Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

так же легко формулируемых, как теоремы геометрии, свойств божества,

все содержание вселенной.

В глазах рационалиста вся вселенная представляется как ряд взаи-

моотношений, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к

простейшим отношениям. В своих построениях, как метафизических, так

и математических, он задается целью не только убедить, но и объяснить,

т.е. представить ряд доказанных положений как связную систему истин в

порядке, отвечающем установленной им иерархии истин.

Комментатор "Начал" Евклида этой эпохи занят выпрямлением

евклидовых апагогических доказательств, что достигается введением явно

и неявно новых аксиом.

В выпрямленные доказательства III книги "Начал" Озанама

при-

ходят в скрытом виде аксиомы теории пределов.

Вообще исчисление бесконечно малых

со всей системой аксиом,

на которых оно основывается, является как система выпрямленных дока-

зательств вместо более сложного апагогического метода исчерпывания.

В XVI веке нападки на апагогические доказательства ведутся гак

против доказательств "это так", идущих через несущественные свойства.

Но с нами легче мирятся, чем в XVII веке

Савилий

, возражая Иосифу Скалигеру на его нападки против апа-

гогического доказательства, объявляет, что "оно равно прямому в отноше-

нии истинности и необходимости, но нгоке в отношении происхождения и

достоинства" (scientiae generatione ei dignitaie inferior).

Совершенно в духе XVI века кладя центр тяжести интереса в ме-

тодах изыскания истин, он не может признать (гак он выражается) одно-

бокой геометрии, он лсдет от сокращения методов и сокращения области

обретаемых истин, но не потому, что их нельзя вообще добыть прямым

доказательством, а потому, что этого нельзя сделать сейчас. В апагогичес-

ких доказательствах он видит целый арсенал орудий.

§9. Полная математическая индукция.

На что указывает история доказательств?

На то, что приходится все понижать требования, к ним предъявля-

емые. Сперва желали доказывать не только прямым путем, но еще и нату-

ральным, понимая это в смысле доказательств "почему", т.е. адекватными,

существенными и непосредственными причинами. Потом, примирившись

с ненатуральными доказательствами, требовали прямых, т.е. обходящихся

без аксиомы исключенного третьего. Но пришлось и от этого требования

отказаться. Более того, именно апагогическое доказательство явилось глав-

ным двигателем в лаборатории математической логики.

152

Возведение принципа полной

математической индукции в опре-

деление целых чисел совершенно затушевывает его истинное значение,

выявляемое его историей

, как логического постулата.

Это вовсе не свойство конечных целых чисел, а постулат, которым

мы должны восполнить систему логических постулатов, чтобы быть в со-

стоянии относительно чисел доказать то, что мы не можем доказать арис-

тотелевской логикой.

Обоснованность такого рода рассуясдений, так справедливо заме-

чает Пуанкаре

, сводящегося к заключению из бесконечного ряда силло-

гизмов, могла быть признана только тогда, когда математическая мысль

вполне свыклась с бесконечными операциями и установила постулаты,

ощзеделяющие получение определенных результатов с помощью этих опе-

раций.

Это,

конечно, не математическая аксиома, относящаяся к свой-

ствам чисел или пространств, но и как логическая аксиома она коренным

образом отличается от так называемых логических законов: тождества,

противоречия и исключенного третьего.

Это,

положение того же рода, что аксиома силлогизма, утверждаю-

щая истинность заключения при истинности посылок.

верно. V верно. Из U и V выводится W. W верно, как U и V.

Отсюда вытекает более общего характера положение, которое тоже

признается за очевидное. Если из U , U

, ...U

конечным числом силлогиз-

мов выводится W, то при истинности U,, U,, ...U

истинно такясе и W.

Из этой аксиомы ничего не выводится, она вовсе не включается в

систему основных постулатов, а стоит совершенно особняком, санкциони-

руя правила формальной логики, на основании которых совершается вы-

вод.

Античными мыслителями признавались только те выводы, кото-

рые в действительности произведены, в которых прослежены все посылки

и заключения.

В полной математической индукции узакониваются выводы через

бесконечный ряд силлогизмов.

Входящие в этот процесс силлогизмы ие осуществляются в дей-

ствительности, ибо нельзя произвести бесконечное число силлогизмов, но

утверждается, что если U и W можно связать бесконечным рядом силло-

гизмов- U,, U

...UQO

и закон образования можно ясно уразуметь, то при

истинности U следует признать и истинность W.

При этом в положении: "если U истинно и существуют силлогизмы

, ...U

, связующие U с W, то W истинно" понятие "существовать"

подвергается эволюции.

В глазах античного математика существование не присуще акту-

альной бесконечности, противоречия которой доказывают ее небытие.

153

Поэтому такая аксиома для п = с» не только не была бы им призна-

на очевидной, но более того - была бы признана совсем ие имеющей смыс-

ла,

ибо относилась бы к тому, что невозможно.

Аристотель

вполне определенно говорит, что в положительных

доказательствах не может быть бесконечного ряда ни при восхождении к

высшему, нн при нисхождении к низшему понятию. Предполагая беско-

нечность доказательного пути, мы отвергаем самую возможность доказа-

тельства.

§10. Логика доказательств в буду щели

Удивительно, что и теперь еще не все математики осознали, что основная

проблема о доказательстве в смысле вывода истинного положения А из

системы постулатов, обладающих психологическим свойством очевиднос-

ти,

совершенно того же рода", что задача об интегрировании в конечном

виде или построении с помощью циркуля и линейки. Она может разре-

шаться, может и не разрешаться, причем в большинстве случаев обычно

не разрешается. Постулатов очевидных просто может оказаться недоста-

точно для вывода.

В XVT веке выставлялось требование доказывать, только оперируя

существенными свойствами, в XVII - только прямым путем. Это очень

интересные проблемы, и опыт показал, что они едва ли разрешимы. В бу-

дущем математики к ним вернутся, превратив их в аксиоматические про-

блемы, формулируя их следующим образом:

1) Можно ли положение А вывести из постулатов Р,, Р

, Р

... Р

(безразлично, зависимых или независимых), которые не включают опре-

деленных объектов а,, а

, а^.а^ и, если возможно, построить этот вывод.

2) Можно ли положение А вывести из Р,,Р

... Р

, прямым путем и,

если возможно, построить этот вывод

Проблема о доказательстве с помощью принципа полной матема-

тической индукции будет ставиться таким образом:

Возможен ли вывод А из Р,, Р,... Р

, (вообще из очевидных посту-

латов) 1) с помощью конечного числа силлогизмов? 2) с помощью счетно-

го их множества?

При этом и последняя проблема не всегда явится разрешимой.

Мы определенно предсказываем, что будущей математикой будет

вполне осознана невозможность установки связей между всеми истинны-

ми положениями. Эта связь будет устанавливаться только в некоторых груп-

пах, причем основными, исходными положениями группы вовсе не будут

обязательно очевидные положения, что будут скорее просто более простые,

легче проверяемые.

Но,

как и

других случаях, проблема о выражении через элементы

определенного класса по основании ее неразрешимости долясна эволюци-

154

онировать в другую, более общую проблему, получаемую путем расшире-

ния той области элементов, в которой ищется решение.

Изыскание связи между положениями будет пониматься в более

широком смысле изыскания связей, определяемых не только формальны-

ми законами логики, но и другими формальными законами, аналогичны-

ми первым, но уже не имеющими логического смысла, - металогически-

ми.

Зачатки такой металогики мы уже имеем в логике трансфинитной, в

которой устраняется закон исключенного третьего: кроме А и не-А высту-

пает еще нечто третье, причем это третье мыслится как определенная тре-

тья возможность наряду с А и не-А.

Можно построить формальный аппарат такой металогики

, кото-

рая так будет относиться к логике, как четырехмерное пространство отно-

сится к трехмерном)',

Такие выводы уже ничего не будут содержать из "почему", но пра-

вильные результаты, ими получаемые, будут говорить, что и в других слу-

чаях аппарат будет говорить: "это так".

МЕТААЛГЕБРА

Метаалгебра ставит целью исследование системы чисто формальных опе-

раций, являющихся аналогом той системы, которая лежит в основе ариф-

метики и алгебры. Буквы в ней не имеют определенно выраженного смыс-

ла.

Эти буквы, называемые нами гиперчислами, определяются чисто вне-

шним образом с помощью постулатов, относящихся к формальным опе-

рациям над ними, вполне соответствующим операциям над числами.

Низшая ступень метаалгебры - это формализация внешнего отно-

шения между гиперчислами. На этой степени еще нет ихср а в и е и и я.~

Формальный аппарат действует только аналогично гильбертовским аксио-

мам счета, которые лучше называть постулатами операций.

Эти операции в настоящем случае (в метаалгебре тройственных

отношений) трех родов: гиперумнджения abc, гиперсложения 1-го рода

abc , гиперсложепия 2-го рода abc.

Вот основные постулаты (в которых следует отличать знак тожде-

ства = от знака равенствам который вносится только с введением сравне-

ния).

Циркулярный закон 1-го рода

эта формула справедлива для двух других действий.

Дистрибутивный закон 1-го рода. Этот закон показывает на

несимметричность метаалгебры в отношении основных операций.

abc = bca

=•

cab

abc = bca = cab

abc s bca = cab

(1)

Циркулярный закон 2-ro рода

(abc)de = bcd(ea)

(2)

agh.bgh.cgh = abc.gh

(3)

agli. bgh. cgh s abc. gh

(3)

agh.bgh.cghs abc.gh

Дистрибутивный закон 2-го рода

abc.

def. ghi = adg.

beh.

cfi

и другие, такие же формулы для гиперсложений.

5. Ассоциативный закон

[(abc)de].

а. bdf. ceg

(3)

(4)

(5)

156

Taiaie

же

формулы

для

гиперсложений.

К этим пяти постулатам

еще

прибавляется постулат.

единственности решений уравнений:

xab

A;xab

А;хаЬ

= А (б)

Формальный аппарат метаалгебры приводится

движение

теории гипердробей,

т.е.

решений уравнений:

Хаа'=.а

(7)

которые

мы

будем означать символом

а|а

Гипердробн,

случае гиперсложеиия, отвечают гиперразности

го

и 2-го

рода

„

_ а а

а|а'

'' а|а'

Постулат

(4)

дает формулу умножения гипердробей:

abc

(8)

(9)

aja'

PIP' y|y'

apYla'P'y'

Аналогичные формулы получаем

и для

гиперразностей. Дистри-

бутивный закон дает общую формулу сложения гипердробей

(а

также

ум-

ножения гшшерразностей

и т.д)

_а

b с _

(аА.А^А^А^+СЬВ^^В^В'г+СсС.С^С'.С';,

ot|cc''

PIP'"

yJy'

M|M'

где

(аналогон наименьшего кратного) определяется системой

аА,А

=рВ,В

уС,С

=М

а'А'

А'

=Р'В'

В'

=у'С',С'

=М'

Выводятся

другие формулы:

Аналогон

_ сш

в форме

(аобр)а,'р'

Ь|с

а|а'

PIP'

157

Формулы сокращения:

а _ m

сс|а' е|е'

если

а =

е|3|У;

а' = е'уу'

а-(трр')уу'

Формулы для решения пшеруравнения 1-й степени

(xab)cd = b

и более общего:

[(xab)cd] [(xa'b'Jc'd"] [(xa"b")c"d"] = b

Наряду с теорией простых гипердробей развивается и теория квад-

ратичных, т.е. решений уравнений ахх

с и т.д.

§ 3. Следующая ступень метаалгебры - формализация отношений сравне-

ния.

Здесь прежде всего постулируются свойства гиперравенства.

Циркулярное:

a = b = c->b =

c-a->c

= a = b (10)

Транзитивное:

а = b = с

b = d = e

c = f = g

Понятиям "больше" и "меньше" отвечают шесть следующих сим-

волов, по три для каждого из двух равенств:

a = b = c<

abc

bca < cab

с = Ь = а

~~5Ба

acb

bac >

при этом случае стоящие в одном столбце должны быть совместны, а в

различных не совместны.

Аналогон Ш

,гильбертовской аксиомы'

Из

fc иа =

= у; а' = Р'=у'

вытекает *

aaa'.bpP'.cyy'

Постулируя транзитивность

->a = d = g

(П)

158

~ab~c

мы выводим,

что при

(

ару

а'РУ

имеем

ааа'.ЬРР'.суу'

§ 4.

Третья ступень ставит аналогоны аксиом существования,

по-

стулируя чисто

имманентное

существование

смысле только

полагания,

Аналогоном

гильбертовской аксиомы являются следующие

по-

стулаты: уравнение хаос'

= а

имеет одно определенное решение только

при

ааа' , а

хеш/

= а при

ааа' или ааа' .

Расширение области гиперчисел совершается совершенно так же,

как расширение области чисел,

и за существующие принимаются

только

натуральные гиперчисла,

тогда как

ненатуральные

рассматриваются только

как

символы операций над тройками

натуральных гиперчисел.

Доказательства правильности постулатов

для

ненатуральных

ги-

тгерчиссл проводятся совершенно также,

как в

формальной теории рацио-

нальных дробей,

которой операции

над

обобщенными числами сводятся

к операциям

над

парами натуральных.

Можно,

например, определить сумму:

(а.а|а')(Ь.Р1Р')(с.у|т')

как

adg

(12)

[ (aPy)P'y'(ba)y'a'.(caP)a'p'.apy|a'p'y']

т.д.

§ 5. Выше этой ступени подымаемся, устанавливая процесс образования

гиперчисел из трех идемпотентов

|Т_1_

отвечающих 1,0.

При этом постулируется 1)

|T_L=1

2) наличность в аЬсТбез

приводит к т, мы будем это обозначать так

3)1^-1

-1

Ч^-Т

abc -

' abc abc

J.1

i i\

_LI~L~1

I o\

T_L~L

abc

=А

}

abc -

abc

159

Из этих вдемпотентов и образуются гиперчисла с помощью гипер-

сложений 1-го и 2-го рода, причем можно доказать, что новые гиперчисла

получаются только с помощью операций одного рода.

§ 6. Теория гиперчисел, аналогичная, гроссмановой теории чисел строит-

ся,

полагая в основе аиалогоны гроссмановским аксиомам, например, ана-

логон первый:

(a+b)+| =а+(Ь+|)

являются формулы:

abc.|[ = a.bc|.|sa.b.cjj (13)

abc.||

= a.bc|.|sa.b,c|| QJJ

abc.TTs a.bcT.T =a.b.cTT ^

и принципом полной индукции: если формулы

I) верны для | и будут верны для а, верны для

а||,то

верны для

всех а, полученных сложением 1-го рода.

II) верны для | и будут верны для а, верны для а[1, то верны для

всех а, построенных сложением 2-го рода.

III) верна для Т и будучи верна для а будет верна для а ТТ то

будет верна для всех Й, полученных сложением 2-го рода.

"Укажем переход от частного случая ассоциативности к общему.

То,

что формула, верная для У

abc.y|=a. bey

= а.Ь .су

будет верна и для у||, это выясняется цепью тождеств

аЬс.у||.1=аЬс.у.1.||= а.bey

1.||

= а.Ьс.у||.1

А то, что и второй вдемпотент можно заменить каким угодно ги-

перчислом 5, выяснено тождествами:

abc.y.SJJ sb. bcy.5.||= а.Ьсу.5.||s а. Ьсу. б||

Литература:

Hilbert. Gnmdlagen der Geometrie.

Hermann Grassmann. Lehrbuch der Arithmelik, Berlin, 1861.

Васильев. Введение в анализ, т, I.

(Доложено на заседании Совета Института 22 марта 1936 г. )

160

О ЧИСЛОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

УТВЕРЖДАЕМОГО ТОЖДЕСТВА.

1. Астроном, определяя эфемериды кометы А и находя элементы движе-

ния ее очень близкими к элементам одной из раньше наблюдаемых

комет В, заключает отсюда о тождестве А и В.

Это и аналогичные, весьма важные в астрономии, заключения,

подводятся под следующую общую схему:

При каждом из наблюдений наблюдается объект некоторого оп-

ределенного класса

А О с признаками а, Ь, с... е.

Значения же этих признаков нам точно неизвестны. Когда мы

приписываем а для A'

'значение а

й)

, то а может иметь значение ряда:

ap\a«....a

(j)

(

)

и когда мы приписываем b значение Ь® то b может иметь значение

....b<

(b)

вообщее значения

е^,ер (е)

Вместе с А

наблюдается иА

!,)

, для которого а придается значе-

ние а

(о)

тоже не точно, так что возможны все значения ряда

а<°>, а<°\...а<

> (а

(о)

)

b....b[

,bf....

(c>

)

е....е[

о)

,е<

....е^ (е

(о)

)

)]

"1 > "2

Заключается тождество:

(о)

=А

№

От этого случая дискретных конечных совокупностей значений

а, Ь, с ... е можно перейти к случаю непрерывных областей значений, что

и имеет место в приведенном выше примере отождествления двух комет,

так как элементы движения кометы определены не точно и поэтому

возможны не только те значения, которые находятся в эфемеридах, но и

близкие к ним.

Какой же числовой характеристикой охарактеризовать такое ут-

верждение?

Бесспорно, что такое утверждение при различных обстоятельствах

будет иметь различную цену.

А именно, если около а

(о)

, Ь

(о)

, &\. . с<

имеет место сгущение

значения а, Ь, с ... е для различных А

й)

, то ценность будет меньше, чем в

161