Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

У Рамуса же определение цилиндра per genus (varium) и differenuam

lalera

(т.е. прямолинейно-образующие направлены от точек верхнего ос-

нования к нижнему - все под одним и тем же углом).

Конус - тоже varium, но в котором они направлены от вершины к

точкам основания

Delineatio других рамистов.

Рамическая классификация получает дальнейшее развитие у учеников Ра-

муса. В рамических учебниках она выступает как главная и существенная

части геометрии. Альстед

(учитель Амоса Коменского) развертывает пе-

ред учеником, delineatio, напоминающее диалектическое развитие идеи у

Гегеля.

Геометрия существует специальная и общая, и последняя трактует

типы и принципы, или атрибуты вещей.

Типами являются линии и объекты, образованные с помощью ли-

шш (lineata).

Атрибуты лее или абсолютны, или относительны (т.е. определяют-

ся только относительно некоторых других объектов).

Lineatum - или угол, или фигура (образование из углов).

Фигура молсет быть образом (species), или "совокупностью свойств"

(например, треугольник молено рассматривать как площадь, ограниченную

тремя прямыми, или как совокупность трех прямых, не пересегающихся в

одной точке). Фигуры - species, могут быть или телом, или поверхностью

и т.д. Как и у Рамуса, Delineatio Альстеда

отвечает выставляемым в

"Speculum" требованиям:

1) Во всякой науке только то должно быть помещаемо, что имеет

отношение к ее цели.

(Этим определяется характере]) признаков, на основании коих вид

выделяется из рода).

2) Содержание должно быть распололеено по степени общности,

начиная с самого общего и кончая наиболее частным (чем постулируется

направление delineatio).

3) Отдельно объясняемые части доллены быть чем либо связаны

(чем постулируется закон образования различных ветвей delineatio, логика

построения системы).

Еще дальше идеи Рамуса эволюционируют в "Quaestion.es" Riffa

Дихотомная схема проводится и для Data specieruin definitionum

иначе говоря, для геометрических объектов и для Quaesita datarum

magnitudinum adjuncte sive habitudines

, для их свойств.

Свойства могут быть общие и специальные, относящиеся к гео-

метрическому объекту вообще и относящиеся к специальным объектам.

Затем, одни - это те, которые получаются через рассмотрение геометри-

252

ческих объектов в самих себе, независимо от других, другие - через срав-

нение объектов между собой. Конечно, и первые и вторые определяют не-

которое взаимоотношение исследуемого объекта А с другими а, Ь, с... Но в

первом случае а, Ь, с... лежат вне А, никаким образом с ним не связаны, во

втором же случае они все в А, они граничат А или производят А.

Первый род взаимотношения дает учение о границах (terminatio),

каковыми являются точки для отрезка, кривая для площади, поверхность

для тела и

т.д.

Второй род - учение о том, что в современной терминологии

можно назвать производителями и носителями, таковы точки, производя-

щие прямую, прямые плоскости и т.д.

Внешние взаимотношения могут быть или прерывными (Discretae)

или непрерывными (Continuae). В первом случае сравниваемые объекты

А, В распадаются на дискретное число частей А -

,а

...

В - b^b^b,...

Взаимоотношение имеет место между а

(

.Ь.. Оно может быть, между их ио-

ноэ1сениями

или между их размерами. Первое дает симметрию (Syminelria),

второе - отношение (Ratio).

Для специальных свойств опять имеется два случая, сравнение

внешних друг другу объектов и сравнение объектов, некоторым образом

связанных и образующих один объект.

Первый случай дает Liiieanun Eulymetria

*, второй - Lmeamentuni.

Под первый случай подходит перпендикулярность и параллель-

ность, которые, конечно, понимаются не в узком евклидовом смысле пер-

пендикулярности и параллельности прямых, а в широком, рамическом

смысле.

LineaineiUum может быть углом или фигурой, в первом случае

объект не вполне определяется, во втором он определен вполне. Собствен-

но говоря, здесь следует употребить иные термины вместо терминов "угол"

и "фигура". Речь идет не о геометрическом объекте, а о свойстве. Других

терминов, как режущих ухо и несколько смешных - "угольность" и "фи-

гурность" я не нахожу. Первое свойство присуще двум пересекающимся

линиям, параболе... Второе кругу, эллипсу...

"Фигурность" можно рассматривать общую и специальную.

Первую - саму в себе, и вторую - в взаимоотношении с другими

внешними объектами.

Фигурность сама

себе может рассматриваться с трех точек зрения:

1) расположения элементов (ordinatio)

пример:

взаимная параллельность пропшоположных сторон параллелограмма:

свойства этих элементов (primatus)

пример:

свойство октаэдра обладать треугольными гранями;

относительных размеров элементов (ratio)

253

пример:

равенство углов равнобедренного треугольника.

Специальными lineainentum являются поверхностность и теле-

сность и т.д.

Как я уже отметил, такое построение ума нам чуждо, но оно род-

ственно диалектической логике Гегеля*

В естествознании мы обычно желаем видеть только одну сторону

вселенной, только каузальные связи между явлениями. Мы не можем по-

нять и не желаем признать, что параллельно каузальным связям идут те-

леологические, которые должны получить то же право гражданства, что и

первые.

В умозрительных науках мы признаем только дедукцию, только

логический вывод одного положения из другого. Но существует особая ди-

алектическая логика, устанавливающая между понятиями особые связи,

позволяющие развернуть систему этих понятий, где каждое понятие полу-

чает свое определенное место, как это имет место в схемах Рамуса и Геге-

ля,

основанных на совершенно различных принципах.

Арно и Рамус.

То,

что если не сам Рамус, то его современники, мыслившие так, как он

сам,

оставили след в математической мысли, можно заключить из того,

что никто из нас не будет пользоваться определениями вроде определения

4-го III книги "Начал":

"В круге прямые называются равноотстоящими от центра, когда от

центра проведенные перпендикулярные к ним суть равны", а будет сперва

определять расстояние точки от прямой вообще.

Не будем говорить:

"Отрезок (сегмент) круга есть тот, который содерясится [между]

прямою и окружностью круга", а будет определять сегмент вообще и т.д.

Схема Рамуса была забыта, но критика порядка положений "Начал", или,

вернее, осуждение бессистемности последних не было забыто.

За Рамусом через одно столетие последовал Арно*

. Это уже не

комментатор Евклида. Он ие намечает порядок теоремам, перечисляя их

вместе со своими комментариями, он старается дать ряд положений с обо-

сновывающими их доказательствами в порядке, определяемом некоторы-

ми общими принципами.

Время Арно проникнуто уже другими настроениями.

Это время расцвета рационализма.

Это время, когда центр тяжести был перенесен с определений на

аксиомы, на те очевидные истины, которые в глазах рационалистов суть

своего рода откровения свыше, открывающиеся нашему уму непосредствен-

но,

как только рассеется окружающий его туман чувственности.

254

Эти сто лет оказались вполне достаточны, чтобы привести к созна-

нию,

что логики классов недостаточно, что необходима еще логика отно-

шений, что иерархию истины следует строить, основываясь не на соподчи-

нении вида классу, а иа возрастающем ослояшении отношений.

Нельзя сказать, чтобы Арио строго держался этой точки

зрения,

иног-

да он стоит еще на точке зрения Рамуса. Евклид, по мнению Арно, не идет от

более простого к более сложному, ибо в первых четырех книгах он излагает

рад теорем на плоскости, доходя уже в первой книге до magisterum matheseos

(Повелителя математических наук (лат., метаф.)) - теоремы Пифагора.

В пятой книге он вдруг возвращается

теории пропорции, относя-

щейся ко всем величинам.

Так что, он идет от частного к общему, вместо того, чтобы идти от

общего к частному.

От более сложного - фигур, например, треугольников - он идет к

более простому

—

параллельности и перпендикулярности двух прямых, вме-

сто того, чтобы от более простого - изучения взаимоотношений двух пря-

мых - идти к более сложному - к фигурам, ограниченным тремя прямыми.

В 6-й книге Евклид возвращается

к.

плоским кривым, но не для того, что-

бы покончить с этими вещами, а чтобы в 7, 8, 9 книгах заняться арифмети-

кой.

Но принцип движения от простого к более сложному весьма часто

находится в антагонизме с принципом движения от общего к частному.

С точки зрения рационалистов XVII века, кривая всегда есть нечто

более сложное, чем прямая, ибо кривая разлагается на бесконечное число

прямолинейных элементов. По плану Арно, изучение кривой вообще дол-

жно идти во всяком случае, после изучения прямой.

Во взглядах на кривую

особенности ярко выступает разница между

математическими умами этих двух эпох. Для Рамуса линия - это прежде

всего класс, объемлющий прямые и ие прямые (кривые); для Арно же ли-

ния это прежде всего совокупность прямых, находящихся в некоторых вза-

имоотношениях"

Кривая - носитель точек, раньше не смешивалась с совокупностью

производителей" - с пуиктуалом; в глазах же приверженцев метода неде-

лимых, именно, имеет место это смешение.

Этот взгляд все резче и резче выступает, пока метафизика недели-

мых, наконец, не приводится в лабиринт несуразностей.

У де Лакайля

прямая определяется так:

"Конечная прямая линия - это ряд бесконечного числа бесконечно

малых прямых, которые в отдельности прямо положены без всякого сгиба-

ния,

без наклонения друг к другу, кривая - ряд бесконечно малых, имею-

щих различное положение".

Это очень характерное определение.

Это не рамнческое определение per genus et diflcrentiani.

Не думайте, что первая часть этого определения - грубый circulus

vitiosus*

, в котором прямая определяется с помощью прямой. Бесконечно

малый прямолинейный отрезок здесь - некоторая концепция разума, но не

чувственный элемент, из которого слагается как прямая, так и кривая.

Здесь определение обещает вскрыть сущность определяемого объек-

та,

его внутреннюю структуру: прямая вполне определяется двумя точка-

ми,

она кратчайшая [линия] между двумя точками и

т.д.

- это все свойства,

уже вытекающие из ее структуры и ни в коем случае не могущие служить

определением прямой.

Предпослав учение о величинах вообще, Арно прежде всего рас-

сматривает прямые, а вовсе не линии вообще.

Параллелизм линий вообще для него не простое понятие, а поня-

тие разложимое. Простым является параллелизм прямых, а параллелизм

кривых разлагается на бесконечное число параллелизмов между прямоли-

нейными бесконечно малыми элементами, на которых разлагается кривая.

Как

у Рамуса угол фигурирует

двух видах: гак lineatum и planum.

Угол - lineatum, помещается раньше угла planum, потому что в первом

случае, мы имеем более простое взаимоотношение двух прямых, между

тем как во втором случае - взаимоотношение двух прямых и плоскости.

Но в противоположность Рамусу, термин "угол" Арно относит не к

углу lineatum, а к углу planum.

Это определение очень типично для той эпохи и резко отличается

от рамических определений. Это - описание характерных свойств, кото-

рые чистый разум долясен с помощью своего рода рефлексии узреть: "Пря-

молинейный угол, говорит Арно, это площадь, заключенная между двумя

прямыми, сходящимися в одной точке с той стороны, куда они сближают-

ся,

неограниченные и неопределенные (indelinie et indeternminee) по одно-

му из измерений, а. именно, тому, которое отвечает длине прямых его об-

нимающих, и определенный по другому [измерению] с помощью пропор-

циональных частей круга, центр которого точка, где сходятся эти прямые".

Это определение, вероятно, ведет свое происхождение от взглядов Рамуса,

чуждых "Началам" Евклида и, в свою очередь, из него происходит опреде-

ление угла Бертрана Женевского, вошедшее во многие учебники лежаид-

ровского типа*.

Смешанные углы касания и угол касания, так беспокоивший мате-

матиков XVI века, о котором мы будем говорить ниже, исчезли в XVII веке.

Согласно Арно, угол представляет более простое взаимоотноше-

ние элементов, чем треугольник, где мы имеем не два, а три элемента,

поэтому и изучение углов должно вестись раньше изучения треугольников.

Углы изучаютсяс помощью дуг и хорд (или синусов).

Сейчас же за определением угла Арно устанавливает понятие ос-

нования угла, т.е. прямой, соедиюгющей две точки на сторонах угла (так-

256

же.

как Рамус, но с той разницей, что Рамус говорит об основании угла

вообще, а Арно ограничивается простейшим прямолинейным углом):

Истинной мерой угла является дуга круга, но ввиду невозможнос-

ти измерения кривой приходится измерять углы синусами и хордами.

Арно находит необходимым говорить о всех трех родах измерения

углов. За теоремой о прямой пропорциональности углов и соответствую-

щих дуге следует теорема о хордах, отвечающих равным и неравным уг-

лам.

Арно приходится (как Рамусу), не называя это своим настоящим

именем, доказывать 2 случая конгруэнтности треугольников.

"Два неравносторонних угла равны, если соответствующие сторо-

ны и основания равны". Два равных и равносторонних угла имеют равные

основания".

От этих несовершенных методов следует перейти к измерению ду-

гами кругов, но с центрами уже не в вершинах, т.е. рассмотреть главу о

вписанных и описанных углах.

От изучения углов, т.е. площадей, ограниченных пересекающими-

ся прямыми, Арно переходит к изучению параллельных пространств или

полос, образованных не пересекающимися прямыми

(espaces paralleles)

которые представляются ему, как тип более сложного взаимоотношения,

чем то, которое дается плоскостью и двумя пересекающимися прямыми,

(ибо вводится ограничение, которого раньше не было).

Как при изучении углов рассматривались их основания, так при

изучении параллельных полос должны рассматриваться отрезки прямых

между ними.

Как синусу, так и хорде отвечает расстояние между параллельны-

ми.

Основаниям двух углов отвечают прямые равиоиаклоненные

сто-

ронам двух полос.

Основным положением теории пропорциональных линий является

следующее:

"Когда две прямые равнонаклонены в двух параллельных поло-

сах, они относятся между собой, как перпендикуляры этих полос (т.е. ши-

роты последних) и как их удаления от перпендикуляров".

Отметим, что в дальнейшем изложении этой главы у Арно можно

найти доказательство основной теоремы теории пропорциональных линий

(об отрезках отсекаемых параллельными на двух пересекающихся прямых),

которой не существовало и у Евклида, и котрой нет у Лежандра и которое

только начиная с Лакруа

входит в геометрические учебники.

За теорией пропорциональных линий по Арно, следует перейти к

тому, что образовано во всей определенности с помощью прямых, т.е. к

прямолинейным фигурам.

257

Дальнейший порядок очевиден: сперва следует рассматривать фи-

гуры сами по себе, затем - в сравнении с другими.

Следовало бы ожидать, что за треугольниками последуют четыре-

хугольники и, наконец, многоугольники.

Ибо первый проще второго, второй третьего и т.д., и многоуголь-

ник можно рассматривать состоящим из треугольников.

Но здесь выступает другой принцип - от общего к частному - и

Арно сперва говорит о фигурах вообще, сообщая некоторые сведения о

вписанных и описанных правильных многоугольниках.

Только в 13-й книге у Арно говорится о конгруэнции треугольни-

ков,

и, конечно, все оказывается уже готовым, и только приходится полу-

ченный в предшествующих книгах материал перекладывать на язык треу-

гольников.

Арно доказывает теорему о том, что большему углу отвечает боль-

шая сторона, описывая окружность около треугольника и ссылаясь на то,

что большей дуге отвечает большая хорда.

Интересно здесь отметить, что в XVIII веке, когда в изложении

учебников в большей или меньшей мере сказывался порядок Арно (orclo

Arnoldianus)

*, вместо обычного евклидового доказательства теоремы о

сумме углов треугольника, проводилось доказательство того же, с помо-

щью описанного круга и ссылкой на теорему о вписанных в круг углах.

В теории треугольников обнаруживается опять тенденция идти от

общего к частному, например от треугольников общего типа к равнобед-

ренным треугольникам.

Геометрия Арно заканчивается определением площадей и, таким

образом, является не законченной, представляя только образец для пост-

роения полного курса геометрии, согласно проводимым в ней принципам.

Новый порядок требует от Арно признания за аксиому положения:

"Если две точки прямой равно отстоят от двух точек А и В, то то же

относится и ко всем точкам [прямой]".

Но этого мало. Одна эта аксиома не может заменить первого слу-

чая конгруэнтности треугольников, доказываемого наложимостью, которой

Арно старается избегнуть

Необходимо ввести все-таки наиболее простое положение о конг-

руэнтности, относящееся к треугольникам, настолько простое, чтобы, со-

гласно требованиям Арно, минуя процесс наложения, можно было бы вы-

дать его за положение очевидное.

Так как в первой книге по причинам, которые мы выше изложили,

Арно находит недозволенным говорить о треугольниках, это положение

формулируется так, что слово: "треугольник" совершенно избегается.

При этом, положение это даже не выдвинуто, как особая аксиома,

и отмечено в Avertissemen!" .

258

"Это то же самое, говорит Арно, рассуждать о двух наклонных пря-

мых, рассматривая их или проведенными из одной точки на одну прямую,

или из двух различных на две различные прямые, при том условии, что

расстояния до этих точек от прямых равны", что сводится

утверждению

равенства катетов прямоугольных треугольников, у которых другие катеты

и гипотенузы равны.

§ 9. Теория параллельных от Рамуса до Саккери.

В отношении к евклидовой теории параллельных математиков XVI века

можно также ясно усмотреть характерные черты.

Эта теория основывается на 35-ом определении I книги "Начал".

"Параллельные прямые суть те, кои будут на той же плоскости, и

продолженные в обе стороны беспредельно, нигде взаимно не встречают-

ся"

и на 11-й аксиоме

той же книги: "Если на две прямые падает третья

прямая, и делает углы внутренние и на ту же сторону, меньше двух пря-

мых, то оные две прямые липни, продолженные беспредельно, взаимно

встретятся на ту сторону, на которую углы меньше двух прямых", пред-

ставлявшейся не достаточно очевидной или даже ие очевидной, и поэтому

являющейся своего рода пятном на "Началах" Евклида.

Проблема о параллельных состояла в отыскании недостающих зве-

ньев между 11-й аксиомой, которую следовало отнести

теоремам, и оста-

ющимися аксиомами "Начал". Эта проблема, интересовавшая античных

математиков, не была проблемой XVI века.

Для них проблема о параллельных сводилась к исправлению евк-

лидова определения 35-го и к выводу из нового определения согласного с

требованиями их логики, 11-ой аксиомы и теорем "Начал", относящихся к

параллельным.

При этом,

том, как понимать этот вывод, остается некоторая нео-

пределенность.

Но в дальнейшем устанавливается такой смысл: кроме определе-

ния могут быть использованы только аксиомы более высокой степени оче-

видности чем 11-я аксиома Евклида и другие аксиомы, которыми она за-

менялась античными математиками. Определение параллельных прямых,

как равноотносящих, вошло во все теории параллельных XVI и XVII ве-

ков.

Сперва занимались только одним определением. Опровергали ев-

клидово определение с помощью различных аргументов, вроде конхоиды

и гиперболы, не параллельных своим асимптотам, но никогда их не пере-

секающих. Этот прием повторяется во всех комментариях XVII века.

Его лее приводит и Клавий в своей критике прокловой теории па-

раллельных, Интересно отметить, что анализ этого определения параллель-

ных приводит Клавия к сознанию необходимости оправдания этого опрс-

259

деления; "Следует убедиться, что линия, все тошен которой равноудалены

от прямой, тояее прямая", В этом состоит первое положение теории парал-

лельных Клавия.

Но при этом положении в собственном смысле, нет доказательства,

а только пояснение, имеющее целью повысить степень очевидности этого

почти очевидного полояеения. Все сводится к ссылке на то, что линия та-

кая,

что АС = EF = DB =... должна обладать однородностью, равно лелеять

всеми точками. Делается попытка пустить в ход определение 4-й книги

"Начал", остающееся у самого Евклида без употребления

Пололеение: "Если к прямой АВ восстановить два перпендикуляра

АС = BD, равные между собой и соединить концы их прямой CD, то пер-

пендикуляр EF, опущенный из всякой точки этой прямой будет равен АС и

BD".

Ибо иначе построив прямую CGD с точками равноотстоящими от

АВ,

в случае ее несовпадаемости с CD будем иметь две прямые CED и

CGD заключающие пространство, что

противостоит 12-й аксиоме

книги "На-

чал"

Дальше идет теорема: "Если к

прямой восстановить два перпендику-

ляра, равные меледу собой, и соединить

юнцы их прямой, то эта прямая будет

образовывать с общим перпендикуля-

ром прямые углы". У Дешаля

эта те-

орема, заимствованная у Клавия, фор-

мулируется так:

Перпендикуляр к одной из па-

раллельных АВ вместе с тем перпендикулярен и к другой CD.

Клавий в своем доказательстве устанавливает сперва (отложив от

F FA и FB равные между собой и проведя АС и BD±A В) равенство треуг.

AEF и FEB (AF=FB, EF=EF и

Z AFE =Z EFB). Отсюда вы-

водится, что ZAEF = ZFEB И

ZCAE =ZEBD.

Далее устанавливается,

что ДСАЕ = EBD откуда

ZAEC=ZBED

ZAEF+ZAEC =ZFEB +ZBEF,

т.е. углы при E равны и

FF-LCD.

Постулат о параллель-

4 ных молеет быть заменен посту-

260

лагом о пересечении перпендикуляра и наклонной.

Это последнее положение и доказывается Клавием.

Следует доказать, что АС и BD пересекаются между собой.

От А по АВ откладывается AF, затем AG = 2

АР,

затем АН = 2 AG и

т.д.

пока не дойдут до точки 1 находящейся за В на АВ.

Проведем FE ЛАВ. Откладываем по AC АК= 2АЕ, AL=2AK и т.д.

Из К проводим КМ 1FE, из L LN X GK и т.д. Тогда на основании доказан-

ного выше убеждаемся, что углы G и К прямые, GN X AI. Точно таким же

образом убеждаемся, что К и L прямые и т.д. Отсюда следует, что 1С

пересекает АС, а тем более с АС пересекается BD

Через сто лет после Клавия вид этой главы геометрии совершенно

меняется. Центр тяжести переносится с определения на аксиомы. Уже не

ищется определение истинное, удовлетворяющее требованиям логики, среди

возможных определений, но берется такое, исходя из которого можно было

бы дойти до цели, пройдя через наиболее очевидные аксиомы, вовсе не

выставляя современного требования minimum'а, совершенно чуждого XVIII

веку.

У Борелли

, параллельные прямые

(ЕЮ

не линии вообще) опред-

ляются, как перпендикуляры к одной и той же прямой.

Первое положение Клавия объявляется аксиомой и доказывается

положение: "Если

двум прямым, лежащим в одной плоскости, перпенди-

кулярна одна прямая, то всякая прямая, перпендикулярная к первой, тем

самым будет перпеЕгдикулярна и ко второй. Доказательство ведется от про-

тивного. По условию EF X CD и X АВ.

Откладываем CF = FD и проводим АС и BD X С D.

Пусть GH прямая, которая описывается перпендикуляром к CD

равным EF

, тогда GC = EF=HD; Д GCF = Д FHD откуда GF = FH, Z GFE

- ZEFH, И ZGEF = ZFEH чего, очевидно, быть

не может.

Из равенства Д АЕС и CFE следует, что

ZA прямой, и таким же образом, что Z В пря-

мой.

Отсюда сейчас же извлекается равенство

внутренних накрест лежащих углов (см. черт. б -

из равенства A ADC и ABD).

Если теперь обойти первое положение

Клавия, объявленное Борелли аксиомой, то нам

удается вместе с Саккери

' доказать только, что

Z А = Z В, но не то, что Z А и Z В прямые.

Нам придется вместе с Саккери рассматривать три гипотезы:

1) тупых углов А и В,

261