Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

кых положений, получаемых обменом точки и прямой. В плоскостной гео-

метрии имеет место закон двойственности:

Каждому зрительному положению отвечает взаимное, получаемое

взаимным обменом точки и прямой.

Теореме Паскаля; во вписанном в кривую второго порядка шести-

угольнике противоположные стороны пересекаются в точках, лежащих на

одной прямой, отвечает, гак взаимная, теорема Брианшона: в описанном

около кривой второго класса (или, что то же самое, второго порядка) шес-

тиугольнике прямые, соединяющие противоположные вершины, пересека-

ются в одной точке

Логический эквивалент является главным орудием исследования

логической сети. Предположим, что мы имеем ряд независимых посту-

латов, т.е. таких, что ни один из них не может быть выведен из осталь-

ных. Каким образом решается следующая основная задача: теорема G

выводится из постулатов А, В, С, D..., как убедиться в том, что эта теоре-

ма не может быть выведена из меньшего числа постулатов, например,

[из] А, В, С.

Для решения этого вопроса следует только подыскать к исследуе-

мым объектам Р, Q, R... их эквиваленты относительно постулатов:

А,В,С:

P,Q,R...

Если теперь для Р,Q, R...не имеет места теорема G, то

следует безусловно заключить, что G не может быть выведено из А, В, С.

Так можно доказать, что теорема Дезарга не может быть выведена

из одних плоскостных зрительных аксиом. А именно, имеет место следую-

щая альтернатива: или приходится доказывать эту теорему метрически,

например, методом аналитической геометрии или же пользоваться зритель-

ными пространственными аксиомами, отказавшись от самостоятельного,

не зависящего от пространственной геометрии, обоснования плоскостной

зрительной геометрии.

Чтобы убедиться в этом, можно употребить, согласно Гильберту,

следующие логические эквиваленты прямой относительно системы зри-

тельных аксиом.

Берем эллипс С, который назовем основной окружностью, и точку

Р (основную точку) вне ее. Назовем пропрямой такой объект, который со-

впадает со всякой прямой, не пересекающей основную окружность. Если

же прямая пересекает основную окружность в точках А, В, то пропрямой

будет объект, образованный частью прямой вне этого эллипса и кругом,

проходящим через А, и основную точку Р.

Пропрямая представляет [собой] эквивалент прямой, так кис про-

стые геометрические соображения убеждают, что при надлежащем выборе

эллипса:

Две точки определяют пропрямую.

Две ггропрямые определяют одну и только одну точку, им принад-

лежащую и т.д.

Если бы теорема Дезарга могла быть выведена из плоскостных

зрительных аксиом, то соответствующие стороны-пропрямые двух про-

треугольников пересекались бы в точках, лежащих на одной пропрямой,

если соответствующие вершины лежат на пропрямых, проходящих через

одну точку. Но пример, в котором вершины берут то внутри, то вне окруж-

ности С, легко убеждает нас в противном.

С помощью логических эквивалентов доказывается также возмож-

ность неевклидовых геометрий.

Неевклидовой геометрией называется геометрия, в основе которой

лежит отрицание 11-й евклидовой аксиомы или ей равносильной аксиомы

о параллельных, состоящей в том, что из данной точки можно провести

только одну прямую, параллельную данной.

Если принять все аксиомы евклидовых "Начал", кроме 11-й

, то

мы получим геометрию Лобачевского.

В этой геометрии из данной точки можно провести бесконечное

множество прямых, не пересекающих данную, заключающихся между дву-

мя предельными прямыми, которые Лобачевский называет параллельны-

ми.

Геометрия Лобачевского может быть развита, как и геометрия Ев-

клида, не встречая логических противоречий, но приводя к теоремам, в

большей или меньшей мере идущим против интуиции.

По геометрии Лобачевского, сумма углов в треугольнике меньше

двух прямых и т.д.

Меньшая степень очевидности аксиомы о параллельных линиях (и

еще меньшая 11-й евклидовой аксиомы) в сравнении с другими евклидо-

выми аксиомами убеждала математиков в ее зависимости от более очевид-

ных положений.

Как известно, в продолжение 2000 лет математики старались ее

доказать. Сперва делались попытки прямого доказательства, затем доказа-

тельства приведением к абсурду т.е. построения системы теорем, в основе

которых лежало бы отрицание аксиомы о параллельных и которая приво-

дила бы к логическому противоречию.

Труды Лобачевского составляют эпоху в геометрии, в них зало-

жено зерно логическо-математических исследований. Лобачевский не

доказал 11-й аксиомы, не доказал и невозможность такого доказатель-

ства, т.е. независимость этой аксиомы от других евклидовых аксиом.

Он дал систему геометрии, вполне отвечающей евклидовой, в основе

которой лежало отрицание аксиомы о параллельных и которая была сво-

бодна от всяких логических противоречий.

За его работой должно было последовать исследование, доказы-

вающее, что и при дальнейшем своем продолжении геометрия Лобачев-

ского не может встретить противоречия.

Для этого необходимо было отыскать объекты, реализованные в

обыкновенной евклидовой геометрии, представляющие [собой] эквива-

ленты плоскостей, прямых и точек относительно тех зрительных и мет-

рических аксиом евклидовой геометрии, которые остаются по исключе-

нии аксиомы о параллельных.

Путь, избранный Бельтрами (который ограничивался лишь плос-

кой геометрией) был следующим: за эквиваленты прямых геометрии

Лобачевского ои принимал геодезические линии на некоторой поверх-

ности (псевдосферы).

Эти геодезические линии определяются двумя точками, могут

быть безгранично продолжены и т.д.

Через данную точку проходит бесконечное множество прямых,

не пересекающих данную геодезическую линию и заключающихся меж-

ду двумя геодезическими линиями. К сожалению, задача не была впол-

не решена. Бельтрами было доказано, что геометрия псевдосферы толь-

ко в некоторой определенной области совпадает с геометрией Лобачев-

ского.

Другие эквиваленты, например, указанные Клейном, более ус-

пешно привели к цели. Установив общую логическую схему для раз-

личных объектов

А,В,С... и А,В,С...

естественно искать субстраты для этой схемы, понятия более широкого

объема, чем А, В, С... А, В, С...; классы, видами которых являются, как

А, В, С. так и А,В,С.. .

Упомянутые выше двойственные зрительные аксиомы и выво-

димые из них двойственные теоремы могут быть заменены единичны-

ми,

объединяющими каждую пару, если установить чисто абстрактные

объекты:

1) элементы

—

которыми могут быть как точки, так и плоскости

2) носители первой ступени - прямые

второй ступени - плоскости или точки.

Тогда аксиомы об определяем ости тремя точкам плоскости, и

тремя плоскостями точки объединяются в следующей абстрактной ак-

сиоме:

Три элемента, не принадлежащие одному носителю первой сту-

пени, определяют носителя второй ступени.

Итак, наш логический анализ ведет нас к построению все более

и более общих классов, ведет от объектов интуиции к все более и более

абстрактным объектам.

Он вскрывает дальше, что некоторые математические понятия

подходят под чисто логические понятия. И многие теоремы вытекают

из некоторых свойств, наличность которых может быть установлена для

этих логических объектов, не математизируя их.

В высокой степени интересна и поучительна история идеи груп-

пы,

одной из кардинальных идей современной математики.

Предположим, что мы имеем совокупность некоторых объектов:

,а

..а

...(а)

и некоторую операцию Р, которую мы производим над некоторыми чис-

лами этих объектов. Операция эта может дать, или не дать результата.

Если результат получается, то он может не принадлежать сово-

купности (а). Если результаты операции Р приводят всегда к объектам

(а),

то последняя совокупность объектов будет группой относительно

операции Р.

Возьмем совокупность целых чисел. Мы будем иметь группы

относительно сложения и вычитания, ибо сложение и вычитание целых

чисел приводит опять к целым числам. Таким же образом целые поло-

жительные числа будут группой относительно сложения.

Совокупность рациональных чисел будет представлять группу

относительно всех четырех арифметических действий.

Приведем еще геометрический пример. За операцию Р будем счи-

тать определение по трем точкам четвертой гармонической: тогда сово-

купность всех точек прямой (пушстуал) будет представлять [собой] груп-

пу. Понятие группы, конечно, чисто логическое понятие. Это понятие,

разумеется, более широкое, чем число, ибо только частью арифмети-

ческих аксиом утверждается следующее свойство чисел: что их сово-

купность относительно 4-х арифметических действий образует группу.

Идея группы может выступить и там, где нет никакого намека

на математику. Можно, например, сказать, что все человечество отно-

сительно брака образует группу.

За упомянутые объекты: а

о,... можно принять также некото-

рые операции.

В этом случае Р будет операцией над операциями. За Р обычно

принимают просто соединение двух операций, т.е. совершение двух опе-

раций в последовательном порядке.

Тогда определением группы будет условие:

а а = а

т.е. последовательное совершение двух операции - совокупность (а),

равносильно одной операции (а).

Группу операций образует совокупность всех проективных пре-

образований.

Проективное преобразование на прямой определяется форму-

лой

, _ ах + b

~ сх + d '

связующей координату точки с координатой ее преобразования (образа).

Совокупность двух проективных преобразований

ах + b „ а'х'+Ь'

—

х — ~~—

cx+d' c'x' + d'

дает проективное преобразование:

ах

х"=

ух+5

Не останавливаясь на многочисленных примерах групп, укажем на то,

что молено доказать ряд теорем, относящихся к группе, правда не наи-

более общего типа, но столь общего, что под него подходят все те труп-

пы преобразований, с которыми до сих пор имела дело математика. Для

этого следует установить ряд постулатов, определяющих тип группы,

который молено назвать нормальным.

Молено написать их в символической форме, обозначая через

операцию и имея в виду, что а

Ь вообще отлично от b ° а.

I) а о Ь = с, т. е. всегда имеется результат, причем, согласно оп-

ределению группы, оно входит в совокупность а, Ь, с,

II) ( а

Ь)

с = а о (Ь о с) (ассоциативный закон),

m)i°i=i

(постулируется существование идемпотента (т.е. каким явля-

ется 1 для умножения, 0 или i для сложения))

-IV) постулируется единственность идемпотента,

V) модулей направо и налево

а оi = a i о а=а

•I

VI) взаимных элементов ,

а о а' = i а' о а = i

Это постулаты. Основываясь на них молено доказать теоремы:

Тождество обоих модулей и обоих взаимных элементов. Если

яо b = а о Ь' то b = b'.

Существование решения уравнения а

х = b и т.д.

Отсюда мы видим, что, идя по пути обобщения, мы приходим к

понятию чисто логическому; не меняя самого метода исследования, мы

исследуем это понятие, доказываем ряд теорем, употребляя символику,

подобную математической.

Отсюда вполне естественно вытекает стремление свести все ма-

тематические понятия и аксиомы к чисто логическим, найти чисто ло-

гические субстраты тем логическим схемам, в которые укладывается

арифметика и геометрия.

Это направление принадлежит школе логиков, [к которым отно-

сятся] Пеано, Рассел, Кутюра и т.д.

В основу арифметики и геометрии они кладут чисто логические

аксиомы, арифметические и геометрические объекты они определяют

логически.

Сводя операции формальной логики к нескольким основным,

они приводят их к операциям над символами и таким образом в логике

мыслят математически.

Таким образом, если так можно выразиться, производится еди-

новременно и логизация математики и математизация логики.

Но это сближение, или это поглощение математики логикой, ста-

новится возможно только при расширении старой классической логи-

ки,

при включении в нее новых элементов.

Прежде всего приходится развивать наряду с логикой классов,

каковой является классическая логика, еще логику предложений.

Классическая логика изучает операции над классами. Класси-

ческий силлогизм представляет [собой] включение и исключение инди-

видуумов и видов в классы и из классов.

"я есть A, b есть с, следовательно, а есть с" представляет [со-

бой] такую операцию:

"а,

принадлежащее классу Ь, включается в класс с, ибо Ь принадлежит

с".

Но в том же силлогизме можно видеть операцию над предложе-

ниями, установку связи между большой посылкой и заключением. Зак-

лючение вытекает из большой посылки в силу малой посылки.

Таким образом операция силлогизма подводится под весьма об-

щее понятие выведения. Из предложения р может вытекать предложе-

ние q в силу малой посылки, но можно рассматривать этот вывод p^q

совершенно независимо от того, что обуславливает этот вывод. Можно

рассматривать вывод p^q просто как факт.

Логика предложений раскрывает нам, что не все логические опе-

рации сводятся к приложению принципов тождества и противоречия.

Но этого мало. Силлогизм устанавливает отношение индивиду-

ума к классу. Понятие отношения - предмет логики, но не всякое отно-

шение есть отношение индивидуума к классу. Необходимо поэтому ло-

гику предложений и логику классов дополнить логикой отношений.

Но логики имеют немало врагов.

Пуанкаре видит в их определениях ложный круг, определение

неизвестного через неизвестное.

В особенности резким выступает это в определении Кутюром

единицы:

"Один, - говорит Кутюра, - есть число элементов класса, два

любых элемента которого тождественны".

Один здесь определяется через два, и, если бы Кутюра попроси-

ли определить два, то, по мнению Пуанкаре, он определил бы два через

единицу.

Мы не считаем, что логики были бы так виноваты, как это пред-

ставляется Пуанкаре, чтобы все их определения грешили бы в том же

отношении.

Приведенное выше словесное определение освободится от это-

го обвинения, если его несколько иначе выразить:

"Один есть число элементов класса со всеми тождественными .

элементами".

Число два, неприятно резавшее ухо, исчезло.

Класс со всеми тождественными элементами - это вместе с тем

[есть] тот [класс], в котором любые два элемента являются тождествен-

ными.

Обнаружимость тождественности любых двух элементов - это

не характерный признак, служащий определением такого класса, а только

лучший способ проверки, что данный класс именно таков.

Здесь делается такая же ошибка, как при определении равных

треугольников их конгруэнтностью, т.е. возможностью полного поло-

жения одного на другой. На это последнее свойство следует смотреть

как на свойство, определяемое некоторой аксиомой, имеющей место для

треугольников (в то время, как аналогичная аксиома не имеет места для

тетраэдров): из нее вытекает способ для удостоверения в равенстве тре-

угольников.

Но я вполне согласен, что логики не дали чисто логических оп-

ределений арифметических объектов, да и не могут их дать.

Всякое истинное определение должно однозначно соответство-

вать определяемому объекту, но, конечно, такого соответствия в опреде-

лениях логиков не имеется.

Говоря о логиках, мы приходим к вопросу о математических оп-

ределениях, причем будем говорить только о геометрических определе-

ниях.

Вот два кардинальных вопроса, касающиеся математических оп-

ределений: что можно определить и какую роль играет определение в

математическом доказательстве?

Очевидно, не все может быть определено. Если логики и стара-

ются логически определить число, то конечно, они не имеют никакого

намерения определить логические термины, входящие в их определе-

ния.

Основные геометрические элементы: плоскость, прямая и точ-

ки и связи между ними являются неопределимыми геометрическими

объектами.

Можно выставлять как определение те основные постулаты, ко-

торым подчиняются эти элементы. Но постулаты эти не определяют ни

каждый в отдельности, ни даже все вместе ни точки, ни прямой, ни

плоскости.

Те признаки, которыми приходится дополнять признаки, зада-

ваемые постулатами, определяются интуицией и выразить их логичес-

кими терминами настолько же возможно, как объяснить цвет слепому с

помощью звуков.

Всякая попытка определить, например, точку, приводит в луч-

шем случае к определению точки с помощью других интуитивных дан-

ных, в худшем - к определению х через х.

Определения могут быть чисто словесными сокращениями - тог-

да [мы] будем иметь поминальные.определения.

Пример номинального определения: катет

—

сторона прямоу-

гольного треугольника, прилежащая к прямому углу.

Роль номинального определения вполне ясна. Номинальное оп-

ределение сокращает изложение доказательства, дает возможность вме-

сто того, чтобы каждый раз говорить "сторона прямоугольного треуголь-

ника" и т.д., употреблять одно слово "катет".

Так что логического, в собственном смысле, значения номиналь-

ное определение не имеет.

Но,

конечно, не все геометрические определения таковы. Нельзя

назвать обычное определение круга номинальным.

Некоторые относят это определение к генетическим и считают,

что кроме номинальных определений в геометрии возможны только ге-

нетические, т.е. такие, в которых дается способ образования определяе-

мого объекта с помощью известных элементов.

Определяя окружность как геометрическое место точек, отстоя-

щих на одно и тоже расстояние от данной точки, мы вовсе не указываем

этим способ образования или вычерчивания круга (хотя это сейчас же

выводится из его определения). Мы определяем совокупность точек (пун-

ктуал), удовлетворяющих определенному условию. Этому пунктуалу от-

вечает одна и только одна определенная кривая - носитель этого пунк-

туала. Пунктуал не составляет кривой, ио он однозначно с ней связан.

Таким образом дело обстоит так:

Объект В дается заданием объекта А, однозначно с ним связан-

ного,

т.е. таким, что, если дается А, то вместе с тем дан В и если дан В,

то дан и А. Но связь между А и В не может быть определена в логичес-

ких терминах, а дается только интуицией. В этом случае имеет место

логическая эквивалентность А и В, как для постулатов, так и для выво-

димых из них положений. Так, в предложении: "две точки определяют

пунктуал", пунктуал можно заменить прямой и сказать: "две точки оп-

ределяют прямую".

Литература к лекции I

На русском языке:

1) Кутюра. Принципы математики. Перев, Линда.Изд. Карбасникова.Спб.

1913.

(богатая библиография).

2) Кутюра. Алгебра логики. "Матезис". Одесса. 1909.

3) Пуанкарэ. Гипотеза и наука.

4) Пуанкарэ. Метод и наука.

5) Фосс. О сущности математики."Физика", Спб. 1911.

6) Каган. Основы геометрии. Одесса. 1905-07.

7) Бонола. Неевклидова геометрия.

8) Вебер-Вильштейн. Энциклопедия элементарной математики. Т. 1.Ма-

тезис. Одесса. 1909.

9) Энрикес. Вопросы элементарной математики.

10) Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с примечаниямими.

11) Далеман. Проективная геометрия. Пер. Лагутинского.

На французском языке:

1) Peano. Formulaire de Mathemaliques.

2) Peano. Notations de logique Mathemaliques. Turin. 1894.

3) Padoa. La logique deductive. Paris. Gauthier Villars. 1912.

4) Liard. Definitions mathematiques. Paris. Alcan. 1903.

5) Favaro. Lecons de statique graphique t. I. Geometric de Position.Paris.

Gauthier Villars. 1879.

На немецком языке:

1) Hilbert. Grundlagen der Geometric Leipzig. Teubner. 1903.

2) Killing und Hovestadt. Handluch des Math. Unterrichts. t.I. Leipzig.

Teubner. 1910 (библиография).

3) Genochi. DiTferentialrechnung und Integral rechnung. Anhang I.Tcubner.

1899.

Лекция IL Гносеология и Математика.

В заключении находится только то, что дано в посылках. Не дают ли пра-

вила формальной логики одну тавтологию, маскировку тождеств А есть А.

Не представляют ли логические схемы только мертвое орудие, оживить

которое могут лишь интуиция и опыт? Пуанкаре отрицает, чтобы живое

математическое рассуждение, ведущее нас от истин к новым истинам, пред-

ставляло бы одну мертвую логическую схему. За живительный дух, кото-

рый движет математическое рассуждение вперед, он считает полную ма-

тематическую индукцию, логически неопределимую. Шаг вперед делает

математика всякий раз, когда принимает этот принцип:

Если какое-либо свойство справедливо для 1 и если установлено,

что оно справедливо для п+1, коль скоро оно справедливо для п, то оно

верно для всех целых чисел.

Пуанкаре считает, что применение этого принципа заключает в себе

бесконечное множество силлогизмов:

Теорема верна для числа 1.

Если же она справедлива для 1, то верна и для 2.

Следовательно верна для 2.

Если верна для 2, то верна для 3.

Следовательно верна для 3 и т.д.

С таким мнением нельзя согласиться. Конечно, применение прин-

ципа полной индукции можно представить бесконечным числом силлогиз-

мов,

но все эти силлогизмы нетрудно свести к одному, если только при-

знать принцип индукции или за определение целого конечного числа (как

Кутюра) или за характерное свойство, обнаружимое одной из аксиом, к

нему относящейся.

Неверно и то, что правила формальной логики дают только замас-

кированное тождество А=А. Ибо не только на этом принципе зиждутся эти

правила.

Существуют принципы, отмечаемые новой логикой, совершенно

не выводимые из этого принципа, как, например, принцип упрощения, от-

носящийся к логшсе предложений, выражаемый логической формулой:

pnq-)p

т.е. утверждение двух положений p.q влечет утверждение одного из них,

содержащее в себе операцию логического умножения, которой иет в прин-

ципе тождества. Поэтому опасение, что математические построения по

правилам формальной логики будут замаскированными утверждениями

А=А не имеет основания.

Трудность, а может быть, и полная невозможность чисто логичес-

кого обоснования математики происходит вследствие следующих двух пре-

пятствий:

1) вначале выступает невозможность чисто логического определе-

ния математических понятий по причинам, указанным в первой лекции,

2) в дальнейшем чисто психологическая невозможность проведе-

ния чисто логических операций без обращения к интуиции.

Правда, нам кажется странной возможность построения всей ма-

тематики только с помощью такого рода операций, нам кажется невероят-

ным,

чтобы математика представляла [собой] только комбинацию одних и

тех же элементов.