Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

х=4.

80 = 320.

Пропорция х : х

= d : d

является в глазах старых математиков

чем-то самим по себе очевидным и не доказывается.

Но если бы пожелали ее строго доказать, то пришлось бы делать

то,

что мы избегаем с помощью этого метода, т.е. соединение подобных

членов в уравнениях (1) и (2),

Сложное фальшивое правило.

Если теперь вместо уравнения (1) взять:

е[ах + bx + g + с(а'х + b'x + h)] = d

и соответствующие ему арифметические задачи, то и в этом случае

делалось заключение:

е[ах + bx + g + с(а'х + b'x„ + h)] = d„ (4)

что давало, конечно, неправильный результат

(если g + ch 0 ) .

Уже в риторической алгебре арабов мы видим понимание непри-

менимости к этим случаям простого фальшивого правила (хотя не отмеча-

ется признак, позволяющий отделить первый случай от второго) и замену

простого regula falsi слолшым

. Здесь regiila falsi уже не арифметический

метод решения, а риторическая формула.

Берем формулировку Бэг-Эддина:

"За неизвестное бери произвольное и назови его первым предпо-

ложением и вычисли с помощью его предложенную задачу, если совпада-

ет,

то это и есть решение.

Если отклонится в одну или другую сторону, то получишь первое

отклонение.

Возьми другое число и назови его вторым предположением, если

произойдет отклонение, то это будет второе отклонение.

Помножь первое предположение на второе отклонение, назови это

первым результатом. Затем второе предполоясение на первое отклонение -

вторым результатом. Если оба отклонения одновременно положительны

или отрицательны, раздели разность обоих результатов на разность откло-

нений, если же они различны, раздели сумму результатов на сумму откло-

нений - частное будет искомое число".

Откуда

272

S| =

-d[ , S

= d-d

что,

конечно, в символической алгебре не представляет затруднений дока-

зать.

Еще в учебник XVIII столетия фальшивое правило входило в та-

ком виде

Приведем пример из учебника Магницкого:

"Вопроси некто учителя своего глаголя: повеждь ми, колико има-

ши учеников у себе во училище, понеже имам сына отдати во училище и

хощу уведати о числе учеников твоих. Учитель же отвещав рече ему: аще

придет ми учеников толико же, елико имам, и полтолико, и четвертая часть,

еще же и твой сын, и тогда будет у мене учеников 100".

Решение Магницкого:

Пусть учеников 24 - первое предположение:

24 + 24 + 12 + б + 1 = 67

ошибка 33.

Пусть учеников 32 - второе предположение:

32 +32 + 16 + 8 + 1 = 89

ошибка 11.

24 х 1.1 =264 (первый результат)

32 х 33=1056 (второй результат).

По общему правилу решение равно

= 36

§ 3. Способ приближенного решения уравнений.

Regula falsi, бесспорно, родоначальник приближенных методов вычисле-

ния.

Сущность простого фальшивого правила можно представить следую-

щим образом: полагая в уравнении

А(х)

= К (6)

х = х ; имеем

Решение тогда определяем из пропорции

х _ К

Если нельзя указать точное значение для х, естественно доволь-

ствоваться приблизительным, которое как можно меньше отличается от

первого.

273

Такое неточное значение х находится примитивным способом проб,

как это указано в § 1.

Предположим, что система операции А (х) разлагается на С (х) и

D (х); уравнение (б) символически представляется в следующем виде:

[C(x),D(x)]=K (7)

Пусть все затруднение в D(x),

Задачу С(х) = К мы решили бы просто. (8)

Конечно, первое, что приходит на мысль, это просто отбросить D

(х) и решать ур. (8).

Этот прием может дать приближенное решение, но как получить

еще более точное?

Тут выступает благотворная идея.

При разыскании более точного значения х ие отбрасывать D (х), а

производить эти операции над первым приближением х = а, т.е. решать

уравнение

[C(x),D(a)]=K (9)

В этом и состоит выправление неточного решения в более точное х = Ь.

Следующий момент состоит в решении уравнения

[C(x),D(b)]=K (10)

и т.д.

И здесь метод обоснован верой в то (что в общем случае, конечно,

неправильно), что ряд а, Ь, с... сходится к корню заданного уравнения (7).

В то время, как в первоначальном виде выправление ложного пред-

ложения на основании полученного при нем результата производилось до

точного значения неизвестного, при переходе от точного решения уравне-

ния к приближенному понятие о выправлении ложного предложения обра-

тилось в полученное из этого ложного предложения другого, тоже лоясного,

но более, чем первое приближающегося к истинному.

Для решения уравнения Кеплера

х - esinx = и (11)

где u, е даны, причем е мало, берут х = и за первое предположение - пер-

вое грубое приближение х .

Выправление этого грубого приближения совершается с помощью

уравнения

х - esinx = и

дающего тоже неточное, но, вообще, более полное, чем первое, приближе-

ние.

Эта же идея прилагается и Жерардом" к решению уравнения тре-

тьей степени

- nvVx - mV = 0 (12)

к которому сводится всякое уравнение типа

- рх - q =

274

Полагая sin to = —

приводим (12) к виду

sin2(B

+ 2m = 2tgco.

Для получения последовательных гтаиблгокений, берем со = х (при-

ближ. полученного пробами).

Второе получаем из уравнения sin2со + 2m = 2tga , третье из

sin2ro+2m = 2tgp\

В этом виде regiila falsi избегают даже в высших технических заве-

дениях, вследствие невозможности строгого обоснования этого метода.

Конечно, это большая ошибка, ибо высшее техническое заведение

долишо обращать внимание на те отделы математики, в которых нуждают-

ся технические науки, и лучше дать технику в руки плохо обоснованный

метод решения трансцендентных уравнений, чем не дать ничего.

С развитием разложения в ряды как орудия исследования, regula

falsi принимает такую форму: х = х

- грубое приближение корня уравне-

ния

f(x) = 0 (13)

так что точное значение будет:

х = х + h.

Уравнение (13) представляется в форме разложения

a H-al» + ah

+... =0

0 I 2

К этому-то уравнению и применяется та операция, которую мы

прилагаем к уравнению Кеплера, т.е. отбрасывание членов;

alr + ah

+ ,..

и определяется первое приближение

h, =-^L

»i '

Полагая

х = х + h +h' = x -Hi',

0 I 1

мы аналогично определяем уравнение для h'; с помощью его гтиближае-

мого значения, получаемого отбрасыванием членов a' h'

+ выправля-

ем х, до более точного значения х

(

+ h', и т.д.

Формула Тейлора дает возмоясность написать для h, h', h", так ска-

зать,

готовые формулы и установить так называемый метод Ньютона при-

ближенного определения корней уравнения.

Regula infusa а арифметике.

В чем состоит трудность чисто арифметического решения задач?

275

Конечно, в наглядно-риторическом истолковании дистрибутив-

ных операций, выраженных формулой:

(а+Ь)с = ас + be

если а, в, с целые числа, то это не представляет затруднений.

Легко убедить, что если

5 мужчин получает в день по 2 р.

7 женщин получат в день по 2 р.,

то рассчитать всю полученную ими сумму можно двояко; сперва

рассчитывая сумму, полученную мужчинами, 2 р, • 5 = 10 р., затем женщи-

нами 2 р. • 7 = 14 р. или же, соединив всех, брать 2 р. • 12 = 24 р.

Но возьмем задачу: мальчик получил от отца на расходы в начале

недели некоторую сумму денег и в продолжение недели истратил 2 рубля.

На одну треть оставшейся у него части и на подарок 50 к. от дяди в конце

месяца он купил воздушный змей за 1 р. 50 к.

Сколько он получил денег от отца?

Уравнение, разрешающее вопрос:

Решение его

-L

---t 1-2

3 2 ~ 2

и т.д.

Но эта операция арифметически не истолковывается, так как2/3

руб.

не имеют конкретного смысла.

Нетрздно видеть, каким образом мы должны построить решение

этой задачи, совершенно не соответствующее обычному методу решения

уравнений первой степени.

Мы должны идти по тому пути, который соответствует решению

уравнения 1-й степени в арабской алгебре в позднейших стадиях ее разви-

та!, названному Абрахамом Эзра

Regula infusa, иначе - методом под-

становки.

Уравнение:

Эзра решает (если ввести современный символический язык ал-

гебры), полагая

-i

-4 = y, (21)

что приводит уравнение (21) к более простому:

276

y-ly=20, (22)

которое уже не трудно разрешить.

В приведенной нами задаче за неизвестное следует принять не сум-

од полученную мальчиком от отца, а то, что у него осталось после траты 2

1 I 1

рублей; — этой суммы равна 1— рубля без дядиных

—

р., т.е. 1 рублю.

Значит, это новое искомое равно 3 р., а первоначальное поэтому=5 р.

Я укажу на одну очень интересную и в методическом отношении

нелегкую задачу:

У двух мальчиков, Ивана и Петра, имеются орехи. Если Петр даст

Ивану один орех, у них оказывается поровну. Если же Иван даст Петру

одни орех, у Петра оказывается вдвое больше, чем у Ивана,

Здесь путь решения идет, конечно, через regula infusa. За неизвес-

тное следует принимать не число орехов у Петра, а то число, которое будет

иметь Иван, когда у него отнимут один орех, или Петр, когда отнимут у

него три.

Генезис и основная идея regula infusa,

Я нарочно начинаю с рассмотрения методического значения regula infusa,

чтобы подчеркнуть, что в то время, как regula falsi имело огромное значе-

ние в истории необоснованных, чисто Автоматических решений, regula

infusa имело значение в построении обоснованных решений.

Идея состоит в том, что задачи решаются в два или более, чем два,

приема. Вместо того, чтобы определить х, мы определяем у, хорошо созна-

вая,

что узнав у, узнаем также и х.

Мы хорошо знаем, что ученик всегда за х принимает

то,

о чем спра-

шивают, между тем как во многих задачах следует принимать за неизвес-

тное нечто иное и, рке найди последнее искомое, найдем ответ на вопрос.

Эта идея покажется нам и проще и менее значительной, чем та,

что лежит в основе regula falsi.

Но если вникнуть глубже, то будет видно, что она определяет уже

более высокое математическое развитие и уже в силу этого должна была

явиться позже.

Мыслить единым то, что является в многообразии, всегда пред-

ставляет затруднения.

Учитель хорошо знает затруднения, которые встречаются при при-

менении формулы;

а- - b

= (а - b) (а + Ь)

(а +

Ь)"

= а

+ 2ab + Ь

к выражениям

277

4хУ-81г

у +

5ху

]

и т.д.

Вот уравнения, решение которых представляет методический ин-

терес (в каковой форме прилагается regula infusa, предоставляем проду-

мать читателю):

1) 2,1345 (х - 0,5678) +

1,3356

= 7,7391.

2) 3(х + у +

0,689)

+ 2(х - у -

0,689)

- 14.

х +у =3,311.

3) 5,07833(0,5б89бх + 2) + 4,72167(0,56896х + 3) * 20.

Здесь следует положить

0,56896 x + h = y

и писать h так, чтобы исчез свободный член.

§6. Диофант

Дальнейшая стадия развития regula infusa состоит в том, что задача об

определении х сводится

задаче об определении у из задачи, условия кото-

рой подбираются так, что эта последняя задача разрешается и при этом

простейшим образом.

Эта идея и лежит в основе диофаитовых методов.

У Диофанта нигде иет проблемы, которая выражалась бы в нашей

символике уравнениями:

ах

+ bx = с

или

ах

= bx + с

и т.д.

Некоторые историки математики предполагают, что та часть со-

чинения Диофанта, в которой излагается решение квадратного уравне-

ния,

до нас не дошла. Но едва ли это так, ибо иначе там, где Диофант

имеет дело с квадратным уравнением, он делал бы ссылки на утерянную

часть сочинения. Читая соответствующие места, мы получаем скорее впе-

чатление того, что Диофант не сознает, что некоторый класс рассматри-

ваемых им проблем сводится к одной и той же проблеме решения квад-

ратного уравнения.

Во всех весьма многочисленных проблемах, сводящихся как к оп-

ределенным, так и неопределенным уравнениям, Диофант признает толь-

ко следующие пути:

1) В системе

f(x,y.z...)=0

h(x,y,z...)-0

g(x,y,z...) = 0

278

подобрать для х, у, z... такие выражения

х = ас>р\ у = у£ + 5, z = s£+C-

чтобы удовлетворились все уравнения, кроме последнего, а после-

днее свелось бы к уравнению первой степени

M^+N = PS +Q. (23)

2) Тем же путем, той же заменой или заменой

x = a£

+b, y = cc;

+d, z = e£,

+ f

удовлетворить все уравнения, кроме последнего, приведя после-

днее к уравнению высшего порядка, но такого, которое по сокращении на

сводилось бы или

уравнению первой степени, или к уравнению:

Mt;

+N = P£

-i-Q (24)

До 29-й задачи I книги мы имеем только системы уравнений пер-

вого порядка.

Система задачи 29-й;

ах = у

bx = у

приводится к уравнению

ах = Ь

сокращение которого на х (гипобибазм) дает уравнение первой степени.

30-я задача:

х + у = а, ху = Ь,

т.е. задача об определении чисел по сумме и произведению решается так

для случая системы избранных Диофантом числовых значений:

х + у = 20, ху = 96

Принимается разность х - у за 2%,

тогда полуразность равна \ ,

Но полусумма = 10 вместе с полуразностыо

составляет большее

число, так что большее число есть

Ъ,

+10.

Полусумма без полуразности - это меньшее число, так что оно рав-

но 10-Е,, затем на основании тождества:

(а

- b

) = (а + Ь) (а-Ь),

известного Диофанту, произведение их равно

100-е;

так что

ЮО

- ^ = 96,

откуда

279

= 4 и 4 = 2.

Генезис чиригаузеиовского преобразования.

Совершенно иначе обстоит дело у индусских математиков: мы здесь име-

ем и совершенно определенное правило, определяющее рад формальных

операций над уравнением, и окончательную формулу для корня уравнения

ах

+ bx = с

в риторической форме.

Правило Кридхара:

"Следует умножить на 4 раза число квадратов оба члена и приба-

вить квадрат числа неизвестных", т.е. от

ах

+ bx = с

следует перейти к...

4а

+ 4abx = 4ас,

а отсюда к

+ 4abx + Ь

= Ь

+ 4ас,

дающему

(2ax + b)

=Ь

+4ас

2ах + b = л/b

+4ас

Конечно, и здесь осуществляется идея regula infusa, но в простей-

шей форме; подстановка дается в полной определенности. Дальнейшее

развитие должно пойти по тому пути, который указывается методами Дио-

фанта, в которых дается лишь форма подстановки, значения же парамет-

ров подбираются надлежащим образом.

Мы предлагаем наши обычные методы (индусского и арабского

происхождения) Виэты сравнить с методом Диофанта, который, полагая в

уравнении

ах

+ bx -f- с =

х = у + т, приводит его подлежащим подбором к чистому уравнению

= 0

Это,

конечно, начало чирнгаузеновского преобразования.

От

х = ш + у

естественно переход к

= шх + п + у (25)

= шх

+ их + h + у (26)

Чирнгаузен" решает уравнение третьей степени

+ ах

-f-bx + с = 0, (27)

свода его с помощью (25) к уравнению

+Py

+ Qy + R = 0: (28)

280

m, и определяются из уравнен™ Р = О, Q = О (первой и второй степени),

так что (28) сводится к двухчленному уравнению

+ R=0.

Д.

Генезис

современного

числа.

(ХШ век).

Количество у Аристотеля и у схоластиков.

Аристотель в своих "Категориях" отмечает три свойства количества

. Пер-

вое: количество не имеет себе противного. Второе: количество не прини-

мает больше или меньше

. Это последнее утверждение может родить боль-

шие недоразумения. Здесь как будто утверждается нечто совершенно неле-

пое: невозмоленость прямой площади, объему быть больше другой такой

лее величины. Но Аристотель хочет сказать только следующее: эти прямые

не могут быть больше прямой, чем та, эта площадь больше площадью, чем

та. Будет ли площадь содержать 1000 кв. метров или 0,001 кв. метров, все

равно она будет оставаться площадью. Нельзя сказать "haec linea est magis

linea qnam ilia" (эта линия больше линии, чем другая), но можно сказать

"possit esse maior ilia" (может быть больше той). Это, разъясняет Аристо-

тель, имеет место, когда одно количество

различных частях распростра-

няется больше или меньше.

Понимание Аристотеля здесь затруднительно вследствие того, что

понятие, означенное русским словом количество", не вполне отвечает ари-

стотелевской категории.

Мы говорим о количестве часто в смысле числа, мелсду тем, по

Аристотелю, количество является тем, к чему прилагается число или, вер-

не,

величина.

В каждой вещи есть качественное содержание и величина. А и В

только тогда можно отнести к одному роду количества, если это качествен-

ное содержание у них одинаково, если иет ничего в А больше, чем в В.

Третье свойство - это равенство и неравенство

, существующее

мелсду двумя количествами. При этом Аристотель приводит различие ра-

венства и неравенства в массе и совершенстве

*. Так как сами категории

являются совершенно неопределенными, то проблема о сущности коли-

честв, по мнению схоластиков, доллена пониматься как проблема о разыс-

кании только характерного признака количеств. Указанные Аристотелем

признаки, молсет быть, во всей совокупности и охарактеризовывавдт коли-

чество, но в отдельности они таковы, что каждое относится ие к одному, а

к нескольким категориям.

Схоластическая

мысль здесь далеко шагает за границы чисто ари-

стотелевских воззрений. Как и в других случаях, скоттическая"

точка зре-

ния прогрессивна, томистическая

- консервативна. Последняя старает-

281