Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

субъективного существования. Всякая проблема для нее имеет онтологи-

ческое значение, оно раскрывает содержание реальной сущности, разъяс-

няя то, что в первый момент рефлексии представляется в смутном виде.

Вот все это следует хорошо продумать, чтобы понять, почему логи-

ка схоластическая и рамическая, которая ближе к первой, чем о ней дума-

ют, относится так враждебно к Евклиду, который является кровью от кро-

ви,

плотью от плоти аристотелевской логики.

Для Аристотеля и Евклида определение вовсе ие имеет того значе-

ния,

которое ей приписывает Рамус. Евклид вовсе не строит системы гео-

метрии, ни в смысле Рамуса

и Арно, развертывая ее соответственно оп-

ределенной иерархии понятий, ни в смысле Гильберта", выводя все ее

содержание как формально-логические следствия групп постулатов. Он

только убеждает в том, что некоторые геометрические факты, им наблю-

даемые, часто представляющиеся совершенно очевидными, не представ-

ляют обмана чувств, а в действительности имеют место, причем большин-

ство из них имеют только посредственное значение для установки свойств

правильных тел, имеющих кардинальное значение в платоновско-пифаго-

рейском мировоззрении и без изучения которых нельзя войти в святилище

метафизики,

Схоластика в современной пауке.

Для нас интересней положительная, а не отрицательная сторона прошло-

го.

Пройденный нами путь - это не ряд одних заблуждений, это скорее ряд

истин, хотя и смешанных с заблуждениями. Чистая истина недоступна уму

человеческому. Познаваемое всегда представляется в искаженном виде, но

искажения эти весьма различны, так как сильно меняется точка зрения, с

которой мы смотрим. Можно сделать сравнение с предметом, гсоторый мы

не моясем обнять одним взором и который отделен от нас туманом, мы

ходим вокруг него, рассматривая его с различных сторон и ни с одной сто-

роны мы не видим его полностью и во всей чистоте.

Схоластическая точка зрения, вызываемая схоластическим типом

мышления, вовсе ие дает одни заблуждения. И теперь может ставиться

схоластическая проблема, но она уже не будет привлекать того внимания,

что раньше, вследствие того, что человеческий интеллект изменился и в

своих вкусах, и в своих способностях.

Схоластическое исследование было бы не больше, чем подражани-

ем средневековой схоластике, совершенно таким же образом, как совре-

менная католическая архитектура является подражанием готике. Речь мо-

жет идти не о восстановлении схоластической науки, а только о схоласти-

ческом элементе, который не может быть совершенно изъят из современ-

ной науки. Существует область, где в довольно широких размерах должна

еще жить схоластаческая проблема определения, а именно в методике.

142

Здесь формальная точка зрения совершенно невозможна. То, что изучает-

ся,

должно быть определено, причем именно в схоластическом смысле.

Определение

здесь не может быть только ярлыком, наклеивае-

мым на совокупность признаков.

Взяв понятие как оно есть, в своем смутном виде, в душе учаще-

гося,

следует вместе с ним проанализировать его и вскрыть его характер-

ные признаки и очистить его с помощью последних. Мы не будем гово-

рить, каким образом учащийся приводится к окончательному определе-

нию и какие из определений основных математических понятий являются

наиболее подходящими. Это все проблемы методики, важность которых

современной методикой вполне осознана.

Но и в чистой научной области чистый формализм все-таки недо-

стижим; все определения не сводятся к чисто поминальным. Конечной

целью науки является познание вещей, которые некоторым образом уже

частично познаны, так как мы, приступая к научному познанию, уже зна-

ем,

к чему его прилагать. Мы не будем сейчас заниматься гносеологичес-

ким вопросом, каким образом это первичное до-научное знание приобре-

тается, но мы укажем только на то, что оно есть и что оно дает познавае-

мую вещь как цель, переизложенной и еще не выраженной в логических

терминах.

Проблема определения состоит в изыскании характерных призна-

ков а, Ь, с но не следует думать, что вскрытие признаков дает полиос-

тью эквивалент определенному. В конечном итоге все познаваемые вещи

неопределимы.

Схоластическая проблема дает не полное, а только приближенное

значение.

То,

к чему относятся определения, аксиомы и выводимые отсюда

положения, никогда целиком

ЕЮ

совпадает с тем, к чему относятся выстав-

ляемые наукой проблемы. Пересечение двух кривых не может быть опре-

делено. Геометрия говорит об общей точке кривых, а не об их пересече-

нии.

Доказательства: что это так, и почему это так.

Аристотелевское определение

: "знать - это иметь доказательство не из

акциденций", схоластикой толкуется уже, чем его понимал сам Аристо-

тель,

разумея акциденцию в чисто логическом смысле.

Акциденциальное, случайное свойство, по Аристотелю, то, кото-

рое может оказаться в виде, принадлежащем роду А, и может не оказаться.

Ему противополагается существенное свойство, присущее только

видам рода А.

Аристотель привносит в логику элемент времени. Самая формули-

ровка закона противоречия, отвергающая возможность вещи в одно и то

143

же время быть и не быть, содержит этот временной момент. Вне сомнения

и понятие случайности носит этот характер и понимается в том смысле,

что свойство не всегда присуще А; такова, например, болезненность, отне-

сенная Аристотелем к случайным свойствам не только потому, что она при-

суща и птицам, но и потому, что каждый человек может быть сегодня бо-

лен,

а завтра здоров.

От существенных свойств Аристотель требует, чтобы они были

присущи видам только данного рода, причем всегда.

Схоластическая мысль, с одной стороны, освобождается от пут вре-

мени, с другой стороны, идет дальше в смысле предъявления требований к

существенным свойствам как основе знания.

Она ищет не только устойчивые признаки, могущие служить опре-

делением, но и такие, которые обладают своего рода приоритетом, высту-

пая в мысли и раньше и выпуклее, претендуя достигнуть, так сказать, нут-

ра вещи. Из них другие свойства вещей должны выводиться.

Понятие о существенных свойствах подвергается метаморфозе, при

которой переступается сфера чисто логического анализа далее с аристоте-

левским временным элементом и за существенными свойствами усматри-

вается уже онтологическое значение.

После этой длинной характеристики схоластического настроения

читатель поймет атиматематиков

XVT и XVII веков. С яростью набрасы-

ваясь на математику, они приводят в пользу своих антиматематических

взглядов авторитеты древних, толкуя их, конечно, по-своему.

Прежде всего приводятся слова Прокла: "геометрия менее всего

познает причины".

Всякое знание разъясняет (demonstrat) причину по эффекту, эффект

- по причине (causam per effccium, vel effectum per causam). У Прокла causa

и eftectus понимается в физическом смысле и противополагается логичес-

кому основанию и следствию, из него вытекающему, а антиматематиками

- именно в этом последнем смысле, так что математик обвиняется в том,

что даст не те логические обоснования, какие следует дать.

Ссылаются и на Сенеку, который говорит, что аргументы геомет-

рии не убеждают, а вынуждают. Соглашаясь с первой аксиомой "Начал"

Евклида, антиматематик недоволен доказательством, на ней основанным.

Он ие видит в нем знания, ибо всякое знание - это изучение существенных

причин (principia per se).

Причина равенства А и В вовсе не это третье, но только их количе-

ство,

и не существуй это третье, они все равно были бы равны. Отношение

равенств А к С, В к С с чисто аристотелевской точки зрения молено отнести

к существенным свойствам, но схоластическая мысль видит тут внешний

характер, ничего ие говорящий о сущности А и В и относит их к несуще-

ственным свойствам.

Характерна критика 1-й теоремы I книги "Начал" Евклида.

144

"Здесь, - говорит Снмплициус

, - доказывается, что треугольник

равносторонний, из того, что он построен между тремя кругами и имеет

все свои стороны проходящими через центры окружности. Никто здесь не

видит истинной причины существования. Ведь не потому треугольник рав-

носторонний, что он достроен между тремя окружностями, ибо, если бы

он и не был построен между ними, все равно был бы равносторонним.

Откуда следует, что такая причина - только случайная причина этого свой-

ства. - Вот идеал математики: она должна, определив треугольник его су-

щественными свойствами, затем извлечь оттуда и все его свойства совер-

шенно так, как схоластик из определения бога

, как совершеннейшего су-

щества, извлекает его бытие, единство и т.д. К чему Евклиду проводить

круг, когда истинная причина всех свойств треугольника лежит в нем са-

мом?"

Характерно также возражение Валлиса

уже в XVII веке. Он со-

глашается с тем, что это так, что математики часто оперируют не per veram

proximam causam (не через истинную ближайшую причину), но прибавля-

ет,

что все-таки математика достаточно научна, ибо она выводит все из

природы вещи per medium necessarium (через среднее необходимое), т.е.

все-таки выполняет хотя бы часть предъявляемых Аристотелем требова-

ний.

Он соглашается, что доказательство первого положения "Начал"

Евклида во всей своей целостности есть тол cm (что это так) и что идеа-

лом доказательства является

TOO

6toxi (почему это так)

, и отмечает, что у

Евклида имеются и последнего рода доказательства.

Но какой пример он приводит?

Вывод из определения: "круг - плоская фигура, заключенная в кри-

вой с точками, равноотстоящими от центра", - заключение: радиусы рав-

ны.

Самая природа круга, говорит Валлис, требует, чтобы точки ок-

ружности равно отстояли от центра; немедленно отсюда следует уже по

истинной и ближайшей причине, что все радиусы, которыми измеряются

эти расстояния, равны. Анализируя доказательство положения Евклида,

Валлис приходит к заключению, что и здесь последний вывод делается из

истинной причины. Равносторонность треугольника выводится из того, что

стороны равны, а вовсе не из того, что он оказывается в трех равных кру-

гах, а равенство сторон, действительно, выводится из этого последнего;

так что только промежуточные доказательства делаются не per veram

causam.

Савилий, ссылаясь на Геминуса, находит, что ярким примером,

когда математик учит не только тому, что есть, но и тому, почему это тале,

является исследование пяти платановых тел; в то время, как в окружность

можно вписать правильные многоугольники с каким угодно числом сто-

рон,

в сферу можно вписать только пять правильных тел; математик дает

J 45

разъяснение, почему это так, исходя

из

существенных свойств многогран-

ников.

Требования пор-роялевской логики.

С течением времени доказательства "это так"

все

меньше смущают ум,

и у

рационалистов сомнение касается только доказательства

от

противного,

которое

у них не

только получило полное право гражданства,

но и

пред-

ставляет наше главное орудие доказательства.

Но отзвуки этих нападений антиматематиков имеются

Арно.

Арно

вооружается

ие

только против апагогического доказатель-

ства,

но и

против доказательств слишком удаленных (Demonstrations

par

des voies trop eloignes).

"Этот недостаток,

говорит он,

общий для всех геометров.

Они

вообще

не

заботятся

о том,

откуда

их

аргументы берутся, лишь

бы они

были убедительны,

но

между

тем это -

доказывать вещи очень несовер-

шенно, если доказывать

помощью чуждых

им

путей, откуда они не выте-

кают согласно

их

природе'".

Здесь, конечно, заключается нечто совершенно иное, чем лежанд-

рово требование простоты доказательства,

Как доказательство, грешащее против этого правила, Арно выс-

тавляет евклидово доказательство:

5-го

положения

книги "Начал"

(на

школьном средневековом

жаргоне: elefugia).

В равнобедренном

ABC:

1) углы

ABC

АСВ

при

основании

ВС

равны между собой;

2) если продолжить равные стороны АВ

ВС,

то

углы, образован-

ные ниже основания,

DBC

ЕСВ, будут также равны.

Евклид доказывает, беря

на

продолжении BD стороны

АВ

произ-

вольную точку

F и

на АЕ точку G так, что

AF,

соединяя прямыми

F с

С и G с В и затем доказывая, что A

ACF

AABGHAFBC

= A

CBG.

П. 47-го положения

книги, т.е. теоремы Пифагора.

Арно представляется совершенно невероятным, чтобы доказатель-

ство равенства углов

при

основании равнобедренного треугольника,

т.е.

такой простой, почти очевидный факт, требовало столь сложного логичес-

кого аппарата, зависящего

от

иных,

чем

данный, треугольников, получае-

мых через продолжение сторон данного,

гак это

делает Евклид

. Арно

кажется очевидным, что простая истина

просто доказывается.

Впрочем,

в это

верили

Лежандр

и его

современники.

Но Арно верит

и в

то,

во

что уже

не

верил Лежандр,

именно,

что

для всякого простого положения должно быть

не

только простое,

но и на-

туральное доказательство.

146

Что такое натуральное доказательство, Арно не определяет, но вид-

но,

что это что-то приближающееся

доказательству "почему?", о котором

мы выше говорили, но в котором "существенность" свойств и причин за-

менена их "простотой" и "естественностью" - элементами, включающи-

ми,

как и картезианская "очевидность", моменты психологические.

По Арно, доказательство пифагоровой теоремы у Евклида совер-

шенно не натурально, ибо равенство квадратов, о котором в этом доказа-

тельстве говорится, в простейшей, натуральной зависимости находится не

от равенства треугольников, употребляемых при доказательстве, а от про-

порциональности линий, которую следует доказать, не прибегая ии к ка-

кой линии, кроме перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла

на основание треугольника.

Здесь Арно говорит как будто в духе Симплициуса, но его нату-

ральное доказательство - это не что иное, чем вывод свойств бога из его

определения. Рекомендуемым им перпендикуляром антиматематик XVI века

остался бы так же недоволен, как кругами в первом положении "Начал"

Евклида.

Апагогическое доказательство у Евклида.

Евклид довольно широко пользуется так называемым приведением к аб-

сурду, иначе говоря, апагогическим доказательством, состоящим в том, что

положение А доказывается опровержением противного не-А с помощью

вывода из последнего невозможного следствия. Этот прием доказательства,

конечно, пускает свои корни с софистики

. И в самом деле, именно он

является наиболее удобным для софиста. К признанию высказанного со-

фистом положения собеседник приводится, доходя вместе с софистом от

противоположного своему положения

абсурдному следствию. Именно этот

способ давал наиболее легкий способ одурачивания: принуждением его

остановиться на явно нелепом положении, возбуждающем улыбки присут-

ствующих. В разделительном силлогизме: первая посылка - А есть или В

или С или D - давалась неполной, опуская почему-либо менее бросающе-

еся в глаза "... или Е". Вторая посылка - D не есть ни В, ни С - доказыва-

лась извлечением из "А есть В", "А есть С" нелепостей. Тогда заключени-

ем этого условного силлогизма (modus lollcndo ponens) получалось "А есть

D",

откуда тотчас выводилась нелепость, являющаяся непосредственно

очевидной.

Начало апагогического доказательства должно отнести к элейцам.

Этим приемом Парменид доказывает, что бытие не происходит и ие унич-

тожается. Основная аксиома: небытие не может быть бытием (ex nihilo

nihil fit). Если А происходит из В, то В становится А, т.е. небытие стано-

вится бытием. Бытие не уничтожается, так как бытие всегда есть бытие.

J 47

Античная математика не заботится о системе геометрии, о каких-

либо принципах или общих свойствах пространства, из которых вытекают

свойства геометрических фигур. Она только старается убедить читателя в

истинности подмеченных свойств.

Можно сказать, что математик эпохи Платона, Аристотеля, Евкли-

да терроризован софистами, он боится каждую минуту попасть в расстав-

ленные последними силки и борется или, вернее, строит укрепление про-

тив их нападений по всем правилам искусства, ими же самими выработан-

ным.

Чтобы заставить согласиться со своими теоремами, он должен преж-

де всего заставить, не приводя доказательства, согласиться со своими ак-

сиомами и постулатами, и, конечно, он молдат тем скорее рассчитывать на

это согласие, чем меньше этих аксиом и постулатов. Но сокращение после-

дних доллшо вести к ограничению свободы выбора логических путей, ве-

дущих от них к теоремам: наряду с прямыми доказательствами приходит-

ся применять и косвенные, апагогические.

Современный математик (вне сферы чисто аксиоматической ра-

боты) заинтересован не столько в сокращении начальных звеньев логичес-

кой цепи, сколько в умножении конечных.

Трудность выставляемых современными математиками проблем

является другой причиной трудности разыскания логических путей и необ-

ходимости привлечения [наряду] с прямыми доказательствами в широкой

мере и косвенных.

Типы апагогических доказательств.

Апагогическое доказательство отличается от прямого тем, что оно наряду

с математическими аксиомами пользуется логической аксиомой, которой

не пользуется прямое.

Всякое апагогическое доказательство предполагает приложение

загона исключенного третьего.

Следует доказать А. Предполагается, что имеет место не-А и от-

сюда выводится абсурд - отрицание верного положения С - не-С. Таким

образом, уже в начале догазательства утверждается альтернатива: А или

не-А, и ничего третьего. Обратно, если в начале или в самом ходе доказа-

тельства применяется закон исключенного третьего, то или доказательство

ведется от противного, или последнее содерлштся в доказательстве как со-

ставная часть. В самом деле, прилолсение его предполагает в начале и в

ходе доказательства альтернативу В или не-В и снятие одного члена аль-

тернативы путем доказательства его невозможности. Если снимается не-В

тем,

что ие-В приводит

не-С, к отрицанию заведомо верного полоясения,

то молсем сказать, что положение доказывается апагогически. Если снима-

ется В, то имеем апагогическое доказательство в замаскированной форме.

148

Заменою В через не-(не-В) мы получаем его в чистой форме: не-В дока-

зывается приведением не-(не-В) к не-С (абсурду).

Получаемый в конце апагогического доказательства абсурд может

быть трех родов:

1) противоречие с уже признанной аксиомой или уже доказанным

положением;

2) противоречие с условием теоремы;

3) противоречие со сделанным предположением.

Чтобы яснее и глубже вникнуть в конструкцию каждого из этих

типов, мы ограничимся только простыми апагогическими доказательствами

с единичным приложением в самом начале закона исключенного третьего.

Доказать А.

Предположим не-А - абсурд.

Если принять обозначение:

Если В, то А через В, А,

то.можно для первого типа наметить схему:

В,

А; В - не-А - не-С. .

В "Началах" Евклида

пример такого простого разомкнутого до-

казательства - 27-е положение книги I: о параллельности прямых при ра-

венстве накрестлежащих углов. Отрицание приводит к противоречию с

теоремой о внешнем угле треугольника.

Десятая теорема III книги - о пересекаемости кругов не более, чем

в двух точках. Отрицание приводит к противоречию с 5-й теоремой III кн.

о неимении у пересекающихся кругов общего центра.

17-я теорема XI книги - о перпендикулярности прямой пересече-

ния двух плоскостей, перпендикулярных к третьей, к этой последней. От-

рицание против 13-го положения XI кн. (о возможности восстановления

только одного перпендикуляра

плоскости). Примеров простых разомкну-

тых доказательств, приводящих к отрицанию аксиом, очень много. У Евк-

лида обычно такой аксиомой является 9-я I книги: целое больше части,

причем доказательство носит полуинтуитивный характер. Таковы доказа-

тельства предложения 2^го III книги о том, что прямая, соединяющая две

точки окружности, лежит внутри ее, предложение 11-е о прохождении ли-

нии центров через точку касания кругов, предложение 18-е и 19-е книги

111 и 36-е книги VII о том, что наименьшее число, содержащее простые

числа А, В, есть произведение АВ, - отрицание приводит

тому, что мень-

шее число содержит большее; к тому же приводит и отрицание 1-го поло-

жения книги VIII.

Второй тип апагогического доказательства, сомкнутый на условии:

В,

А В, не-А - не-В, не-А.

Примеры: 25-е положение VII книги: если два числа взаимно про-

сты,

то число, содержащееся в одном из них, будет взаимно простым с

другим. Отрицание приводит к признанию А и В не взаимно простыми.

149

Того же типа 26-е и 30-е положения III книги.

Третий очень редкий тип - сомыгутый на заключении, причем мо-

жет быть два типа:

В,

А-В, не-А - А.

Этот тип встречается у Евклида

только один раз, а именно в до-

казательстве 12-го положения IX книги "Начал": "Пусть будет сколько ни

есть от единицы непрерывно-пропорциональных чисел ABCD, говорю, что

всякие первые числа, кои содержатся в D, будут содержаться и в А".

Говоря современным языком,

А, В, С, D -

члены геометрической прогрессии

1:A=A:B

= B:C = C:D;

следует доказать, что всякий простой делитель D - делит также и А.

Евклид предполагает противное, что Е не делит А, и опровергает

это предположение, выводя из него: Е делит А.

Этот редкий прием употребляется и Саккери в его "Euclides ab omni

naevo restitutus" при его попытке доказать 5-й евклидов постулат. Саккери

принимает за данные 26 первых положений "Начал", допускает предполо-

жительно ложность этого постулата и старается вывести из этого положе-

ния верность самого постулата.

Второй подтип - замкнутый не в начале.

Из не-А извлекаются двумя путями два противоположных заклю-

чения: Е и не-Е.

Первый подтип молено рассматривать как предельный ко второму,

когда Е совпадает с А

В,

А В - не-А - Е,

В - не-А - не-Е

Пример: положение 7-е I книги: "Если концы соединить с точками

С и D по одну сторону, то расстояния СА и СВ точки С от концов АВ не

могут быть равны, каждое каждому, расстояниям D А и DB точки D от кон-

цов АВ".

AD =

AC;

ZACD = ZADC, ZADC< ZBDC, ZBDC> ZBCD;

BD = DC, Z BDC - Z BCD,

что противоречит предыдущему.

Сложному апагогическому доказательству второго порядка отвеча-

ет схема:

В,

А; В, не-А - D, С - абсурд.

не-С - абсурд.

Доказательство может быть дважды разомкнутым, когда оба коле-

на приводят к отрицанию доказанного положения или аксиомы.

Может быть замигуто-разомкнутым, если в одном колене имеется

замкнутое, в другом разомкнутое апагогическое доказательство.

150

Наконец, возможен дважды замкнутый тип.

При этом будем иметь подтип, смотря по тому:

1) имеет ли место замыкание на условии или на заключении,

2) на D, на В или ином положении Е.

Дважды разомкнутое доказательство употребляется Евклидом в

положении 24-м III книги: подобные сегменты АСВ и CDF, построенные

на АВ = СЕ, равны.

Если нет, то С: один вмещает другой; если не-С, - пересекаются.

Первое предположение приводит к противоречию с 23-м положе-

нием III книги, второе - с 10-м III книги.

Пример замкнутого на условии: так обычно доказывается теорема,

обратная теореме: в выпуклом вписанном четырехугольнике сумма проти-

воположных углов = 2d.

А именно, если сумма = 2d, то можно описать около четырехуголь-

ника окружность. Проводя окружность через три вершины, мы должны

иметь четырехугольник внутри или вне круга; в обоих случаях доказывает-

ся,

что сумма противоположных углов не = 2d.

Пример замкнутого на положении Е доказательства дает метод ис-

черпывания Евклида (предложения 1, 5, 11, 12 XII книги).

§ 8. Борьба против апагогического доказательства,

Аристотель

только довольно робко выдвигает преимущество прямого

доказательства перед косвенным.

При этом его аргументы, как совершенно не гармоштоующие с на-

строением умов XVI, а тем более XVII века, в эту эпоху уже не повторяются.

По его мнению, более согласны с природой выводы, в которых мы

от включения или выключения из класса В переходим к включению или

выключению из класса С, объемлющего В.

Положение "ни одно А не есть С" первее, чем "ни одно А не есть

В",

мы в нем ближе подымаемся к принципам.

В апагогическом доказательстве порядок обратный:

Следует доказать, что А не есть В.

Предполагаем: некоторые А суть В. Все В суть С. Заключаем: не-

которые А суть С, что неверно, и поэтому ни одно А не есть В.

Но,

по Аристотелю, все-таки тем или другим путем достигается

цель науки - построение связи между вещами и общими положениями,

выставляемыми в начале науки.

Крайняя неприязнь рационалистов к косвенным доказательствам

вытекает из их общего мировоззрения, старающегося все многообразие

вселенной вывести из одного мирового принципа с помощью постепенно-

го ряда ограничений, созидающих, так логическое следствие из простых,

151