Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

ем,

руки и ноги у всех окоченели от холода... Однако, по окон-

чании доклада Дмитрий Дмитриевич почти в течение часа с

увлечением рассказывал о геометрии Лобачевского... Пальцы

рук Дмитрия Дмитриевича так закоченели, что он не мог дер-

жать в руках мел, часто клал его и дыханием отогревал паль-

цы".

Всю жизнь Мордухай-Болтовского преследовали война и разрушение: сна-

чала эвакуация из Варшавы (первая мировая война), затем гражданская

война, имевшая на Дону особенно разрушительный характер, затем снова

эвакуация, уже из Ростова (вторая мировая война). И это заставляло Дмит-

рия Дмитриевича быть готовым не только в любой момент все потерять,

но и в любой момент начать все заново. Так он трижды создавал "геомет-

рический кабинет" - собрание моделей, требующее огромного труда и вни-

мания. Первый такой кабинет был создан

Варшаве и потерян при переез-

де в Ростов. Второй был создай в Ростове и пропал в 1942 г. во врем бом-

бежки Ростова. После войны в возрасте 71 года Дмитрий Дмитриевич вновь

принимается за организацию геометрического кабинета.

Ясно,

что превознесение героического характера, которое мы на-

ходим в послевоенной статье "Средние века" (см. настоящее издание), не

было для него только литературным увлечением. Героическим характером

обладал он сам, не изменяя своим литературным увлечениям собственной

жизнью.

Нам известно о нескольких героических эпизодах из жизни Дмит-

рия Дмитриевича. О первом, относящемся ко времени гражданской войны,

Эмилия Дмитриевна Болтовская смогла только сообщить, но, к сожалению,

не смогла рассказать ничего конкретного. Известно только, что когда в дом

ворвался вооруженный красноармеец, Дмитрий Дмитриевич мужественно

себя повел и сумел охладить его революционный пыл. Кстати сказать, по

словам Эмилии Дмитриевны, Дмитрий Дмитриевич, несмотря на свое дво-

рянство, не был безусловным сторонником старой власти, хорошо понимал

необходимость перемен и ддже мог быть причислен к "передовой интелли-

генции". Вместе с тем, мы не находим никаких следов того, что Мордухай-

Болтовской увлекался теми политическими теориями, которые были попу-

лярны среди "передовой интеллигенции" в начале века в России, и которые

новая власть взяла на вооружение. Поэтому "передовым" Дмитрия Дмитри-

евича можно считать только в смысле его свободы от старой социальной

догматики, но не в смысле скорейшего освоения новой.

Следующий эпизод носит скорее комический характер - в том силь-

ном смысле слова, когда речь идет о смехе на краю гибели. Рассказывает

Эмилия Дмитриевна Болтовская:

"В 1937 г проводили "чистку" профессоров, Все желаю-

щие послушать, как будут

"чистить"

профессоров, сидели

зале,

профессоров вызывали на сцену, и они должны были изложить

свою "идеологию", взгляды. Был у нас такой биолог Волков -

ему дали этикетку "ползучий эмпирик" - честно говоря, я со-

всем не понимаю, почему он оказался ползучим... Профессора

выходили и высказывали свои взгляды. Когда очередь дошла

до Дмитрия Дмитриевича, он сказал: "Я, пожалуй, воздержусь

высказывать свои взгляды, потому что боюсь соблазнить ма-

лых сих". Его не тронули... "

Возможно, что его не тронули благодаря вмешательству Калинина или бла-

годаря силе одного имени Калинина, хотя Эмилия Дмитриевна этого не под-

тверждает. Такую версию приводит писатель Александр Исаевич Солжени-

цын,

который в 1936-41 гг. был студентом Мордухай-Болтовского

и кото-

рый вывел Дмитрия Дмитриевича под вымышленным именем Дмитрия

Дмитриевича Горяинова-Шаховского в романе "В круге первом"

(гл.

10),

что

нам подтвердил сам писатель. Впрочем, как это видно подругам эпизодам,

относящимся к жизни Дмитрия Дмитриевича, историческая правда в рома-

не Солженицына настолько тонко переплетена с художественным вымыс-

лом,

то есть исторической неправдой, что его вряд ли можно принимать во

внимание в качестве исторического свидетельства. Скорее всего, сам Со-

лженицын или его источники

данном случае сами исходили из вероятнос-

ти,

а не из фактов.

Добавим еще, что идеологические нападки на Мордухай-Болтовс-

кого имели место и ранее. Так М. Выгодский в своей рецензии на "Исследо-

вания о происхождении некоторых основных идей современной математи-

ки",

опубликованной в 1931 году в сборнике "На борьбу за материалисти-

ческую диалектику в математике" - в целом, кстати сказать, весьма благоже-

лательной - упрекает автора в том, что он "далек от материалистического

понимания истории".

Третий эпизод оказался трагическим. И это как раз тот случай, когда

педантичность и героизм оказываются попросту одним и тем же. Рассказы-

вает Эмилия Дмитриевна Болтовская:

"У него должна была быть лекция как раз во время бом-

бежки. Мы его отговаривали идти на лекцию, аон говорит: "Нет,

я не могу не пойти, я все-таки пойду". Мы все очень волнова-

лись. Через некоторое время один преподаватель из Универси-

тета приносит часы Дмитрия Дмитриевича

говорит, что Дмит-

рий Дмитриевич ранен в голеностопньш сустав и в голову".

Далее события развивались следующим образом (Эмилия Дмитриевна про-

должает):

"Один из учеников Дмитрия Дмитриевича, который зани-

мал

Армавире какой-то государственный пост, специально для

Дмитрия Дмитриевича прислал вагон - во время войны, когда

все это было невероятно трудно! В этом вагоне мы вывезли ра-

ненного Дмитрия Дмитриевича из Ростова, и поехали к моим

родственникам в Ессентуки. Это было в 42-м году".

Вероятно, это было 8 июля 1942 г., когда немецкая бомба попал в здание

физ-мата и убила 12 человек.

В Ростове сгорело все имущество Мордухай-Болтовского и его се-

мьи,

включая богатую личную библиотеку. Пропали и некоторые рукописи,

хотя часть их был вывезена. Пропавшие рукописи Дмитрий Дмитриевич

впоследствии кропотливо восстанавливал по памяти.

"Когда воина кончилась и мы жили в Иваново, к нам на

квартиру пришел страховой агент чтобы застраховать имуще-

ство.

Тогда Дмитрий Дм итриевич достал подстаканник и ска-

зал:

"Вот мое имущество",

Определенно молено судить о вмешательстве бывшего слуги, пре-

вратившегося в могущественного покровителя, в жизнь Дмитрия Дмитрие-

вича на основании только одного эпизода:

"Когда мы жили в Ессентуках [1943 г -

А.Р.],

то ужасно

нуждались. Калинин узнал об этом от Владимира - брата Дмит-

рия Дмитриевича, который жил в Москве и часто с ним общал-

ся - и прислал нам 3000 р. В то время это были большие день-

ги.

Я пошла на почту получать эти деньги, а мне говорят; "Эти

деньги уже получили". Смотрю - за эти деньги расписался дру-

гой человек. Оказалось, что кассирша сбежала с деньгами вме-

сте с каким-то офицером, который и уговорил ее взять эти

день-

ги.

Когда Владимир узнал об этом, он пересказал эту историю

Калинину. Калинин посмеялся и прислал деньги еще раз. На

этот раз их принесли прямо на дом.

Старшего брата Дмитрия Дмитриевича, Ивана, по свидетельству

Эмилии Дмитриевны, спасла от ареста стоявшая на его столе фотокарточка,

на которой он бы запечатлен вместе с Калишшым. Однако младшего брата,

Владимира, который теснее своих братьев был связан с Калининым, это зна-

комство не только не оберегло от ареста, но может быть, наоборот, ему спо-

собствовало; после войны Владимир был арестован и сослал в Магадан.

Что,

конечно, неудивительно, поскольку в это :ке время находилась под аре-

стом жена самого Калинина. Эмилия Дмитриевна продолжает:

Потом, когда Дмитрий Дмитриевич стал лучше себя чув-

ствовать, ему предложили работу в пятигорском Педагогичес-

ком Институте. Он согласился [1943 г. -

А.Р.1.

Тогда нам стало

немножко легче. Потом мы переехали в Иваново: там жила се-

стра жены Дмитрия Дмитриевича, у нее была большая кварти-

ра,

Там Дмитрию Дмитриевичу дали место в ивановском пе-

динституте [1944 г.

-А.Р.]".

В первый послевоенный учебный год Дмитрий Дмитриевич возвращается в

разрушенный Ростов - возвращается в свой университет, к своему делу, за

верность которому он чуть было не расплатился жизнью. Но здесь Дмитрий

Дмитриевич неожиданно оказывается в роли жертвы, а не победителя. С

этой ролью он, похоже, не соглашается никогда.

"Но все-таки Дмитрий Дмитриевич стремился в Ростов и

потом мы туда переехали. И вот там совершилась самая боль-

шая трагедия. Поскольку какое-то время Дмитрий Дмитриевич

и мой муж находились на оккупированной территории, это было

ужасное пятно. На физико-математическом факультете универ-

ситета был большой вестибюль, где висели портреты всех из-

вестных математиков университета. Там был и портрет Дмит-

рия Дмитриевича. Однажды Дмитрий Дмитриевич приходит в

университет и видит, что его портрет сняли. Почему? Потому

что он был на оккупированной территории. То. что он постра-

дал от немецкой бомбы, не посчитался ни с чем, пошел на лек-

цию и выполнил свой долг - не имело значения. Это перепол-

нило чашу весов. Дмитрий Дмитриевич обиделся и написал в

пятигорский пединститут, что он хочет туда вернуться. Дмит-

рий Дмитриевич уехал в Пятигорск, а мы с Филаретом Дмит-

риевичем остались в Ростове".

Возможно, что именно вынужденные ограничения публичной активности

позволили Дмитрию Дмитриевичу в этот последний период жизни закон-

чить труд, который можно было бы назвать трудом его жизни, если бы толь-

ко в его жизни не было других трудов, отличающихся по своему характеру,

но ие по своему масштабу - полный перевод на русский язык "Начал" Евк-

лида с уникальными комментариями, в которых анализируется не только

аЕгтичная,

но и европейская традиция геометрического учебника. Скончался

Дмитрий Дмитриевич все-таки в Ростове - в городе, к которому бы особен-

но привязан.

"В 1952-м году Дмитрий Дмитриевич гостил у нас на ка-

никулах. Однажды ночью ему внезапно стало плохо. Вызвали

"скорую помощь"; когда врач приехал, все уже было конче-

но".

А.

Родин

ЧЕТЫРЕ ЛЕКЦИИ ПО ФИЛОСОФИИ

МАТЕМАТИКИ

Введение

М.1У

Бесспорно, что одна из характерных черт современной математики - ее

связи с науками философскими. В настоящее время математик, который не

желает ограничить всю деятельность узкой сферой какого-нибудь специ-

ального исследования должен быть хотя бы немного философом. Матема-

тика и философия, можно сказать, два близнеца, родившиеся в одно время

и в своем младенчестве лежавшие в одной колыбели. Судьба их то разъе-

диняет, то снова приводит к тесному единению. Рационалисты XVII века

все мировоззрение хотели построить ordine geometrico и математика слу-

жила образцом для их метафизических построений. Критицизм разбил эти

прекрасные заблуждения и этим указал два далеко расходящиеся пути для

философии и математики.

Спекулятивный идеализм смотрел свысока на математику, его диа-

лектическая логика представлялась божественным откровением, заглуша-

ющим земной лепет силлогистической логики математиков. Представля-

лось,

что философия не может заимствовать у математики ни ее метод, ни

ее содержание.

В противоположность идеализму материализм очень любил выдви-

гать значение математики. Но материалистические похвалы математике -

это похвалы чернорабочему, который работает для ряда наук, образующих

иерархическую лестницу вплоть до той наивно-реалистической догматики,

которая атом считает единственным объясняющим принципом. Но вот, эво-

люция мысли, идя по зигзагообразной кривой, снова возвращается к ста-

рым идеям. Рационализм возрождается в виде современных интеллектуали-

стических течений

. Чистый разум старается теперь разорвать те цепи, в

которые его заковал критицизм.

Война все еще продолжается. Победа будет одержана рационализ-

мом и чистый разум опять овладеет метафизическим царством, если будут

взяты самые сильные крепости: будет опровергнуто кантовское учение о

пространстве и геометрических аксиомах и будет отбита актуальная беско-

нечность.

Мы видим таким образом, что предметы, которые должны интере-

совать пюсеолога лежат в области математики. Если математик не глух и

не слеп

тому, чем волнуется философская мысль, созидающая синтез всех

человеческих знаний, то он со своей стороны будет стараться выработать

определенный и ясный ответ на обращенные к нему запросы гносеолога и

метафизика.

Мы выше сказали, что спекулятивный идеализм, совершающий

свои построения с помощью высшей, диалектической логики смотрит свы-

сока на ту логику, которая толчется на одном месте, маскируя на разные

лады А=А.

Если диалектическую логику отвергнуть, то останется только эта

бедная математическая логика и критицизм смело сможет утверждать, что

с А=А также нельзя доехать до Абсолюта, как барону Мюнхаузену выта-

щить себя за волосы из болота. Не будет ли единственным путем для защи-

ты позиций создать новую логику, опирающуюся на математику, изыскать

в математической логике другие принципы, чем А=А, не зависящие от пос-

леднего, «усмотреть в Математике силы, не усмотренные Аристотелем и

Кантом? Отсюда следует необходимость логическо-математических иссле-

дований, связь между логикой и математикой.

Но следует помнить, что связь между гносеологией и метафизикой

с одной стороны и математикой [с другой] существовала и раньше. Совер-

шенно новой представляется связь [математики] с психологией. Значение

психологии для математики, впрочем, и теперь сознается довольно слабо.

Едва ли вполне сознается, что все логические построения приобретают

ценность только благодаря психологическом факту очевидности основных

аксиом. Но уже одного этого факта достаточно, чтобы убедить в необходи-

мости психологических исследований.

Эмпиризм, опирающийся на психологию, можно обсуждать лишь

опираясь на эту последнюю. Психология мышления не должна совпадать с

ассоциативной психологией. Необходимо ее более глубокое исследование и

лучшие факты может дать математика.

Психологическое исследование дает особое значение истории ма-

тематики. В последней мы приучаемся видеть не только прагматическую

сторону, но и усматривать общие законы, которым подчиняется эволюция

различных психологических элементов, приучаемся рассматривать исто-

рию математики только в связи с историей мысли в более общем смысле и

даже с общей историей человечества.

Вместе с тем, мы приобретаем психологические основы для мето-

дических теорий. В настоящее время экспериментальное исследование слу-

жит основой последних, но экспериментальные факты следует пополнять,

а в иных случаях и полностью заменять результатами психологического

анализа, относящегося не только к истории различного рода открытий, но

и к готовым математическим построениям.

Предметом наших лекций и послужит разбор тех философских и

математических проблем, которые связуют логику, гносеологию, психоло-

гию,

метафизику с математикой.

Лекция I. Логика и Математика

Существуют математические истины, которые не доказывают, в существо-

вании которых убеждаются непосредственно путем интуиции. Эти истины

высказываются в начале изложения системы математических положений.

Это - аксиомы. Таковы следующие истины: "две величины, равные по-

рознь третьей, равны между собой", "две прямые не могут заключать про-

странства". Раз установив систему очевидных истин, к признанию других

гфиводят с помощью доказательств, т.е. связывая каждую из них логичес-

кой связью с непосредственно очевидными положениями. Устанавливая

такую связь, мы, конечно, этим не делаем доказуемые положения очевид-

ными, но истинность их становится для нас необходимой в силу того, что:

1) исходные положения очевидно имеют место

2) все те положения, которые связываются цепью силлогизмов с

ними должны быть, как и он, истинны.

Из двух посылок силлогизмом извлекаем третье предложение - зак-

лючение. Если мы изобразим точками всю совокупность положений ка-

кой-либо математической дисциплины, например элементарной геомет-

рии,

и точку А, отвечающую какому-нибудь положению будем соединять

прямыми с В, С, D... положениями, из которых А выводится, то получим

сеть,

которая начинается в точках, отвечающих начальным т.е. очевидным

положениям. Можно сказать, что математика обычно интересуется не са-

мой сетью, а только ее узлами. Для нее важно указать какой-нибудь путь,

ведущий от очевидных положений А, В, С, D... к интересующему его поло-

жению G, существование которого почему-либо подозревается и, если этот

путь найден, то математик со спокойной совестью может сказать, что поло-

жение G им доказано. Более же глубоким, но еще не успевшим внедриться

во все области математики является взгляд, по которому исследование ло-

гической сети является не менее важным, чем исследование ее узлов. Нуж-

но предполагать, что логический анализ в будущем будет приобретать все

большее и большее значение и интеллектуальная совесть математика буду-

щего времени будет гораздо чувствительнее, он будет искать не какой-ни-

будь путь от А, В, С... к G, а путь определенного типа, идущий от наперед

заданной части аксиом через положения определенных типов.

На первый взгляд кажется, что подобные исследования не предмет

математики, а предмет логики.

Конечно, основания подобных исследований черпаются в логике,

но результаты, которые получаются путем логических исследований, отно-

сятся,

тем не менее, к математике.

Возьмем силлогизм т.е. одно из звеньев упомянутой выше логи-

ческой сети (например 1-ю фигуру)

А есть В

все В есть С

следовательно А есть С.

Им утверждается, что А присуще некоторое свойство (С) определяющее при-

надлежность А к классу и именно потому, что ему присуще свойство (В).

Можно сказать, что, делая это заключение мы пользуемся только

одним из свойств объекта А. Но ведь тому же объекту А могут быть прису-

щи еще другие свойства (Е), (F), (G)... отнюдь не необходимо связанные с

(В).

Эти последние в нашей логической операции остаются логически не

действующими.

Объект А мы могли бы заменить другим объектом Л, которому

было бы присуще свойство (В), но признаки (Е) (F) (G)... были бы замене-

ны другими (Е|

(F)

.(G)---

Иван - человек,

все люди смертны:

следовательно Иван смертен.

Иван человек, но Иван может быть стар, высок, худ. Но я могу также ска-

зать:

Петр - человек,

Все люди смертны

следовательно Петр смертен.

Хотя Петр в противоположность Ивану может быть молод, низок и толст.

Вместо одного звена, можно взять несколько звеньев, т.е. некото-

рую логическую цепь, начинающуюся аксиомами. Мы будем тогда доказы-

вать,

что объекту

А присущи свойства: а', а", а'"...

Ь',Ь",Ь"'...

С с', с",

с'"...

При этом мы можем использовать не все признаки А, В, С... а только

А а', а", а'"

В |3', р", р'"

у',у",у"

наличность которых утверждается системой использованных нами акси-

ом.

Таким образом нами будет доказываться, что А присущи свойства:

я',

а",

а'"...

В:

b',b",b"'...C: с',с",с'"..только потому, что А присущи:

а',а",а"'...В: |}',р",Р"'...С:

у',у",у'"...

Если бы А, В, С... были присущи еще другие от взятых независи-

мые свойства

о1,оГ,аГ... |3',|У\|3"'...

у',у",у"'...

то таковые следует признать логически не действующими. Заменяя их дру-

гими а', а",

а"'...р',Р",Р"'...у',у",у"'...,

мы получаем вместо А, В, С...

новые объекты А, В,

., относительно которых должны утверждать то же,

что о А, В, С, т.е. наличность для Асвойства:

а',а",а'"...,

для

В:

b',b",b"'.. для С: с',с",с'" и т.д.

Мы будем иметь таким образом одну логическую схему для раз-

личных объектов: А, В, С... и А,В,С...

Можно назвать (А,В,С.) и (А, В, С... ) логическими эквивален-

тами относительно взятой системы постулатов.

В современной геометрии имеет огромное значение эквивалент-

ность точки и прямой относительно одной группы аксиом. Все геометри-

ческие свойства можно разделить на две довольно обширные категории.

Теорема Пифагора устанавливает известную зависимость между

длинами гипотенузы у катетов. Это не что иное, как соотношение между

результатами некоторых измерений. Такие свойства, которые зависят от

какого-либо сравнения или, лучше сказать, измерения величин, называ-

ются метрическими. Такого рода свойствами занимается почти исключи-

тельно низшая, элементарная геометрия.

Но существуют еще совершенно другого рода свойства. Эти после-

дние совершенно не зависят от измерения. Это так называемые зритель-

ные свойства.

Они определяются взаимным расположением геометрических

объектов, но при этом предполагается, что это расположение определяется

не измерением, а зрительной интуицией весьма общего типа.

На вопрос: "где

точка?"

- следует отвечать не "на таком-то рассто-

янии от прямой вправо или влево", а "на прямой, направо или налево".

На вопрос: "где прямая?" - следует отвечать, "на плоскости или в

ту или другую сторону от нее" и т.д.

Ясное представление о зрительных свойствах дают уже зритель-

ные аксиомы, относящиеся к основным элементам геометрии.

На плоскости:

Две точки определяют одну прямую, через них проходящую.

Две прямые определяют одну точку их пересечения.

Эти аксиомы обыкновенно формулируют так:

Две точки определяют прямую, им принадлежащую.

Две прямые определяют точку им принадлежащую.

В пространстве:

Три точки, не принадлежащие одной прямой, определяют плоскость.

Три плоскости, не принадлежащие одной прямой, определяют точку.

Две точки определяют прямую, им принадлежащую.

Две плоскости определяют прямую,

им

принадлежащую.

И другие.

Мы

не

будем перечислять

все

зрительные аксиомы,

но

отметим

следующее

их

свойство, которое можно легко усмотреть

на четырех толь-

ко

что

приведенных.

Каждой зрительной аксиоме отвечает

ей

взаимная, получаемая

за-

меной плоскости

на

точку, точки

на

плоскости (прямая остается

на

месте).

Из системы зрительных аксиом выводится зрительная геометрия

или геометрия положения

главная

важнейшая часть проективной гео-

метрии.

Можно сказать теперь, что веете свойства точки, прямой

плоско-

сти присущи

им

только потому,

что

точке, согласно зрительным аксиомам,

присущи свойства

а', а", а'"..,

плоскости

\У,

|3",

Р'"...

Таким образом, для доказательств

зрительных теорем имеет зна-

чение

не то, что

плоскость представляется интуицией совершенно

ином

виде,

чем

точка,

а то, что три

точки определяют плоскость,

две

точки

прямую

и т.д.

Так как согласно двойственности аксиом мы можем приписать плос-

кости свойства

а', а", а'".., а

точке [свойства]

J3',

Р",

р'"..,

то мы

будем

иметь логическую эквивалентность

[А

(точки),

(прямой),

(плоскости)]

[ А

(плоскости),

(прямой),

(точки)], взаимные положения будут

существовать

не

только

для

аксиом,

но и для

всякой зрительной теоремы.

Мы,

таким образом, получаем закон двойственности:

Каждому зрительному положению отвечает взаимное, получае-

мое заменой точки

па

плоскость

плоскости

на

точку.

Приведем примеры двух взаимных теорем.

Можно сказать,

что

прямые, между собой пересекающиеся,

т.е.

имеющие попарно общие точки

и не

лежащие

на

одной плоскости, прохо-

дят через одну точку.

Взаимная теорема:

Прямые, между собой пересекающиеся,

т.е.

лежащие попарно

одной плоскости

и ие

проходящие через одну точку, лежат

одной плоско-

сти.

Существует теорема плоской зрительной геометрии, которую дока-

зывают стереометрическими соображениями

это теорема Дезарга.

двух

треугольниках

ABC и

А,В,

С,

соответствующие вершины которых лежат

на

прямых, проходящих через одну точку, соответствующие стороны пересе-

каются

точках, лежащих

на

одной прямой,

[существует] теорема

ей

обратная.

Эта теорема вместе

плоскостными зрительным теоремами пред-

ставляет основание зрительной плоскостной геометрии. Легко усмотреть

этих основных положениях тоже двойственность, существование взаим-