Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Теории пропорций Саньо д'Овидио

и Веронезе

отнюдь не сле-

дует рассматривать как продолжения того удерживавшего арифметизацию

геометрии течения возврата к Евклиду, которое проходит через д'Аламбе-

ра и Гурьева

, а, как совершенно новое течение, представляющее продол-

жение основного потока, идущего через Арно и Лежандра.

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ.

§ 1. Античная мысль и бесконечность.

Античная мысль не знает в нашем смысле математической бесконечности.

Бесконечность как актуальная

, т.е. бесконечность множеств и трансфи-

нитных чисел, так и потенциальная бесконечность предела вышли из сред-

невекового схоластического мышления. Бесконечность медленно отвоевы-

вала себе права. Долго

схоластике держится доказательство, которое молено

назвать reductio ad infinitum

, которое существование объекта, небытие

которого следует доказать, ставит

зависимость от существования недопу-

стимой актуальной бесконечности. Актуальная бесконечность сперва Бога,

затем вселенной и, наконец, числа.

Для античной мысли, носящей определенно статический

харак-

тер,

совершенством молсет обладать только вполне ограниченная форма;

снятие границ ведет к неопределенности, к несовершенству. Это, конечно,

точка зрения как раз противоположная епшюзовской и канторовской, для

которых конечное получается из бесконечного путем наложения границ на

более совершенное. Более того, бесконечность, которая всегда приравни-

вается безграничному, теряет свое право на существование в силу вскры-

ваемых противоречий.

В признании Аристотелем потенциальной бесконечности моясно

было видеть зародыш идеи предела.

Представляет ли эта бесконечность то, что вещь стремится достиг-

нуть, но ие достигает?

Но такая формулировка совсем не в античном духе, античная мысль

не знает движущейся переменной величины. Да, кроме того, идея предела

характеризуется не только одним стремлением к ней, но и сколь угодно

близким приближением, поэтому бесконечность и не может быть признана

в собственном смысле пределом.

У Аристотеля актуально бесконечное

—

это снятие всех границ, по-

тенциальное - это только возможность снятия всякой определенной грани-

цы,

при этом вовсе не мыслится вся совокупность этих возможностей.

Античный математик никогда не берет бесконечный ряд. Весь ряд у него

мыслится конечным. Он только говорит, что в ряду А,, А

, А

. .. он может

вы брать такое А

, что разность А - А , окажется меньше наперед заданной

1 1 1

величины —

'JQQ"'7^Q"

•

• •. Он 1) вовсе не мыслит переменного X, про-

ходящего через значения А,, А

, А

и стремящегося к А; 2) вовсе не мыс-

лит всей бесконечной совокупности А

А,, А

а только конечное число

213

операций, достигающих цели. На первый взгляд кажется, что внесение

понятия предела в д'аламберовском' смысле ничего не дает, что все дока-

зательства, выдвигаемые методом пределов, при более строгой обработке

в конечном итоге сводятся к античной методе.

Если признать, что идея предела в строгой обработке должна вы-

пасть, являясь логически не действующей, то и тогда за ней следует при-

знать большое значение уже в эвристическом смысле, признать, что эта

общая идея явилась основной при построении, может быть, и недостаточ-

но обоснованных методов, сменивших античные, носившие более случай-

ный характер.

Но не трудно видеть и то, что такое возвращение к античной мето-

де при требовании логической стройности не достигает цели.

Понятие предела содержит больше, чем то, что определяется усло-

вием,

что А-Х может быть сделано менее всякой заданной величины; это

большее выражается обычным в настоящее время добавлением; "и в даль-

нейшем остается меньше этой величины"

Это прибавление дает возможность выделить случай, когда ряд А,,

А,, А

имеет только одну точку сгущения среди случаев, когда этих точек

вообще много, и даже бесконечно много. Но при этом необходимо то, что

совершенно чуждо и Евклиду и Архимеду: необходима мысль о всем бес-

конечном множестве А,,- А,, А_, Собственно говоря, замена актуальной

бесконечности метода неделимых потенциальной бесконечностью теории

пределов вовсе не уничтожает первой, она ее, так сказать, загоняет в под-

полье, она существует сперва скрытно, а потом выступает явно. А именно,

во всяком пределе мыслится весь процесс приближения к пределу в его

целом. Процесс этот во времени всегда незакончен, а в мысли он является,

как нечто существующее во всей своей полноте, и определяет так называе-

мый фундаментальный ряд Кантора

. Там, где множество содеряогт беско-

нечное число точек сгущения, например, в случае континуума, метод древ-

них всегда будет дефектным. Постулирование существования четвертой

пропорциональной X в пропорции

A:X=aj :а

определяет некоторое соотношение между множествами А и а , и поэтому

обоснование его ведет к рассмотрению непрерывных множеств.

Древние мыслили актуальную бесконечность пространства и чис-

ла,

но отрицали их реальное существование. Но что касается до актуаль-

ной бесконечности какого-либо процесса, то здесь дело шло еще дальше:

они не могли и мыслишь об этом. Этим разрешается следующая интерес-

ная загадка: Аристотель, отрицая бесконечность вселенной в пространстве,

признает вечность ее во времени

. Чтобы понять это, следует хорошо про-

думать Аристотеля. Дело в том, что он очень далек от эмансипации мате-

матических и логических понятий, от элементов времени и пространства.

214

Аристотель, как и Евклид, мыслил только числа и величины геометричес-

кие; прошло не мало времени до появления понятия алгебраической вели-

чины, объемлющей как класс и дискретные, и непрерывные величины.

Формулировка основных логических аксиом содержит время: А не

может быть в одно н то же время А и не А

Все данное является данным во времени.

Всякое доказательство относится

существованию чего-либо в оп-

ределенный момент.

Бытие безотносительно ко времени не существует у Аристотеля.

Поэтому и вопрос о существовании или несуществовании бесконечного

времени им не может быть поставлен. Утверждение, что мир вечен, не

следует понимать так: время бесконечно, а только так, что ко всякому мо-

менту времени можно прибавить еще следующий момент. И Аристотель

никогда ие прибавляет: и так до бесконечности, ибо никакой бесконечнос-

ти он здесь не мыслит. Бесконечное пространство мыслится, хотя без пра-

ва на существование.

Но бесконечное время и мыслиться не может, ибо нет для него мо-

мента времени.

Эта немощность вневременного мышления явно выявляется в зе-

ноновских парадоксах

. Берется бесконечный процесс, с помощью кото-

рого строится бесконечное множество, [что призается немыслимым].

Мы объявляем, что асе элементы действительно строятся, и этот

процесс мыслим как нечто целое и вне времени, в которое мы этот процесс

вполне можем осуществить. Иное дело - античный мыслитель. Он утвер-

ждает, что не все элементы осуществляются этим процессом, причем при

этом утверждении он не может отрешиться от субъективного бессилия, от

невозможности конкретно достигнуть отдаленных элементов

10-е полоясение "Начал" Евклида"

"Даны две величины А, а, и от

большей А берется более половины, от остатка опять более половины

т.д.

Всегда можно прийти к остатку, который будет меньше данной величины

а", на котором основывается апагогическое доказательство метода исчер-

пывания, вовсе не утверждает, что этим алгорифмом достигаются все слу-

чаи:

< 0,1, < 0,0К 0,001 ...

§2.

Евклидова форма метода исчерпывания

Общая схема метода исчерпывания в его первой стадии развития, той, ко-

торая имеет место

"Началах" Евклида, следующая: Следует доказать, что

В = а

b (1)

Доказательство разделяется на две части. Если пропорция (1) не

выполняется, то возможны два случая:

1) А:Х = а :Ь, гдеХ<В

2) А

X = а : Ь

;

где X > В (2)

215

Для исключения первого случая пользуются рядом величин:

(I) р (2) р (3)

иного рода, чем

А, но

таких, что

все

члены будут:

меньше

А и 2)

раз-

ность А-Р^при надлежащем выборе

может быть сделана меньше

любой величины (можно сказать,

какой угодно мере исчерпана

*).

Такой

же

ряд берется и для

В:

р (О

р (V р С)

и доказывается, что

(ll)

(u)

=A;X

(3)

Но тогда и можно взять настолько большим, что будет иметь P

(n)

ибо

будет какая-либо разность, меньше которой можно сделать

В -

<">. Но,

другой стороны,

по

предположению:

Сравнение пропорций

(2) и

(3) дает:

=A:X

Это же при

A, P

> X

невозможно, как это следует из теории

пропорций Евклида (5-ая книга "Начал").

Совершенно таким же образом

помощью рядов:

О-ЛРЛ-С-,

Q„

(l)

,Qb

C2)

--Qb

° Qb

(,0

таких, что разности Q.W

- В

могут быть исчерпаны, исключается

и второй случай.

Метод исчерпывания

"Началах" Евклида применяется для дока-

зательства следующих положений:

1) Площади кругов относятся между собой как квадраты диамет-

ров (ХП книга,

2-е положение).

Здесь

В -

площади кругов,

и b

квадраты их радиусов, PW

площадь правильного вписанного многоугольника, Q

(n)

- описанного.

Паппус

отсюда выводит теорему, что окружности кругов относят-

ся как

их

диаметры, замечая, что

это

может быть выведено

из

того,

что

периметры подобных многоугольников

равным числом сторон относят-

ся,

как диаметры вписанных или описанных кругов.

2) Трехсторонние пирамиды равных высот относятся, как основа-

ния (ХИ

и В -

объемы пирамид,

а и b -

площади оснований,

объем

суммы входящих,

выходящих призмочек.

216

3) Конус равен — цилиндра с одной с ним высотой и тем лее осно-

А - объем конуса, В - цилиндра, Р

- вписанной, Q

- описанной

ды,

- вписанной, Q

- описанной около цилиндра призмы.

4) Конусы и цилиндры с одной высотой относятся как основания

5) Подобные конусы и цилиндры находятся в тройном отношешш

как диаметров их оснований (ХП

6) Сферы находятся в тройном отношении их диаметров (XII,,).

Тем же методом Архимед доказывает, что площадь эллипса отно-

сится к площади круга наибольшей оси как малая ось к большой - путем

сравнения вписанных многоугольников с вершинами на перпендикулярах

к большой оси.

Эта форма метода исчерпывания применяется часто в учебниках

лелсандровского типа, например, у Давидова при доказательствах'

1) пропорциональности центральных углов и дуг,

2) пропорциональности площадей прямоугольников с равными

высотами,

3) пропорциональности отрезков, отсекаемых на прямых парал-

лельными,

4) пропорциональности двугранных и линейных углов,

5) пропорциональности объемов параллелепипедов с равновели-

кими основаниями и высотами.

Форма Евклидова метода исчерпывания с привлечением идеи пре-

дела и при соответствующей переработке превращается в прямой метод по

ванием (XII ).

(ХП

схеме:

U<A<V

= a:b

S<B <т

limU:limS = a:b

U:S = a:b ->

-»A:.B = a:b

limU :limT= a:b

и вызывает следующие идеи:

1) принцип Гурьева

: если

U < А < V

и lim U = lim V = С, то А = С,

или в более общей форме:

u<w<v

217

lim U = lim V = С, то lim W = С.

2) Если U: S =а : Ь, то lim U: lim S =а: b.

В методе неделимых этих идей нет, он пользуется актуально беско-

нечно малым, идет по другой линии.

§3.

Первая архимедова форма метода исчерпывания.

Метод исчерпывания подвергается дальнейшей эволюции у Архимеда

Исчерпывается не разность между дайной величиной А и членами ряда,

дающего его приближенные значения:

РДРЛ

,1)

(РД

а разность мелсду соответствующими членами ряда (Р

), дающего при-

ближение по недостатку, и ряда;

\Q/

, Q

(,,)

(QJ,

дающего приближение по избытку.

Следует доказать, что А=В.

Для устранения предположения В > А пользуются двумя парами

рядов:

р О) р (2) р (ш)

(I,

><V

>....<V

ffl)

для которых

«<R

«><:....<R

S®>S™>....>S™ '

(u,)

<A£Q

(,H)

при чем устанавливается возможность исчерпывания разностей

Q,/"

-Р

(ш

(,,)

-R),

и отсюда выводится, что отношения

П <

> • р О'О о <м> .

-л

(п)

можно предполагать при надлежаще выбранных m, п меньше всякого от-

ношения С : А, где OA. Далее обнаруживается, что всегда при п молото

выбрать m так, что

р О»)

тэ <«) п М ^, о (")

Полагая В = А', где А' - величина того же рода, что А, имеем

тогда при некотором п

Но это иевозмоэ/спо, ибо

218

>A'=B

(m)

<A'=B.

Таким же образом устраняется и случай

В < А.

По этой схеме ведется Архимедом доказательство ему принадле-

жащей (и потому в евклидовы "Начала" не входящей) теоремы;

Круг равновелик треугольнику с основанием, равным длине окруж-

ности, и с высотой, равной радиусу.

А - площадь круга,

В - площадь треугольника,

Р^

- вписанный правильный многоугольник,

' - описанный правильный многоугольник,

- треугольник с основанием, равным периметру первого и с

высотой, равной радиусу,

S„

- треугольник с основанием, равным периметру второго, и с

высотой, равной радиусу.

2) Другой пример - это 13-е положение книги о конусе и цилинд-

ре

о том, что боковая поверхность цилиндра равна площади круга, диа-

метр которого - среднепропорциональное между стороной (т.е. образую-

щей) и диаметром цилиндра.

Здесь А - поверхность цилиндра, В - круга,

<ш)

. поверхность вппсаннной призмы,

—

описанной,

r^oii)

_ вписанного в круг многоугольника,

in)

- описанного.

3) Положение 15-е; поверхность конуса равна площади круга, име-

ющего радиусом среднепропорциональное между стороной конуса и ради-

усом его основания.

4) Поверхность шара равна учетверенной площади большого кру-

га (положение 31-е),

За P

', Q.

<m)

принимаются поверхности, описываемые вращением

вписанного и описанного в полукруг многоугольника.

5) Объем шара равен учетверенному объему конуса, основанием

которого служит большой круг шара и высота которого равна его радиусу.

6) Поверхность сегмента шарового, меньше полусферы, равна пло-

щади круга, имеющего радиусом прямую, идущую от вершины сегмента

окружности основания (положение 40-е).

7) Объем сегмента равен объему конуса, основание которого равно

поверхности сегмента, а высота - радиусу шара (положение 42-е).

Этот метод дает следующую форму ему соответствующей теории

пределов:

U< A<V

S <В <Т

219

U < S < Т < V: lim U = lim V -н> lim S = lim T = lim U = lim V-> A = В

и таким образом включающий принцип более общий, чем упомянутый выше

принцип Гурьева.

§ 4.

Вторая архимедова форма метода

исчерпывания

В этой форме неравенства (5) заменяются более простыми

(,,0

<A^Q

(

"*<В^

{т

причем Р и Q выбирается так, что

(я)

=а

(в0

+а

<т)

а$

=а™+а™ +

о>)+а

(т)

где

(т)п

о мере возрастания m убывает.

Разность Q./"

'-Р

(п,)

, 1сак равная а

(1П)

может быть сделана как

угодно малой.

Так поступает Архимед при определении объема коноида (тела

вращения параболы): ctj представляет входящие и выходящие цилиндры,

Р„

(ш)

представляют цилиндры, равновеликие сумме этих элементар-

ных цилиндров, В - объем цилиндра, основание которого - это основание

коноида, а высота - половина высоты коноидов.

Этот метод применяется при выводе объема гиперболического ко-

нуса (гиперболоида вращения) и площади архимедовой спирали.

Этот метод и теперь применяется в школьной литературе при так

называемой "чертовой лестнице", т.е. доказательстве равновеликости двух

пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями. Но только в

этом случае Архимедов метод представляется в несколько видоизменен-

ном виде.

«2.

0,0

Pa°"

<B<Q

(n0

¥-,

<т)

= а^

(т)

+ а£

(

"> =

+a2

а^+аД

Доказывается, что а/

,п)

= а/"°, откуда Р

{

"° = Р,

(,n>

, Q

(

"° = Q,

(m)

Архимеду приходится делать то, что избегается в этой последней

форме, суммировать

220

находить такую величину определенного рода, например, в первом приме-

ре цилиндра, для которой ст

-1 служила приближением по недостатку, а

сумма ст

- по избытку. Ему приходится суммировать

+ +

+ + п

Ему не удается этим методом найти площадь сегмента параболы,

так как приходится встречаться с суммой

д/Г+л/2+л/З

+ -Jii.

которую он, конечно, не может просуммировать.

Этот метод в обработке идеей предела приводит к основной идее

интегрального исчисления

в том виде, как она ныне (а не во время суще-

ствования метода неделимых) представляется, а именно к представлению

величины А как предела суммы бесконечно великого числа бесконечно

малых элелентов. Тогда указанная выше форма сводится к следующей схе-

ме:

А= lim (анализ)

lim £

= 1

SPj (синтез)

2>J=B

А = В

Указанное выше видоизменение архимедовского метода приводит

к схеме:

А = lim ^ctj

В = lim £pj

aj = Pj->A-B.

Метод неделимых как выпрямление метода

исчерпы-

вания.

Характерная черта мысли эпохи Возрождения состоит в том, что в науке

прежде всего существенен ars inveniendi, метод изыскания

истин, а в не-

сравненно меньшей мере - ars demousirandi, метод доказательства.

Метод неделимых

, который нарождается в XVIII веке, вполне отвечает

этой черте.

Он мало убеждает и современников, но много обещает открыть.

221