиция четвертого измерения, не отвергающая трехмерную гео-

метрию, а дополняющая ее.

Интуиция нам говорит, что то пространство, которое находится в

нашем сознании, имеет три измерения, но она ничего не может сказать о

четвертом измерении, которое оказывается под порогом сознания.

Совершенно иначе с неевклидовой трехмерной геометрией. Здесь

прежде всего следует отвергнуть то, что утверждает в нашем сознании ин-

туиция. Последняя дает нам не только факты, но вместе с тем и характер

безусловной необходимости этих фактов.

Геометрия четырех измерений получается, если мы к основным

геометрическим объектам: точке, прямой и плоскости присоединим еще

гиперплоскость и дополним постулаты трехмерного пространства некото-

рыми постулатами, относящимися к четырехмерному. Найти последние

нетрудно. Для этого следует усмотреть, каким образом совершается пере-

ход от постулатов двухмерного к постулатам трехмерного пространства.

Так, можно сказать: четыре точки, не лежащие в одной плоскости или на

одной прямой, определяют гиперплоскость, и четыре гиперплоскости, ие

проходящие через одну плоскость или одну прямую, определяют точку.

Многие теоремы четырехмерного пространства могут быть пост-

роены непосредственно, как аналогоны соответствующих теорем трехмер-

ного пространства. Примером ряда поиятий-аналогонов может служит ряд

простейших образов:

в пространстве

одного измерения - две точки,

двух - три прямые - треугольник,

трех - четыре плоскости - тетраэдр.

Следуя правилу, по которому переходили от одного аналогона к следующе-

му, можем четвертым членом упомянутого ряда поставить:

в пространстве 4-х измерений,

четырехмерное тело, образованное пятью гиперплоскостями - пен-

таэдроид.

Изучение пентаэдроида производится проектированием его в ги-

перплоскость, которую представляет все наше трехмерное пространство.

Чтобы получить проекцию треугольника на прямую, надо взять три

точки на прямой и отрезки ими образуемые,

тетраэдра на плоскости - четыре точки на плоскости и треугольни-

ки,

ими образуемые.

Отсюда следует, что проекция пентаэдра получится, если взять пять

точек в пространстве (гиперплоскости) и пять тетраэдров, ими образуе-

мых.

Можно, следуя правилу аналогонов, создать и механику четырех-

мерного пространства.

По пути смелых обобщений молено идти и дальше, рассматривая

время, как многообразие не одного, а двух измерений, мысля то, что отно-

сительно данного момента не представляет [собой] ни настоящее, ни про-

шедшее, ни будущее. В последнее время много шума наделали еще более

смелые взгляды Минковского. В механике четырехмерного пространства

приходится, следуя аналогии трехмерной механики, рассматривать при

движении точки ее четыре координаты: х, у, z, и, как функции времени т.

Движение будет происходить в гиперплоскости, т.е. в нашем трех-

мерном пространстве, если х, у, z, и для всякого I связаны линейным соот-

ношением:

Ах + By + Cz + Du + Е = О,

представляющими уравнение гиперплоскости.

Мы получим уравнение движения на некоторой гиперповерхнос-

ти,

если свяжем (х, у, z, и,) общим уравнением:

Q (х, у, z, и) = 0 (*)

Можно сделать такое предположение: наше пространство не гиперплос-

кость, а некоторая, отличная от нее гиперповерхность; для четырехмерно-

го пространства (а следовательно и для гиперплоскостей, в нем заключаю-

щихся) объемлющего эту гиперповерхность имеет место неевклидова гео-

метрия. Источником ошибочного взгляда на наше пространство, как про-

странство евклидово, служит то, что мы некоторые кривые, мало отличаю-

щиеся от прямых, принимаем за прямые, приписывая последним те свой-

ства, которые на самом деле присущи первым.

Воздерживаясь от возражений на эти взгляды, укажем, в каком,

направлении должно идти дальнейшее их обобщение. Для этого следует

только уравнение (*) заменить более общим

П (х, у, z, и, т) =

т.е. принять эту гиперповерхность деформирующейся в течение времени.

В этого рода пространстве и строится механика Минковского. Фи-

зические явления происходят в четырехмерном пространстве (х, у, z, и).

Но,

что представляет собой координата и?

Этой координатой является время

т.,

но только иное, чем упомяну-

тое выше т.

В механике Минковского приходится различать абсолютное время

t от собственного х,

В этих воззрениях мы имеем не одно пространство, а особое соче-

тание пространство-время, находящееся в таком же отношении к геомет-

рическому пространству и абсолютному времени, в каком у эмпириков-

метагеометров неевклидово пространство находится в отношении к евкли-

дову.

Возражения, упомянутые нами, остаются и здесь еще в большей

силе.

Но воззрения Минковского имеют еще свой специальный недоста-

ток: это чрезвычайная сложность и искусственность.

Если в них видеть нечто большее, чем одну геометрическую ин-

терпретацию, то надо сознаться, что фигурирование четвертого измерения

времени, наряду с однородными другими тремя измерениями, совершенно

отличными от этого четвертого, уже достаточно для того, чтобы признать

весь этот сложный аппарат хотя и гениально задуманным, но совершенно

невероятным.

Литература к лекции II

На русском языке:

1) Кант. Критика чистого разума. Пер. Соколова. Спб. 1897.

2) Куно Фишер. История философии.

2) Челпанов. Проблема восприятия пространства, ч. II.

4) Богомолов. Современные воззрения на геометрию. Журнал Физико-

химического общества. 1907.

(?) Минковский. Пространство и время."Физика''. Спб. 1911.

6) Новые идеи физики. Закон относительности. Изд. "Образование".

На французском языке:

1) Russel. Les principes de geometric trad. Cadenat. Paris. Gauthier Villars.

1901.

(библиография).

Dclboeuf.

Prolegomenes de la geometric, et solution despostulats. Liege.

I860 и другие его сочинения (см. Russel).

2) Lechalas. Introduction a la geometrie generate.

4) JoiifTret. Traite elementaire de geometrie a quatre dimensions. Paris.

Gauthier Villars. 1903.

5) Bucher. Essai sur 1'hyperespace. Paris. Alcan. 1905.

6) Brunschvigg. Les etapes de la philosophic raathematique. Paris. Alcan.

1912.

На немецком языке:

1) Rietmaim. Ueber die Hypothesen welche der Geometric zu Grande liegen.

Werke. s. 255-268.

2) Erdmann. Die Axiome der Geometrie.

Лекция III. Психология и Математика

Может ли быть тесная связь между столь разнородными науками, как ма-

тематика и психология? Я думаю, Вам покажется весьма странным мое

намерение защитить в настоящей лекции следующий двойной тезис: мате-

матика, или, лучше скалсу, будущая математика в своих доказательствах

будет выполнять требования психологии, а будущая психология проник-

нется математикой.

Мы уже теперь довольно капризны к доказательствам. Мы ищем

не какое-либо доказательство, а доказательство простое и изящное. Удов-

летворить требованиям логики мало, необходимо принять во внимание и

притязания психологии.

Изучая теорию функций комплексного переменного, мы интерпре-

тируем геометрически комплексное переменное z = х + yi, представляя его

точкой на плоскости с координатами (х, у).

Изменение z мы представляем движением этой

точки.

Конечно, мы

могли бы изучать комплексное переменное и чисто аналитически, не при-

бегая к геометрическому образу.

Теорему: "модуль суммы меньше или равен сумме модулей" мы

можем доказать, не вводя геометрического представления комплексного

числа, хотя всякий согласится [с

тем],

что эта теорема проще всего доказы-

вается именно геометрически.

В настоящее время в анализе геометрический метод получил осо-

бенное распространение, главным образом благодаря идеям Ф. Клейна. В

двух отделах чистой математики твердо установился геометрический ха-

рактер мышления, в теории дифференциальных уравнений, благодаря тео-

рии характеристик, и в теории абелевых интегралов, благодаря исследова-

ниям Клебша.

Абелев интеграл, т.е. интеграл от алгебраической функции можно

представить в форме

jF(x,y)dx,

где F- рациональная функция (х, у), а у определяется алгебраическим урав-

нением

f(x,y) = 0

Говорят, что Абелев интеграл J

(x,y)dx

определяется алгебраической кри-

вой f (х, у) = 0, воображая точку (х, у), определяемую координатами (х, у).

Введя этот геометрический язык, основную абелеву теорему можем сфор-

мулировать следующим образом:

"Если пересечь кривую f(x,y) = 0 некоторой деформирующейся

кривой

(х, у) = 0, то сумма интегралов первого рода

относящихся к точкам пересечения этих кривых, сохраняет при деформи-

ровании постоянное значение".

Не представляет труда освободить эту теорему от ее геометричес-

кой оболочки, не представляет труда и все вытекающие из нее теоремы

переложить с геометрического языка на чисто алгебраической и молено

продолжать мыслить, двигая вперед теорию абелевых интегралов, отка-

завшись от всяких геометрических образов.

От всех этих образов, с чисто логической точки зрения, мы ие име-

ем никакой выгоды. Скажу более, есть известная невыгода. Здесь имеется

своего рода грех против логики построения. С этой точки зрения анализ

должен быть свободным от геометрических образов, черпая из одного оп-

ределенного источника свои методы, но не забегая в области геометрии,

которую анализ должен предварять.

Кроме того, легко видеть, что те образы, которые служат нам помо-

щью при введении упомянутых выше геометрических интерпретаций есть,

в сущности говоря, логически недозволенные образы. Пересекая кривую,

определяющую абелев интеграл, какой-либо другой кривой, мы говорим и

воображаем себе точки пересечения, как в том случае, когда эти точки ве-

щественны, так и в том случае, когда они мнимы. Причина того бессилия

логики, о котором говорит Пуанкаре, указывая, как на одну из побед, на

выведение с помощью 27 уравнений результата: "единица есть

число",

чисто

психологическая.

Интуиция, а не формальная логика с логическими обозначениями

представляет [собой] те крылья, на которых мы улетаем в самые отдален-

ные области абстракции. Эти крылья дает, в форме вышеупомянутых гео-

метрических интерпретаций, психологическое чутье. Бессознательно наше

мышление движется по линии наименьшего сопротивления. Но то, что мы

теперь делаем бессознательно, в будущем может послужить предметом со-

знательного научного исследования и после может дать результаты, на ос-

новании которых мы будем предпочитать один путь другому, сознательно

считаться с экономией мыслительной работы.