Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Почему нам так трудно идти исключительно логическим путем и

почему мы чувствуем такое облегчение, когда параллельно умозрению

раскладываются и соответствующие образы?

Отрешаясь от интуиции, мысль уподобляется человеку, который

должен говорить со связанными руками и ногами. Способности души так

тесно между собой связаны, что невозможно привести в действие одну, не

затрагивая другой, и, стесняя одну, мы подвергаем стеснению и другие.

Психологическое исследование доказательств с точки зрения их

восприимчивости имеет значение не только для преподавания, но имеет и

научное значение.

Жизнь коротка и наука должна позаботиться о том, чтобы в крат-

чайшее время и легчайшим путем были усвоены ее результаты для того,

чтобы у ученого хватило времени не только на изучение сочинений других,

но и на движение вперед научного исследования.

Но психологии суждено не только изыскивать средства, ведущие к

большей усвояемости доказательств, но и пути, где, представлялось бы

меньше вероятности ошибиться. Психология математических ошибок ждет

психологов-исследователей; важным представляется далее один фактичес-

кий материал, который должен послужить основанием для теоретических

выводов, имеющих значение для психологии не только математического

мышления, но и мышления в более широком смысле,. Известные матема-

тические софизмы прежде всего дают такой материал.

Обыкновенно удовлетворяются только их опровержением. Но сле-

дует взглянуть на них несколько глубже и исследовать их происхождение.

Возьмем для примера следующий известный софизм. На сторонах

АС,

АВ тупоугольного треугольника ABC опишем, как на диаметрах, полу-

окружности. Точки пересечения D, Е с третьей стороной ВС соединим с А.

Углы ADB и АЕС, как опирающиеся сторонами на диаметры - прямые. От-

куда заключаем, что на прямую ВС из точки А молено провести два перпен-

дикуляра AD и АЕ.

Источник ошибки заклю-

чается в неправильности черте-

жа. Легко обнарулсить, что пря-

мая СВ как раз проходит через

точку Q пересечения полуокруж-

ностей и, конечно, в этом случае

все наше доказательство о суще-

ствовании двух перпендикуляров

рушится.

Ошибка произошла оттого, что мы употребили "недогсазанный"

чертеж, были слишком доверчивы к интуиции. Интуиция дает нам идеаль-

ные точки, прямые и плоскости, дает простейшие свойства, но более слояе-

ные взаимоотношения она определяет только в общих чертах. Она говорит

о пересечении кругов прямой СВ, но она ничего не говорит о том, что это

пересечение будет именно в точке Q. Другой род софизмов основывается

на смешении чисто интуитивных элементов с их чувственными образами,

например, в смешении точек с очень малыми отрезками или кругами очень

малых радиусов. Сюда относится ряд софизмов, указываемых Клейном,

грубым представителем которых является следующий.

Взяв полуокружность ABC радиуса =1, получим для ее длины зна-

чение =

-к.

Построим на ее радиусах как на диаметрах другие две полуок-

ружности АСВ,, B,C,'D.

Для суммы их длин будем иметь значение опять = п. Поступая с

этими полуокружностями так, как мы поступали с АСВ, полуокружности

диаметров = 7,

АС,"

В/,

АС

В,, В,С,"В

', В

'С

"В,

сумма длин которых = it.

Продолжая таким образом дальше, доказываем, что длина полуокружности

ABC равна длине кривой, образованной полуокружностями, построенны-

ми на частях АВ, как бы малы ни были эти части. Но с уменьшением их

диаметров кривая эта приближается к прямой АВ, откуда заключаем о ра-

венстве длины АСВ (полуокружности) диаметру, т.е. приходим к явно аб-

сурдному результату.

Конечно, ошибка кроется

в утверждении, что предел иссле-

дуемой, составленной из полуок-

ружностей, кривой равен АВ, ко-

торое предполагает отождествле-

ние полуокружностей бесконечно

малых радиусов с их диаметрами,

бесконечно малыми отрезками А с в С, D в

АВ.

Это ошибка не чистой интуиции, а грубого чувственного образа, ибо

чистая интуиция при указанной выше операции приводит нас всегда от по-

луокружностей к полуокружностям, никогда не делая скачка к отрезку.

Однако чувственный образ, например тот, который мы получаем,

вычерчивая упомянутые полуокружности чернилами, после некоторого числа

операций дает уже не полуокружность, а маленькое чернильное пятно, т.е.

тот образ, который отвечает бесконечно малому отрезку АВ.

Такой же источник имеет тот неправильный взгляд, который рас-

сматривает прямую состоящей из точек. Как бы мы ни делили прямую, мы

никогда не получим точек. Прямая является только носителем точек. Она

неизменно и однозначно связана с непрерывным рядом точек или пунктуа-

лом,

ей принадлежащим.

Если дан пунктуал, то дана и прямая, и если дана прямая, то вместе

с тем дан и пунктуал.

Определить, в чем состоит эта "принадлежность" в логических тер-

минах, конечно, невозможно.

Такого же рода заблуждение - отождествление отрезка прямой с

прямоугольником бесконечно малого основания.

В младенческую эпоху исчисления бесконечно малых эти ошибки

выступают у Кавальери в его "исчислении неделимых". Криволинейная тра-

пеция бесконечно близкими прямыми 11ОУ разбивается им на "неделимые",

на бесконечно малые криволинейные трапеции, при вычислении предела

суммы которых он совершенно правильно заменяет их входящими прямоу-

гольниками. Но последние он уже совершенно неправильно отождествляет

с отрезками прямых

I i

ОУ и считает за определение суммы неделимых под-

счет этих отрезков.

Этого рода ошибки чаще всего встречаются в рассуждениях филосо-

(ров-нематематиков, менее привыкших к чистой геометрической интуиции.

Интересным психологическим исследованием является исследование

тех математических ошибок, которые происходят при самом процессе мыш-

ления. Такие математические ошибки [есть] не что иное, как погрешности

памяти или внимания.

Вот схема математических ошибок довольно общего типа.

Объекту А гфиписывается признак а: означим это положение через

(А, а). Внимание отвлекается от А к В, затем В приписывается признак р,

отвлекаются от В к С, вспоминают (В, (3). Ошибка состоит в том, что вместо

(В,

Р) берут (В, а).

Но под этот тип еще не подходят все математические ошибки. В ошиб-

ках доказательств мы имеем следующий факт: посылка (А, а) заменяется дру-

гой,

(А, Р), где р не приписывался еще ни одному объекту, но по своему сход-

ству или по смежности может легко смешаться в памяти с а. Наиболее частой

и трудно избегаемой ошибкой является та, при которой р представляет более

общий случай, чем а. Положение (А, р) сперва утверждается при некоторых,

часто только подразумеваемых условиях. Об этом в дальнейшем ходе доказа-

тельства совершенно забывается и положение (А, р) берется во всей его общ-

ности.

Я говорю, что эти ошибки в математике весьма часты и трудно избе-

гаемы, так как, если бы математик всякий раз упоминал об ограничениях,

которые должны подразумеваться, он сделался бы слишком скучным, и, ут-

руждая внимание отклонениями от основной темы, мог бы проиграть в ясно-

сти.

Так, математики говорят в нескольких главах о функциях, подразумевая

их непрерывными, хотя об этом ограничении упоминается только на первой

странице первой главы. О том, что фикция принадлежит

типу аналитичес-

ких функций иногда не говорят совсем, считая такое предположение вполне

естественным.

Ясно,

что предпринимающий дальнейшие исследования читатель

может совершенно забыть об этих ограничениях, в особенности, если приме-

нение положений, годных только при этих ограничениях, не только ие приво-

лит его ни к каким противоречиям, но даже открывает новое широкое поле

исследований.

К этим типам математических ошибок следует присоединить еще тре-

тий:

ошибки в обозначениях.

Какой-нибудь объект А обозначается знаком о, другой В знаком Ь.

Если между а и b есть сходство, то память может спутать и отнести ЬкА,а

В.

Причина смешения может быть в восприятии: один знак можно принять за

другой. Можно, например, греческую букву а, принять за латинское д. В то

время как указанные выше два типа ошибок представляют [собой] ошибки

памяти, ошибки последнего типа во второй своей форме представляют [со-

бой] уже ошибки внимания.

Все эти психологические исследования относятся к тому пути, по ко-

торому движется мысль в поисках логических связей между различными по-

ложениями.

Но возможно другого рода исследование. Возможно сделать сами узлы

логической сети, сами положения предметом психологического исследования.

То,

что делает возможным доказательство в смысле убеждаемости в той или

другой истине, это психологический факт очевидности некоторых положений,

При этом эти положения обладают различной степенью очевидности.

Так, геометрические аксиомы менее очевидны, чем чисто логические, и среди

геометрических аксиом есть более и менее очевидные.

В высокой степени интересным является

то,

что

устранение движения

как средства доказательства конгруэнтности приводит

включению в систему

аксиом положений, обладающих весьма невысокой степенью очевидности в

сравнении с другими аксиомами той же системы.

Так, в системе аксиом Гильберта находится

качестве аксиомы поло-

жение о конгруэнтности треугольников, имеющих равные

углы

и прилежащие

стороны. Бесспорным является независимость педологических свойств ак-

сиом от логических [свойств]. Существуют положения очевидные, например,

равенство прямых углов, которые могут быть доказаны в том смысле, что они

могут быть связаны с системой очевидных положений, принятых за аксиомы.

С другой стороны, те положения, которые обладают пониженной степенью

очевидности, как, например, знаменитая 11-я Аксиома Евклида, являются

независимыми от более очевидных аксиом.

Но довольно о психологии математики. Психологии предстоит доволь-

но завоеваний в математике, если даже ограничтъея только вышеизложен-

ным.

Посмотрим, каковы завоевания математики в психологии. Скажем не-

сколько слов о математической психологии. Прежде всего коснемся психофи-

зических формул. Это еще не математическая психология.

Это скорее преддверие ее. Психофизическая формула связует не

психологические элементы между собой, а психологические элементы со

связанными с ними определенным образом физическими элементами.

Первая психофизическая проблема была поставлена математиками

XVIII столетия в связи с задачей о безобидности игр.

Ограничиваясь для простоты случаем двух игроков, мы будем иметь

следующее условие безобидности игры:

Если а,

ставки игроков, р, q их вероятности проиграть партии, то

необходимо иметь

-~ mnaq-bp = 0

Называя ац + (-Ь)р, т.е. выигрыш, умноженный на вероятность выигрыша

плюс проигрыш со знаком минус, умноженный на вероятность проигрыша

математическим ожиданием игрока, можно сформулировать условия бе-

зобидности игры еще следующим образом:

Математические ожидания игроков равны нулю.

В частном случае, когда р = q, то а = Ь. Это условие безобидности

игр,

строго не доказуемое, приводит в большинстве случаев к следствиям,

вполне согласным с указаниями здравого смысла.

Но существуют и такие случаи, которые заставляют усомниться в

этом основном принципе безобидности игр.

Это те случаи, когда возможный проигрыш одного игрока ничто-

жен в сравнении с его состоянием, между тем как тот же проигрыш приво-

дит его противника к разорению.

Возьмем богача с состоянием в 1

ООО ООО

рублей и бедняка с состо-

янием в 10 рублей. Если мы заставим их играть в орлянку со ставкой 10

руб.

для каждого, то при равной вероятности для обоих условие безобидно-

сти игры будет соблюдено, но вряд ли здравый смысл сочтет такую игру

безобидной. По мнению Даниила Бернулли и других, подобная несообраз-

ность проистекает от того, что выигрыш и проигрыш оцениваются не чис-

лом выигранных или проигранных рублей, а тем 1гоавственным удовлетво-

рением а или неудовлетворением

(3,

которое мы получаем от выигрыша или

тгооигрыша. Таким образом предложено было ввести в теорию вероятнос-

тей некоторый психический элемент, чувство удовольствия или неудоволь-

ствия от приобретаемого или теряемого физического имущества. Принцип

безобидности игр при этом получает следующую поправку: a, b следует за-

менить а, р. aq-Ьр следует заменить ая-рр, так называемым нравствен-

ным ожиданием. Входящие сюда величины а, р следует выразить через а,

Ь,

т.е. следует решить следующую психофизическую задачу:

В какой зависимости находятся нравственное имущество и от-

вечающее ему физическое имущество?

Математическая формулировка этой задачи будет следующей:

Обозначая через х физическое имущество, через у нравственное и

полагая

у =

<р(х)

найти функцию

<р.

Психологический анализ дает нам некоторые общие свойства функ-

ции

<р(х).

Наиболее простой и согласной с этими данными является формула,

данная Даниилом Бернулли

y = klg—, где к, а - постоянные.

Эйлеру принадлежит открытие другого психофизического закона, выража-

ющего зависимость между высотою топа и числом колебаний, ему отве-

чающим.

На основании психологического опыта, который учит, что мы не-

посредственно ощущаем только отношение числа колебаний, но не абсо-

лютные их разности, и что одинаковым отношениям чисел колебания отве-

чают одинаковые абсолютные различия в ощущении, Эйлер выводит лога-

рифмическую зависимость:

У = klg-

между у - высотой тона их- числом колебаний, ему соответствующим.

Вебер установил при помощи психофизиологических измерений аналогич-

ный закон, выражающий зависимость между ощущением давления и тя-

жестью, ему отвечающей.

Этот закон распространен исследованиями Фехнера на различного

рода ощущения: зрительные, звуковые и осязательные. Для всех родов ощу-

щений имеет место закон Вебера-Фехнера:

Ощущение выражается логарифмом раздраэ/сения.

Фехнер высказывает мысль о существовании универсального ос-

новного психофизического закона, обнимающего, как частные случаи, упо-

мянутые законы Даниила Бернулли, Эйлера, Всбера и Фехнера, по которо-

му между физическими и телесными функциями существует логарифми-

ческая зависимость.

Но одна психофизическая формула не может быть источником ма-

тематической психологии.

Только установив ряд психологических законов, выражаемых ма-

тематическими формулами, можно получить цепь математических теорем.

Известная математическая психология Гербарта и начинается с ус-

тановки таких законов. Но эти законы устанавливаются не путем наблюде-

ний или измерений, а с помощью спекулятивных рассуждений, при этом

недостаточно убедительных.

Основанием психической статики служит учение о суммах задер-

жек представлений. Гербарт рассматривает представления как объекты,

находящиеся во взаимодействии, причем равновесие, к которому последнее

приводит, устанавливается путем взаимной задержки интенсивностей у обо-

их представлений.

Простейшим случаем является случай противоположных представ-

лений.

Если из двух представлений А, В напряженностей a, b (а>Ь) более

слабое В не реагирует на А, стремящееся вытеснить В, тогда А уничтожит

В,

задержав таким образом b из суммы их напряженностей. Но В реагирует

на А; сумма задержек, которая должна быть распределена между А, В, т.е.

не только В, но и А, должна потерять часть своей напряженности. Задержка

должна быть распределена между А и В, при этом на более сильное, в виду

большей с ее стороны реакции, должна пасть меньшая часть. Гербарт пред-

полагает, что части, на которые делится задержка, обратно пропорциональ-

ны напряженностям представлении, так что из А берутся ——, из В - и

а+b

а+ь

А остается в сознании с силой

„ ... ab Ь

,аВссилой b-

a +

a + b a + b

Рассуждения Гербарта, имеющие по внешности математический харак-

тер,

изложены неясно и неубедительно, в особенности, для читателя-ма-

тематика. Скачок от факта, что если х>у, то <р(х)<

<р(у)

к пропорции х:у ~

<р(зс):ф(у) не представляется еще смертельным для его теории. Но гораздо

хуже ничуть не оправдываемое опытом и, в сущности говоря, произволь-

ное положение о необходимости задержки = Ь.

Ученики Гербарта заменяли это основное допущение другими

столь же произвольными. По Виттштейну от А задерживается , от

2 а+ь

В'

а+Ь •

Гораздо более убедительна основная формула психической дина-

мики, или учения о погружении задержки за порог сознания. Гербарт дает

формулу для усиления интенсивности представления при его возникно-

вении в сознании, откуда выводится формула забвения.

Гербарт доказывает то, что можно вполне признать за психологи-

ческий факт: усиление представлено не пропорционально времени, но

что оно асимптотически приближается к полной напряженности по сле-

дующему закону: бесконечно малое приращение напряжения, отвечаю-

щее дифференциалу времени, тем меньше, чем ближе представление к

полной его силе, т.е. обратно пропорционально разности между полной

напряженностью и напряженностью в данный момент. Это выражается

формулой:

P(a-x)dt=dx.

Уравнение это дает: ,

-2L = pdt,

а-х

откуда, имея в виду, что при

/ = 0... х = 0,

выводится,

что

хЦ]-е-

р1

)

Для получения формулы забывания нужно положить

а =

0. Начальные же

данные:

= 0, х-а, где а

первоначальная сила представления.

этом

случае имеем:

—fit

ае

Может быть, Вас очень удивит, если

вскрою Вам

одной

из

математи-

ческих дисциплин, получивших полное право гражданства, предпосылку

математической психологии или психофизики.

Среди математических дисциплин совершенно особняком стоит

теория вероятностей, соединяя строго математический метод

неочевид-

ными

не допускающими строго математического обоснования предпо-

сылками.

ее

основе лежит определение "вероятности". Вероятность

оп-

ределяется как отношение числа благоприятных случаев

числу един-

ственно возможных. Но, во-первых,

это

определение содержит ложный

круг,

ибо оно

годно только

том случае, когда эти единственно возмож-

ные

благоприятные случаи равновозможны, т.е. обладают одинаковой

степенью вероятности.

во-вторых, некоторое, может быть

темное

понятие

вероятности мы имеем еще

до

установки этого "математичес-

кого"

определения вероятности,

мы создаем теорию вероятности, именно

интересуясь вероятностью

как

известным понятием,

а не

числом. Ука-

занное

определении число есть только "мера вероятности".

Вероятность - отношение числа благоприятных случаев

числу един-

ственно возможных

это

не

определение вероятности,

основная аксиома

или,

лучше сказать, постулат. Но что такое вероятность? Здесь следует отме-

тить две точки

зрения:

субъективную и объективную, С первой точки зрения,

вероятность это мера нашей веры в появление определенного события. Тогда

теория вероятности представляется главой математической психологии.

С объективной точки зрения, вероятность получает смысл только

в силу закона больших чисел, состоящего

том, что чем больше произво-

дится испытаний,

тем

отношение числа испытаний, при которых собы-

тие имело место,

числу всех испытаний

— ,

ближе к мере вероятности,

т.е. отношению числа благоприятных случаев

числу единственно

воз-

га

можных

—.

Этот закон не доказывается математически, он дается опытом или

выводится как следствие

из

стремления природы к разнообразию. Имен-

но только благодаря

ему и

получает теория вероятностей объективный

смысл.

популярных книжках

по

теории вероятностей этот закон часто

смешивается

теоремой Якова Бернулли

изучающему кажется, что

ма-

тематика может чудесным образом из вышеприведенного определения

вероятности логическим путем выудить законы мироздания.

Теорема Бернулли вовсе не доказывает этот закон, а только ука-

зывает степень вероятности, с какой можно утверждать, что разность

между двумя дробями — и — меньше заданного числа.

Но в силу закона больших чисел исчисление вероятностей имеет

безусловно объективное значение, если мы имеем в виду заключение отно-

сительно частоты повторяемости события при большом числе испытаний.

Какое объективное значение может иметь исчисление вероятнос-

ти одного события? Данное опытом мы всегда мыслим в категории при-

чинности. Если актуальной причины мы не в состоянии усмотреть и со-

бытие относится только вследствие нашего незнания к тшту случайных,

то,

тем не менее, мы мыслим его вероятность, т.е. как его причину мы

ищем основания его существования в совокупности не действительных,

но возможных событий.

Так как при отсутствии благоприятных случаев такую "причину"

следовало бы принять равной нулю, а при всех возможных случаях, бла-

гоприятствующих событию - бесконечности, то правильнее было бы на-

гл

зывать объективной вероятностью не число —, отношение числа бла-

гоприятиых случаев к числу единственно возможных, а ~—~ отноше-

ние числа благоприятных случаев к числу неблагоприятных.

Но откуда мы можем вывести ту или другую меру для объективной

вероятности? Из закона больших чисел это не выводится, ибо он ничего не

говорит относительно единичного испытания. Остается только психологи-

ческий опыт. Этот последний дает субъективную вероятность, и для оправ-

дания меры объективной вероятности следует сделать переход от первой

ко второй. При этом в силу психофизического закона нельзя считать их

равными, они должны быть связаны логарифмической зависимостью.

Если оценить объективную вероятность ———, то субъективная

будет не и не —, а

n-m п

(n-m) а

где а - то малое значение , при котором у нас не остается никакой

n-m

веры в наступление события.

Если психологический анализ дает формулу (*) для субъективной

вероятности (*), то объективная оказывается пропорциональной •

Психологический анализ не может доказать формулы (*), но он указыва-

ло

ет,

как в случае, формулы Даниила Бернулли, ряд свойств для этой функ-

ции вполне, согласных с теми, которые указываются этой формулой.

k m к

1п2

+—:

+...

а п 2а п2

то при к = а дробь — будет первым приближением для субъективной веро-

ятности.

Литература к лекции III

На русском языке:

1) Обреимов. Софизмы. Изд. Павлешсова.

2) Д. Мордухай-Болтовской. Психология математического мышления. Воп-

росы философии и психологии за 1908.

3) Буняковский. Теория вероятностей.

4) Гербарт. Психология.

5) Вундт. Душа человека и животных.

6) Вундт. Физиологическая психология, Москва. 1880-81.

На французском языке:

Delboeuf.

Elements de psychophisique. Paris.Germer-Bailliere. 1883.

2) Klein. Conferences.

На немецком языке:

1) Fechner. Psychophysik. Leipzig. BreitkofT.1889.

2) Drobich. Mathematische Psychologie.

Лекция IV Метафизика и Математика.

В двух областях знания выступает идея бесконечности. В той, которая в

силу особой строгости своих рассуждений считается образцом науки и в

той где полет фантазии часто становится на место тщетно стремящегося к

наиболее близкому сердцу мыслящего человечества неизвестному.

В математике мы говорим о бесконечно большом и бесконечно

малом. В метафизике проблема актуальной бесконечности - это тот фо-

кус,

к которому сходятся лучи умозрения. На бесконечность можно взгля-

нуть с двух сторон. Прежде всего со стороны конечного, рассматривая

тог процесс постоянного возрастания, который ведет нас к бесконечнос-

ти,

никогда не приводя к последней, но известным образом ее характери-

зуя.

Можно рассматривать бесконечное в становлении, количество спо-

собное расти выше всякого предела, про которое можно сказать словами

Пуанкаре, что оно, перейдет все границы, но нельзя сказать, что оно их

уже перешло', Одним словом, можно изучать бесконечно большие и вме-

сте с тем бесконечно малые величины, и математика дает нам и беско-

хак как

а| 1