Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

В этом отношении существует большое сходство между рациона-

листами XVII века и современными логистиками

, разница лишь в том,

что ту роль, которую раньше играли аксиомы, играют теперь определения,

к которым не предъявляется других требований, кроме тех, чтобы из них

могли бы извлечь наперед заданные теоремы,

К 4-му определению Евклида Такэ присоединяет в качестве опять

аксиомы положение о равенстве величин, имеющих к одной и той же ве-

личине (или к равным величинам) одно и то же отношение, и обратное

положение, а также аналогичное положение, относящееся к неравенству:

отношения, равные одному и тому же отношению, равны между собой.

Взгляды Такэ на 12-е и 15-е положения не вполне ясны. Он не

называет их аксиомами, но поступает с ними так, как если бы это были

теоремы, доказательства которых так просты, что их и не стоит приводить.

О 15-м положении:

"Две величины имеют между собой такое же отношение, какое

имеют их равнократные", он говорит: "Это положение можно было бы при-

нять и за аксиому".

Вне сомнения, такое обращение целого ряда раньше доказывав-

шихся положений в очевидные истины обусловливается не одним стремле-

нием к сокращению теории пропорции для более легкого усвоения ее начи-

нающими изучать Евклида; следует при объяснении этого факта учесть и

то,

что эти положения с постепенной арифметизацией ума стали приобре-

тать хотя бы и не в сильной степени, ту очевидность, которая раньше им не

была присуща.

Область поняли числа далеко расширилась за пределы евклидо-

вых, т.е. целых чисел. Общность формальных законов, присущих отноше-

ниям и числам этой эпохи, прекрасно сознавалась математиками, она, мож-

но сказать, каждую минуту вставала перед их глазами, они, так сказать, про-

тив воли приучались мыслить отношение, как число, и вследствие создавав-

шегося через это настроения ума возникали иллюзии очевидности.

§ 7. Сам Евклид не мог бы признать обеих этих теорий. У Евклида геомет-

рический объект получает право на существование только при условии до-

казанности его построения. Деление отрезка на m частей устанавливается

только в 6 книге. Для — о Борелли и (b

cl) Такэ не дастся построений и

поэтому, с точки зрения Евклида, (кстати говоря, чуждой XVII в.) все эти

теории являются незаконченными, и более того, они и не могут быть за-

кончены.

Можно отметить различие в аксиоматическом отношении между

теорией Такэ и евклидовой. Теория пропорций Евклида зависит от архи-

медова постулата, ибо на нем зиждется доказательство 8-го и 9-го положе-

ний.

202

Но независимы от него доказательства теорем 10-17 и независимо

от него определение 5-е, которое сохраняет смысл и в том случае, если

постулат Архимеда не выполнен. А именно, можно мыслить, что не для

всяких п существует такое га, что ma > nb, но что существуют значения п

без соответствующих in, и относить условия

ma^nb->mc?t nd

только к тем (in, п), для которых возможно первое неравенство.

Иное дело теория Такэ-Дешаля. Само определение уже предпола-

гает возможность таких а. и с, что

<с1^

что сводится к постулату Архимеда.

§ 8. Арно

является еще в большей степени арифметизированным, чем

Такэ.

Таблица аксиом у него еще дальше расширяется.

Следующие 10 истин по его мнению очевидны.

(а + b + с): d = (а

d) + (b : d) + {с

d).

а : d = (a-b): d + (b : d).

a: (b : m) > a : b, где m целое число,

(a: с): (b : с) = a: b.

5. (c;a):(c:b)=b:a.

a:b = c:dl

f-»a:b = e:i.

e:f = c:dj

7. a

b = с : b —> a = c.

8. Два из следующих условий влекут уже третье

a=ca:b=c:d b=d

a:b = c:d]

9. U(a:e):(b:f) = (c:g):(d:h).

e:f = g;hj

10".

a: b = с: d -> с : d = a: b.

Хотя некоторые он вследствие недостаточно сильной очевидности

доказывает или, вернее, разъясняет.

Достаточно бросить взгляд на эту таблицу, чтобы усмотреть, что

для Арно отношения уже величины, которые, как и числа, отрезки, площа-

ди,

объемы и т.д. могут между собой складываться и вычитаться. Но толь-

ко это величины относительные, в то время, как последние величины аб-

ые

Для каждого типа величин можно выделить оба эти рода.

203

Числами абсолютными у Арно называются только целые числа,

5 7

относительные же - это дроби —,—...

6 о

Таким образом, дробь начинает рассматриваться, как отноше-

ние.

"Так как отношение есть величина, хотя бы и относительная, гово-

рит Арно, то все, что относится к величине, вообще относится и к отно-

шениям.

Две величины (с : Ь) и (с : d), замечает Арно, хотя и относитель-

ные, мы можем подвергнуть, как а и Ь, сравнению, дающему или равен-

ство или неравенство.

В случае равенства имеем пропорцию а

b = с: d. Случай неравен-

ства дает то, что мы могли бы назвать относительной величиной уже вто-

рого порядка

(а

b):(c : d)

и сравнение пары таких новых относительных величин дает опять пропор-

цию

(а : Ь): (с : d) - (е

I): (g

или то, что можно было бы назвать относительными величинами высших

порядков и т.д.

Приведенная выше аксиома Таю, обращенная Дешалем в опреде-

ление, становится у Арно теоремой.

Интересно доказательство этой теоремы для случая несоизмери-

мости; в этом доказательстве ярко выступает лежандровское настроение.

Следует заметить, что в формулировке теоремы у Арно имеется несуще-

ственное изменение в сравнении с Такэ; предыдущее поставлено на место

последующего и обратно.

"Если всякие подобные аликвотные

части последующих b и d

равно (т.е. равное число раз) содержатся в предыдущих, то а : b и с : d

равны

а: b = с

Доказательство:

Положим, что а : b не =с : d.

Тогда а : b > с ; d, или а : b < с : d.

Конечно, можно ограничиться первым случаем, ибо второй будет

рассматриваться аналогично. Тогда, замечает Арно (пользуясь неявно ак-

сиомой Клавия, о которой мы ниже еще будем говорить), к b молено приба-

вить такое £, что

a:(b+£)

= c:d.

Но этого быть не может, ибо можно взять от а такую аликвотную

часть а, что а будет меньше £, и тогда с, будет содержаться в b ие столько

204

раз,

сколько Y (подобная аликвотнал часть d) содержится в с, а на единицу

больше, что противно условию

§ 9. Теорема о том, что произведение крайних членов пропорции

равно произведению средних, входящая в современную арифметичеасую

и алгебраическую теорию пропорций, у Евклида оказывается в 6-й книге,

причем очень далеко от начала (16-е предл.) и в 7-й книге (19-е предл.).

Доказывается она только для отрезков и целых чисел, причем для

случая отрезков формулируется таким образом:

"Если четыре прямые линии пропорциональны, то прямоугольник,

построенный на крайних прямых, равен прямоугольнику, построенному

на средних и обратно". Буквенная алгебра дает возможность выразить

символически эту теорему.

Если а : b = с : d, то ad = be (*).

Под буквой вне сомнения разумелось раньше (даже в XVIII в.) не

то,

что мы теперь разумеем, не число, а величина (magnitude in genere)

объемлющая как непрерывные, так и дискретные величины. Это можно

усмотреть уже из самих старых определений алгебры, например:

Рейхер(1703)

Чистая математик! делится на общую (Universalis), называемую

алгеброй, исследующую абстрактное количество (quanlitas abslracta), и

частную, включающую геометрию, исследующую непрерывную величину

и арифметику, исследующую множество или число.

Через 60 лет,

Лакайль (1762)-

Алгебра, это, так сказать, общая арифметика или наука вообще о

величинах, как арифметика - nayica о числах.

При этом Лакайль отмечает, что qmmtilas vel magnitude

может

быть дискретно (partibus separates) - такие величины исследует арифмети-

ка - и непрерывно (continuae), которыми занимается геометрия.

Еще в XVII веке алгебра помещается после арифметики и геомет-

рии.

Из "ars hweniendi"

, находящего свое обоснование только в геомет-

рии,

алгебра не скоро обратилась в систему общего учения о величинах.

Она. содержала правила формальных операций и вытекающие из

этих правил следствия, но смысл их совершенно различно истолковывался

для геометрических величин, чем для чисел.

Для геометрических величин в равенстве (*) ad и be истолковыва-

лись, как площади треугольников, построенных на ad и be. Если а, Ь, с, d

это прямолинейные отрезки или, как выражались, шлейные величины,

то ab, cd... - плоские, abc...- телесные.

Что касается до abed, то это величина, воображаемая, мнимая, то

же,

что для

нас^Т.

Так что одна и та же формальная алгебраическая

операция могла привести или к реальному, или к мнимому результат)'.

205

Смотря по тому, производится ли она над числами или геометрическими

величинами, например, отрезками.

Если а = 2, 3, —... то a

, а

}

... имеют конкретный смысл.

Но если а отрезок, то я, площадь квадрата, а

объем куба, ад^-в

сущности говоря, то же, что ^/TJ . Это коссическая величина. "Существует,

говорит Херитон,

только 3 рода величин вещественных (reelles): линия,

поверхность и тело, но мнимых (d'imaginaires) - бесконечность: квадрат-

квадрат, квадрат-куб, куб-куб и т.д.".

§ 1.0. Открытие аналитической геометрии вызвало отнюдь не окон-

чательную арифметизацию геометрии, а ее алгебраизацию.

Координата у Декарта

ни в каком случае не число, а прямолиней-

ный отрезок. Роль чисел у него играют прямолинейные отрезки, между

которыми и всякими геометрическими величинами устанавливается вза-

имно-однозначное соответствие, и все операции над геометрическими ве-

личинами сводятся к операциям над отрезками; ab, abc, х, х

, х

.... понима-

ются,

как величины одного рода - отрезки; abed... х

, х

получают такой же

реальный смысл. Для этого оказывается достаточно истолковать ab, не как

площадь, а как отрезок, получаемый построением:

на ОР откладывается ОВ=Ь

на OQ откладывается ОА=а

ОС=1

С соединяется с В

АХ||СВ->ОХ = х

так, что х

а = b : 1

такой отрезок х и считается произведением а на Ь.

В основе этого определения лежит аксиома, которой пользуется

Евклид так же неявно, как постулатом Архимеда и которую вскрыл Кла-

вий:

существует четвертая пропорциональная, т.е. существует такое х,

что при данных а, Ь, с,

х : а = b : с.

Эта аксиома применяется в доказательстве 18-го предл. 5-й кни-

ги:

а: b = с

d -> (а + b)

b = (с + а): d.

Доказательство ведется от противного с помощью предыдущей

обратной теоремы

(а + b): b = (с + d): d а

b = с

Предполагается, что

(а + b)

;

b не = (с + d) : d,

а = (с + d): е, где e^d.

В первом случае, на основании теоремы 17,

206

а:

= (с +

е):

е,

откуда

(с + d):

(с

+ d-e): е, а

так как

с + d>c + d-e,TO

должны иметь

d > е, что

противно условию.

Таким

же

образом устраняется

второй случай.

Подлинность этого доказательства оспаривается Робертом Симп-

соном.

Вайлати

доказывает это утверждение ссылкой на то, что в латин-

ском издании "Начал" Компаиуса", составленном

по

арабскому переводу,

содержится другое доказательство,

не

зависящее

от

постулата Клавия.

Мы

не

будем приводить доказательство Компануса, дополненного

Вайлати, отсылая читателя

статье последнего.

истории эволюции идеи

числа это доказательство

не

играло роли.

Между тем, как метод доказательства

предл.

5-й

книги состав-

ляет, именно, тот метод, который был применен Арно к доказательству ак-

сиомы Такэ,

позднейшими математиками

доказательству пропорцио-

нальности углов

и дуг (в

случае несоизмеримости)

других аналогичных

положений (теор.

33 6-й

книги).

Аксиома Клавия доллша была оказать большой толчок в направле-

нии арифметизации числа.

Как мы выше заметили, едва

ли

сам Евклид включал числа

гео-

метрические величины

один класс.

Но

такое включение совершенно

оп-

ределенным образом свершилось

при

создании буквенного счисления.

Для Евклида пропорция (равенство отношений)

а:

= с

опреде-

ляется или для геометрических величин разного рода

(5-я

книга), или для

чисел (7-я книга). Для позднейших лее математиков (а, Ь)

(с,

d) -

величи-

ны вообще,

magnitudines in genere, и

может быть случай, что (а, Ь) геомет-

рические величины,

а (с, d)

числа,

но

при этом, если

(а, Ь)

одного рода,

то

(с, d)

одного рода.

Постулат Клавия тогда постулирует возмоленость

геометричес-

ким величинам

(Ь, с) и

числу

найти такое число

х, что

х : а

b :

с.

Возьмем

а = 1 и мы

будем приведены

необходимости признать

всякое отношение, даже несоизмеримых величин,

за

отношение числа

единице.

Если

за с

принять единицу меры, то результат измерения b : 1 пред-

ставится отношением числа

к 1.

Остается отождествить отношение

чис-

лом,

чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между геометри-

ческими величинами

характеризующими

их

числами,

§11.

Не

меньшую роль

арифметизации теории пропорций сыграло

5-е

определение

6-й

книги "Начал".

"Отношение называется сложенным (составленным) из отношений,

когда количества сих отношений в них кратствованные делают некое коли-

чество"

(не

вернее ли

отношение?)

207

Оставляя в стороне вопрос о точности перевода Петрушевского, я

не могу не признать, что, если этот перевод точен, то сам оригинал пред-

ставляет какое—то искажение евюшдового определения, об истинном со-

держании которого приходится строить предположение, пользуясь, напри-

мер,

вольным переводом Лоренца:

"Из трех или многих величин а, Ь, с, из которых каждое пре-

дыдущее находится в отношении к последующему

(а

Ь), (Ь : с), (с : d)...

отношение первого к последнему называется составленным из всех этих

отношений".

Перевод Ващенко-Захарченко:

-0

"Отношение называется составленным из отношений, когда эти

отношения, будучи перемножены, дают отношение". Причем это поясняет-

ся рядом равенств в современной символической форме:

а _ k b _ m с _ s

b 1 ' с n ' d г

a b с _ к m s

bed 1 n r

Видимо этого рода понимание было у математиков второй полови-

ны XVII века с уже отчасти арифметизированиым математическим мыш-

лением.

Евклид нигде ие оперирует с отношениями как с числами, в духе

Арно.

С его точки зрения не может быть умножения отношений.

Поэтому, если такой перевод правилен, то, как справедливо заме-

чает Вайлати, - это определение ие может быть признано подлинным.

Но

этом случае

предложение 23-е 6-й книги

(о котором, види-

мо,

Вайлати забывает) должно быть признано не подлинным.

Подробно анализируя доказательство этой теоремы, мы легко ви-

дим,

что формулировка Лоренца не охватывает содержания того определе-

ния,

которое лежит в основе этого доказательства.

Отношение а : d называется составленным не только из

(а : Ь). (Ь : с), (с : d),

но и из

(о : b).(b :

с),

(с : d)

если

a:b =

a:b,b:c

= b:c,c:d = c:d.

Евклидово отношение было ближе к общему логическому понятию

отношения, лежащему в основе современной логики отношений, чем к

математическому отношению чисел, но, вероятно, у самого Евклида не

было вполне ясного понимания отношения

208

В высшей степени интересно, как на хгоомежуточной декартовой

точке зрения, не объявляя еще отношение числом, математики старались,

не скажу истолковать, а скорее исправить Евклида в этом месте.

За декартовым истолкованием умножения отрезков а на b и выте-

кающего отсюда истолкования — или а : Ь, истолковывалось также умно-

а с ас

жение отношений (или частных) так как — и — представлялись

отрезками.

Джордано Витале

' устанавливает для а : b или — ряд формаль-

иых законов, которым подчинены числа.

b = ас

b = с

d -» ad = be

a(bc) = (ab)c

a ,

4 —b=a.

12. Открытие Пифагором несоизмеримых величин положило конец наи-

вному представлению о взаимно-однозначном соответствии между геомет-

рическими величинами и рациональными числами (или, вернее, отноше-

ниями целых чисел).

Брюисвиг

, по всей вероятности, правильно предполагает целый

ряд попыток выражения диагонали квадрата, со стороной =1, числом, рань-

ше чем была установлена неразрешимость этой задачи.

Само пифагорейское мировоззрение доллшо было располагать к

вере в разрешимость этой проблемы и открытие неразрешимости должно

было нанести ему неисцелимую рану.

Интересно отметить, что установке логически не обоснованной, но

психологически объяснимой, взаимно-однозначного соответствия между

геометрическими величинами и числами, путем расширения идеи числа,

предшествует краткий период особого понимания,

ab,

abc...

в котором постулируют взаимно-однозначное соответствие между геомет-

рическими величинами и числами, при этом числами не только рациональ-

ными, но и целыми.

Но эти целые числа - это актуально бесконечные числа, которыми

определяется сколько раз неделимое (актуально-бесконечно малое XVII и

начала XVIII в.) содержится в конечной геометрической величине.

"Линия, говорит Ривар

в своих "Элементах Математики", умно-

жается на другую линию, если первая берется столько раз, сколько точек

209

во второй: например, чтобы умножить АС на CD, следует линию АС взять

столько раз, сколько точек в линии CD, т.е. чтобы иметь произведение АС

на CD, следует представить себе, что проведены линии равные и парал-

лельные АС: они заполняют пространство ACDB, вот почему произведе-

ние одной линии на другую образует прямоугольник".

§ 13. Арно, Луи Бертран

, Лсжандр

- вот три ступени арифметизации

геометрии.

То,

что у Бертрана высказывается в робкой форме, у Лежандра

высказано уже вполне категорически.

Лежандр и авторы учебников

лежандровского типа, всякое дей-

ствие над отрезками заменяют соответствующим действием над числами,

ab понимается только как произведение двух чисел

(АВ+ВС)

=АВ

+ 2АВ.ВС + ВС

ибо

(а + b)

= а

+ 2ab + Ь

где а число определяющее АВ, b - ВС.

Вполне понятно, что именно Лежандр, лучшие труды которого от-

носятся к теории чисел, дожен был дойти до крайнего предела арифмети-

зации геометрии.

а : b = с

поэтому ad = be.

Эта истина, говорит Лежандр, в числах верна, она верна и при

всяких других величинах, лишь бы только они изображались через числа,

что всегда можно положить.

Например, если А, В, С, D - 4 линии, то можно вообразить, что

одна из них служит мерой; тогда как А, В, С соизмеримы и несоизмеримы,

и во всех случаях они выражаются числами, в первом случае соизмеримы-

ми (рациональными), во втором несоизмеримыми (иррациональными).

Что касается чисто арифметического обоснования теории ирраци-

ональных чисел, математики в этом отношении и после Лежандра чув-

ствовали себя несколько неловко в критических местах элементарного курса

геометрии - это можно видеть в примечаниях учебника Лакруа

, в кото-

рых он как бы старается оправдаться перед читателем в своих арифмети-

ческих тенденциях:

"Испытывается, говорит Лакруа, некоторое затруднение в перене-

сении на части пространства понятия отношения в таком виде, как оно

понимается для чисел, в особенности, когда дело идет о несоизмеримых

между собой линиях, но темнота рассеется, если обратить внимание на

то,

что сравнивать две линии возможно только относя их к общей мере, и

тогда их отношение есть, действительно, число или дробь, члены которой,

выраженные числами, представляют то, сколько раз мера заключается в

210

каждой линии. Хотя эту дробь невозможно точно указать в том случае, ког-

да соотношение несоизмеримо, но она тем не менее существует",

§ 14, 5-я книга кончает свое существование. Арифметика побеждает гео-

метрию и ставит последнюю в зависимость от себя.

Но с началом логистических тенденций еще в 70 и 80 гг. прошлого

столетия в Италии раздается призыв к возврату к Евклиду, к освобожде-

нию геометрии от арифметики.

Но полного возврата к прошлому не бывает. Евклид итальянских

геометров - это псевдо-Евклид.

Для Евклида в геометрии существует только то, что может быть

построено, для Лежандра то, что может быть вычислено, для математи-

ков-логистов то, что не содержит противоречий.

Уже в силу этого, иррациональные числа не существовали, да и не

могли существовать для Евклида. Для Лежандра они, только они, были

достаточны, ибо все вычисления над геометрическими величинами молено

было свести к операциям над числами.

Логист не только имеет основания отказаться от иррациональных

чисел, но естественно логизирует понятие иррационального числа и со-

здает идею таких объектов, которые, не служа уже орудием вычисления,

вкладываются в логические схемы арифметики.

Логист остается при взаимно-однозначном соответствии геомет-

рических величин и чисел, и не подчерыгааемый им до последней главы

факт существования такого взаимно-однозначного соответствия и делает

возможным оперирование с отрезками, площадями и т.д. так, как опериру-

ют в арифметике и алгебре с числами. Все, что приносится им как новое, в

"Началах" Евклида - это в доказательствах - алгебраическое, а именно,

прилагается алгебраическая техника доказательств в приложении к вели-

чинам, которые не признаны алгебраическими (причем алгебра=алгебра

чисел), в постулатах - экономическое сокращение числа их, стремление

осуществить логический минимум, хотя бы в ущерб очевидности, в опре-

делениях - логистическое - переработка определений с сокращением ин-

туитивного материала, в них входящего.

Первое совершенно чуждо Евклиду и потому дает не возврат от

Лежандра к Евклиду, а дальнейшую за Лежаидром стадию эволюции.

Второе бесспорно имелось в виду и Евклидом, но не интересовало

Лелеандра. Для Евклида, чем меньше аксиом, тем меньше сомнений со

стороны софистов, поэтому Евклид доказывает иногда совершенно очевид-

ные истины.

Третье же в равной мере совершенно чуяедо и Евклиду, и Лелсщдру.

Но для Евклида на первом плане очевидность, на втором мини-

мум,

для логиста же наоборот, он всегда готов принести в лсертву очевид-

ность минимуму.

211