Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

10 p. + 25 кр. = 145

и путем вычитания получить

5 кр. = 25 коп.

и, наконец, в форме чисто символической:

10х + 20у = 120

10х + 25у - 145

5у = 25

У=5

Следующим типом являются задачи, определяемые уравнениями:

kax + Ь,у = с

ах + Ъ

у = d

25 мер овса и 20 пудов сена стоят 16 р. 50 к.

5 мер овса и 12 пудов сена стоят 4 р. 90 к.

Устанавливается, что 25 мер овса и 60 пудов сена стоят 24 р. 50 к.,

а разность, т.е. 40 пудов сена, стоят 8 руб., поэтому 1 пуд. - 20 к. От нагляд-

но-риторического решения переходим к символическому решению урав-

нений:

25х + 20у = 1650

5х + 12у = 490

обычными приемами.

Наконец приходим к типу, отвечающему общему случаю;

а.х + Ь^с,

а,х + Ь

у =с.

За 7 груш и 11 яблок уплачено 29 к.

За 9 груш и 12 яблок уплачено 33 к.

Сколько стоит груша и яблоко?

Следует отметить еще одно затруднение при прохождении буквен-

ной алгебры.

Под а, Ь, с . . . разумеются числа"

Но какие числа? В иных случаях самый ход действий предполага-

ет,

что а, Ь, с... обязательно

-целые

числа, когда, например, находим общий

наибольший делитель 50, а

, Ь', с

, и 75, а

, Ь

, с

, объявляя его равным

25а

. В других же случаях, например, при определении числовых зна-

чений формулы, а, Ь, с имеют и дробные рациональные значения. В даль-

нейшем а, Ь, с - уже какие угодно числа, как рациональные, так и ирраци-

ональные.

§2.

Величины различных измерений старой алгебры.

Методические изыскания должны идти параллельно историческим .В иных

случаях, хотя далеко не всегда, история может кое-чему научить методис-

та.

Я подчеркиваю: не всегда, так как великий биогенетический закон, при-

равнивающий филогенетическое"

развитие онтогенетическому"'', - это

302

только грубое приближение. Бесспорно, что кое-что в алгебре давалось

трудно алгебраистам XVI века по тем же причинам, почему и учеником

•

оно трудно усваивается.

Так, повторяю, идея числовой алгебры проще, а потому и хроноло-

гически алгебра числовая предшествовала буквенной.

Но прибавлю, что много затруднений возникло и от основного взгля-

да на алгебру, на понимание смысла ее символов, причем через это пони-

мание теперь, при арифметизироваииой с самых азов алгебре, ученик не

должен проходить.

Когда предлагается буквенное уравнение

ах

-I-

bx = с,

что означают буквы а, Ь, с и х (то, что в старой алгебре называлось харак-

теристиками)? У нас такой ответ: а, Ь, с... известные числа, х - неизвес-

тное число. Но если мы возвратимся к XVII и XVIII вв., то увидим другое

положение.

Алгебраическая величина - это класс, объемлющий два вида не-

прерывных величин, каковыми являются геометрические величины: дли-

ны,

поверхности, объемы и дискретные, т.е. числа, причем понятие числа

ие идет дальше рациональной области

115

, a b понимается или как результат

умножения числа а на число Ь, или как результат умножения отрезка а на

отрезок Ь, причем это последнее подвергается также эволюции: в первона-

чальном понимании это площадь прямоугольника, настроенного на а и b

(между а и Ь, как говорит Евклид)

116

Но над этими понятиями стоит объемлющее их понятие умноже-

ния (multiplicatio), понимаемое как получение количества, которое

умно-

жаемому имеет то же отношение, какое множитель к единице (Ренальди-

ни"

говорит - "к posilum", т.е. положенному, избегая говорить "к едини-

це",

относя последнюю только к числам).

Виэта

118

говорит: числовая логистика (по нашему алгебра) это та,

которая оперирует с числами, специфическая же оперирует видами (especes)

или формами, гак буквами алфавита.

Виэта различает величины различных порядков:

линейные

площади - planum

телесные - solidum.

Что они теряют свой первоначальный геометрический смысл, это

следует из того, что Внэтой признается и solidum-planum и planum-

planum

" н т. д.

Но,

во всяком случае, это разнородные величины, которые нельзя

складывать и вычитать

120

Но возможно умножение и деление, а так же понятие равенства

отношений, или пропорции; отношения, как к однородным, так и к нео-

днородным величинам.

303

Можно писать пропорции

х plan : A plan = В sol: 1 solid,

даюшую, согласно определению умножения:

х= Apian - В sol,

Умножение алгебраическое ни в коем случае ие сводится к сложе-

нию.

Эта мысль выявляется и в принятой Внэтой символике:

18Q это 18 раз взятый квадрат:

Q + Q + Q + ... всего 18 раз.

Произведение же А на В пишется так

A in В.

Насколько серьезное затруднение рождает этот взгляд, можно ви-

деть из следующего характерного примера. Виэта выдвигает операцию:

"protonescialion"

', ведущую к превращению первого члена в последний и

обратно.

С нашей точки зрения это весьма элементарная операция: преоб-

разование уравнения:

-bx

= a (1)

подстановкой

х=

~ (2)

Подстановка эта дает сперва

—-—= а

а по сокращении на а и умножении на у

-by

-у».

или

+ by

= а

Но Виэта так не может поступать, Во-первых, при его понимании

характеристик уравнение (1) просто ие имеет смысла: из объема вычита-

ется площадь и в результате получается длина.

Следует заметить, что неизвестные у Виэты означаются не после-

дними буквами алфавита, а гласными.

Уравнение (1) представляется

122

в следующей синкопированной

форме;

Acubus

- В piano in А

Если положим А

123

равным , то куб А будет

Epl

aequal . Z so lido

304

Zsolido . solido . solido

piano.

piano. piano

Z solido т.. *

умножается на В в алгебраическом смысле.

Е piano

Согласно терминологии Виэты - ducetur in В planum; в результате

уравнение обращается в следующее:

Zsol.sol.sol „ .iiiZsol „ ...

•

-Bpl ^ aeq . Z solido

Epl. pi. pi. pi Epl

Дальше идет умножение на Е pi . pi . pi, Antithesis (или перенос

второго числа в первую с измененным знаком) и перестановка частей урав-

нения.

Е pi. cubus + В piano in Е piano quedrato aequatur Z solidi quadrato

или

E cub + В plan aeq Z solidi quadrato

Понимая же E как величину иного измерения, чем А, получается

довольно серьезное затруднение. Обычно во второй части ставится Z solid,

неизвестные всегда линейные величины, а преобразование приводит курав-

нениго, в котором корень понимается pice в новом смысле.

Различные понимания характеристик.

Между этими примитивными взглядами и арифметизацией алгебры, сде-

лавшейся возможной только по установке взаимно-однозначного соответ-

ствия мелсду числами и геометрическими величинами, усматривается про-

межуточный момент, когда а рассматривается, как прямолинейный отре-

зок

* и всякие действия над буквами, например, ab сводятся к действию

над отрезками.

На OA и ОС откладывается OA = а, ОС =

=1 длины; проводится АС; на ОС откладывается

ОВ = b и из В приводится BD || АС; тогда OD = х =

ab,

так как

х: a=b: 1

Возмолсиость приложения буквенной алгеб-

ры к числам в этом смысле обусловливается тем, О

что формальные законы операций: сложения, вы-

читания, умножения и деления отрезков те лее, что

соответствующих действий над числами

Картезианский взгляд позволяет же отбросить planum и solidum.

Уравнение в современном чистом виде

- ах = b

305

имеет теперь определенный смысл: разность двух отрезков, определенным

образом построенных с помощью неизвестного отрезка, равна данному.

Так Декарт понимает и уравнение между двумя величинами х, у,

определяющее кривые.

§ 4. Число индусов и греков.

Первые последователи Виэты резко отличали числовую алгебру (numerosa)

от буквенной (speciosa).

Первая всегда изменялась раньше второй и мы видели, что пере-

ход от первой ко второй представлял некоторые затруднения, которых в

настоящее время, когда характеристикам дается значение численное, уже

нет.

Численный характер алгебры, как мы рке заметили, становится

возможным только по установке взаимно-однозначного соответствия между

геометрическими величинами и числами (в частности только отрезками и

числами)

126

, т.е. соответствующим расширением понятия числа, включа-

ющим-в области чисел и числа иррациональные. Это можно отнести толь-

ко к Лежандру

127

, т.е. это произошло гораздо позже, чем обычно думают.

У индусов алгебра говорит о рациональных числах. Как и наша

алгебра, все действия она относит к числам, но при этом берет только чис-

ла рациональные; из "двух вышеупомянутых видов алгебраической вели-

чины она берет только первое.

Греки старались убеждать, в то время как индусы стремились толь-

ко показать.

И те

другие выводили числовые тождества, как (а + b)

= а

+ 2ab

+ Ь

из геометрического чертежа, но с той разницей, что у греков чертеж

сопровождался словесным доказательством, а у индусов он сам говорил.

Но говорил ли он о совершенно одном и том же или нет?

Если вникнуть глубже в характер индусского и греческого мыш-

ления, то придется признать, что для индуса положения II книги "Начал"

могли быть только средством для установки числового закона, выражен-

ного в риторической форме, в то время как для грека, это чисто геомет-

рические теоремы, которые заменяют необходимое в настоящее время

приложение алгебры (например, при доказательстве обобщенной теоре-

мы Пифагора).

Вспомним, что у греков арифметика гак учение об исчислении (или

лучше сказать логистика, ибо арифметику, гак учение о свойствах чисел,

они отличали от науки о методах вычисления), развивалась очень медлен-

но;

к четырем арифметическим действиям они не могли прибавлять еще

действий извлечения корней, нахождения по рациональному числу такого,

которое в квадрате дает это рациональное число, ибо признать иррацио-

нальные числа они еще не могли; но и верить в то, что JX число рацио-

306

налыюе, т.е. такое, которое античный мир только и признавал, они тоже не

могли, так как для некоторых случаев уже имелось доказательство того,

что это невозможно, и имелось достаточно аргументов за то, что это и во-

обще невозможно.

Иное дело индусы

128

. Вероятно, у них была вера во взаимно-одно-

значное соответствие между числами и геометрическими величинами, но

только ие как у нас, в области рациональных и иррациональных чисел, а

только чисел рациональных. Геометрическая проблема у них сводится к

алгебраической проблеме решения уравнений. Последнее лее разрешается

с помощью ряда операций, которые являются следствием общих ритори-

ческих формул; из них только некоторые устанавливались с помощью чер-

телса в указанном выше смысле.

Алгебра арабов.

Арабская математика

129

это синтез греческой и индусской.

У арабов нет взаимно-однозначного соответствия между числами

и геометрическими величинами. Отсюда раздвоенность их алгебры.

Числовые уравнения определяют неизвестные числа, но эти лее

уравнения можно мыслить и как определяющие неизвестные геометри-

ческие величины.

Риторически! формулировка Амаямн уравнений: "Квадрат и де-

сять корней

равньЕ

тридцати девяти; (х

+ 10х = 39 - прим. ред.) здесь

квадрат то лее, что Sovapic; (степень) у Диофанта, результат перемноже-

ния самого на себя; корень это само неизвестное число, названное так по

геометрическому решению, потому что когда число определяет площадь

квадрата, корень определяет его сторону.

Этим уравнениям можно придать форм}' в виэтовской символике:

Q + 10R=39,

но уравнение это относится и к геометрическим величинам, т.е. мыслится

как

AQ+ 10 in А = 39 sol,

причем решив последнее, молено решить и первое, но первое молеет не

иметь решения, когда второе его имеет.

Амаями, высказывая для уравнения

I-

рх = q

общую риторическую формулу

замечает, что если вопрос арифметический, то необходимо выполнение

двух условий: 1) чтобы число корней, т.е. р было четное (т.е. делимое на

307

для получения — целым), и 2) чтобы квадрат половины числа корней р

и число q составляли в сумме полный квадрат; в противном случае воп-

рос арифметически невозможен, но геометрически не представляет зат-

руднения.

Арабами устанавливаются геометрические выводы

130

общих фор-

мул или общих правил разрешения уравнения. В до-алгебраический пери-

од геометрические задачи, разрешаемые с помощью уравнений 2-й степе-

ни,

сводятся к одной исследованной Евклидом задаче. Впрочем, сам Евк-

лид это ие всегда сознает. Задачи второго порядка у него сводятся к раз-

личным геометрическим задачам, им разрешаемым.

Видимо, эта возможность была сознана только арабами, заменив-

шими общую задачу Евклида более частной и более простой.

Из этой задачи и извлекались сперва формулы решения квадратно-

го уравнения.

Дальнейшая стадия, это замена ее выводом, аналогичным доказа-

тельствам П-й книги "Начал" Евклида, это

доказательство приводит возможность ус-

тановки, по образцу П-й книги, основных

законов формальных алгебраических опе-

раций и вывода отсюда только с помощью f

этих операций алгебраических формул.

Такими доказательствами пользует-

ся еще и Виэта

131

для уравнения:

+ рх = q

р >0

Берется чертеж (2).

Здесь

АВ = х, AG = р

AG делится пополам, GD

А В

Черт. 2.

D А и на DB строится квадрат.

Если отложить на EG 1 GB EG = х и привести EL ][ АВ, то диаго-

наль ВН пересечет EL в вершине К квадрата ABKL = х

Формула

дающая

доказуется тем, что, если

q = DBMIKF,

то,

с одной стороны,

308

q = ABLK + KLMI + DAKF - x

+ px,

а с другой стороны,

DBMI-I = (

+|] .

= *

и вместе с тем

DBMIKF + ЖШ =

+ -т-

§ 6. Отрицательные числа

Одно из самых серьезных затруднений у старых алгебраистов в том, что

они не имеют в нашем смысле (т.е. количественном) отрицательных

величии. Правило перемножения знаков носит исключительно операцион-

ный характер и основывается на тождестве:

(а-

Ь) (с - d) = ас + bd- ad-be,

выводимом геометрически

133

, в силу чего оно относится только к случаю,

когда

а > b > 0, с > d > 0.

Это,

конечно, усложняет уже и числовую алгебру, заставляя рас-

сматривать особо каждый из таких случаев

134

+ px = q

- px = q

px - х

= q

Следует отметить, что так как геометрическое доказательство ве-

дется только с положительными величинами, то если бы кто-либо из ста-

рых алгебраистов и дошел бы до отрицательных величин в нашем смысле,

то он мало бы выиграл, так как для каждого из упомянутых трех случаев

пришлось бы строить особое доказательство.

Отрицательные корни рассматриваются поэтому, как решения не-

возможные.

Если характеристики у старых алгебраистов ие числа, а величины

в более широком понимании, то, с другой стороны, они означают только

положительные величины, вследствие чего и для буквенных уравнений

приходится рассматривать различные типы, соответствующие различным

знакам коэффициентов.

У нас разность А - В всегда имеет смысл, у Виэты

135

только тогда,

когда А > В.

Конечно, при этом возникает большое затруднение: при производ-

стве вычисления растет число ограничительных условий. Если А - В име-

ет смысл при А > В, то (А - В) - (С - D) уже при А>В,С>ВиА-В>С-

309

Только при таких огратгчительных условиях имеет смысл и дока-

зуется тождество

(А - В) - (С - D) = А - В - С + D.

Ринальдини выход из этого затруднения находит не в отрицатель-

ных числах, а в операциях, объемлющих их

А - В при А > В и В - А при А < В

и означаемых через А - В.

Опадает возможность некоторые (но далеко не все) тождества пред-

ставить уже в буквенных формулах:

(А - В)С = АС - ВС при А > В

(В - А)С = В С - АС при А < В

но

(А - - В)С = АС - - ВС всегда

А - В - (С - D) = (А + D) - (В + С) при А>В, О D, А + D > В + С

В - A- (D - С) = (В + С) - (А + D) при В > A, D > С, В + С > А + D

но (А - - В) - (С - - D) = (А + D) - - (В + С) всегда и т.д.

Основные алгебраические операции Виэты.

Методы Виэты, конечно, весьма примитивны в сравнении с нашими, но

они необыкновенно интересны как эмбрионы наших совершенных мето-

дов.

Я уже заметил, что для учащегося трудным моментом является де-

ление на буквенный коэффициент при неизвестном. Этот момент и старым

алгебраистам не представлялся столь простым, как нам, и Виэта выстав-

ляет эту операции как основную, называя ее parabolismus

", в то время как

перенос члена из одной части в другую им называется antithesis

137

Третья операция Виэты hyperboiismus

138

- деление на неизвестное,

приведение, например, уравнения ах

= bx к уравнению ах - Ь.

Но он сознает недостаточность этих трех операций для получения

формально-алгебраическим путем, а не геометрическим рассуждением,

корней квадратных и кубических уравнений, и он применяет подстановку,

которая является прототипом чирнгаузеповского преобразования.

Эта' операция называется им plasma

139

- плазма имеет целью уп-

ростить уравнение; для квадратного уравнения - приведением его к чисто-

му.

Не желая читателя затруднять символикой Виэты, я выражу его

мысль на нашем языке. Уравнение ах

+ bx + с =

подстановкой х = у + h

(*) приводится при надлежаще выбранном 1) к

ау

= 0,

То же преобразование применяется Виэтой"

упрощению урав-

нений высших степенен.

Кроме преобразования х = у + h рассматриваются еще следующие:

310

У , by bg d-y

x = —,x = by, x = —, x=—, x = —.

Ь g У У

Последнее употребляется Виэтой для решения уравнений 3-й сте-

пени,

а именно через приведение его при 3d = р к уравнению:

Так называемое expugnatio per unicas

" - сведение к уравнению,

освобожденному от некоторых степеней, и protonesciation'

, о котором мы

выше говорили, представляют здесь, собственно, такого же типа опера-

ции,

но направленные на определенные члены; isomeiria

1,13

- умножение

дробности подстановкой у = х, anastrophe

144

- преобразование коррелятив-

ных уравнений одно в другое.

При этом под коррелятивными уравнениями разумеются:

bx - х

= с by - у

= с

+ bx = с у

- by = с

bx - х

= с у

- by = с

8. Странности старой алгебры.

Интересно отметить, что второй операцией после антитезы выставляется

превращение уравнения в пропорцию™.

В настоящее время применяется обратная операция: пропорция

А С

— = — сводится к AD = ВС.

Теперь никто уже не решится сводить квадратное уравнение

1 •> х b

х + ах = b к пропорции — =

b а + х

Мы легко поймем эту странность, если вспомним что у Виэты ал-

гебра еще не освободилась от геометрии, что решение уравнений легче

иногда сводится к задачам геометрии, в которых пропорция играет важ-

ную роль, входя во многие теоремы. Значит пропорция здесь открывает не

путь к формальным алгебраическим операциям, дающим решение, а к

выводу решения чисто геометрическим путем.

Другая странность обнаруживается в той форме, в которую облега-

ется известное и столь видную роль играющее в элементарной алгебре

положение о сумме корней квадратного уравнения. Мы скажем, что, если

(

и х

- корни уравнения

Ьх-х*=С,

то

(

+х,= Ь

311