Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

том случае, когда имеет место разрежение, в особенности, когда

близкими к а

(о)

, b

.. . с

(о)

значениями а, Ь, с... е являются только а®, Ь®.

.. с®.

Принципы исчисления вероятностей ие дают здесь определенной

числовой характеристики.

Для исчисления вероятности такого тождества мы не имеем

достаточно данных, невозможен подсчет благоприятных случаев. Един-

ственное заключение, совершаемое иа основании принципов исчисле-

ния вероятностей - это вывод вероятности нового появления А® из

того,

что А® уже раз появилось, дающее для этой вероятности значение

^ независимо от вышеупомянутых обстоятельств, влияющих на оценку

утверждаемых тождеств.

§ 2. Следует начинать с самого простого случая, так как при нем новые,

не находящиеся в теории вероятностей постулаты представляются более

убедительными и открывают в других, более сложных случаях путь ана-

логий.

Берем случай только одного признака а.

Предполагаем высшую степень разрежения - полное отсутст-

вие совпадающих значений а для А

и А® .

Чем больше совпадающих значений признаков А

(о)

и А

(/>

, тем

утверждение имеет больше цепы.

Совершенно таким же образом, как в теории вероятностей из оче-

видного положения о возрастании вероятности вместе с числом благо-

приятных случаев, делается переход к математической мере

вероятности гак отношению числа благоприятных случаев к числу един-

ственно возможных, так и в настоящем случае мы от упомянутого выше

очевидного аналогичного положению о вероятности, переходим к мате-

матической характеристике положения о тоясдестве, как отношения

числа совпадающих возможных значений а, в А

(в)

и А

(1)

к числу всех воз-

можных:

п<

п =

(1)

С это высшая мера оценки. Для различных классов она различ-

на. Совпадение признаков не есть еще доказательство безусловной тож-

дественности носителей этих признаков.

При этом постулируется равноценность совпадения возмож-

ных значений а совершенно так же, как при установке меры вероятности

постулируется равновозможность случаев.

Но такая равноценность не может быть признана, если значения а

не равновероятны. Цена больше, если вероятность больше.

J62

Эта вторая оценка численно определяется вероятностью р® для

исчисляемых в знаменателе (1) значений а для А®. Но для значений

А®, совпадающих с А®

„

(oj) „ (oj) ,, (°i>

1. 2, ••'

л<°>

оценку следует производить иначе.

Как признак А® они получают определенную оценку Р

(

(веро-

ятность a

как а®) как признак А

(о)

...я (вероятность а*

, как а

<0>

Полная оценка определится числом Р ^

71 (

g" .

Замечая, что 2 р ® =1

получаем:

(oj)

<4I)

Ер

<J>

(2)

§ 3. В том случае, когда а® может принимать всевозможные значения в

промежутке

+a...a

(ja)

-(-а, где а*' выводится из наблюдений значе-

ний а®, а а

йо)

значение а

ао>

-a...a

(jo>

+а, то, обозначая через <p(s)ds

вероятность отклонения от a^

' на е =

aj^

(j)

, получаем из

(2)

переходя к пре-

делу

со

= С

(jo

ср

(а

(

- cffi (3)

Принимая же закон ошибок Гаусса

л/л <с Vn i

где cc=2, f3=-(a

(io>

),y

jo)J

Полагая £+k=n, =п имеем

если положить k=—£-,y'=ak

+2f3k+y =—Д =<xy-(5

a a

163

= e

e drp 7=—

или

= С-|е ^ ' ' (4)

Такова числовая оценка утверждения:

=А

§ 4. Перейдем теперь к более сложному случаю совпадающих значений

признака а для А® и A

Число совпадающих значений а следует сравнивать не с п® значе-

ниями А®, но с числом большим, так как совпадение значения а для A

со значением а, совпадающим для А® и А

, является показателем воз-

можности не только А

(о)

s А

, но и А

(о)

= А

(к)

Мы постулируем, что цепа утверждения A'

' =

не меняется,

если значение признака а

для-

[к|

, совпадающего с А

заменить тем же

числом новых значений а для А

На основании этого постулат в (') следует заменить а® через

11 +

, гдеп

(

к>

число совпадающих признаков А

(к)

и А®.

Формула (2) заменяется следующей

(oj)

а С

1+Ер

да

7и°

которая в случае непрерывной области будет

со

= С^=^

1+|

ф(а

№)

-^)ф(а

-Ос14

а при законе ошибок Гаусса:

1 li

__(

Cj)_

(jo)^

со

= С

(5)

(б)

h _—{„(])-г,

а»))

(7)

1 + £-т= е

" "

\/Л

Когда имеется много объектов с совпадающими признаками

(сильное сгущение) и разность _а® - а

* " колеблется около %(равпомер-

164

те сгущение), то получаем из (7) приближенную формулу, заменяя

суммы в знаменателе (7) интегралами

так как со мало, —велико в сравнении с 1.

Взяв С=\/2тГ имеем:

со

X с

(8)

§ 5. Случай нескольких признаков сводится к рассмотренному случаю

одного признака, а именно всю совокупность (а, Ь, с ... е) можно

мыслить, как один признак, охарактеризованный несколькими числами.

Число возможных систем значений равно произведению чисел

значений этих признаков.

На этом основании, обозначая признаки через ag, а их значение

через a

g можем обобщить формулу (1) так:

со

(9)

Где 11 распространяется па все признаки. Таким же образом,

обобщением формул (5) и (б) является

Ер

со=СП

(10)

е s

(11)

и приближенно форм (№ 8)

(D=h,h

...h

,h, h

e -

~(h

8?+htsi+...h*5?)

(12)

165

ЛОБАЧЕВСКИЙ И ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ

ПРОБЛЕМЫ В МАТЕМАТИКЕ

§ 1. Одно из характерных свойств, отличающих человека от животного,

состоит в том, что человек стремится к недостижимому, между тем, живот-

ное ищет только то, что по его силам. Но всегда наступает момент, когда он

сворачивает с пути к недостижимому в силу ли того, что им осознана недо-

стижимость проблемы или в силу каких-то иных психологических факто-

ров,

ослабивших привлекательность проблемы. В своем пути к недости-

жимом)' человечество созидает, но всегда созидает не то, что оно желало

создать. Созидающий не знает для чего он создает. Эволюция целей управ-

ляется отмечаемым Вундтом

в своей этике законом гетерогонии целей:

средство В для достижения какой-либо цели А превращается в новую

цель В.

Прямой путь от С к А заменяется ломаным от С к В и от В к А, но

последний путь забывается, Сосредоточение внимания на пути к В ослаб-

ляет интерес к уходящему в даль пути от В к А, и В овладевает психикой,

стремясь сделаться самодовлеющей целью. Если в начале ценой всевоз-

можных лишений копятся сбережения для получения тех жизненных благ,

которые оправдывают все понесенные лишения, то затем эта первоначаль-

ная цель рассеивается, и деньги обращаются в конечную цель. Математи-

ческая физика ставит чистой математике проблему на решение, например,

задачу Дирихле. Но эта задача становится чисто математической задачей,

при решении которой уже забываются интересы физики.

К поставленной проблеме вначале всегда некритическое отноше-

ние, изыскание решения всегда начинается с наивной и совершенно нео-

боснованной веры

в то, что решение проблемы существует. Насколько те-

оретический ум относится доверчиво ко всякой проблеме, в этом можно

убедиться с помощью простого эксперимента: в редких случаях лицо, ко-

торому предлагается задача, содержащая в своих условиях нелепость, на-

чинает с анализа условий задачи, а не с изыскания решения, только неуда-

ча последнего наводит его на мысль, что он одурачен.

Но,

более того, вместе с некритическим отношением к проблеме,

не вызывающим анализа совместности данных проблемы, выступает и ос-

лабленное внимание к самому содержанию проблемы, влекущее неясность

и неопределенность, так что сама проблема не является неподвижной, но

колеблется в некоторых границах.

Исследователи расходятся не только в своих попытках решить про-

блему, но и в самом понимании этой проблемы.

Спор идет не только о правильности предлагаемых решений, но и

о сущности самой проблемы. Часто прекращение этих колебаний, строгая

166

устойчивая установка смысла вопроса осуществляется незадолго до кри-

тического анализа данных проблемы, приводящего к упразднению самой

проблемы, как невозможной'.

История математики, да и история науки вообще, в настоящее вре-

мя - это только сырой материал, правда, очень богатый, но в будущем ис-

тория науки вскроет законы, которым следует ум человеческий, идя к ре-

шению проблемы через тернии заблуждений, причем история проблемы

должна быть не только историей решения ее, но и историей ее метамор-

фозы.

Этическая проблема из норматичной проблемы о логическом вы-

воде моральных норм из одного принципа превращается в генетическую о

происхождении этих норм из одного корня

Алхимическая проблема о превращении неблагородного металла

в благородный так, чтобы потраченная на этот неблагородный металл мас-

са и труд стоил бы меньше, чем полученная масса благородного металла,

эволюционирует из экономической проблемы в чисто естественно-науч-

ную,

о превращении одного элемента в другой, причем мы находимся у

порога решения этой проблемы, в то время как первая - неразрешима, как

квадратура круга

Основная физическая проблема о механистическом объяснении

чисто физических явлений эволюционирует в проблему объяснения физи-

ческих явлений с помощью простых электромагнитных явлений в элемен-

тарных частицах материи

Задача об интегрировании дифференциальных уравнений в конеч-

ном виде с помощью элементарных трансцендентных или квадратур, пре-

вращается в исследование особенностей функции, определяемой диффе-

ренциальным уравнением определенного типа

§ 2. Совершенно ошибочно думать, что 2000 лет велось размыш-

ление об 1.1-й аксиоме Евклида

. В связи с этой аксиомой ставились со-

вершенно'различные проблемы. В эпоху Возрождения Клавий вовсе не

пытается вытянуть доказательство этого положения из объявленных Евк-

лидом в I книге "Начал" - аксиом и постулатов. Основная проблема того

времени" это еще чисто схоластическая проблема определений. Выявле-

ние правомочных и неправомочных признаков путем подбора наиболее убе-

дительных случаев, в которых при особенно ясном выступлении контуров

понятая, эти основные признаки стушевывались бы или вполне выступали

бы на свет. Математикам того времени менее всего нравились евклидовы

определения, в частности, определение параллельности.

Согласно основной идее схоластико-аристотелевской логики они

старались все определения развить per genus proximum et differentiam

specificam.

Понятию параллельности прямых Рамус предпосылает понятие

параллельности вообще, выводя первое через ограничение второго

167

Принятие новых неевклидовых определений влечет изменение и в

системе аксиом.

Если доказательство Клавия следует признать не разрешающим

проблемы о параллельных прямых, то не в том смысле, как это теперь

понимаем мы, т.е. усмотрев невозмоясность вывода использованных им

положений без аксиомы о параллельных или эквивалентной ей аксиомы, а

в том смысле, что поставленная Рамусом и рамистами проблема об ис-

правлении геометрических определений, в частности, об определении па-

раллелизма вообще и выводе отсюда параллелизма прямых, не решена им

и даже, более того, и не может быть решена.

У математиков ясе XVII века, т.е. рационалистической эпохи, мес-

то этой проблемы занимает другая: не о выводе этого полоясения из евкли-

довых аксиом, а о переработке этой системы, замене евклидовых очевид-

ных истин - другими, более очевидными".

К этому требованию присоединяется еще и другое - требование

естественного порядка, идущего, согласно правилам Декарта

идеям пор-

роялевской логики, от более простого к более сложному

Отсюда сдвиг теории параллельных к началу геометрии до теорем

конгруэнции треугольников в сочинении Арно и в учебниках арнольдианс-

кого типа.,

Эта проблема совершенно иная, чем лежандрова и риманова. Про-

блема остается тоже неразрешенной и тоже принадлежит к числу неразре-

шимых проблем, ибо евклидова геометрия является невыводимой из сис-

темы аксиом, не содержащей аксиомы той оке степени очевдности, что и

11-я евклидова аксиома, если только не прибепгуть к общим положениям,

может быть и более очевидным, но относящимся к чрезвычайно общим

понятиям, не поддающимся уже чисто математической обработке.

Я считаю необходимым резко подчеркнуть различие этой рацио-

налистической проблемы:

"Дано положение Q, молено ли его вывести из положений Р,, Р

, Р

, •

, (не ограничивая их числа и не ставя ограничения их независимости)

более очевидных, чем положения R,, R

, R

, из которых мы уже умеем

вывести Q" и проблемы: "Дана система независимых постулатов Р,, Р

...

, требуется из нее без введения новых постулатов вывести положения Q".

В первой проблеме Р,, Р

... Р„ искомые, a Q задано, во второй про-

блеме Q - искомые, Р,, Р

... Р

определенно заданы.

Нельзя сказать, что Лагранж занят решением этой второй пробле-

мы.

Лагранжева геометрия без аксиом

Упоминаемые в некоторых изданиях 5 аксиом, в других совершен-

но исчезают.

168

Рационалистическое направление в это время заменяется эмпири-

ческим, аксиомы из откровений натурального света обращаются в опыт-

ное знание. Геометрия этого времени не желает искать скрытых аксиом.

Основным требованием Лагранжа является простота, Он ищет

доказательства, опирающиеся на возможно меньшее число аксиом, кото-

рые приходится упоминать, оставляя под порогом сознания какое угодно

число других аксиом, увеличение которого не может усложнить доказа-

тельств.

Мы здесь, конечно, стоим уже близко к строгой и вполне опреде-

ленной постановке проблемы, невозможность которой доказуется аксио-

матикой.

Эмпирическое направление второй половины XVIII века перенес-

ло интерес к очевидности лежащих в основе геометрии положений на их

простоту

Более простые факты и легче наблюдаются, и легче выверяются,

очевидность простых фактов имеет меньше шансов оказаться иллюзией,

чем очевидность сложных.

Истинное и недостаточно очевидное положение оставалось в гла-

зах рационалиста таким же откровением свыше, что и вполне очевидная

истина; разница заключалась только в силе освещения натурального све-

та.

Иное дело для эмпирика. Здесь уже недостаточность очевидности

является показателем недостаточной проверепиости истины в ряде на-

блюдений, устанавливающих эту истину.

Отсюда мысль, что это недостаточно очевидное положение, ослож-

няющее геометрию, в действительности неправильно, что из данной точки

можно провести не одну прямую, не пересекающую данной, а бесконечное

число, но в таких границах, что при той точности наблюдений, с которой

устанавливаются основные положения геометрии, эти прямые оказывают-

ся неразличимыми.

Попытка построения "воображаемой" геометрии, той, которая дол-

жна заменить евклидову, в случае, если евклидов постулат о параллельных

оказался бы неправильным, возможность чего в глазах математиков все

возрастает, является попытками изыскания истинной геометрии опреде-

ления свойств действительного пространства.

§ 3. Лобачевский стоит еще именно на этой точке зрения

. Он ищет истин-

ное пространство

. Устранив постулат о параллельных, он строит геомет-

рию,

чуждую противоречий. Пространство более общего типа без свой-

ства, выражаемого этим постулатом, имеет более шансов на существова-

ние. Только потому, что мы имеем дело с малыми измерениями, мы не

можем заметить, что существует не только одна, а целый пучок прямых, не

пересекающих данной, что сумма углов в треугольнике не два прямых

[угла],

а несколько меньше.

169

Не следует думать, что мысли о построении неевклидовой геомет-

рии впервые пришли Лобачевскому

. Но следует хорошо помнить, что до

Ламберта математики из евклидовой системы постулатов с устранением

11-й аксиомы или заменой ее противоположной выводят положение толь-

ко с целью привести к противоречию, т.е. с целью построения апагогичес-

кого доказательства этого постулата.

Так делает Саккери

, который, конечно, не достигает цели.

Так поступает и Ламберт

, но ему удается из двух гипотез о суще-

ствовании четыреугольника с 3 прямыми [углами] и одним не прямым,

тупым или острым опровергнуть только первую.

Но что касается до второй, то у нас уже является мысль, но доволь-

но робкая, о логической возможности геометрии при этой гипотезе,

Гаусс идет дальше, он делает несколько заметок, относящихся к

такой геометрии. Независимо от Лобачевского, но позже его, к построе-

нию неевклидовой геометрии приходит'венгерский математик Больяй

Лобачевский и Больяй взаимно дополняют друг друга.

Лобачевский обращает главным образом внимание на отличие не-

евклидовой геометрии от евклидовой, на те положения, которые не имеют

места в евклидовой геометрии, которые выводятся из предположения, что

из данной точки можно провести пучок не пересекающих данной прямую

прямых, между тем Больяй занят преимущественно тем, что является об-

щим как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрий, тем, что по

его мнению составляет содержание абсолютной науки о пространстве, и,

таким образом, он становится ближе к аксиоматическим исследованиям.

То,

что и предшественниками Лобачевского проблема разумелась

в указанном смысле, явствует из самого названия, которое дает Швейкарт

такого рода геометрии, называя ее астральной. Эта геометрия - учение о

пространстве (как в то время определяли геометрию), но о пространстве

звездном, свойства которого таковы, что сумма углов в треугольнике мень-

ше 2d, что невозможно безграничное возрастание высоты равносторонне-

го треугольник! и т.д. И для Лобачевского эта геометрия прежде всего аст-

ральная. Он свои теоретические исследования сопровождает попытками

путем измерения элементов больших треугольников, образованных звез-

дами,

[определить] суммы углов в этих треугольниках и таким образом

решить вопрос о том, какая геометрия в действительности имеет место.

Он,

мысля пространство не как форму интуиции, а по-ньютоновски, кале

вместилище вещей, старается определить свойства этого вместилища в

области как микрокосмоса, так и макрокосмоса, отражающегося на вме-

щаемых им вещах.

Микромегас, совершающий путешествие с изменением своего объе-

ма из мира млечных путей через окружающую нас обстановку в миры ин-

фузорий и в миры молекул и атомов, будет видеть ие только изменение тех

170

форм,

в которые облекается материал, но и простейших их геометричес-

ких свойств.

§ 4. Но созидающий никогда не знает, для чего он создает. Работая в этом

эмпирическом направлении, отыскивая истину в небесах, Лобачевский ее

находит в самом себе.

Геометрия Лобачевского бессмертна не как астральная геометрия,

а как геометрия воображаемая или, лучше сказать, как мыслимая, но не

воображаемая, разумея под последней термин в современном смысле.

Тог путь, по которому шел Лобачевский, не только не может дать

доказательства того, что его геометрия представляет истинную геометрию,

но даже и того, что она может быть таковой, так как сами операции изме-

рения должны уже предполагать какую-либо геометрию.

Заслуга Лобачевского не в том, что он научил нас мыслить о том,

чего мы не можем вообразить, но что существует, - его заслуга в том, что

он научил мыслить о том. Чего нельзя вообразить и чего не только нет, но и

быть не может, и довел до полной ограниченности различие между реаль-

ной и логической возможностями.

Ни один из математиков до Лобачевского не имел смелости осво-

бодить разум от цепей интуиции, сковывающих его, и дать полную систему

геометрии, против которой говорил здравый смысл, но которая вела нас в

широкие ворота царства разума.

Что важней в науке - анализ или синтез!

Выводить следствия из причин или обратно, подыматься к причи-

нам,

разыскивать силы, которые производят данное явление, или указать

какие эффекты производятся данными силами? Оба направлеЕгая равно-

ценны. Есть великие аналитики, как Ньютон, вскрывающие путем анализа

основные законы вселенной, есть и великие синтетики, как Лобачевский,

извлекающие из неполной системы евклидовых аксиом не менее логич-

ную и стройную, чем евклидовы "Начала", систему геометрии.

Но за синтезом идет всегда анализ.

Сисгема Лобачевского не встречает противоречий. Почему? Мож-

но ли сказать, что это происходит потому, что она относится к реальному

пространству?

Гербарт, относя вместе с Кантом геометрическое пространство к

духу, т.е. объявляя его нереальным, вне этого духа в сфере вещи в самой

себе, находит другое умопостигаемое пространство, уже реальное, кото-

рому присуще не только субъективное, но и транссубъективнос существо-

вание.

Он получает это пространство своим обычным приемом исправле-

ния понятий, т.е. выбрасывая некоторые признаки и внося новые так, что-

бы противоречия уже не оставалось.

Все пространство Гербарта возникает из понятий совместности,

смежности и раздельности, продолжением в обе стороны, последователь-

171