Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

вполне от нас зависит и со стройностью наших логических построений

уживается хаос определений. Рамус возражает против евклидова опреде-

ления параллельных как прямых, находящихся в одной плоскости и ие пе-

ресылающихся при своем продолясении.

Мы скажем: "Да не все ли равно, как определять параллельные;'

лишь бы все, что затем следует [из определения], было бы правильно вы-

ведено".

"Нет!", возразил бы Рамус,. "математика имеет целью, как всякая

другая наука, исследование свойств вещей, которые некоторым образом уже

даны до начала математического исследования".

Концептуализм перевел идеи из внешнего мира в наш дух, но не

перестал на них смотреть, как на неподвюкные и неизменные сущности,

изначально обретающиеся в нем, но не органически из него развивающи-

еся.

Последний взгляд был достоянием отдаленного будущего.

§4. Рамус о геометрических определениях.

Обратимся к геометрии Рамуса. Возьмем определение круга. Здесь и в на-

стоящее время существует некоторая словесная путаница; "круг" употреб-

ляется и в смысле кривой, и в смысле площади, ограниченной этой кривой

согласно 15-му определению I кн. "Начал"

: "Круг есть плоская фигура,

содержимая одной линией, называемой окруяшостыо, к которой все пря-

мые, исходящие от одной из точек, внутрь сей фигуры лежащих, взаимно

равны".

Для кривой, ограничивающей круг, согласно этому переводу, оста-

ется термин: "окружность". Но тогда следует говорить в 3-й книге о каса-

нии и пересечении в двух точках не кругов, а окружностей. Вообще вся

третья книга должна быть отнесена к окружности. Рамус дает [следующее]

определение окружности: "Окружность - та кривая, которая отстает равно

от середины заключаемого в ней пространства".

Мы не вполне выразим то, что хочет Рамус, если скажем, что ок-

ружность - это кривая, равноотстоящая всеми своими точками от некото-

рой точки ее плоскости. Это определение per genus et differentiam.-

Правильней его выразить так: оружность принадлежит к классу

центральных кривых (которые имеют medium, или центр), но при этом это

такая кривая, что расстояния от центра [до всех точек кривой] равны.

И Рамус говорит не только о центре круга, он говорит вообще о

центрах.

Каждый из нас отнесет к одному классу и центр квадрата, и центр

круга.

Все это центры - симметрии, о которых мы получаем идею много

раньше, чем в состоянии облечь ее в научное определение.

242

Евклид, если и имел эту идею, то все-таки выключил ее из своих

"Начал", так как она ему оказалась не нужной для выводимой цепи поло-

жений. Рамус же ие мог обойти этот обобщенный центр при присущем

тому времени стремлении к построению иерархий объемлющих друг дру-

га классов.

Определение центра у него [следующее]:

Centrum est punctum in figura medium.

Центр [есть] середина фигуры.

Т.е. им предполагается, что то, что нужно считать серединой (в

тех, конечно, фигурах, где эта середина есть) каждый знает, и снабжает эту

точку названием: центр.

Радиус [по Рамусу, есть] не только у круга.

Радиус [есть] у всякой фигуры, имеющей центр. Это - прямая, иду-

щая от центра к периметру (отсюда выводится, что центр [находится] в

пересечении диаметров).

Угол понимается Рамусом не в евклидовом смысле: как наклоне-

ния двух линий, которые встречаются в плоскости и имеют различные на-

правления: как и у Евклида, [у Рамуса] (в противоположность современно-

му взгляду), в понятии угла заключается и смешанный угол (напр. угол

сегмента, заключенный между дугой и прямой, согласно определению 6.

III книги "Начал"). Но выше вида: угол "стоит" род: lineatum - соединение

линий.

Angulus est lineatum in communi sectione terminorum.

Угол есть линеатум в общем сечении членов.

Параллелизм прямых подводится под общее понятие параллелиз-

ма линий (как прямых, так и кривых). Параллельными являются ие только

прямые, но, например, два концентричных круга (или, вернее, окружнос-

ти).

Под род параллельных линий подводятся два вида: параллельные

кривые и параллельные прямые. Определять следует не "прямые парал-

лельные", а вообще параллельные линии, из какового класса "прямые па-

раллельные" выделяются благодаря признаку прямизны. Но, как основа-

тельно замечает Рамус, та идея о параллелизме, которую мы находим в

себе, менее всего характеризуется несхождением прямых. Кривые не па-

раллельные могут не сходиться, какова, на-

пример, конхоида или гипербола с их ассим-

птомами.

Молено было бы добавить

тому, что

говорит Рамус, и обратное: что паралелытые

могут сходиться, если, впрочем, взять такие

кривые, которые самому Рамусу вероятно не

приходили в голову (см. черт. 1). Характер-

ным признаком параллелизма является рав-

243

ноудалетюсть друг от друга. Lineae parallelae sunt quae ubique distant

aequaliter.

При этом свойство, что две линии, паралельные каждая третьей,

параллельны между собой, распространяется и на случай кривых парал-

лельных.

[У Рамуса] определяется не высота треугольника и затем высота

призмы и т.д., а высота вообще.

Altitudo est perpendicuiaris a vertice figurae ad basin.

Высота - перпендикуляр от вершины фигуры до основания.

По Евклиду

"Когда прямая, поставленная на другую прямую, делает смежные

углы взаимно равными, то каясдый из равных углов называется прямым; а

поставленная прямая называется перпендикулярной или отвесной к той,

на которую поставлена".

По Рамусу:

"Прямые взаимно-перпендикулярны, если одна, падая на другую,

равномерно между ними лежит (aequaliterinterjacet)".

Рамус не может определить перпендикулярность с помощью смеж-

ных углов, ибо, согласно его плану, общие свойства лшшй следует изла-

гать раньше, чем свойства угла - одного из видов lineatum.

Как следует понимать aequaliter?

Конечно, не в смысле равенства смежных углов. Это значит - по

одну сторону от падающей кривой (или прямой) то же, что по другую. Это

безусловно верно для двух взаимно-перпендшсулярных пересекающихся пря-

мых. Радиус же круга и окружность удовлетворяют, так сказать, только напо-

ловину этому требованию. Часть А

такая

же как С, но не

такая же как В, так что отношение перпендикулярности

[по Рамусу] является несимметричным: радиус перпен-

дикулярен к окружности, но окружность не перпендику-

лярна к радиусу.

Для того, чтобы подвести подобие окружнос-

тей под общее опредление подобия, которое берется из \^ У

евклидового определения прямолинейных подобных -g""

фигур (см. 1 опред. 6 книги "Начал" - Figurae similes

sunt figurae aequiangulae et proportionalibus cruribus

aequarum angulorum).

Рамус мыслит круг как много-

угольник с бесконечным числом сторон. Черт. 2.

Circuli autem et Sphaerae similes intelligentur ex

illo polygone infinitoram lateruin ut suo loco de singulis intelligetur

To,

что у Рамуса является следствием совершенно определенных

взглядов на сущность определения, в комментариях Клавия

выступает в

форме, может быть, и не вполне ясной тенденции.

244

Онне вооружается против евклидовых генетических определений,

но выставляет в комментариях другие, не евклидова типа определения.

Евклид дает для шара, определение совсем не то, которое соответ-

ствует приведенному выше евклидову определению круга.

Такое определение дает Клавий в своих комментариях в дополне-

ние к евклидову:

Sphaera est figura solida una superficie coraprehensa ad quam ab uno

puncto eo mm quae intra figurant sunt posita cadentes rectae liniae inter se

sunt aequales.

"Шар - телесная фигура, заключающаяся в поверхности, от кото-

рой идут к некоторой точке внутри фигуры прямые, все равные между со-

бой."

Не трудно видеть, отчего Евклид не мог дать это определение, а

дал другое:

14 опред. XI книги "Начал":

"Шар есть тело, производимое через обращение полукружия на

неподвижном его поперечнике, пока оное опять восставится там, откуда

началось его обращение".

В самом деле, Евклиду при определении Клавия, пришлось бы,

как и к приведенному выше определению круга приставить постулат о воз-

можности описания данным радиусом шара

Но такое описание производилось бы не движением прямой, а

бесконечной совокупностью движений. Нет никакого сомнения, что Евк-

лидом признавался один способ образования геометрических фигур на

плоскости - с помощью черчения их циркулем и линейкой, сводящегося к

образованию кривой, движущейся точкой, и площади, движущейся пря-

мой.

В стереометрии это представление получило естественное продолже-

ние в смысле образования тел движущейся площадью.

Средневековое мышление положило свой отпечаток на понятие о

геометрическом существовании, которое подверглось незаметной для са-

мих математиков метаморфозе.

В то время, как существование геометрических объектов у Евкли-

да определяется возможностью их построения, у математиков XVI и XVII

веков, это существование признавалось в смысле существования проекти-

ровавшихся во вселенную универсалий средневековых реалистов

5. Порядок геометрии по Рамусу.

В "Началах" Евклида все аксиомы стянуты к началу I книги.

Вспомним эпоху Евклида, вспомним, что "Начала" Евклида явля-

лись своего рода крепостью, которая должна была быть готова выдержать

тяжелые орудия софистов.

Не трудно уяснить себе стратегические приемы софистов.

245

Чтобы победить противника, следовало прежде всего вырвать от

него признания нескольких общепризнанных истин

Их должно было быть немного и с ними следовало, как можно ско-

рее покончить.

Без сомнения, для софиста было в высокой степени выгодно де-

лать это не в начале, а потом, при ходе дальнейшего изложения или спора

требовать от собеседника или противника признания не высказанных рань-

ше аксиом.

Вне сомнения, что чем позиция его противника становилась опас-

ней и спор казался ближе к окончанию для противника неблагоприятному,

тем менее последний становился чувствительнее к этим общепризнанным

истинам.

Вся евклидова логика, как и логика Сократа и Платона вышла из

софистической логики совершенно так же, как логика Рамуса из схоласти-

ческой.

Та схема, в которую облеклись начала геометрии это схема - софи-

стических споров.

Определения, в противоположность аксиомам оказываются распре-

деленными между различными книгами.

Нужные для данной книги определения помещаются в начале ее.

Собственно говоря, и определение тоже следовало помещать в на-

чале книги. Вероятно, так это и делалось бы, если бы "Начала" были мень-

ше.

Но в таком большом труде, как "Начала" Евклида это было бы уже

невозможно, так как читатель не был бы в состоянии удержать в своей

памяти всю ту массу необходимых определений, которые выставляет Евк-

лид.

Такой порядок аксиом и определений в настоящее время является

недопустимым. Система определений должна постепенно развертываться

с цепью теорем.

Если мы определяем А совокупностью признаков: а, Ь, с..., то мы

должны предварительно доказать совместность этих признаков а, Ь, с...,

что возможно сделать только протянув уже часть цепи друг за другом сле-

дующих положений.

Необходимость оправдания определений некоторыми начала созна-

ваться еще в

XVI i

веке.

Борелли, определяя параллельные прямые как равноотстоящие,

доказывает предварительно, что все точки, равноотстоящие отданной пря-

мой лежат тоже на прямой.

Но проблема обоснования геометрических истин, вплоть до вто-

рой половины XIX века, сводилась к выводу положений из системы оче-

видных категорических суясдений.

Если к категорическим суждениям присоединить условные, то дело

изменится.

246

За аксиому можно было бы признать положение: "Если имеет мес-

то А, то также имеет место и В".

Но наличность А может быть не очевидной, и приходится доказы-

вать ее из других уже очевидных категорических суждений. В таком случае

аксиомы уже рассеиваются по всей сети доказываемых положений.

Это рассеивание будет еще большим, если идти дальше и признать

своей целью вывод положений ие из очевидных истин, а только из про-

стейших положений - постулатов, не предъявляя к последним требований

очевидности.

Рамус тоже вооружается против евклидова порядка, но, исходя из

совершенно иных, нам совершенно чуждых идей.

"Природа, говорит Рамус, ие создает лес таким образом, что про-

изводит сразу для всех деревьев корни, а затем к ним стволы; архитектор

не будет строить город таким образом, что для всех домов сперва воздви-

иет фундаменты, а затем займется самими постройками.

.Евклид должен определить треугольник там, где он начинает те-

орию треугольников, четырехугольник там, где начинает говорить о четы-

рехугольнике".

Рамус представляет себе сперва родословное дерево соподчинен-

ных родов и видов. Каждый член этого родословного дерева получает оп-

ределение. Это, так сказать, ствол дерева с его ветвями.

Теоремы - это листва, его украшающая. Это не столько оправды-

вают определений (эта эпоха более далека от такой критической точки

зрения), как просто полезные или любопытные сведения. Вследствие этого

и геометрия Рамуса получает внешнюю физиономию практической гео-

метрии, сближающей ее с геометрией Дюрера

"Для Рамуса, говорит Клейн, практические интересы стоят на пер-

вом плане, лишь на втором стоят у него логические дедукции, не как само-

цель, а лишь как средство для нахождения новых практически полезных

предметов, которые могут быть получены непосредственно из наблюде-

ния"

Но Клейн забывает сказать главное: еще выше практических инте-

ресов у Рамуса стоят схоластические интересы, построение delineatio

геометрии, родословного дерева геометрических классов с удовлетворяю-

щими его логике определениями.

О рамистах - последователях Рамуса мы еще будем говорить. У

них идеи Рамуса получают дальнейшее развитие. Что же касается до гео-

метров - предшественников, у которых те же схоластические идеи обнару-

живались в менее развитой форме, то ограничимся упоминанием более

близкого

Рамусу (XIII в.) Иордана Неморариуса

более отдаленного Псел-

ла (XII в.). Последний в своем Quadrivium, можно сказать, дает ствол и

очень мало веток, почти без листьев.

247

Это все - определения и определения; но в этих определениях Вы

не чувствуете стремления связать их в одну стройную систему, установить

основной род, определяющий вид с помощью специфического признака.

Мы имеем там по несколько определений к одной вещи.

Punctum est cuius nulla pars existit. Linea cuius partes sunt puncta.

Superficies cuius partes sunt lineae. Corpus cuius paries sunt superficies: vel

aliter: Punctum est momentum quod поп fluit, linea punctum fluens... iteruin

punctum est quod omni dimenzione vacat и т.д.

Определения же Неморариуса

совершенно другого характера -

он уже ясно указывают на стремление подняться к высшим родам, не зат-

рагиваемым Евклидом.

Таково определение contiiiuilas (непрерывности или, вернее, не-

прерывного геометрического образа), объемлющего собой виды линий,

поверхности, тела...

"Continuitas est indiscrecio lermiiiorum cum terminandi potentia".

Непрерывность - неразличимость границ с возможностью

ограничения,

Angulus est continuarum in contiimtatis termine convencium.

Угол - схождение непрерывно стен в непрерывной границе

Delineatio геометрии Рамуса.

Вот родословная классов, которую молено извлечь из геометрии Рамуса.

Соответственно этой delineatio порядок геометрии Рамуса такой:

сперва говорится о наиболее общем, о том, что такое величина (magnitude),

о границах ее, о наложимости, как условии равенства. Затем о линиях во-

обще, об их перпендикулярности и параллельности, отнюдь не только пря-

Magtiitudo

величина

Linea

Lineatum

линия

Recta

прямая

Oblonga

кривая

periferia

круговая

helix angulus

некруговая угол

figura superficies

фигура поверхность

corpus

тело

248

superficies

поверхность

rectihneuin

прямолинейная

obligiineum

криволинейная

plana

плосокое

corpus

тело

gibba

кривое

pyrunus

пирамида

pyramedatuii

пирамидах

trianguliim

triangulatum^*'

prisma

трехугольник

тршшгулят

призма

pent. pent.

сотр.

пентаэдр

композиция

пентаэдров "

мых. От linea следует перейти к lineatum и, прежде всего, к углам: иссле-

довать условия равенства углов и различные виды углов.

За углом же следует фигура вообще, но не частный ее тип, образо-

ванный тремя прямыми. Говорится о центре и диаметре вообще фигур или,

лучше сказать, о фигурах, имеющих центр и диаметры. На нашем языке

по этому плану приходится говорить прежде о симметрии вообще, а затем

уже перейти к изучению треугольников, что и делается в некоторых совре-

менных учебниках'" . Затем идут подобные и изоприметрические фигуры.

Термин треугольник, "triangulus", употребляется только в евкли-

довском смысле площади, ограниченной тремя прямыми. Треугольник по-

этому принадлежит к роду planum, а не lineatunr

и, согласно delineatio

Рамуса, о нем приходится говорить значительно позже.

Но теоремы 24 и 25 I книги евклидовых "Начал"* :

"Ежели два треугольника имеют две стороны, равные двум сторо-

нам,

каждую каждой; а угол одного больше угла другого, а именно, кои

содержатся теми равными прямыми: то и основание одного будет больше

основания другого".

"Ежели два треугольника имеют две стороны, равные двум сторо-

нам,

каждую каждой; а основание одного, больше основания другого, то и

угол одного, будет больше угла другого, а именно, кои содержатся теми

равными прямыми". Рамус помещает в начале геометрии в форме свобод-

ной от понятия треугольника.

mist,

polyed

смешанные

многогранники

249

Si angulus angulo aequicrurus est major basi est. aequalis et si est

aequalis aequatur basi. Если основания двух равнобочных углов равны, то

углы равны и обратно, если равнобочные углы равны, то равны и их осно-

вания.

Si angulus angulo aequicrurus est major basi est major et si major est

major basi. Если для двух равнобочных углов основание первого угла боль-

ше основания второго, то и первый угол больше второго и обратно.

Точно таким же образом и теорема 21:

"Ежели на одной из сторон треугольника, от концов ее, будут со-

ставлены внутри его прямые, то составленные прямые будут меньше про-

чих двух сторон треугольника, кои больший угол содержать будет"облекает

в аналогичную форму:

Si aequatur basi est minor mterioribus cruribus est major

Это изменение в I книге "Начал" Евклида имеет длинную исто-

рию,

тянущуюся через Арно

до Остроградского

. Треугольник - ограни-

ченная плоскость, поэтому следует говорить сперва о площади неограни-

ченной, плоскости вообще, а раньше еще и о поверхности вообще.

Может быть, Рамус и имел это в мысли, излагая за общими свой-

ствами поверхностей вообще и плоскости, сечение угла на две равные ча-

сти,

свойство пар перпендикулярных прямых (деление плоскости на 2 и 4

равные части), свойства параллельных. Следующие главы (по Рамусу -

planum

плоскость

indel:ermiiial:um

determinatum

неограниченная

ограниченная

angulus

nngulatum

trlnngulus

trianguJatum

угол

ангулят

треугольник

трмангулят

книги) о треугольниках и их сравнении (вообще), о различных родах треу-

гольников, о геодезии прямоугольных треугольников, о подобии прямоу-

гольных треугольников, о triangulatum, параллелограмме, прямоугольни-

ке,

квадрате и растянутом прямоугольнике (oblongo).

Ромб - четырехугольник, в котором все стороны равны, но углы не

прямые. Параллелограмм - четырехугольник, в котором равны противоле-

жащие стороны и углы, но при этом - не ромб и не прямоугольник. Все

прочие четырехугольные фигуры называются у Евклида трапециями.

250

По Евклиду:

четырехугольная фигура

квадрат

ромб

трапеция

По Рамусу же:

четырехугольник

.паралеллограмм

трапеция

косоугольный

прямоугольный

ромб

ромбоид

квадрат

растянутый

прямоугольник

Некоторое несогласие с планом представляет помещение следую-

щей книгой De lineis in circulo", что следовало бы отнести к изучению

линий, а не ограниченной плоскости (planum).

То же следует сказать и о следующих главах: De circuli segmentis,

de descriptione circuli el trianguli, de adscriptione triangulr

. Согласно схеме,

дальше идут главы о поверхностях и'телах вообще, о пирамидах вообще, о

pyramidalum, куда входит и призма, которая и изучается сперва в общем

виде, а затем в виде параллелепипеда, в частности куба. Кривые поверхно-

сти сперва изучаются вообще - затем идут сфера, конус, цилиндр (varia).

Коническую и цилиндрическую поверхности Рамус отличает от

конуса и цилиндра. Conus est quod a conico et basi comprehenditur Cyliiidrus

est quod a cilindrico et oppositis basibus comprehenditur".

Определение varium - это определение линейчатой поверности

Varium est gibbum cuius basis est peripheria, iactus recta a termino

vertici in terminum basibus

Если peripheria употреблено в узком смысле окружности, то мы

имеем только один вид линейчатых поверхностей.

Вне сомнения род gibbum и в том случае, если под peripheria разу-

меется вообще кривая и под varium - все линейчатые поверхности, являет-

ся неполными, ибо некуда поместить например, эклшгсоид.

У Евклида конус и цилиндр, для которых даны генетические опре-

деления (вращением треугольник! и прямоугольника) не подводятся под

один класс поверхностен.