Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

ным разделением двух сначала совместных объектов А и В посредством В,

и воссоединением посредством А

Гербартово пространство тщетно пытается выкарабкаться из смут-

ной интуиции в области чисто логических понятий, является совершенно

немощным для логической дедукции.

Конечно, не может быть никакой речи о геометрии такого умопос-

тигаемого гербартовского пространства.

Но это математическое нежизненное пространство является мате-

рью грассмановского протяжения, уже поддающегося некоторой матема-

тической обработке и, в свою очередь, вызвавшего математическое изуче-

ние "самого общего" пространственного многообразия, объемлющего про-

странства Евклида и Лобачевского, как частные виды (в работах Гельм-

гольца, Римана, Софуса Ли)

2,!

У Гербарта только одно пространство логически возможно, чуждо

противоречий, оно и должно совпадать с постулируемым им реальным про-

странством. Но около пространства Лобачевского скоро родятся и другие

пространства, преясде всего римановское, в котором устранена 12-я евкли-

дова аксиома, что две прямые не могут заключать пространство, а затем и

другие, так называемые патологические пространства. Все эти простран-

ства предъявляют право на свое транссубъективное существование, но все

эти пространства обязаны доказать свое право не на реальное, а на чисто

логическое существование.

Доказательство даже нескольких сот положений R,, R,, R

... R

из

системы постулатов:

Р Р Р . Р

Г V i л

без встречи на своем пути логических противоречий еще не гарантируют

от таких противоречий в дальнейшем, еще не доказывает совместности

этих постулатов.

5. Вот мы видим, как наша по существу метафизическая, или космоло-

гическая проблема, превращается в чисто логическую проблему об оправ-

дании той или иной системы геометрии. От познания тех форм, в которых

содержится вселенная, мы обращаемся к тем формам, которыми мыслит

наш разум, В истории человеческого разума это момент наибольшего са-

моуглубления. Разум направляет свой взор не туда, вверх, в блестящие

мириадами солнц пространства, а в темную бездну души и зараз постигает

и свою силу и свою слабость. С одной стороны, он видит, что те схемы, в

которых развертывается его построение, более однообразны, чем это рань-

ше казалось, что в одни и те лее схемы вкладываются совершенно различ-

ные объекты, но, с другой стороны, разум может, экономизируя свой труд,

мыслить сразу о совершенно различных вещах, прилагая эти схемы к аб-

страктным понятиям, совершенно отвлекаясь от пространственных пред-

ставлений, более того, разум может мыслить и о смутных понятиях и даже

о противоречиях.

172

Ибо теперь определенно осознано, что не все признаки вещей яв-

ляются логически действующими, что все те, которые не затрагиваются

формально-логическим аппаратом, могут быть и смутны и противоречи-

вы.

Эти мысли нас естественно возвращают к вере в разум, который

может мыслить и о таких вещах, о которых раньше отказывались мыслить,

считая контуры их слишком смутными.

Проблема доказательства логической возможности системы гео-

метрии решается с помощью логических эквивалентов, т.е. таких объек-

тов А, В, С, которые обладают логически действующими признаками, удов-

летворяющими тем же постулатам, что объекты нашей системы А, В, С.

Но они могут содержать много признаков и чуждых А, В, С,- но

только обязательно логически ие действующих. Если А, В, С, принадле-

жат такой области (например, евклидову пространству), где мы отвергаем

возможность противоречия, то система геометрии тоже не может содер-

жать противоречия.

Путь, избранный Бельтрами

(ограничиваясь только плоской гео-

метрией), был следующий: за эквиваленты прямых геометрии Лобачевс-

кого были приняты геодезические линии на некоторой поверхности (псев-

досфере), эти геодезические линии определяются двумя точками, могут быть

безгранично продолжены и т.д. Через данную точку проходит бесконечное

множество прямых, не пересекающих данную геодезическую линию и зак-

люченных между двумя такими геодезическими линиями.

К сожалению, задача не была вполне решена.

Бельтрами было доказано, что геометрия псевдосферы только в не-

которой конечной области совпадает с геометрией Лобачевского.

Другие эквиваленты, указываемые Клейном

" и Пуанкарэ

, более

успешно привели к цели.

§6.

Основная проблема аксиоматики

—

доказательство совместимости и

несовместимости аксиом, - сперва, это средство чтобы оправдать систему

геометрии, установить, правда, недействительность, а только ее возмож-

ность. Теперь средство обращается в цель: аксиоматика приобретает пра-

во на вполне самостоятельное и независимое существование.

Математик! интересуют не только звенья логической сети, но и сама

логическая сеть, ставится проблема не только доказать положение, но до-

казать определенным образом, исходя из определенной группы постула-

тов.

Такова Гильбертова проблема о знаменитой теореме Дезарга

: в

двух треугольниках ABC и А,, В С, соответствующие вершины которых

(А, А,,) (В, В,,) (С, С,,) лежат на прямых а,

Ь,

с, сходящихся в одной точке

173

О, соответствующие стороны (a, a,,) (b, Ь,,) (с, с,,) пересекаются в точках

А, В, С, лежащих на одной прямой О и обратная теорема.

Эта теорема вместе с плоскостными зрительными аксиомами пред-

ставляет основание зрительной плоской геометрии, иначе геометрии поло-

жения.

Доказательство ее фузионистическое, для чего приходится пользо-

ваться стереометрическими зрительными аксиомами. Но есть ли в этом

необходимость? Молено ли эту планиметрическую теорему вывести только

из плоских зрительных аксиом?

Вот аксиоматическая проблема, которая ставится Гильбертом - ти-

пичная задача современной аксиоматики, для которой он получает отрица-

тельное решение, подбирая очень остроумно логические эквиваленты пря-

мых точек.

Задача Гильберта - типичная задача современной аксиоматики.

Логические эквиваленты для объектов геометрии Лобачевского

ищут в евклидовом пространстве; эквиваленты объектов евклидова про-

странства - арифметические.

Для оправдания арифметики эквиваленты следовало бы искать в

чисто логической сфере.

§ 7. Я не буду говорить о том, как далеко пошли в этом направлении, но я

намечу другого рода проблемы, которые еще никем ие решались, но кото-

рые, вне сомнения, явятся проблемами будущего и при этом, прибавлю,

недалекого будущего.

Прежде всего, выдвигается проблема об апагогических доказатель-

ствах. Всякое апагогическое доказательство предлагает приложение зако-

на исключенного третьего: может быть А или не-А и ничего третьего.

Предполагается, что имеет место не-А и отсюда выводится абсурд - отри-

цание верного положения С - не-С. Таким образом, в начале доказатель-

ства утверждается альтернатива: А или не-А.

Обратно, если в начале или в самом ходе доказательств прилагает-

ся закон исключенного третьего, то или доказательство ведется от против-

ного,

или последнее содержится в доказательстве, как составная часть. В

самом деле, приложение его предполагает

начале или в ходе доказательств

альтернативу В или не-В и снятие одного числа альтернативы путем дока-

зательств его невозможности. Если снимаете В, то В приводится к С, к

отрицанию заведомо верного положения, то молено сказать, что положение

В доказывается апагогически. Если снимаете не-В, то имеем опять апаго-

гическое доказательство в замаскированном виде. Заменяя В через не-В,

получаем его в явной форме, не-В доказывается приведением не-(не-В) к

не-С (абсурду)

Аксиоматическая задача о том, можно ли привести доказательство

какого-либо положения А исключительно прямым путем, сводится к зада-

J74

че о выводимости А из данной системы постулатов с помощью только двух

законов формальной логики: закона тождества и закона противоречия (без

закона исключенного третьего).

Эта аксиоматическая проблема представляется частным случаем

следующей более общей.

Все постулаты разделяются на три группы:

(А):

А,, А,, А,, А

(В):В„В„Вз,В

(С):

С„С

, С

, С„

Спрашивается, возможно ли вывести теорему Н только из группы

(А) и (В), причем к группе (А) прилагается, а к (В) не прилагается закона

исключенного третьего.

§8.

Выпрямление евклидовых доказательств достигается только

путем введения новых аксиом, относящихся к бесконечности

Логическая сеть, образованная косвенными доказательствами, бо-

гаче сети, образованной прямыми, если в основе той и другой лежат те же

математические постулаты, ибо косвенные доказательства вводят логи-

ческую аксиому исключенного третьего и для обогащения второй требует-

ся вначале этой сети поставить один из новых математических постулатов.

Современная математика движется, главным образом, апагогичес-

кими доказательствами

'', но она упорно остается при наследии прошлого

- вере в возможность хотя бы не прямых доказательств всякого истинного

положения. Стараясь выпутаться из затруднений, она присоединяет к бес-

спорно очевидным послулатам другие, уже сомнительной степени очевид-

ности, уменьшая и даже уничтожая убеждающую силу доказательств, сво-

дя последнее к логическому выводу более сложных положений из более

простых, но уже не очевидных.

Так, Гильберт в своих "Основаниях Геометрии", стараясь дать стро-

го формально-логическое построение геометрии отказывается от евклидо-

вых доказательств методом пололсення первого случая конгруэнтности тре-

угольников, возводя это положение в постулат

Неравенство в степени очевидности различных очевидных поло-

жений - это психологический факт, который был вначале определенно под-

черкнут рационалистами и с которым следует считаться.

Положим, что некоторое положение II выводится из постулатов А,

В,

С, D, Е, но не выводится из укороченной системы В, С, D, Е. Эти посту-

латы различной степени очевидности, пусть А - то, которое имеет наи-

меньшую степень очевидности.

Измените единовременно в разных отношениях степени очевид-

ности всех постулатов, и очевидность А окажется под порогом сознания,

Н окажется уже не выводимым из очевидной аксиомы, мы получаем не-

доказуемое, но во всяком, случае истинное, положение. Чисто психоло-

175

гический признак очевидности вряд ли связан с чисто логическими свой-

ствами сети, образуемой положениями.

Психологическая гипотеза, что то конечное число положений, из

которых выводятся логически все остальные, принадлежит к очевидным,

маловероятна.

Недоказуемость некоторых положений теории чисел, за правиль-

ность которых довольно красноречиво говорят факты, находит свое объяс-

нение не в слабости нашего ума, а в том, что те положения, на которых

стараются обосновать доказательства, всегда выбираемые с признаком

очевидности (ибо иначе невозможно было бы убедить), каковыми явля-

ются положения, лежащие в основе арифметики, недостаточны для это-

го.

Задача о выводе из очевидных постулатов теоремы Р является так-

же неразрешимой, как ее вывод из некоторой другой группы постулатов

Приводимый Гильбертом взгляд на разрешимость в положитель-

ном или отрицательном смысле всякой поставленной математиками про-

блемы, следует признать неправильным.

Не две только возможности: знаменитое уравнение Ферма имеет

еще неизвестные для нас решения или существует доказательство отсут-

ствия таких решений, но еще и третья: невозможность и решения этого

уравнения и доказательства этой невозможности.

Проблема о логическом обосновании положения должна ставить-

ся не так; доказать это положение, понимая под этим вывод его из оче-

видных положений, а так: определить, может ли данное положение быть

доказано, т.е. выведено из очевидных положений, если это возможно,

найти этот вывод

. Совершенно таким же образом задача о решении урав-

нения 5-й степени должна ставиться не так: решить уравнение, а так:

может или данное уравнение разрешиться в радикалах и, если может, то

найти выражение для корня; или задача об интегрировании в конечном

виде должна ставиться не так: найти данный интеграл, а так: может ли

данный интеграл выразиться в конечном виде с помощью элементарных

трансцендентных и, если может, найти для него выражение

Аксиоматика" воспитывает человеческий ум в критическом от-

ношении к проблемам

Лобачевский является величайшим революционером в области аб-

страктных наук, хотя он и не вполне сознавал, в чем состоял революци-

онный характер его начинаний.

Революция Эйнштейна по внешности крупней, она охватывает

большие области знания, но первый толчок был более глубокий - он при-

надлежит Лобачевскому, и Эйнштейн только продолжает дело Лобачевс-

кого.

J 76

Но,

зная судьбу революции Лобачевского, можно предсказать й

судьбу революции Эйнштейна, которая, впрочем, в последние годы начи-

нает вырисовываться.

У нас осталась евклидова геометрия как геометрия здравого смыс-

ла.

Ни Лобачевский, ни Эйнштейн не дали новое решение старой пробле-

мы,

старые решения остались правильными, но они поставили новые про-

блемы, открыв пути к их разрешению, - они не разрушили старых зда-

ний,

но положили основу для новых, еще более прекрасных

ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА О ПРОСТРАНСТВЕ.

Учение о формах и наглядная геометрия.

Следует выдвинуть как основной методический вопрос - вопрос о харак-

тере школьной геометрии и при этом остерегаться одностороннего реше-

ния,

Я считаю ошибкой требовать осуществления в школе во всей чистоте

одного из трех типов, о которых я собираюсь говорить. В школьную гео-

метрию должны войти элементы из каждого из них и при этом в дозах,

определяемых возрастом учащегося.

Первый тип - это наука о пространственных формах

На вопрос, что изучает геометрия, с этой точки зрения следует ска-

зать:

треугольники, четырехугольники, круг, цилиндр, конус, сферу и т.д.

Эту геометрию можно уподобить ботанике или зоологии. В основе

ее лежат некоторые простейшие истины, относящиеся к геометрическим

фигурам и телам; из этих истин она извлекает следствие уже дедуктивным

методом.

Конечно, эта геометрия всегда будет представлять основную часть

школьной геометрии, в особенности на низших ее ступенях. Геометрия,

раньше чем сделаться логической, должна быть опытной или наглядной

Понятно, учение о формах и наглядная геометрия - понятия, кото-

рые не вполне совпадают. Но, вне сомнения, они теснейшим образом меж-

ду собой связаны. Наглядная геометрия, конечно, будет говорить не о свой-

ствах пространства, а лишь о фигурах и телах, и, с другой стороны, гео-

метрия с таким разрозненным содержанием, естественно, идет по пути

естествознания и не отрывается от опыта.

Но приемлем ли взгляд, согласно которому наглядная геометрия

является только примитивной формой геометрии, что логическая геомет-

рия,

как форма более совершенная, устраняет ее? Я думаю, что это невер-

но.

Наглядная геометрия ставит определенную цель, восполнить дан-

ную конфигурацию пли так ее преобразовать, что в полученной новой кон-

фигурации возможно ярко и убедительно увидеть некоторые геометричес-

кие свойства.

Конечно, если бы математика стала доказывать все истины, исхо-

дя из очевидных аксиом, то за такой наукой действительно оставалось бы

лишь методическое и эвристическое значение. Но разве можно поручить-

ся,

что это так, что таких очевидных истин достаточно, чтобы доказать,

пользуясь только ими, ее истинные геометрические положения? Но если их

недостаточно, то области логической и наглядной геометрии только час-

тично друг на друга накладываются.

178

Существуют положения, в которых мы убеждаемся лишь с помо-

щью интуитивного характера операций.

§ 2. Учение о пространстве и рационалистическая гео-

метрия.

Вторым типом геометрии я выдвигаю учение о пространстве

. Такая гео-

метрия может быть уподоблена разве только общей биологии, исследую-

щей,

что такое жизнь. Здесь уже совсем определенно должно выступить

требование дедуктивности вывода. Признаем ли мы аксиомы за простые

очевидные истины или будем считать их за результат индукции? Мы вна-

чале, как Евклид

, должны все их собрать и выводить из них как следствие

другие свойства силлогистически.

Правда, мы будем проходить через те теоремы, которые находим в

наглядной геометрии, относящиеся к треугольнику и т.д., но фокус внима-

ния будет не в них, а в том, что характеризует пространство: в общих пре-

образованиях, в инвариантах этих преобразований и т.д.

В качестве аксиом будут выдвигаться не случайные положения, а

только те, которые выражают основную структуру пространства.

Возмолсна ли такая геометрия в школе? Частично ие только воз-

можна, но и должна быть.

Во всяком случае этой точкой зрения должен определяться в неко-

торой мере подход к аксиомам, которые в начале обучения могут большей

частью оставаться в скрытом состоянии, но затем должны быть выявлены.

Аксиомы не должны выбираться по степени их очевидности или

по большей легкости опытной проверки, но, с другой стороны, к ним в

школе не должны предъявляться требования, которые ставятся формаль-

но-логической геометрией.

Можно сказать, что совершенно так

лее,

как учение о формах обле-

кается в наглядную геометрию, учение о пространстве становится рацио-

налистической геометрией

Рационалистическая геометрия настолько же логична, как филосо-

фия рационалистов Декарта

и Спинозы

. Облечение таких выводов в сим-

волическую форму математической логики является совершенно невозмож-

ным.

Чисто формально-логического аппарата в ней нет. Оперируют они с

не вполне ясными понятиями. Признаки вещей, о которых в них говорит-

ся,

не выявлены в их определениях полностью. Они выступают уже в ходе

самого рассуждения, и положения, к ним относящиеся, вовсе не всегда

выводятся силлогистически из определенных, наперед высказанных по-

стулатов. Они в ходе рассуждения выступают или с достаточной очевидно-

стью,

или с такой степенью ее, которая повышается с помощью особых

приемов, состоящих, главным образом, в пояснении признаков, к которым

они относятся.

J 79

Как на примеры таких философско-геометрических рассуждений,

можно указать на рассуждения Рассела

в его "Основаниях геометрии"

или Дельбефа

, о которых ниже будем говорить.

Имеет ли научное значение такая рационалистическая геометрия?

Не должна ли ее совершенно вытеснить та, которая старается осуществить

чистоту своих логических выводов, вовсе ие стараясь начинать с общих

характерных свойств пространства, а просто стараясь убедить в геометри-

ческих истинах, путем формально-логических выводов из возмолено мень-

шего числа специальных и мало характерных неочевидных положений?

Рационалистическая геометрия дает ответы на вопрос "почему", решает ту

проблему, которую не берется решать формально-логическая геометрия,

которая пока еще не превратилась в гипотетическую, а только старается

убедить, что это так.

В истории геометрического учебника мы находим жаркие споры о

доказательствах: "почему это так" и "это так", о неестественных и есте-

ственных доказательствах

. Конечно, неформально-логическая геометрия

стремится к выявлению причин, т.е. к построению естественных доказа-

тельств, но которые не могут оказаться в смысле формально-логической

геометрии безупречными.

§3.

Формально-логическая и гипотетическая геометрия.

Третья геометрия - это гипотетически-формальная

'. Ее формула: "если,

то потому".

Очевидностью аксиом она не заинтересована, она исследует не

формы и не пространство, а логическую схему, в которую укладываются

пространственные положения. Она интересуется не тем, что доказывается,

а тем, как доказывается. Она заинтересована не узлами логической сети, а

самой этой сетью.

К такой геометрии склоняется всякая геометрия, старающаяся вы-

держать логическую строгость и чистоту формально-логических построе-

ний.

Было бы неправильно совершенно отвергать эту точку зрения в школь-

ной геометрии. По мере роста геометрического образования учащегося, он

должен все глубже проникать в конструкцию доказательств, все яснее пред-

ставлять себе эту логическую сеть. На общую методическую задачу о сте-

пени проникновения школьной геометрии этой точки зрения составляю-

щий учебник должен обратить внимание.

Я уже выше отметил, что эта третья геометрия, даже как научная

геометрия, не единственна. Но

должен отметить, что формально-гипоте-

тическая геометрия не во всей чистоте является такой. Она должна совер-

шенно освободиться от тех целей, которые ставятся геометрией, изучаю-

щей формы, или геометрией, изучающей пространства.

180

Очевидные положения Р, Q, R... не должны иметь с ее точки зрения

больше цены, чем неочевидные, из них извлекаемые. Задачи о логической

сети не будут вполне исследованы, если мы будем знать пути, ведущие от Р,

Q, R... кР', Q', К'..., но не будем знать путей, ведущих обратно отР',

Q',R'...

к Р, Q, R. Мы должны указать не только наименьшее число из Р, Q, R...,

достаточное для построения системы геометрии, но также и наименьшее

число из Р', Q', R', пригодное для этой цели.

Но и в том случае, если после такого исследования, относящегося к

Р, Q, R..., мы провели бы его в отношении к Р', Q', R'... мы, все-таки, не

освободились бы от зависимости от очевидных положений, логическая сеть

оказалась бы действительно исследованной во всех направлениях, но толь-

ко такая, которая прикреплена кР, Q, R...

Мы можем мыслить ие только Р' Q',

R'....

получаемые из очевид-

ных положений Р, Q, R..., но и Р', Q',

R'...,

не получаемые из них и, конечно,

начиная с них сеть, мы получаем иное.

Но откуда мы должны выбирать такие положения:

P',Q',R'

P",Q",R"..V

Конечно, из тех, которые выводятся из Р, Q, R..,

Нам ничего не остается, кроме интуиции. Мы приходим к пара-

доксальному выводу о зависимости гипотетической формальной геомет-

рии от геометрии интуитивной,

§ 4. Равенство

Мы будем говорить теперь о втором из указанных типов геометрии, при-

чем возьмем ее на той ступени, когда она еще ие является определенно

выраженным учением о пространстве.

Пространство как ясная концепция еще не выступает в науке. Гео-

метрия говорит скорее о формах, чем о самом пространстве, но общие

принципы, из которых она исходит в своих логических выводах, по суще-

ству представляют уже характерные свойства пространства, которые толь-

ко должны быть облечены в более подходящие формы.

Попытка идти именно

таком направлении принадлежит еще Лей-

бницу'

Идя в этом направлении, сильно отклоняясь от Евклида, не следует

подробно доказывать даже такие теоремы, как: два треугольника АБС и

А'В'С равны, если

ZA = ZA', В = А'В\ АС = А'С

Вместо того чтобы применять метод наложения, подвергаемый

нападкам рационалистов, достаточно установить общие принципы: два

геометрических объекта Р и О равны, если получаются одинаковым по-

строением, производимым над равными объектами р, р', р" и q, q', q".

181