Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

иечно большие и бесконечно малые в анализе, т.е. в исчислении беско-

нечно малых.

Но на бесконечность можно взглянуть с противоположной сторо-

ны.

Можно изучать ее, так сказать, на самом месте, глядя из бесконечнос-

ти в конечное и изучая его сравнением с последним. Это изучение актуаль-

ной бесконечности, бесконечности, уже перешедшей через все границы.

Под анализом разумеют дробление целого на части для его изуче-

ния.

Трудно познать целое непосредственно: необходимо предварительное

разложение его на части более простые и более доступные для изучения,

чем это целое. В этом смысле употребляется термин: „химический ана-

лиз".

Неизвестное сложное вещество для изучения разлагается на простей-

шие элементы.

В математическом анализе величина дробится на бесконечно ма-

лые элементы, кривая - на бесконечно малые дуги, площадь - на беско-

нечно малые площади.

Синтез состоит тогда в соединении элементов в целое. В матема-

тическом анализе при определении величины целого за анализом всегда

следует синтез, целое дробится на малые части, определяются выражения

для последних, после чего остается суммировать эти части, что достига-

ется синтезом.

В исчислении бесконечно малых имеет место, как синтез, так и

анализ, ио первым всегда является анализ и там лежит центр тяжести все-

го метода, почему исчисление бесконечно малых и получило название

„Анализа".

Метод исчисления бесконечно малых скрытым образом содержит-

ся в главе элементарной геометрии „Измерение площади круга".

Для определения этой последней, мы вписываем в круг правиль-

ный многоугольник и, удваивая число сторон последнего, получаем беско-

нечный ряд:

S , S , S , S ...

«' П' 24' 48

площадей таким образом получаемых многоугольников.

Предел членов этого ряда и будет [являться] площадью круга.

Каждая из площадей представляется суммой площадей (3,, Р

.. тре-

угольников Осф, Оуб... на которые с помощью радиусов, проведенных от

вершин многоугольника к центру круга, можно

разделить его.

Представим эту методу в такой форме, что-

бы резко выступали моменты анализа и синтеза.

1) Разделив окружность на бесконечно ве-

ликое число частей и соединяя точки деления с цен-

тром,

круг делится на бесконечно малые секторы.

Можно написать, что S (площадь круга)

равна сумме этих секторов и.

или,

что тонее,

8=1111120-!,

ибо

^сГ|

приуменьшении a

не меняется.

Круг разбили на сектора, но непосредственное суммирование сек-

торов является невозможным. Необходимо найти такую сумму ^Р

;

, что-

бы предел 2равнялся

чтобы в то время, как ; непосред-

ственно иайти невозможно, lim ^ р| легко находился бы.

2) Таким образом изыскивают такие р., что lim ^р

=lim^aj .

Это операция дифференциального исчисления. По основной лемме

lim^Pi

=lim£a.

если Р., с. эквивалентные бесконечно малые т.е. такие, что lim—=1.

В настоящем случае эквивалентны бесконечно малый сектор и впи-

санный в него треугольник.

Можно доказать, что площадь круга можно рассматривать ие толь-

ко как предел площадей вписанных или описанных многоугольников при

удвоении числа сторон, но вообще как предел безразлично правильных

или неправильных многоугольников при увеличения числа сторон и при

уменьшении этих последних. Последнее выражение следует понимать сле-

дующим образом:

От многоугольника со сторонами:

„(П

W „0)

переходим к многоугольнику со сторонами

(2)

<2)

(2)

причем, во-первых n

(2)

> п

(1)

, во-вторых наибольшая из величин

...и. /и. наибольшей величины из ос, , оц',...,аЛ

{2)

. От

,а?К..а%

переходимк а<»,а<

> ...а% ,где

>п

(3)

;

(3)

<а

ит.д.

Молено сказать, что площадь круга рассматривается, как предел бесконеч-

но великого числа бесконечно малых.

Если

CTJ

площадь секторов ОацР, то за р. молено принять площа-

ди треугольников Ооф,

3) Остается произвести синтез. Найти

LIM

Это операция интегрального исчисления.

По идее Кавальери, задачу об определении площади, ограничен-

ной одной или несколькими кривыми, стараются свести к определению

площади так называемой криволинейной трапеции, т.е. площади ACDB,

ограниченной

1) другой кривой CD:

y=f(x)

2) осью ОХ

3) двумя прямыми АС и BD 11 OY

на расстояниях х=а и х=Ь

ACDB делят на элементы ст

(

=аРу5

(

разделив АВ на равные части и проведя из

точек деления прямые ау,

(35 L

ОХ.

Тогда площадь криволинейной тра-

пеции

Если мы из точек С... у ... D проведем прямые, параллельные ОХ,

то получим ряд сходящих и выходящих прямоугольников, площади кото-

рых обозначим через cr

ист

;

Но а; =а.р- hj,

с?;

=ар- h

обозначая через Ц высоту входящего, а

через hj выходящего прямоугольник).

и в пределе, когда число делений АВ бесконечно велико lim— =

откуда

_ 2±

следует эквивалентность и

{

иа

;

Но

с^<а<сУ|

1<^Д

откуда будет следовать также и

lim—=1 и НтДг =1

т.е. cTHCjj.cTHCTj эквиваленты. Молено написать

или S=limla

т.е. можно рассматривать S, как предел суммы площадей, входящих или

выходящих прямоугольников. Вводя символ определенного интеграла

ff(x)dx=lim

iXXjHxj-Xj.,).

j=i

можно написать, формулу

S=Jf(x)dx

Следует подчеркнуть, что идея интегрального исчисления гораздо

шире, чем то ее частное осуществление, которое мы имеем в теории преде-

лов этого типа сумм.

Не только само понятие интеграла, но и целый ряд теорем, относя-

щихся к основам интегрального исчисления, могут быть рассматриваемы, как

частные случаи более общих. Если интегральное исчисление выбирает ту сум-

му, предел которой представляет |f(x)dx, то вычисление этого предела при-

водится к решению задачи, обратной задаче дифференциального исчисления,

т.е. к нахождению функции по ее производной.

От анализа переходим

теории множеств. Каким образом изуча-

ются бесконечные множества? Прежде всего следует заметить, что возможно

изучать только такие [множества], для которых можно найти всю совокуп-

ность признаков, их вполне определяющих.

Всякое множество задается генетически, т.е. дается способ образо-

вания этого множества. Так как множества могут изучаться только с помо-

щью сравнения, исследованием общих и необщих элементов, то для изуча-

емых множеств выставляется еще другое условие. Множество должно быть

таково, что всегда имеется средство определить, принадлежит ли ему дан-

ное число или нет. Такое множество называется определенным. Исследу-

ются только определенные множества.

Логическим определением равенства двух конечных целых чисел

является однозначное соответствие между единицами. Это свойство может

иметь место и для бесконечных множеств. Эквивалентностью (понятием,

соответствующим равенству двух конечных множеств) будет однозначное

соответствие между элементами этих множеств (т.е. каждому элементу

одного множества отвечает один и только один другого и обратно).

Характерное свойство бесконечного множества состоит в том, что

оно эквивалентно своей части.

Возьмем для примера бесконечный ряд натуральных чисел:

2, 3, 4... п...

Ряд 2, 3, 4.... будет составлять его часть. Но эквивалентность обоих мно-

жеств очевидна, ибо возможно установить следующее соответствие между

элементами

(1.2),

(2.3), (3.4)...(я.л+1).

Для конечных же множеств, без сомнения, свойство это не может иметь

место.

Это характерное свойство обыкновенно и служит математическим

определением бесконечного множества.

Среди множеств особенное значение имеют так называемые счет-

ные множества. Эти множества эквивалентны ряду натуральных чисел:

I, 2, 3 ... «,

множества, элементы которых могут быть подвергнуты нумеровке, могут

быть представлены в форме бесконечного ряда

Такое множество представляет из себя совокупность всех рациональных

чисел. Чтобы убедиться в том, что рациональные дроби могут быть в дей-

ствительности пронумерованы, следует только посмотреть следующую таб-

личку:

В этой сетке каждый квадратик отвечает дроби, знаменатель кото-

рой - номер строки, а числитель - номер столбца.

Легко убедиться также, что совокупность всех алгебраических чи-

сел,

т.е. чисел, определяемых уравнением:

= 0,

+а

х"-

+...а

х + а

i 2

2 2 5

А 7

и и. можно

где а целые числа, представляет счетное мно-

жество.

Этот факт имеет огромное значение в

математике, ибо дает возможность простей-

шим путем доказать существование бесконеч-

ного множества трансцендентных чисел.

Для этого следует только заметить, что,

когда дается бесконечный ряд вещественных

чисел и,, и

, и

то между каждой парой из этих чисел и

(

вставить бесконечное множество чисел.

Располагая в подобный ряд алгебраические числа, что возможно,

так как эти числа образуют счетное множество, мы можем найти беско-

нечное множество чисел не алгебраических, т.е. трансцендентных. Можно

получаемый таким образом результат выразить (правда, в грубой и не стро-

гой форме) так: число всевозможных вещественных чисел в бесконечно

раз больше числа алгебраических чисел.

Таким образом уже, так сказать, в первой главе теории множеств

устанавливается два типа множеств:

Счетное - таково, например, множество, образуемое всей сово-

купностью алгебраических чисел.

Continuum - совокупность всех чисел, причем можно считать эк-

вивалентной ему совокупность всех вещественных чисел в конечном про-

межутке (0, 1).

Предположим, что вселенная бескойечна. Мы получим тогда кос-

мологический пример: звезды будут представлять счетное множество, а

точки мирового пространства continuum.

Рассмотрим теперь так называемое линейное множество, элемен-

ты которого могут быть представлены бесконечным множеством точек пря-

мой.

Сгущение этих точек в различных местах будет различно.

Точкой сгущения, или предельной точкой, будет такая, около кото-

рой будет бесконечное число точек множества. Исследование множества

по точкам сгущения дает прежде всего понятие производного множества,

образованного из точек сгущения, и затем понятия о замкнутом и о совер-

шенном множествах. Замкнутое - это [множество], которое содержит свою

производную, совершенное [множество] ему тождественно.

Простейшим (первого порядка) будет то множество, для которого

нет точек сгущения, т.е. Р'=0.

Затем следует простейшее (простейшие второго порядка) то, для

которого Р"=0 и т.д.

Совокупность элементов, общих двум множествам Р, Q образует

наименьший делитель D(P,Q) этих двух множеств. Нетрудно видеть, что

производное множество всегда замкнутое, так что

D(P',P") = P"

D(P",P'")=P'" ит.д.

вообще рМ =D(P',P"...P^...)

Среди множеств существуют и такие, что ряд производных может быть

бесконечно продолжен. Изучение этого рода множеств и приводит к транс-

финитным числам,

установке теории бесконечных чисел, разлггчагощихся

между собой, как числа конечные и подвергающиеся некоторым операци-

ям,

соответствующим тем, которые производятся над конечными числами.

Для этих множеств

D(P',P"...P

(,,)

...)

т.е. общий наибольший делитель бесконечного ряда производных можно

рассматривать как производную бесконечного порядка

р М

Каждое из конечных чисел: 1, 2, 3... л, служивших значками Р,

можно получить из 1 последовательным прибавлением 1 или с помощью,

так называемого, первого принципа образования.

Производное множество может служить также средством различе-

ния множеств с Р (

) отличным от 0.

Возьмем последовательные производные от Pto':

Poo'Poo" ...

Может случиться, что один из членов этого рода нуль, но может случиться,

что это не имеет места.

Тогда рассматриваем

(Р

со)оо = D(Poo' ,Роо",..)

Уже здесь мы видим необходимость обобщения числа, в рассмотрении бес-

конечных чисел, различных между собой, отвечающих

Poo, Poo', Роо"

и т.д.,

из которых первое можно обозначить символом са, а другие, получаемые с

помощью опять первого принципа: со-Н, со+2, <м+3...

(Роо)оо

будет отвечать <в+й)=2(й. Переход от конечных чисел к (0 йот

0) к 2ш производится не в силу первого принципа, а совершая, так сказать,

скачок (через бесконечность) - в силу второго принципа. В то время как

первый принцип дает число, которому предшествует определенное число,

второй принцип дает число, предшествующее которому нельзя указать.

Так

СО

больше всех конечных чисел, а из конечных чисел нельзя

указать наибольшее.

Совершенно таким же образом строятся числа

2и,3а,4й,...пш...ш\со

+2й>...п

сй

+...п

]

со+п

,...со

"... и т.д. все

трансфинитиые числа, получаемые первым и вторым принципом, образу-

ющие 1-ый класс трансфинитных чисел.

От трансфинитных чисел 1-го класса нетрудно перейти к транс-

финитным числам 2-го класса. Первое из них будет число отвечающее

(Щ

общему наибольшему делителю всех Р, отвечающих транс финитным

числам 1-го класса. Получается оно с помощью Ш-го принципа и т.д.

Мы видим теперь, каким образом изучение множества приводит

нас к актуально-бесконечному числу.

Совершенно в тагом же отношении, в каком находится метагео-

метрия к гносеологическим предпосылкам, утверждаемым полным или ча-

стичным эмпиризмом, теория траисфинитных чисел находится к учению

об актуальной бесконечности. Мы должны повторить, что, если было бы

строго доказано, что актуальной бесконечности нет, что мир не бесконечен,

что время не бесконечно и т.д., учение о трансфинитных числах ничуть не

было бы поколеблено, если только ряд постулатов, лежащих в его основе,

представляет систему совместимых положений.

Теория комплексных чисел не приводит к противоречию и пред-

ставляет один из наиболее плодотворных отделов математического анали-

за,

хотя комплексное число не имеет реального субстрата.

Но изучающему современное учение о математической бесконеч-

ности, конечно, трудно удержать свою мысль от полета из области чистой

математики в область метафизики. Бесконечность имеет две стороны, одна

обращена к математику, другая к философу и, конечно, философски на-

строенный математик пожелает осмотреть этот предмет со всех сторон.

Спор о реальном существовании актуальной бесконечности - это

довольно старый метафизический спор.

Проблема, существует ли бесконечное число или бесконечное про-

странство, имеет, конечно, огромное космологическое значение, ибо пред-

ставляется, что решение этой проблемы в отрицательном смысле приво-

дит к необходимости признания конечности вселенной. Самым сильным

аргументом против бесконечности вселенной в пространстве и во времени

издавна считались неразрешимые парадоксы бесконечности. Невозмож-

ность существования актуального бесконечного числа доказывают вскры-

тием противоречий, якобы в нем заключающихся, таким образом посяга-

ют не только иа реальное, но и на математическое, или логическое, суще-

ствование бесконечности.

Финитисты (т.е. защитники существования исключительно конеч-

ных величин) указывают на то, что °о одновременно представляет ряд аб-

сурдных свойств, оно [есть] куб, квадрат и половина самого себя - оно

поэтому оказывается больше или меньше самое себя.

Но легко видеть, что подобные возражения отпадают, если вспом-

нить, что они основываются на тех свойствах, которые присущи только

конечным числам. Квадрат целого числа а

больше самого а, это верно для

а=2,

3, 4... и ничто нас не обязывает признать это верным для

а=оо.

Все доводы, за невозможность существования бесконечного числа,

говорит Кантор, - неверны, вследствие того, что они приписывают напе-

ред бесконечному числу все свойства конечных чисел, что представляет

уже противоречие, так как если бесконечное число существует, то только

при условии обладания свойствами иными, чем конечные числа. Оно дол-

жно составлять род нового числа в противоположность конечному. Вводя в

математику бесконечные актуальные числа, мы, конечно, должны признать

неравные бесконечности, хотя бесконечность и означается одним симво-

лом со.

Мерсенн возражает против существования бесконечной линии на

том основании, что она должна была бы содержать бесконечное число ар-

шин и саженей, причем сажень в три раза больше аршина, откуда следова-

ло бы, что одна бесконечность больше другой, чего, говорит Мерсенн, быть

ие может. Что бесконечности все должны быть равны, Мерсенн и другие

выводят из того, что так как бесконечное число наибольшее из всех чисел,

то может быть только одно бесконечное число.

Но упомянутая выше теория трансфинитных чисел Кантора совер-

шенно иначе смотрит на бесконечное число.

Трансфинитное число со вовсе не наибольшее и не последнее из

чисел конечных, наоборот, первое среди чисел бесконечных.

Совершенно верно указывает Кутюра на то, что все аргументы, на-

правленные в продолжение нескольких веков против возможности беско-

нечного зиждятся на следующих двух ошибочных принципах:

1) Число бесконечное - наибольшее из всех чисел;

2) Все бесконечные числа равны.

Ошибочность второго принципа сознавал Лейбниц, первого - Кант.

Опровергнуть возражения против актуального бесконечного числа

еще ие значит доказать реальность этого числа. Это не значит, что этим

доказана возможность существования трансфинитного числа небесных тел.

Кантор расширяет область вещественных целых чисел, пополняя конеч-

ные числа, которым присущи некоторые свойства, например, что целое

больше части, другими числами, которым не присуще уже это свойство,

которые определяются меньшим числом независимых постулатов. Упомя-

нутые выше опровержения доказывают только то, что эти последние не

находятся между собой в противоречии. Но то же можно сделать и для

комплексных чисел, но, конечно, было бы опрометчиво выводить отсюда

существование совокупности предметов, определяемых комплексным чис-

лом.

Судьба трансфинитных чисел вовсе ие находится в зависимости

от решения, к которому прейдет метафизика относительно актуального бес-

конечного числа. Трансфинитное число осталось бы в математике даже в

том случае, если бы удалось чудом найти строго математическое доказа-

тельство невозможности реальной бесконечности или если бы был вполне

строго доказан закон Дюринга: закон определенной численности. По это-

му закону, число событий, проистекших по настоящей момент - число оп-

ределенное и ограниченное, несмотря на то, что позади нас лежит целая

вечность. Точно так же, число мировых тел в пространстве в данный мо-

мент [есть] число определенное и конечное, хотя пространство безгранич-

но.

Из этого закона Дюринг выводит, что мировой процесс должен иметь

абсолютное начало во времени.

Возражения против существования бесконечно большой величи-

ны,

например, бесконечно большого пространства или времени, обыкно-

венно основываются на невозможности актуального бесконечного числа,

на невозможности бесконечного числа кубических саженей и бесконечного

числа

лет.

При этом предполагается, что всякая величина, как конечная так

и бесконечная, характеризуется числом. Но возможна и такая точка зре-

ния,

и ее весьма основательно защищает Мильхауд, по которой бесконеч-

ной величине нет соответствующего числа. Державин в оде "Бог", находит

весьма удачный эпитет бесконечному Богу, говоря, что в нем „числа и меры"

нет. Не равенство целого части является характерным признаком беско-

нечной величины, а именно ее неизмеряемость, невозможность определе-

ния ее числом.

Существуют и непосредственные выступления против бесконечно-

сти,

носящие метафизический и гносеологический характер. Следует за-

метить, что в доказательствах гносеологического типа уже с самого начала

обсуждения вопроса о том, существует ли идея бесконечности в нашем

уме или нет, противники бесконечности выставляют против себя смер-

тельный аргумент.

Могут ли они говорить о бесконечности, о том существует ли она в

нашем разуме или нет, если по их мнению, они не имеют никакой идеи о

бесконечности?

В гносеологических возражениях все вертится на том, что един-

ственный путь, могущий привести нас к идее бесконечности - это процесс

постоянного возрастания.

Идея о бесконечном может получится только через прибавление к

пространству, занимаемому нашей солнечной системой, такого же простран-

ства и т.д. Но этим дается только никогда не прекращающийся процесс, и

предположение актуальной бесконечности является невозможным, так как

влечет за собой предположение законченности этого процесса.

Но бесконечность постигается вне этого процесса.

Вот что говорит Гегель о бесконечности. Рассудок, размышляя во-

обще о бесконечности, держится по преимуществу количественного беско-

нечного процесса. Но эта форма процесса выражает собой не истинную, а

дурную бесконечность, которая не превышает понятия „долженствования"

и постоянно остается в сфере конечного.

Спиноза называет эту бесконечность мнимой. Поэты, например Гал-

лер и Клопшток, нередко пользовались этим представлением, чтобы на-

глядно изобразить бесконечность природы и самого Бога.

У Галлера мы встречаем знаменитое описание бесконечности Бога,

где он говорит: „Я слагаю огромные числа, целые горы миллионов, я на-

громождаю время на время и миры на миры, и когда, с этой страшной

высоты, отуманенный, я снова возвращаюсь к Тебе, это громадное число

умноженное в тысячу раз, не составляет части Тебя". К этому описанию

дурной бесконечности Галлер прибавляет прекрасное заключение; „Я от-

кидываю все эти числа и Ты весь передо мной" и в самом деле, истинное

бесконечное лежит только за пределами конечного и чтобы привести его к

сознанию, необходимо оставить бесконечный процесс.

Возражают, что идея бесконечности предполагала бы бесконечный

разум. Но в таком наивном возражении на разум смотрят как на какую-то

урну, которая для вмещения бесконечного числа шаров сама должна быть

бесконечной.

Помощь актуальной бесконечности идет оттуда, откуда, казалось

бы,

менее всего ее можно было бы ожидать.