Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Берем его наиболее примитивную форму, которая находится у

Кеплера.

Для определения площади д

иавливает перпендикуляр ВС = OA

и откладывает ВВ, = AA

, B

(

B, = АА,и т.д. В силу равновеликое™ треу-

гольников А,А

С,, BBjC, и т.д. он полагает, что площадь круга равна сум-

ме площадей треугольников В

_. СВ

= ВСР, т.е. теорему Архимеда.

В этом рассуждении признается существование актуально-беско-

нечно малых элементов круга, и при этом признается, что те признай!

двух элементов, об уменьшении разности которых свидетельствует интуи-

ция,

для бесконечно малых элементов совершенно сравниваются.

Это доказательство прямое в противоположность апагогическому

методу

исчерпывания.

На это следует обратить внимание. Вне сомнения, в дальнейшем

при нападках рационалистов на апагогические доказательства

развитию

метода неделимых способствует не столько его простота и практичность,

как прямой характер его выводов.

В дальнейшем у Кавальери косвенная схема метода исчерпывания

превращается в более простую схему метода исчерпывания.

Чтобы доказать, что

В = а

Ь,

А и В разбиваются, согласно идее второго метода Архимеда, на

части, причем неделимые части (такое понятие, конечно, чуждо Архиме-

ду)

круга Кеплер делит круг радиуса-

ми на равные бесконечно малые

секторы (черт, 1). Эти бесконечно

малые секторы он признает тожде-

ственными бесконечно малым тре-

угольникам с высотой, равной ра-

диусу, и основанием, равным дуге

сектора К. К прямой РВ он восста-

В Q

Доказывается, что для всякого.)

<Xj:

Pj = a:b

путем отождествления

ajHPj,

<*jH

для которых не трудно установить пропорцию

ocj :pj = a:b

222

Легко видеть, какому изменению подвергается эта схема при уста-

новке понятия бесконечно малого в современном смысле - как переменно-

го с пределом = 0.

Имеем, А = lim ^ а •, В = lim £ р у Далее, a

р j

не тождествен-

иы

а только эквивалентны

, ctj и pj т,е, lim

lim = 1, поэтому

на основании второй леммы анализа

A = lim£aj B = lim£pj ,

а так гак a

(jj = a

b, то

В = a

Сточки зрения Кавальер и ctj и Pj суть не эквиваленты частей А и

В,

а суть сами эти части, А и В - не пределы суммы, а сами суммы a

Р j

или,

что то же и р\.

Отсюда вытекает принцип Кавальери

, устанавливающий равен-

ство величин из равенства их неделимых, равенство двух тел между двумя

параллельными плоскостями из равенства площадей их сечений параллель-

ными этим плоскостям плоскостями и т.д.

Этот метод совершенно чужд античной мысли.

Торичелли

старается убедить в том, что метод неделимых слу-

жил у античных математиков методом открытия, который не совпадал с

методом доказательств, но с этим едва ли можно согласиться.

В действительности же психология открытий тех теорем, которые

доказывались Евклидом и Архимедом апагогическим путем, много про-

ще,

чем думал Торичелли. 2-е полол<ение XII книги "Начал" - естествен-

ное распространение того, что уже доказано для подобных прямолиней-

ных фигур и вообще подобных фигур. Таково же происхождение и 18-го

положения XII книги.

Теорема Архимеда о площади круга составлена по образцу тео-

рем,

относящихся к площадям правильных многоугольников. Значения по-

верхностен и объемов конусов и цилиндров верней всего были найдены

развертыванием их в плоскости, что, конечно, проще метода неделимых.

Совершенно невероятно, чтобы этот метод, совершенно неудобный

при нахождении объема и поверхности сферы, применялся Архимедом в

этих случаях как эвристический.

Впрочем, сам Архимед в упомянутом выше сочинении совершен-

но ясно говорит об истории своих открытий. Аналогон круга - сфера, тре-

223

угольника - конус. Вот эта мысль и руководит Архимедом в поисках выво-

да,

конечно ощупью, формулы для объема шара.

Архимед

говорит: "Благодаря изложенной теории о том, что шар

в четыре раза больше конуса, которого основанием служит большой круг, а

высота равна радиусу круга, мне пришла в голову мысль, что поверхность

шара в четыре раза больше его большого круга, причем я исходил из пред-

ставления, что как круг равен треугольнику, основанием которого служит

периферия круга, а высота равна радиусу круга, так и шар равен конусу,

которого основанием служит поверхность шара, а высота равна радиусу

этого шара".

В сочинении "О шаре и цилиндре" Архимед строит строгое дока-

зательство (причем апагогнчески) этих положений.

Аналогон параболы - параболоид (коноид) и теоремы об объеме

сегмента коноида - аналогон раньше открытой теоремы о площади пара-

болического сегмента.

Теорема о сфероидах - естественное обобщение теоремы о сфере.

б.

Третья архимедова форма метода исчерпывания.

В третьем методе Архимедова неравенства. (5) заменяются:

<•">

< А

р « < в.

То,

что А - Р

<'"> может быть сделано как угодно мало, выясняется

построением.

Р образуется из частей, каждая последующая из которых полу-

чается из предыдущей делением последней по определенному закону;

(Ш,

= Р

+Р, +...Р,

> Р, > Р„ >...>Р, ,

Дальше доказывается, что при взятии достаточного числа членов

-разность В - Р

(п1)

может быть тоже сделана сколь угодно малой. Невоз-

можно, чтобы А < В, ибо тогда

В-Р

>В-А

я невозможно, чтобы А > В, ибо тогда

А-Р

(

"° >А-В.

В известном выводе Архимеда площади сегмента параболы за Р

а|

принимается площадь Д АОВ, вписанного в сегмент, за Р

- Д OFB, вер-

шина F которого на FM J. АВ и МС = MB и другого аналогичного треуголь-

ника, за Р

а3

- Д FHB, где HN 1 СВ и MN = NB и других аналогичных тре-

угольников и т.д.

224

К этой форме больше всего

подходит название "метод исчер-

пывания'". А

Представление Р

> суммой

2^P

представляет ие что иное,

как приближенное вычисление Р

(т

Берется величина Р

п1

близ-

ки!

кР^"

, которая может быть при-

знана за первое ее приближение.

Это будет то, что можно назвать

первым черпком. Затем берут оста-

ток Р./

"' -Р

а1

и ищут его прибли-

жение Р „.

П*

Это будет второй черпок. Рассматривая новый остаток - Р

а]

я1

, находим его приближение Р

и т.д. С некоторым черпком

<л,

оконча-

тельно исчерпывается, получается полное значение.

Но те же черпки служат и для приближенного вычисления А, но

здесь точное значение уже ие достигается. Внося идею предела, можно ска-

зать,

что предел суммы таких черпков будет точно равняться исчерпывае-

мой величине А, которая, таким образом, является пределом суммы беско-

нечно великого числа слагаемых, бесконечно убывающих, начиная с пер-

вого.

Чтобы выявить, каким образом эта форма приводит к этой другой

точке зрения анализа, рождающей на ряду с интегралом еще ряды, мы пред-

ставим способ Архимеда определения площади сегмента параболы

пере-

работанном виде с привлечением понятия предела. Первое приближение

(черт. 2) площадей, вписанных в параболу у

= х Д АОВ (ВС=1, ОС=1), т.е.

Остаток - площадь сегментов АО и ВО.

Приближение их - площадь треугольников, в них вписанных. Удоб-

нее всего брать OFB, где Е середина СВ и EF || OY

IE ОЕ 1 1 " I

ДЕ

—.

ОС

(как у пр

х =

= FE=—) равняется—

ВС ОВ 2 2 4

iS2,KL=-!-,LF=KF-KL=ffi-KL=-!—!-=-

ВС ОС 4 2 4 4

пл.

OBF и

-гг-~-=—, как высоты, опущенные на общую сторону ОВ. но после-

пл.ОВС а

дние относятся как параллельные отрезки LF = ВС, т.е. как 1:4.

225

пл.

ОАВ = lim

, I I

4 4 ' 4" J

или

пл.

ОАВ = 1+—+Д-+....=—

4 4

Таким образом приближение первого остатка —.

Второй остаток - остальные еще меньшие сегменты, с которыми

поступаем так же.

Сумма этих площадей оказавается равной и т.д.

ИЗ ИСТОРИИ МЕТОДА НАЛОЖЕНИЯ

В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Евклид и Лежандр.

Элементарный учебник геометрии в большей или меньшей мере представ-

ляет из себя методическую переработку евклидовых "Начал"

, правда, по-

полненных некототрым новым материалом. Можно сказать, что изучение

геометрии мы начинаем с Евклида. Но только этому положению следует

придавать правильный смысл. Верно то, что мы изучаем те теоремы, что

большей частью находятся у Евклида, но если глубже вникнуть в евклидо-

вы "Начала", то увидим, что мы далеко отошли от них в самом существен-

ном,

в понимании основной проблемы - доказательства выставляемых по-

ложений, образующих систему геометрии.

Понятие о сущности математического доказательства, подверглось

через толщу веков глубочайшему изменению, хотя это изменение и ие было

заметно самим исследователям так, как не заметно старение стареющему

человеку. То. что Лежандр считает доказательством, не могло быть при-

знано за доказательство Евклидом и, с другой стороны, Лежандр ие мог

начать свои "Элементы" с построения равностороннего треугольника, как

это делает Евклид.

Не следует думать, что Лежандр

в своих упрощенных доказатель-

ствах додумался до тех более простых доказательств, которые ускользнули

от Евклида. Евклид, очень может быть, знал эти доказательства, но отверг

их как негодные, как находящиеся в решительном противоречии с его взгля-

дами на доказательство. Почему ему не поступать так, как Лежандр, при

доказательстве основного свойства равнобедренного треугольника, состоя-

щего в том, что углы, противолежащие равным сторонам, равны?

Ведь, кажется, нет ничего проще, как соединить середину стороны

BC-D с вершиной А и доказать на основании третьего случая конгруэнтно-

сти равенство треугольников ABD и

ADC*,

Между тем, Евклид излагает другое, более сложное доказатель-

ство (так называемое elefuga). Ответим: потому, что Евклид признавал су-

ществование только тех объектов, которые могут быть построены.

Он потребовал бы от Лежандра указать построение точки D - се-

редины отрезка. ВС. Но построение это (предл. X, 1 книги) основывается

на 9-м положении о делении угла на две равные части, последнее же - на

третьем случае конгруэнтности, а третий случай конгруэнтности доказы-

вается от противного на основании 7-го положения'

"Если мы соединим концы основания АВ с двумя точками С и D,

лежащими по одну сторону прямой АВ, то расстояния СА и СВ точки С от

227

Черт. 1.

концов основания АВ не могут быть равны гаждое каждому расстояниям

DA и DB от тех же концов АВ".

Для доказательства невозможности

единовременного существования равенств

AC=AD, DB=BC Евклид (черт. 1), пользу-

ясь elefuga, доказывает, что ZADC=Z ACD

н вторично применяя elefuga, что

ZCDB=ZDCB, обнаруживает несовмест-

ность этих двух равенств углов, так как Z ADC>Z CDB и ZBCD Z ACD

(мы берем только тот случай, когда D вне ABC).

И только благодаря коренному изменению требований, предъявля-

емых к доказательству, Лежандр получает возможность упростить гео-

метрическую систему и перевернуть порядок теорем.

Он начинает с положения:

"Если две стороны одного треугольника равны соответственно сто-

ронам другого и если в то же время угол между первыми более угла, зак-

люченного между вторыми, то третья сторона первого будет больше тре-

тьей стороны второго".

Но это только 24-я теорема I книги "Начал" Евклида, т.е. весьма

отдаленная от начала теорема, которая доказывается на основании третье-

го случая кощруэнтности треугольников.

Для доказательства того, что

при

AB=FG ]

АС

= GH I

также

HBC>FH

ZBAC>ZFGH]

Лежандр

, отклады-

вая (черт. 2) угол ZCAD =

ZFGH

AD=FG строит треу-

гольник CAD, равный FGH

(на основании 1 случая конг-

руэнтности), проводит биссек-

трису АЕ угла BAD и соеди- /\

няет Е с D и доказывает ра-

венство треугольников ВАЕ и

EAD CD < ED + ЕС, откуда CD < ВЕ+ЕС, CD < ВС или FH < ВС.

Эта теорма дает сейчас же возможность вывести (апагогически)

третий случай конгруэнтности.

Доказательство это, конечно, не моо/сет быть принято Евклидом,

ибо построение биссектрисы является необоснованным.

Черт. 2.

228

Античное доказательство вовсе не чисто логическое. Античный

математик убеждает не одним силлогизмом, но и актом, вычерчивающим

геометрическую фигуру.

Выражения Аристотеля* очень напоминают Шопенгауэра

. Соглас-

но Аристотелю, свойства геометрических фигур открываются приведени-

ем к актуальному существованию геометрической фигуры, вызывающим

разложение данных фигур. Если фигуры уже даны разложением, то свой-

ство уже очевидно, оно просто видно глазу. Но если они не разложены, то

находятся только в потенции (лучше было бы сказать - их знание в потен-

ции).

Почему сумма углов треугольника равна двум прямым?

Потому, что сумма углов, образованных около данной точки на од-

ной линии, равна двум прямым углам. Если образовать внешний угол, про-

должая стороны треугольника, непосредственное доказательство очевид-

но.

Почему угол, вписанный в полуокружность, неизменно прямой? Это

потому, что имеет место равенство для трех линий: двух половин основа-

ния и прямой, проведенной от центра круга к вершине угла, противолежа-

щего основанию: это то равенство, которое дает возможность познать свой-

ство вписанного угла

Постулаты.

Евклид, как и Аристотель, не задавался целью вывести все свои положе-

ния силлогистически из немногих высказанных им определений, постула-

тов и аксиом. Его целью было лишь убедить читателя в определенных ис-

тинах, но он вовсе не считал единственным способом убеждения формаль-

но-логический вывод положений из признанных читателем в начале ис-

тин.

Очевидность (lux liaturale, естественный свет) только рационалиста-

ми"

XVII века вполне определенно признана за критерий истинности поло-

жений, в аристотелевской же логике

она ие играет этой роли.

За правильность предпосылок, с которых начинается цепь доказа-

тельств, говорит скорее общее их признание, вследствие чего аксиомы и

называются %oivou8vvoiai (communes rationes). Доказательства Евклида

вполне отвечают схемам, выработанным софистикой.

В начале следует привести противника к признанию некоторых

положений, отнюдь не апеллируя к очевидности, ибо противник мог бы

поднять вопрос об относительности понятия очевидности и признать для

себя не очевидным то, что для противника - является вполне очевидным.

Более сильным фактором являлась общепризнанность необходи-

мых для дальнейшего положений, необходимость противнику при их отри-

цании его встать в смешное положение. Отсюда стягивание аксиом к нача-

лу сочинения.

229

Но что такое постулаты, выставленные Евклидом тоже в начале

сочинения наряду с аксиомами".

Неправильно относить к аксиомам очевидные положения общего

характера, т.е. положения, относящиеся к величинам вообще, а не только к

геометрическим, какова, например, первая евклидова аксиома: "величи-

ны,

равные одной и той лее, равны между собой", и отождествлять постула-

ты

с геометрическими аксиомами. 11-я аксиома фигурирует иногда 5-м

постулатом, а 10-я (о равенстве прямых углов) 4-м, но 12-я (две прямые

линии не заключают пространства) и 8-я (о равенстве совпадающих при

наложении фигур) - всегда аксиомы.

Только отказавшись от проектирования в прошлое современных

формально-логических тенденций, мы будем в состоянии понять, что пред-

ставляют для Евклида постулаты. Евклид геометрическим объектам вовсе

не приписывает идеального существования. Доказывающий какую-либо

теорему сам вызывал к существованию геометрическую фигур}', с какового

момента она и начинала свое существование.

Признание возможности существования прямой, круга и т

;

д. явля-

лось равносильным признанию акта, их производящего, что и представля-

ет содержание постулата

. Более того, признание этого акта вынуждало

признание некоторых истин, например, признание третьим постулатом воз-

можности описания кругов вызывало признание пересекаемости кругов,

проходящих, через центры друг друга

Следующее объяснение дает Геиинус

, согласное с нашим. "По-

стулат, - говорит

он,

- представляет требование найти или сделать (fabricari)

то,

что достигается просто и непосредственно, в чем ум не затрудняется ни

в понимании, ни в построении".

Прокл, говоря о различии теорем и проблем и отмечая, что цель

первых - познать, вторых - сделать, приводит в соответствие с первыми

аксиомы, со вторыми постулаты, определяя последние близко к Геминусу.

Гоббс

вполне ясно выражает нашу мысль. То, что называется постулата-

ми,

это истинные принципы, но не доказательства, а построения поэтому

не знания, а потенции.

Метод наложения у Евклида.

Большим диссонансом с общими тенденциями "Начал" представляется

метод наложения при доказательстве первого случая равенства треуголь-

ников, если этот метод понимать так, гак мы обычно его понимаем.

Здесь не мы имеем идеальное существование начерченных геомет-

рических фигур с идеальным их перенесением с одного места на другое,

[как обычно считают].

Но мне представляется, что как мы, так и целый ряд предшествую-

щих поколений, совершенно неправильно здесь понимают Евклида.

230

Положения 2 и 3, предшествующие положению, доказываемому

наложением, наводят на мысль, что сам Евклид здесь вовсе не разумеет

наложение в нашем лежандровом смысле.

Положение 2-е:

Из данной точки А провести прямую, равную

данной прямой ВС.

Почем)' Евклид не делает так, как мы делаем и как рекомендовали

это делать некоторые авторы XVII века

: проведя через А какую-нибудь

прямую, не переносят в нашем смысле отрезок ВС?

Почему он не может сделать с одним отрезком то, что в четвертом

положении он делает с целым треугольником'!

Отвечу: потому что он ие признает в нашем смысле перенесения,

потому что то, что мы считаем перенесением идеального треугольника, -

для него является построением тождественного данному треугольника

о ином месте, чем он задан.

Евклид строит на АВ, на основании первой теоремы "Начал", рав-

носторонний треугольник ABD, из В описывает радиусом ВС окружность

до пересечения с b в G; из D описывает радиусом DG окружность до пере-

сечения с AD в К. Если бы мы желали "перенести" ВС на определенную

прямую AL, проходящую через L, то пришлось бы описать еще третью

окружность радиусом АК до пересечения с AL в L (согласно предл. 3) .

Наложение DEF на АБС представляет:

1) построение на АВ отрезка, равного DE, начиная с А,

2) проведение другой прямой под тем же наклонением к АВ, что

АС (согласно 8-му определению - угла), откуда следует, что DF пойдет по

АС и

3) построение отрезка, равного DF на АС. откуда следует, что F

совпадет с С. Легко видеть, что в этот момент, т.е. при заключении, что

соединение точек Е и F прямой, т.е. построение третьей стороны EF дает

АВ,

должен возникнуть скачок. Софист возразит: "Я позволил от одной

точки к другой провести прямую, но откуда мы знаем, что в одном случае

получится одна, а в другом опять та же прямая'?". Здесь становится необхо-

димым подчеркнуть еще одйо общепризнанное положение - 12-ю аксио-

му: "Две прямые не могут заключать пространства"".

Идеальное существование геометрических объектов - плод схола-

стического реализма

. Такое существование за ними закрепилось и в ма-

тематической мысли XVI века. Математик XVI века понимает наложение

уже в нашем смысле и обнаруживает тенденцию пользоваться им шире,

чем Евклид.

У Клавия мы находим разновидность этого метода, чуждую Евк-

лиду.

Верный духу своего времени, Клавий

' заменяет косвенное дока-

зательство теоремы 6 1-й книги (обратной elefuga) прямым наложением

Д АСВ на Д ABC (ZB = ZC), так. что треугольник подвергается мыслен-

231