Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

ному раздвоению. Вместе с тем эволюционирует и само понимание равен-

ства

. Это уже не равенство количества, по нашему равновеликость, а

тождество форм

размеров; равные фигуры - это тождественные фи-

гуры,

помещенные в различных местах.

Аксиома 8-я обращается; наложимость является и достаточным и

необходимым условием равенства.

На первый взгляд может показаться, что если Аристотель и Евк-

лид не могли бы признать наложение с переносом идеального треуголь-

ника, то такая операция могла бы оказаться во вкусе Платона, объектиро-

вавшсго идеи и геометрические формы. Видимо, Цейтен

так и думает,

Он говорит, что математические истины древним представлялись или как

теоремы, или как проблемы. Первая точка зрения поддерживалась после-

дователями Платона, думавшими, что проблема только устанавливает то,

что уже предварительно существовало, независимо оттого факта, строится

оно или нет, более того, построить что-либо, например, разносторонний

треугольник, можно только потому, что идея равностороннего треугольни-

ка имеет существование, предваряющее всякое построение.

Вторая точка зрения у учеников Евдокса; для них существенное -

обнаружение истины построением.

В "Началах" Евклида Цейтен видит примирение этих точек зре-

ния,

Но для того, чтобы Платон и его ученики понимали геометрию так.

как понимал ее, например, Декарт, для этого мало ему было признать иде-

альное существование геометрических фигур в каком-то другом мире,

(тотго^

VOTJTO^)

2,1

том мире, бледным отражением или тенью которого яв-

ляется настоящий. Необходимо было признать их в этом мире, в самих

вещах. При методе наложения переносится не платоновский идеальный

треугольник из другого мира, а на этот, первый тот второй треугольник

и не материальный, а идеальный, который, так сказать, живет в первом.

§ 4. Рационалисты против метода наложения.

С развитием рационалистической

логики и гносеологии, философы и ма-

тематики XVII века становятся в явно враждебное отношение к этому ме-

тоду доказательства. Этот метод, по их мнению, убеясдает с помощью об-

ращения к чувствам, а не к чистому разуму, который только один и являет-

ся судьей.

Первый случай конгруэнтности доставляет много хлопот. Мы ви-

дим ряд попыток замены обычного доказательства наложением - другим,

без этой "механической операции", столь противной складу рационалисти-

ческой мысли.

В "Элементах Евклида" Дешаля

евклидово доказательство 8-й

теоремы I книги "Начал" предваряет другое, про которое, впрочем, и сам

автор говорит; "В виду того, что это доказательство не представляется убе-

232

дительиым, привожу также и обычное (т.е. наложением). В своем доказа-

тельстве Дешаль старается убедить, что расстояние между точками двух

пересекающихся прямых может зависеть только от угла между ними и рас-

стояния этих точек от вершины угла.

Томас Симпсон относит первый случай конгруэнтности к аксио-

мам совершенно также, как Гильберт" .который в группу аксиом конгруэн-

тности вводит:

Illj.

Если для двух треугольников ABC и А

'В'

С имеют место

конгруэнции

AB = A'B',AC = A'C',ZBAC = ZB'A'C

то всегда имеют место и конгруэнции

АВС= А'В'С, АСВ = А'С'В'

Арно вводит новую аксиому: если две точки прямой равно отстоят

от двух точек А и В, то то же относится и ко всем другим точкам прямой.

Цель ее введения - не только установка арнольдианского порядка

, но и

освобождение от метода наложения, что достигается Арно тем, что ему

приходится пользоваться наиболее простым положением, относящимся к

равенству прямоугольных треугольников, избегая слова "треугольник", а

именно положением о равенстве прямоугольных треугольников, у которых

катеты равны, как чем-то вроде более низкой степени очевидности аксио-

мы с объяснением, повышающим эту степень

Еще в XVI веке делают опыты построения доказательств равен-

ства треугольников без метода наложения.

Доказательство Кандалы

первого случая конгруэнтности треуголь-

ников, критикуемое Савплнем, состоит в следующем. Так как по предпо-

ложение в треугольниках afiy,5s£ прямые ар и 5е равны, то равны и

расстояния точек (а и р) и (5 и s). (Здесь Кандала берет определение пря-

мых Прокла, которое последний считает эквивалентным евклвдовскому, а

именно, что прямая линия между двумя точками равна их расстоянию).

С другой стороны, прямые (ap,ay ) и (6s,6C ), как содержащие

равные углы, согласно восьмому определению Евклида

равнонаклонен-

ны.

Так как равенство углов зависит от равенства наклонений, то следует,

что

(PHY)H(SHQ

находятся в тех же расстояниях. Поэтому и прямые

Руиеу

равны. Но если отдельные элементы (qualilates) треугольников

аРу, 8е£ соответственно равны, то сфу и

ЗгС,

равны по восьмой аксиоме.

Поэтому и остальные элементы равны, т.е. углы р и У соответственно

равны s и С,

Не будем останавливаться на крипте Савилия, смотрящего на это

доказательство как на неубедительное, как основанное на положениях не

233

более очевидных, чем доказуемое. Заметим только, что из защиты Сави-

лия метода наложения видно, что при выработанной схоластическим реа-

лизмом объективации геометрических форм операция наложения сперва

не представляется недопустимой. Идеальный треугольник переносится ие

в действительности, так как его нельзя взять в руки, но только в вообраясе-

нии.

По Савплию,

это вполне возможно в теореме (но не в проблеме),

так как

теореме не требуеся никакого действия, требуется только обнару-

жить истинное или ложное, и нет ничего ложного в том перенесении, кото-

рое делаем только одним воображением, а не руками или операцией, упот-

ребляемой при построении.

К невозможности перенесения приводит лишь дальнейшее размыш-

ление об идеальных объектах, которые обявляются не только не ощущае-

мыми, но в собственном смысле и не воображаемыми.

Все действия над воображаемыми фигурами представляются как

действия не над идеальными фигурами, а образами материальных тел.

Геометрия, наконец, объявляется возможной без чертежа не только

конкретного, но и воображаемого.

ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИДЕИ

XVI ВЕКА.

Введение.

Говорить о фнлософско-математических идеях XVI века, это еще не зна-

чить говорить только о XVI веке. Предмет настоящего очерка я назвал иде-

ями XVI века, потому, что именно в XVI веке эти идеи, выйдя из метафи-

зического состояния, начали математизироваться, сделались предметом

философских размышлений математиков и стали ложиться в основу но-

вых, но еще несовершенных методов. Но я считаю необходимым говорить

о генезисе этих идей и их дальнейшей судьбе. Для меня ясно, что метафи-

зический период математической идеи - это ее утробная жизнь; эту жизнь

следует изучать, но изучать ее, конечно, трудно.

В этой области утреннего тумана так трудно понять правильные

очертания предметов. Мы так склонны проецировать настоящее в прошлое,

мы склонны там, где не видим самих себя, видеть только отрицание наших

идей,

одну пустоту вместо богатства идей, окруженных атмосферой нам

совершенно чуждого настроения и выраженных непривычным для нас язы-

ком.

Неужели от Евклида до Декарта, как это думает Брюпсвиг

, иет ниче-

го достойного внимания, неужели средневековая схоластика это одно заб-

луждение, о котором следует забыть, и вся христианская математика, с ее

глубокими идеями извлечена из ничего гением одного Декарта? Я говорю

о XVII веке не меньше, чем о XVI. Проследив судьбу философско-матема-

тических идей XVI века до их вытеснения новыми идеями, стараюсь обри-

совать различия двух эпох: эпохи живого, наивно доверчивого и чуждого

критики, несколько боязливого детства и смелого, верующего в свои силы

и в будущее, юношества.

Очень может быть, что в нарисованной мной картине этого отда-

ленного прошлого ие все правильно, но и у хорошего художника сходство в

редких случаях с первого раза полное. Может быть мне, а может быть дру-

гим удастся в будущем замазать неправильно уловленные черты другими,

приближающими к большему сходству.

Но я вес таки льщу себя, что и мои несовершенный очерк может

оказаться полезным.

Этот очерк - один из целой серии очерков,

которым принадлежит

и моя статья "Из прошлого пятой книги "Начал" Евклида", помещенная в

журнале "Математическое Образование" за 19

г. - результат изучения

старой учебной литературы, т.е. нижнего течения математической мысли,

в котором простота материала дает возможность ясней проследить эволю-

цию идей.

В заключение считаю необходимым выразить свою благодарность

приват-доценту Императорского Московского Университета В.В. Бобыни-

иу за ряд для меня полезных советов и указаний, библиотекарю того лее

университета и помощнику его за любезную помощь при моей работе в

библиотеке этого университета, Факультету и Совету Императорского Вар-

шавского Университета за средства к напечатанию этой работы.

Проф. Д. Мордухай-Болтовской.

г.

Ростов-на-Дону. Октябрь 1916 г.

Общая характеристика мысли XVI века.

Нельзя отрицать своеобразной физиономии XVI века, во многом

отличающейся как от средневековья, так и от рационализма XVII века. Это

эпоха борьбы с авторитетом, эпоха юности, возрояедающейся от гнета на-

учной мысли.

Чисто юношеская жажда знания заставляет ее устремляться в те

области, доступ в которые в позднейшее время рационалистического от-

резвления был окончательно закрыт.

Уму философа XVr века круг научных исследований представляет-

ся много шире, чем позднейшим поколениям. В его глазах порядок мате-

риального мира чудесно переплетается с порядками других, нематериаль-

ных, трансцендентальных миров. Явления всех этих порядков могут быть

наблюдаемы и должны составить части одного великого здания "Пансо-

фии"

универсальной науки.

Не убедить, а узнать - вот главная цель деятельности юного духа

возрождения.

Сочинение Кардана "De Subtilitale"

, о котором мы будем говорить

ниже содержит в себе наряду с заметками о геометрических парадоксах и

заговоры от болезней, я описание явлений демонов его современниками.

Обычное, будничное у него переплетается с чудесным. Тем же механичес-

ким законам, которым подчинены камни, подчиняются и сверхъестествен-

ные духи. Три мира Парацельса: земной, звездный и духовный находятся

в симпатической зависимости, и медицина зависит от астрологии. Шти-

фель в своей алгебре занимается доказательством того, что папа Лев X

представляет из себя апокалиптического зверя с помощью операции над

буквами его имени, получая апокалиптическое число 666.

Ум,

который привык верить, перестав верить в то, во что он рань-

ше горячо верил, ищет новой пищи для своей веры. Этой наивной веры

уже нет у мыслителя

XVII

века, который, сохранив только пламенную веру

в разум, старается всю вселеную заключить в бесспорно узкие для нее рамки

геометрической логики.

Если у мыслителя XVI века ars inveniendi

стоит на первом плане,

заслоняя собой ars demonsfrandi

, то в конце XVT1 века в пустых содержа-

236

нием и водянистых вольфианских сочинснениях ars demonstrandi выдви-

гается на первое место.

Увидеть самому, а не услышать от других это - характерное жела-

ние мыслителя XVI века. Но то, что ему приходится видеть, он как ребенок

не подвергает критике; для него нет иллюзий, а только истины, более или

менее воспринимаемые его умом.

Что характерно для математиков XVI века, это недостаток их artis

demonstrandi; они хороши, когда ищут новые методы, ибо эти методы их

оказываются правильными и могут быть обоснованы, но сами они не мо-

гут, да и не особенно стараются их обосновать. Как сын остается похожим

на отца, хотя бы находился с ним в самых враждебных отношенаях, так и

рамизм XVI века, враг схоластики, похож на схоластику, из которой он в

конце концов вышел. Ваддингтон" указывает три принципа, характеризу-

ющие рамизм: право разума на свободное исследование, борьба с крайно-

стями средних веков и упрощение наук употреблением правильных метод.

Но это, конечно, характеристика деятельности, а не мировоззре-

ния рамизма.

С последней точки зрения, ои не далеко от схоластики. Естествен-

ная логика, которая им противополагается логике Аристотеля, представля-

ет ту же, но только несколько видоизмененную логику Аристотеля, измене-

ние которой в то время казалось огромным, а в настоящее время ничтож-

ным.

Метод исследования остается по существу схоластическим.

Зачаткам новой философии, говорит Виндельбанд

свойственна

инстинктивная оппозиция против "схоластики" и наивное непонимание

общей зависимости, в которой сами они находятся от какой-либо ее тради-

ции".

§ 2. Эволюция иерархического принципа в онтологии.

Согласно Аристотелю, конечная цель науки - это выведение частного из

общего, которое выражается определением per genus et dinerenliam, с по-

мощью родового понятия и специфического признает. Этот взгляд сохра-

нился и в схоластическом мировоззрении.

Но у Аристотеля нет идеала иерархии классов, представляющих

собой пирамиду, в основании своем имеющую индивидуумов, а в вершине

genus general issimuin

Этот идеал, конечно, создался средневековым реализмом, видев-

шим в возрастающей общности классов, возвышающиеся степени суще-

ствования, так что genus generalissimum является вместе с тем и одарен-

ным наибольшей полнотой существования.

Легко отсюда видим, какое значение в глазах средневекового мыс-

лителя имело определение.

237

И для рамиста, по существу ие изменившего взгляд на сущность

знания - определение должно было иметь тоже значение.

В высокой степени интересно проследить эволюцию основного

принципа, лежащего в основе иерархической лестницы существ. Вне со-

мнения, иерархические идеи пускают свои корни в политеистическое ми-

ровоззрение еще самых низших ступеней развития человека.

Далее - платоновские идеи образуют иерархическую лестницу,

которая завершается высшей идеей - идеей блага. Вне сомнения при такой

иерархии идеи имеется в виду аксиологическая точка зрения. Идеи явля-

ются здесь не столько universalia, сколько прототипами и образцами, под-

ражанием которых является действительность. Идеализм Платона должен

был пройти длинный путь через Аристотеля и новоплатонизм, чтобы пре-

вратиться в схоластический реализм. У Аристотеля эта иерархия обраща-

ется в иерархию с]юрм, начинающуюся с низшего вида реальности ~ ли-

тейной формы (ацорфоу) материи (vA.r|), И поднимающуюся через ряд

промежуточных ступеней к Богу, к чистой форме.

Здесь уже реже выступает онтологическая, точка зрения. Но она

еще резче в ново платонизме, где Божество то 7tptm:ov", абсолютное един-

ство недоступное никакому определению, откуда истекают различные сущ-

ности умопостигаемого и материального, мира с постепенным ограниче-

нием в реальности вполне до материи как \хц ov

Этот живой н красочный мир Платона, в атмосфере схоластики,

обращается в бесцветный и безжизненный мир абстракции, в восходящую

до пустого понятия бытия иерархию теряющих в своем содержании и вы-

игривающих в объеме соподчиненных друг другу универсалий, за которы-

ми оставались, как за их предками, постепенно возвышающиеся степени

реальности.

В борьбе реализма, проектировавшего universal

ia"

вне нас, если

не в особый умопостигаемый мир Платона, то в самые вещи номинализма,

объявлявшего идеи - словами (flatus vocis) '-, победителем оказался третий

- концептуализм, нашедший универсалии в духе и приведший к последне-

му, как исходной точке метафизических исследований. То течение, которое

могучим потоком идет от Декарта к Канту, идет не от Ансельма или Росце-

лина, а от Абеляра через Оккама и Рамуса.

С окончательным падением реализма в ХШ-XIV вв. поколебалось

и основание указанной выше иерархии, ибо большей общности уже пере-

стала отвечать большая степень реальности.

Но в XV и XVI веках старались влить новое вино в старые меха,

живую вселенную, которая открылась им, освобожденным от средневеко-

вого тумана глазам, включить в выработанные схоластикой омертвелые

формы.

XVI век стоит уже недалеко оттого момента, когда гений Декарта

разбил эти формы.

238

Наступает момент ясного сознания, что в основе науки должны

лежать не столько определения, сколько аксиомы

, что наряду с Божествен-

ным Откровением мы несем в своем разуме еще другое откровение: это

рад истин, постигаемых нами с помощью своего рода интуиции, что наука

не можеть развиться с помощью одних аналитических суждений, извлека-

емых из определений: то, что может быть таким образом выведено, так же

пусто, как пуст источник.

Наряду с логикой классов схоластиков, у рационалистов выступает

логика отношений. Лежащие в основе науки аксиомы говорят не столько

об отнесении данного объекта или вида к определенному классу, сколько о

взаимоотношении различных объектов.

Иерархия истин теперь определяется не возрастающей общностью

классов, а убывающей простотой отношений. Вся вселенная получается из

основного мирового принципа с помощью постепенного ряда ограниче-

ний,

созидающих как логическое следствие из простых, так же легко фор-

мулируемых, как теоремы геометрии свойств Божества все разнообразие

Вселенной. Все вытекает из сущности Бога так, как теорема о сумме углов

треугольника вытекает из сущности последнего

Глазам рационалиста вся вселенная представляется, как ряд взаи-

моотношений, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к

простейшим отношениям.

Но эта иерархия строится на некрепком материале, ибо понятие

простоты - нечто более неопределенное, чем понятие общности. В даль-

нейшем ей сулсдепо распасться. XVIII век - это век демократизации истин,

в которой значение их определяется только их полезностью (не только в

^уубоутилитарном смысле, но и в этическом).

§ 3. Логические идеи Рамуса.

Рамус

различает две части диалектики (иначе логики), одна - учение об

открытии, другая - учение о суждении. Из этих двух частей, первое по-

лучает - первенствующее значение в XVI веке.

В математике на первый план выступает алгебра, в которой первая

часть ее - эвристическая метода - резко отграничена от доказательства.

Только для изыскания решения математик XVI века пользуется чистой ал-

геброй, при доказательстве он, как и арабы, прибегает к геометрическому

язык)',

переводя алгебраическую формулу на язык геометрии

Математика XVI века преимущественно интересуют задачи. Но при

решении их он не проявляет критического отношения к постановке про-

блемы, ни к ее решению.

Вторая часть логики - учение о суждении - вовсе не сводится в

глазах мыслителей XVI века

учению о доказательстве. Суждение у Раму-

са проходит три ступени: от простого рассматривания предмета с данной

239

точки зрения дающего "enonciation"

, через силлогизм оно идет к "мето-

де",

при помощи определений и разграничений, объединяющей однород-

ное знание в одно систематическое целое. Таким образом силлогистичес-

кое доказательство, т.е. ars demonstrandi, и здесь отступает на второй план,

выше его становится Систематика знаний, основанная на определениях

его,

которые и составляют наиболее существенное в знании.

Родословное дерево классов можно всегда привести к диахотом-

пой схеме. Род R, разделяющийся на виды А, В, С, соответствующие при-

знакам а, Ь, с единственно возможным и несовместном можно разделить

на два вида А и -А с признаком и без признака а. В свою очередь -А

можно разделить на В и -В с b и без Ь, причем -В тождествено с С.

Так, например, вместо того, чтобы делить треугольники на прямо-

угольные, косоугольные и остроугольные, молено их делить теперь на пря-

моугольные и непрямоугольные, а затем последние на косоугольные и ост-

роугольные.

Это та схема, которую проводит Рамус во всех

своих классификациях. Эту схему отметил еще Боэ-

ций

, как отвечающую делению рода на ближайшие

виды.

Именно эта схема должна была оказаться боль-

ше всего по сердцу концептуалисту.

Если Абеляр" выдвигал возможность такого диахотомного деле-

ния,

как аргумент против крайнего номина-

лизма Росцелина, указывая, что согласно ей,

виды могут существовать независимо от

имен,

так как деление R на А и -А ведь име-

ет место, хотя -А может и не иметь специ-

ального названия.

С другой стороны, эта же схема ме-

нее всего подходит к реализму, ибо вид -А

предстает искуственпым созданием ума, ко-

торый, молено сказать, всем существом сво-

им противится приписанию -А равной ре-

альности с А, В, С. Только крайние реалис-

ты могли отважиться включить в их мир уни-

версалий "не-человека" или "не-треугольник".

С концептуалистической точки зрения, как А так и не А суть только

модусы мыслящего духа и обладают, так сказать, равными правами. По-

этому для концептуалиста является весьма естественным остановиться

именно на рамической дихотомной схеме, правильность и простота строе-

ния которой дает уже ие онтологическую, а логическую проблему.

Интересно, что у Рамуса ars inveiiiendi, далее в области естествен-

ных наук, носит чисто схоластический характер. Основным методом все-

240

гда является дедукция. Он приглашает сперва изучать общее - небо, затем

частное - метеоры, сперва животных, затем человека.

Но позже, поиски естественно-научных методов увенчиваются уче-

нием об опытной индукции Фрэнсиса Бэкона и переходом от жившего ме-

тодами прошлого и ищущего методов будущего гуманитарного периода, к

периоду естественно-научиому,

Рамус выступает не только против Аристотеля, но и против Евкли-

да.

Он не ограничивается одной критикой, он старается дать образец ис-

правлена ых "Начал".

"Если бы, говорит Рамус, Евклид был бы настолько логиком, на-

сколько был математиком, то на вопрос Птоломея: "Не существует ли к

математической философии более короткого пути, чем тот, который дают

"Начала", я думаю, никогда не ответил бы, что нет такого царственного

пути.

Ибо царственный путь может быть ие только более кратким, более

планомерным (planior) и более широким (amplior), но при этом, необхо-

дим логический аппарат, легкий для познания и трудный для осуществле-

ния.

Путь молено исправить, но для этого необходим труд больший, чем это

кажется".

Рамус вполне сознает, гак трудно вогнать геометрию в узкие схо-

ластические рамки аристотеле-рамической логики. Задача им поставлен-

ная много трудней, чем задачи рационалиста Арно, эмпирика Бертрана

или логистов Саньо и д'Овидио.

Геометрия Рамуса представляет не что иное, как комментарии к

"Началам" Евклида, не соединенные с переводом последних, гак, напри-

мер,

комментарии его современника Клавия

, а изданные отдельно от "На-

чал".

Конечно, для Рамуса самым важным в геометрии являются опре-

деления, а за ними [логический] план геометрии.

В чем главный недостаток Евклида?

В том, что он идет от частного к общему вместо того, чтобы идти от

общего к частному. С точки зрения Рамуса и его современников именно в

определении происходит наиболее важный акт.

Всякий вид представляется носителем некоторого комплекса ка-

честв, из которых каждое относит его к опредленному классу. Всякому ин-

дивидууму присущи наряду с этими качествами еще другие - несуществен-

ные, изменяющиеся при переходе от одного индивидуума к другому.

Математический объект дается готовым исследователю, последний

должен только произвести логический анализ так, как ныне химик произ-

водит анализ воды. Он должен вскрыть существенные свойства объекта,

позволяющие его отнести к определенному классу. Это для Рамуса - важ-

ная и трудная проблема. Этой проблемы теперь почти нет. Мы верим в то,

что математические объекты мы сами строили, что судьба определения

241