Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

ИЗ ПРОШЛОГО ПЯТОЙ КНИГИ "НАЧАЛ

ЕВКЛИДА.

§1.

История 5-й книги "Начал" Евклида, содержащей античную теорию

пропорций, это - история арифметизации геометрии, история эволюции

идеи числа.

Для Евклида число - это "собрание единиц" (кн. 7, опр. 2), так что

и дробь для него еще не является числом. Между геометрическими вели-

чинами и числами еще нет взаимно-однозначного соответствия: отноше-

ние двух отрезков площадей или объемов а

в еще не сводится к отноше-

нию двух чисел. Евклиду придется строить две теории пропорций: вели-

чин в 5-й книге и чисел в 7-й. С нашей точки зрения ему, приходится

повторяться,

Но это только с нашей точки зрения, а не с точки зрения Евклида.

У Евклида не только нет взаимно-однозначного соответствия между гео-

метрическими величинами и характеризующими их числами, у него нет

идеи рода, объемлющего видовые понятия геометрической величины и

числа, которое является результатом только дальнейшей эволюции мате-

матической мысли.

Чисто формальная точка зрения противна Евклиду, определение

класса совокупностью формальных законов ему чуждо.

Число и прямолинейный отрезок (в его терминологии - прямую)

он не решается отнести к одному классу в силу тождественности формаль-

ных законов, которым подчиняются соответствующие операции над ними.

Величины в I книге (см. акс. 8) взаимно налагаются.

Аксиомы: 1, 2, 3 ...

"Величины, равные одной и той же величине, равны между со-

бой".

"Если к величинам равным придадим равные, то получим равные

суммы".

"Если от величин равных отнимем равные, то получим равные..."

и т.д. все относятся не к числам, а к геометрическим величинам, к классу,

в который отнюдь не входят числа.

Но что является в высокой степени интересным - это то, что эти и

другие аксиомы лежат в основе арифметики Евклида, так как все арифме-

тические действия над целыми числами Евклид сводит к действиям над

особым классом отрезков, составленных из одного определенного, отвеча-

ющего единице.

Между отрезками этого класса и целыми числами существует вза-

имно-однозначное соответствие и оно позволяет Евклиду, идя в обратном

J 92

современному направлении, свести не геометрию к арифметике, а ариф-

метику к геометрии

§2.

Понятия об отношении чисел у Евклида нет, но есть понятие об отно-

шении величии.

Опред. 3 - 5-й книги.

Отношение есть взаимная некая зависимость двух однородных ве-

личин по их количеству (пер. Петрушевского).

Понятие же о пропорциональности имеется как для величин, так и

для чисел.

Для величин: опред. 6 5-й книги

Пропорциональными называются величины, имеющие то же отно-

шение.

Для чисел: опр. 20 7-й книги.

Числа пропорциональны, если первое второго и третье четвертого

7-я книга проводится независимо

от 5-й, так что не будучи в си-

лах охватить эти два понятия пропорциональности чисел и пропорциональ-

ности величин в одном общем их объемлющем понятии пропорциональ-

ности вообще, конечно, в слитной форме у него имевшейся, Евклид дает

эти понятия раздельно, так что общим у них остается только название.

Определение отношения величии, как и определения точки и пря-

мой в первой книге, остается у Евклида мертвым, логически не действую-

щим.

Рабочим определением является определение 5-е 5-й книги, опре-

деление тождественности отношений. "Величины, говорится, суть

том

же отношении, первая ко второй и третья к четвертой, когда равнократные

первой величины и третьей, и равнократные второй величины и четвер-

той,

взятые по какому-либо кратствованию, суть таковы, что попеременно

каждая каждой, или купно равны, или купно больше, или купно меньше".

На алгебраическом языке

а:

с:

если при всяких целых числах m, п таких, что

ma)nb также mc)nd

ma (nb также mc(nd

ma = nb также mc = nd

Что такое отношение - Евклид определяет'. Но тогда следует счи-

тать известным и то, что представляет тождественность, или одинаковость

отношений.

составляет то же кратное или ту же долю l

—

I или ту же дробь

193

Положение здесь то же, что с прямыми углами и площадями, ра-

венства которых Евклид не определяет, но дает аксиомой 8-й 1-й книги

признак равенства.

В духе самого Евклида следовало бы признать определение 5-е не

определением, а аксиомой.

То же самое относится и к определению большего и меньшего от-

ношения (опред. 5-й книги), выражаемого в алгебраической символике так:

а: b>c:d

если для некоторых целых га, п:

ma > nb

тс < nd

История создания "Начал" Евклида для нас, собственно говоря,

закрытая книга. Тем не менее, молено иногда, так сказать, ощупать психо-

логию некоторых явлений, относящихся к "Началам".

Что произошло бы, если бы 5-е определение было объявлено акси-

омой? Пришлось бы ее помещать в начале 1-й книги, пришлось бы попол-

нять систему определений этой книги и без того очень длинную, и идти

против ясно выраженной тенденции помещать в начале книги только ми-

нимум определений и, вместе с тем, в силу методических затруднений -

невозможности читателем обнять памятью всю этут таблицу - быть вы-

нуяеденным опять повторять эти определения в начале 5-й книги.

Да и сама та аксиома обладала бы степенью очевидности еще мень-

шей,

чем 11—я 1-й книги*. Автор, можно сказать, инстинктивно сделал то,

что современные математики делают уже вполне сознательно: возвел не

очевидную истину в определение, объявив: "называется А то, чему прису-

щи свойства а, Ь,

с...",

между тем, как до тех пор называлось А то, чему

были присущи свойства а', Ь',

с'...,

и из наличности а', Ь',

с'...,

уже извлека-

лась наличность а, Ь, с... или интуицией, или выводом, не укладывавшим-

ся в строго логичную форму.

§ 3. Определение 5-е пускается в ход в теореме 4-й, а затем только

в 7-й. 1, 2, 3, 5, б.

Теоремы выводятся независимо от него и относятся к

свойствам равнократных.

Доказанные на основании опр. 5-го свойства пропорций распола-

гаются в табличку:

I) a:b = c:d->ma:nb = mc:nd теор. 4

II) а = Ь<н>а:с = Ь:с тсор, 7,9

III) a|b<-»a:c|b:c теор. 8,10

IV)

ab:

c:d;c:d

e:f->n:b

= e:f теор. 11

V) a:b = c:d<-»a:b = c:d = (a+c):(b + d) теор. 12

194

VI) a:b = c:d;c:d>e:f->a:b>e:f теор. 13

VII) a:b = c:d;a^c-»b^d теор. 14

VIII) a:b = na:nb теор. 15

IX) a:b = c:d-»a;c = b:d теор. 16

X) a:b = d:e b:c = e:f ->a:c = d:f теор. 22

Xt) a:b = e:f b:c=d:e->a:c = d:f теор. 23"

Приводим для ознакомления с характером доказательств 5-й кни-

ги доказательство 11-го предложения (т.е. IV свойства).

Берутся равнократные'

а,с,е-а,с,е (т.е.ma,mc,те)

b,d,f-b,d,f (T.e.nb,nd,nf)

Так как а

b = с : d, то, согласно 5-му определению, если а4Ь, то

Далее в силу того, что с: d = е: f , то по тому же определению, если

с|сТ,то e|f,

откуда извлекаем, что при a|b, и e|f

и согласно определению 5-му, что

a:b = e:f.

Приводим также доказательство положения 16 (1Х-го свойства).

Взяв равнократные

a,b а,Ь(т.е.та,тЬ)

c,d

c,d(T.e.nc,nd)

мы имеем по свойству (VIII)

а:

a: b=c:d

откуда по свойству (IV)

c;d = a:b.

Но,

так как с: d = с: d, то u: b = с: d откуда в силу (VII св.) при а ^ с

также b**d. что согласно 5-му определению, дает;

a:c = b:d.

195

Эта теорема о перемене отношений может иметь смысл только в

случае однородности всех четырех величин

(а,

Ь, с, d).

Если взглянуть дальше в 6-ю книгу, то ясно представится, что Ев-

клид признает пропорциональность только между величинами одного рода,

а равенство отношений также между разнородными величинами. 1-е пред-

ложение 6-й книги формулируется так; "Два треугольника или два парал-

лелограмма имеющие ту же высоту относятся, как основания. Но во 2-м

предложении мы имеем на сторонах треугольника, пересекаемого парал-

лельно основанию, пропорциональные отрезки, то же в 3-й теореме, где

мы имеем четыре пропорциональные величины; стороны треугольника и

отрезки, отсекаемые на третьей стороне биссектрисой. В 33-й теореме

имеем равенство отношений углов и соответственных дуг. Следует думать,

что в дальнейшем понятие пропорциональности подверглось обобщению.

Неоднородные величины (а, Ь, с, d) стали называть пропорциональными,

если

a:b = c:d,

например, углы и соответствующие дуги.

Известны две версии 8-го определения 5-й книги

Пропорция - тождество отношений.

Пропорция - подобие отношений.

Первое - отвечает случаю однородности пар (а, Ь) (с, d), второе -

неоднородности.

В определении 6-м пропорциональных величин, как имеющих рав-

ное отношение, вне сомнения недостает условия однородности.

В седьмой книге для чисел доказывается свойство IV (теор. 5,6,7,

8, 11), причем отдельно исследуются случаи доли и дроби, затем свойство

IX (теор. 9, 10, 1.3) и свойство XI (т. 22).

Я выше сказал, что 7-я книга проводится независимо от 5-й. На

это можно было бы возразить ссылкой на доказательство положения 19-го

7-й книги.

Если a:b=c:d, то ad=bc и обратно. Доказательство первой части ве-

дется следующим образом. Положим ad=e,

bc=f,

ac=g.

Тогда согласно доказанному в 7-й книге независимо от 5-й:

g:e=c:d

a;b=g;f,

Но согласно условию a:b=c;d, поэтому

g;e=g;f,

откуда e=f.

В издании Лоренца

здесь стоит ссылка на теоремы 11 и 9 первой

книги, устанавливающие свойства II и IV пропорций, которой в переводе

Петрушевского не имеется. Если сам Евклид имел в виду эти ссылки, т.е.

применение результатов теории пропорции 5-й книги к числам в 7-й, счи-

тая числа входящими в класс величин 5-й книги, то является в высокой

196

степени странным, почему ему тогда понадобилось выводить другие свой-

ства чисел, которые можно было бы получить из той же 5-й книги.

Верней всего, что Евклидом применялась здесь скрытая арифме-

тическая аксиома (этого рода аксиомы все находились под порогом созна-

ния).

1) Если а составляет ту же часть Ь, что с - d, а с ту же часть d, что

е - f, то а составляет ту же часть Ь, что е - f.

2) Если g составляет ту же часть е, что и f, то е и f равны.

§ 4. В противоположность математикам XVII века, Клавий" (известный

комментатор Евклида XVI в.) больше всего говорит не о 5-м, а 4-м опре-

делении 5-й книги "Начал". "Величины называются имеющими отноше-

ние одна

другой, кои, будучи взяты кратно, могут быть больше одна дру-

гой".

Определение же 3 излагается пространнее с пояснением примера-

ми понятия однородности: "Когда две величины одного рода, как два чис-

ла,

две линии, две поверхности и два тела и т.д. между собой сравнивают-

ся относительно количества, т.е. того, что одно больше или меньше, или

равно другому, то называется это сравнение или взаимная зависимость -

отношением (Ratio sive proportio).

Определение 4-е представляет загадку более трудную.

Едва ли можно считать это другим определением того же, что дает-

ся уже 3-м определением.

Как и в других случаях, скорее всего здесь за определением рода

следует определение вида.

Отношение одной величины к другой (опр. 4) - вид. Отношение

(опр.

3) - род.

Какое отличие между этими двумя отношениями? Если в том, что

первое есть отношение не вообще однородных величин, а однородных ве-

личин специального типа, причем такого, который определяется свойством:

кои,

будучи взяты кратно, могут быть больше одна другой, то гшидется

признать, что Евклид ясно сознавал постулат Архимеда

и возможность

величин, ему неудовлетворяющих. Между тем везде и в 5-й, и в 6-й, и в

10-й книгах он привходит неявно, в виде скрытой аксиомы, которых было

очень много под порогом сознания Евклида.

Ващенко-Захарченко'

основательно думает, что свойство, отме-

чаемое определением 4-м, приписывалось Евклидом всем однородным ве-

личинам, но едва ли единственное назначение определения 4-го - это рез-

че подчеркнуть то, что уже упомянуто в предшествующем определении, а

именно, однородность величин. Следует еще отметить, что перевод М. Е.

Ващенко-Захарченко... "если меньшую из них можно повторить столько

раз,

чтобы результат был равен или больше большей" нечто весьма отлич-

ное от того, что стоит у Петрушевского или Лоренца:

197

"Ein Verhaltniss zu einaner haben Grossen welche vervielfaltigt

einander iibertreffen konnen"

. В алгебраической символике, по Ващенко-

Захарченко, утверждается существование целого m такого, что

шА>В (т-1)А<В

по Петрушевскому и Лоренцу для данного целого п - такое целое

in,

что

mA>riB (m-l)A<nB

При таком понимании, естественным является предположение, что

"отношение

4—го

определения" относится к таким же величинам, что "от-

ношение 3-го определения". Сравнение количеств двух величин самого

общего характера дает нам уже отношение. Таковым является отношение,

дающееся элементарным сравнением, выражаемым словами больше или

меньше.

А>В

В<А.

Таким также является отношение, которое представляет результат

того уже более определенного сравнения, который мы в наше время выра-

жаем числом. Это сравнение разбивается на бесконечное число сравнений

элементарного типа, относящихся не только к самим А и В, но и их крат-

ным,

в алгебраической символике, к определению для всех п таких т, что

mASinB (m-l)A<nB

Можно сказать

так:

как только для всех п мы будем мыслить такие

ш, что niA > nB, (m - 1) А < пВ мы получим не отношение, вообще, а отно-

шение А:В.

Совершенно иначе разъясняет эту загадку Клавий.

По Клавию, что такое отношение, вполне разъясняется третьим

определением. За этим определением ставится вопрос: все ли однородные

величины имеют отношение?

В определении 4-м - Клавий видит отрицательный ответ.

Род величин он разбивает на два вида - находящиеся и не находя-

щиеся между собой в отношении.

Первые это те, которые удовлетворяют постулату Архимеда, како-

вы прямолинейные отрезки, площади, объемы, прямолинейные углы. Вто-

рые это те, которым присуще прекрасное свойство, состоящее в том, что

прибавление к а-а, а... не дает возможности превзойти Ь.

Такими величинами, по мнению Клавия, является угол касания",

образуемый двумя касающимися кругами, и прямолинейный угол. Присо-

единение к углу касания других ему равных углов касания никогда не мо-

жет, якобы на основании 16 теор. Ш книги дать прямолинейный угол или

угол больший его.

198

"Неправильно, замечает Клавий, думают те, которые под выраже-

нием "величина одного рода" в евклидовом определении разумеют те, ко-

торые заключаются в одном ближайшем роде (sub eodem genere proximo

sive infimo), так как для углов касания и прямолинейного угла таким genus

proximus

* является угол".

§ 5. Комментаторы Евклида XVI века не критикуют, а разъясняют

Евклида; высказываемое ими мнение выдается или за мнение Евклида,

или за мнение, согласное с его взглядами.

В XVII веке выступает Euclides resliuitus'

. Евклида не только ком-

ментируют, его исправляют. Пополняют систему аксиом, исправляют оп-

ределения, меняют части всей логической постройки и делают попытки

полной ее перестройки.

Арце

, Озанам

, Такэ

, Борелли

, Саккери

, Арно - вот ряд

ступеней все более и более существенных перестроек "Начал". Борелли

обращает особенное внимание на 5-ю книгу. Имя его связано с историей

теории параллельных ввиду очевидного влияния его на Саккери. Но сам

он здесь находится еще в большей зависимости от Клавия, и вероятно, и от

своих современников.

В его Euclides restitutus интереснее и оригинальнее всего исправ-

ленная 5-я книга Евклида.

Он резко критикует 5-е определение 5-й книги.

Всякое научное определение должно ясно излолсить природу опре-

деляемой вещи через свойство возможное, истинное, первое и известней-

шее, которым определяется вещь

отличается от какого-либо другого объек-

та.

Свойство же, излагаемое в евклидовом определении таково, что "нельзя

узнать,

дается ли оно в действительности, так как мы не можем опреде-

лить дается ли это бесконечное число равнократных единовременно боль-

ших или единовременно меньших остальных, так что не знаем, верно ли

оно...".

В определении же отношения и пропорции он видит неопределен-

ность и неясность, он подчеркивает неопределенное "quidam"

в опреде-

лении отношения, указывая на возможность не одного, захватываемого

определением, а многих взаимных зависимостей и то, что здесь дело идет

о специального типа зависимости и равным образом в определении про-

порциональности имеется в виду подобие определенного частного типа.

Интересна критика Борелли, относящаяся к, так сказать, презюдевремен-

ной арифметизации теории пропорций, сводящей определение пропорцио-

нальности

равенству показателей отношений (denominatores proportionis),

получаемых делением'*? на

и с на d.

Говоря в своей критике о числах, Борелли разумеет под иррацио-

нальными числами только корни из рациональных чисел.

Невозможность представления всякого показателя отношения та-

ким числом приводит его к заключению, что неверно, что всякое ирраци-

ональное отношение можно считать числовым.

199

Пропорции чисел и геометрических величин у него включаются в

пропорции величин вообще, к которым и относится исправленная 5-я кни-

га "Начал".

Соизмеримая пропорциональность, т.е. пропорциональность двух

пар соизмеримых величин (а, Ь) (с, d) им определяется так, гак Евклид

определяет в 7-й книге пропорциональность чисел

Соединительным звеном между соизмеримой и несоизмеримой

пропорциональностью является определение неравенства отношений:

a:b«*c;d,

где а, Ь несоизмеримы, а с и d соизмеримы.

В алгебраической символике это определение выражается так:

если с :

d=in

: и, где m и п целые числа.

Словесная формулировка: отношение а к b больше, чем с к d, если

а больше той части Ь, какую составляет с от d.

Дальше идет определение а: b

d в случае несоизмеримости а и

Ь,

с и d с помощью вспомогательного соизмеримого отношения е : f

а : b > с

если при а : b > е : f имеем с : d < е : f.

Наконец, пропорциональность определяется тагам образом:

a:bHe>c:dHHe<c:d

согласно указанным выше определениям.

§ 6. Критику Борелли интересно сравнить с критикой Такэ

, который ста-

новится на другую точку зрения. Борелли, выступая против определения,

основанного на операциях над бесконечным классом, собственно говоря,

старается исправить Евклида в духе самого Евклида, признающего только

то,

что может быть в действительности получено построением. Такэ же

старается исправить Евклида так, чтобы он согласовался с логическими

идеями того времени, так ярко позже очерченными в пор-роялевской логи-

ке

По мнению Такэ, учение Евклида встречает следующие затрудне-

ния.

1) Его определение равенства отношений (т.е. 5-е определение) и

зависящее от него определение пропорции (б-е), дает не сущность про-

порции, а только один из его признаков.

2) То, что доказывает дальше Евклид относительно пропорций,

опираясь на свое определение, не может быть без доказательства (т.е. без

доказательства, что указанное им свойство действительно присуще равен-

ству отношений) распространено на абсолютное равенство отношений,

т.е. то истинное равенство отношений, идея которого предваряет всякое

математичекое исследование.

200

По мнению Такэ, "одно сказать, что отношение площадей треу-

гольников с равыми высотами АБС и DEF равно отношению оснований

АС и DF и другое - сказать, что для всяких m, п для которых

m ABC I nDCF,

также

m AC | nDF,

и незаконно утверждать, что, если второе доказано, то доказано и первое,

без особого оправдания евклидова определения пропорции". Определение

же самого Такэ равенства отношений оказывается столь же мертвым, как

определение отношения Евклида.

"Два отношения (а к b и с к d) подобны или равны, когда предыду-

щее а равно (aeque) или также (т.е. не больше и не меньше) содержит свое

последующее Ь, как предыдущее с содержит последующее d, или короче,

сколько b содержится в д, столько dec". Входящее сюда понятие "содер-

жанния" Такэ разъясняет для случая рациональнных отношений, а для

иррациональных он не дает разъяснения, считая это само собой понят-

ным:

"Если пропорция иррациональная, то эта вещь не может и не доллша

разъясняться".

Так как из своего мертвого определения Такэ ничего не может из-

влечь, то к этому определению приходится приклеить аксиому, которую

Дешаль

возвел в определение, заменяющее евклидово.

"Отношения (я к b и с к d) р авны, если последующие (т.е. b и d) и

их подобные части (paries aliquotae), каковы бы они ни были, равное чис-

ло раз содержатся в предыдущих (т.е. а и с)".

В алгебраической символике это истолковывается следующим об-

разом:

b = с

если,

обозначая через

,d,),(b

)....(b

)....

такие величины, что

b =

m j b j

d^nijdj

где m. целые числа, и в то же время

a = n

c = Pjdj+Cj (*)

где

<bj c

n p. целые числа, то

п.=р.я.

Что касается до системы положений теории пропорций, то сред-

ством ее упрощения у Таю является обычный в XVIII веке способ обраще-

ния доказывавшихся раньше положений в очевидные истины.

201