Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

ся путем компромиссов закрепить старые теории и, с одной стороны, стоит

ближе к старому аристотелевскому мировоззрению, с другой стороны, к

далеко грядущему XVII веку рационализма

Сущность количества по Фоме Аквинскому состоит в распростра-

нении частей в порядке друг относительно друга'

. Порядок частей ха-

рактеризует количество. Это первое, что воспринимается в количестве, ко-

рень всех его свойств. Отсюда вытекает и его делимость, и его протяжи-

мость,

и проницаемость, благодаря чему оно способно быть изменено.

Говоря современным языком, Фома стоит за приоритет ординального, а не

кардинального числа.

Отсюда в дальнейшем должен быть сделан вывод о существова-

нии неделимых количеств, ибо делимость вовсе ие первичное, а только

вторичное производное свойство количества. Идею актуально бесконечно

малого как неделимости, идею Кеплера

и Кавальери

порождает направ-

ление именно Фомы, а не Скотта, которое можно назвать функциональ-

ным,

в котором можно усмотреть эмбрионы идей переменного, предела и

т.д.,

которое безграничную делимость материи полагает не только в нашем

уме, но еще как бы частично объективирует, помещая ее в особой проме-

жуточной плоскости существования, отмечаемой скоттистами термином

"formaliler ex natura rei" (формально по природе вещи)

Но томистическое количество уже не совпадает с античным, чис-

то пространственным. Уже ко времени Фомы схоластическая мысль в

большей мере произвела абстрагирование, эмансипацию от пространствен-

ных пут

. Согласно томистическому воззрению, геометрические объекты

определяются по характеру связей между частями. Линия

—

не длина без

ширины и глубины

. как этого желает Евклид, а количество, распростра-

ненное в длину, части которого связуются обеими точками

. Фомой смут-

но сознается, что в линии более существенным, чем ее длина, являются те

свойства, которые определяются аксиомами порядка, относящимися к ее

точкам. Поверхность - не величина, имеющая длину и ширину без глуби-

ны

. а количество, распространенное в длин)' и ширину, части которого

связуются линиями. Тело - не величина, имеющая длину, ширину и глуби-

ну

, а количество, распространенное в длину, ширину и глубину, части

которого соединяются поверхностями,

Делимость и измерлемость количества.

Другие схоластики

выдвигают именно делимость

, как характерное свой-

ство количества. Спор о том, представляет ли делимость сущность или,

точнее, по схоластической терминологии, формальное понятие количества,

особенно ярко выявляет способность схоластической мысли

тонкому раз-

личению понятий.

282

Одно из возражений состоит в том, что деление является чем-то

относительным, что оно мыслится, как отделение одного от другого и аб-

солютная категория ни в коем случае не может характеризоваться таким

относительным признаком.

В определении Фомы, порядок является тоже относительным по-

нятием, нотам он выставляется только как признак, характер изующий рас-

пространенность.

Разбор возражений ведет

различению деления в этом относитель-

ном смысле, т.е. в смысле отделения от деления в смысле дробления цело-

го на части. Схоластический анализ разлагает деление на два акта: первый

определяет границы частей, и разделенный этим первым актом отрезок

мыслится как ограниченный двумя точками, с точками между ними, Вто-

рой акт раздробляет целое на однородные части, он дает вместо данного

отрезка совокупность уже разделенных- аналогичных отрезков. Конечно,

такое различение вполне правильно. Будем делить отрезок на части 1/2,

1/4,

1/8...

Каждая часть у нас отделится от целого после конечного числа

операций, но вся совокупность операций, ведущих к раздроблению, будет

бесконечна.

В этом интересном возражении отмечается, что если бы дели-

мость

была сущностью количества, то во всяком количестве оно было

бы или только в потенции, т.е. способностью к делению, или только ак-

том,

т.е. прозводимым или произведенным делением, между тем как в

непрерывном мы имеем первое, возможность деления, а в числе второе,

[акт деления], так как число в мысли является уже разделенным на еди-

ницы.

В высокой степени интересны аргументы в пользу измеряемости*

как характерного признака. Измерение мыслится как операция последова-

тельного прибавления частей до получения полного целого или последова-

тельного вычитания их из того, частью чего шляется данное.

Этой операции молено противопоставить операцию получения со-

вокупности уже разделенных частей для получения данного.

Если первой операции соответствует суммирование сходящихся

рядов, и она молсет быть поставлена в основе архимедова метода

опреде-

ления площади параболы

, если этот метод исследования переработать в

современную теорию пределов, то второй отвечает точке зрения исчисле-

ния бесконечно малых, смотрящей на конечную величину, как на сумму

(или вернее предел суммы) бесконечно малых, т.е. точке зрения Кеплера и

Кавальери,

Утверлсдение, что измеряемость является характерным признаком

количества, сводится к тому, что количество постигается только сравнени-

ем с единицей, предполагающим ряд операций, приводящих от этой еди-

ницы к целому.

283

Защитники этой точки зрения указывают в свою пользу на то, что

только измерением различается место

от занимающей это место поверх-

ности, а именно: первое измеряется изнутри, второе извне, т.е. первое по-

лучается прибавлением, второе вычитанием.

В возражениях на эти взгляды смутно выступает переменное коли-

чество как количество остающееся, несмотря на то, что оно теряет свою

измеряемость; таким переменным является в этих возражениях бесконеч-

но продолжаемая прямая.

Виды количества.

Другая важная схоластическая проблема, ведущая в том же направлении

абстрагирования числа, это проблема о видах количества.

Аристотель различает величины, составленные из частей, имею-

щих взаимное расположение, от величины из частей без взаимного распо-

ложения

К первым он относит линии, поверхности тела, а ко второму чис-

ло,

время и слово. Такое деление совпадает с делением на пространствен-

ные и непространственные.

Но эта классификация отнюдь не совпадает с другой, в которой

количество делится на непрерывные и дискретные (continua, discreia).

Чистой непрерывной непространственной величины у Аристотеля

нет

. Ее нет и у Фомы.

Третье аристотелевское деление - на остающиеся (permanens) и

последовательные

(sucsesiva).

Первое то, части которого существуют в одно и тоже время, как,

например, прямая лиши, второе - части которого полагаются в постоян-

ном течении как время.

В первой аристотелевской классификации усматривается очень

ранний эмбрион абстрактных величин, противопоставляемых геометри-

ческим.

К первому роду сам Аристотель может отнести только целое чис-

ло,

но в будущем этот род пополняется числами дробными, рациональны-

ми и, наконец, иррациональными.

Во второй классификации непрерывная геометрическая величина

противополагается прерывному целому числу. В далеком будущем ариф-

метизацня математики разрушает эту перегородку, устанавливая непрерыв-

ность чисел.

Наконец, третья классификация дает источник идеи, противопола-

гающей постоянное переменному.

Время в раннем периоде развития математического анализа явля-

ется первым независимым переменным (напр. у Ньютона)

284

Но только, конечно, комменпгрующие Аристотеля схоластики мыс-

лят последовательную величину в пашем смысле переменной.

Здесь мыслится только способ образования постоянного, образо-

вание определенного промежутка времени путем последовательного нало-

жения составляющих его частей: а

(

, а,,

..а

но не мыслится еще [вели-

чина],

последовательно ггооходящяя через свои значения.

У Аристотеля, как и в его учении о субстанции", [в учении о коли-

честве наряду] с полноправными величинами выступают еще и неполноп-

равные, дающие богатую пищу для схоластических размышлений.

Наряду с собственно-количеством Аристотель указывает то, что

может быть признано таковым только по случайности (per accidens)'

Белое не представляет в собственном смысле количества: большая

или меньшая белизна определяется только большей или меньшей поверх-

ностью.

Тщательный анализ Фомы Аквииского приводит его к признанию

только трех непрерывных собственно-количеств, причем все три являют-

ся пространственными: линия, поверхность, тело

Время

само по себе не является распространенным, Распростра-

ненным является только движение. Продолжение во времени распростра-

нено в частях только в смысле продолжающейся и в своем бытии пребыва-

ющей вещи.

Но и само движение

Фомой ие признается в собственном смысле

количеством. Спор о правах времени: в корне спор между зарождающимся

[мировоззрением] функциональным it мировоззрением окристаллизован-

ной величины.

Почему же время не признается полноправным количеством?

Оно пеполносуицее (Ens incomplet) как и движение, которое изме-

ряет, которое является только стремлением к конечному члену. Здесь схо-

листическое incompletus'

скользит около идеи переменного.

§ 4, Единица и единство.

История числа - это вместе с тем и история единицы и нуля, постепенное

завоевание этими арифметическими пасынками прав гражданства.

Евклид в VO книге''

"Начал" говорит: "единица есть то, в рассуж-

дении чего вещь называется единой", а число - "собрание единиц". Здесь

единица еще не число, а само число только собрание единиц:

Для того,

чтобы число подверглось дальнейшей эволюции, чтобы оно стало дробью,

а дробь превратилась в число иррациональное, необходимо, чтобы оно

подверглось реализации, чтобы было признано сперва в реалистическом

затем в концептуалистическом™ смысле самостоятельное его существо-

вание, для чего в числе необходимо было найти нечто, не заключающееся

в его единицах. В собрании предметы объединяются, собрание является

285

единством предметов, но вне сомнения существуют единства, различаю-

щиеся более или менее тесным сплочением объединенных единиц, и раз-

личные роды единств имеют различные права на существование.

Сам Аристотель различает два рода единств

: одно через себя

(unuin per se), другое случайное (per accidens). Тело человеческое является

таким unum per se в силу связности его членов.

Другим основанием является родовое отношение. Индхшидуум или

вид,

принадлежащие к одному роду, образуют тогда тоже единство первого

рода. Такое же единство дает неделимое, образующее единицу, производя-

щую число.

Здесь следует отметишь, что Аристотель, как и в других случаях,

не отказывает, что перечисленные им типы единственные, он никогда не

стремится к построению системы, но пользуется методом умозрительно-

наблюдательным

Каким же единством в глазах Аристотеля является число?

Несмотря на все старания схоластиков-реалистов выставить авто-

ритет Аристотеля на своей стороне, Аристотель здесь должен быть при-

знан номиналистом.

Число, как собрание единиц, должно быть признано акцидеици-

альным единством, а такое единство не обладает реальным существовани-

ем,

оно не находится вне нашего разума.

Другие более определенно высказывают чисто номиналистическое

воззрение на число, по которому число будет единством per accidens и пред-

ставляет лишь вещь разума (ens rationis).

Реалисты опровергают это мнение указанием на то, что семь пла-

нет остаются семью планетами, хотя бы никто о них и ие думал; что ска-

зать:

"вещей много" и тагам образом утверждать их численно - это значит

признать их различными - но такими они тогда признаются и вне нашего

разума; наконец, что считать - это значит не делать число, а только опре-

делять, каково оно.

§ 5. Абстрактное и конкретное число.

Проблема о существовании числа вполне аналогична проблеме об универ-

салиях, и она получает в схоластике решение, примиряющее враждующие

стороны (хотя число вовсе не фигурирует как универсалия). Но самого

Аристотеля интересовала проблема, совершенно не входящая в область

схоластических исследований: "могут ли числа быть признаны идеями"

Могут ли они быть отнесены к умопостигаемому платоновскому

мир)',

представившему по существу переработку философской мыслью по-

литеистического мира богов, отвергаемого христианством?

Чисто платоновское мировоззрение отличается от платоновско-пи-

фагорейского именно тем, что идеи пополняются в последнем числами. По

286

словам Аристотеля, пифагорейцы мыслили числа пространственно. Числа

платоно-пифагорейские, так называемые идеальные числа, отличаются от

математических, для античных мыслителей всегда конкретных, как идея

отличается от ее отображения в мире материи; но вместе с тем они отлича-

ются и от абстрактных чисел, совершенно чуждых античной мысли, со-

вершенно так же, как идеи Платона отличаются от схоластических универ-

салий.

Аристотелевское опровержение реального существования таких

идеальных чисел

основывается на том, что в мире идей каждая единица

должна быть индивидуализирована, в мире идей единицы поэтому не мо-

гут быть однородны, но каждая должна быть образцом как идея, а при

таком положении не может уже образоваться число. Вследствие того же

число приходится спустить вниз, оно может быть только конкретным чис-

лом.

И не идеальное число Платона, а это конкретное число Аристоте-

ля,

состоящее, по его словам, из смешиваемых и однородных, но обяза-

тельно конкретных единиц, эволюционирует в схоластической мысли в

абстрактное число, состоящее тоже из смешиваемых и однородных, но

уже абстрактных единиц.

Еще Альберт Великий

раздваивает число, отделяя формальное,

акциденциалыюе от абстрактного, из которых первое, приложенное к

вещам, остается в mix, а последнее переводится в душу.

Если мы имеем пять вещей, то число три, приложенное к трем

вещам, обязательно должно рассматриваться, как часть пяти, между тем,

как абстрактное число, ему соответствующее, должно рассматриваться

вполне самостоятельно, а ие как часть объемлющего его числа.

Так как вещей молсет быть не пять, а семь, девять и т.д., то возни-

кает странная мысль рассматривать приложенное число всегда как часть

восходящего над ним числа, и наконец, наибольшего конкретного числа,

которое утверждается с отрицанием, согласно Аристотелю, актуально-бес-

конечного.

Здесь схоластическая мысль приближается к точке зрения совре-

менных логиков, определяющих конечное число бесконечным

''.

Но бесспорно, что это половинчатое признание реального числа,

т.е. признание реальности приложенного, по нашей терминологии, конк-

ретного числа, не устраняет всех затруднений. Как только что указано, с

признанием реальности только приложенных чисел ставится высшая гра-

ница для реальных чисел.

Но вместе с тем открывается и брешь в другом месте, через кото-

рую входит отвергаемая Аристотелем бесконечность.

Получается актуальная бесконечность пар, троек, четверок. Если

существует пара камней и пара людей, то есть и пары пар и т.д. до беско-

нечности.

287

Один выход из этого затруднения - признать реальность абстракт-

ного числа, признать то, что одно и то же "два" заключается и в паре кам-

ней,

и в паре людей и, наконец, в паре пар.

Но некоторые схоластики находят другую лазейку: пара разнород-

ных пар уже не признается парой, для такой пары не усматривается число-

вого единства, за ней признается только единство трансцендентное

Точно таким же образом разрешается вопрос и о рефлективнос-

ти

числа, чуждой реальным вещам.

Свойство это состоит в том, что операция, произведение которой

над элементами а, Ь, с... дает А, В, С..., будучи приложено к А, В,

С^дает

А,, В,, С,... той же совокупности.

Здесь схоластическая мысль проходит около современной идеи груп-

пы*

: группой, относящейся к операции О., в современном смысле назы-

вается такая совокупность объектов, что операция £1, произведенная над

несколькими из них, дает объект той же совокупности.

Нет белизны белизны, но пара пар, такое же число, как и просто

пара. Это, конечно, верно для абстрактных чисел. Но для чисел приложен-

ных это неверно, и приходится возражать, что две пары уже не число, а

только множество, связанное не числовым, а только трансцендентным

единством,

Реальность числа.

Схоластический спор о реальности числа дает начало арифметизации ма-

тематики.

За непрерывным количеством, всегда понимаемым пространствен-

но,

признается безусловная реальность, и судьба дискретного числа тог-

да ставится в зависимость от решения вопроса, представляет ли число

вид количества*.

Если за существенный признак количества признать вслед за Фо-

мой Аквинским упорядоченную распространенность частей, то такой

признак будет принадлежать как непрерывному, так и дискретному коли-

честву, видовое различие для первого будет состоять в связности частей,

согласно аристотелевскому определению непрерывности, для второго же в

раздельности их.

Но на это возражают: распространенность в частях числа не про-

стая,

как это должно быть. Части числа - это единицы, из которых число

состоит. Эти единицы не только части целого; они обладают не только свой-

ствами целого, как, например, части площади, но содержат больше, чем

целое, это сущности, заполняемые некоторым содержанием.

Это возражение в свою очередь отбивается указанием возможнос-

ти двух точек зрения на единицы, образующее число: их можно рассмат-

ривать как полные и цельные объекты и как неполные, абстрагированные

288

от всех свойств, содержащихся в целом. Эта последняя точка зрения и имеет

место при образовании чисел.

Как ни стараются полностью использовать аристотелевский авто-

ритет для укрепления своей позиции, Аристотель очень туго поддается их

комментированию, ибо он остается античным мыслителем, чуждым вся-

кой арифметизации.

Для него число, как он сам резко выражается, не единое, а куча

Это только схоластическая мысль настаивает на необходимости

этого цемента, склеивающего разрозненные многие, и проектирует его в

реальный мир. Фома подчеркивает, что двойственность это не две едини-

цы,

ибо в противном случае нечто, составленное из двух единиц, иначе,

число два не было бы сущностью самой по себе и истинной, а только слу-

чайной, как то, что накапливается.

В числе имеет место то, чего нет в куче, которая едина случайно,

но есть в человеке, единство которого [скрепляет] его душа.

Проблема о реальности числа претворяется таким образом в про-

блему о реальности единств совокупностей предметов и тождества этих

единств совокупностям.

Проблема о числе приводит схоластику к ее старой проблеме, -

проблеме Росцелина

о различении целого и частей, объединяемых этим

целым.

Соединение в сложном в действительности ли различно от его ча-

стей? (An unio in composite sit real iter distincta ab extremis?)*

Соединение элементов в целом не только ли мыслится, как единое

целое, а

действительности в этом соединении элементы остаются такими

же внешними друг к другу, как это имеет место до их соединения*

7 Аргу-

ментация против: все признаки реального различения присущи частям. Они

раздельны: одна погибает при сохранении другой. Если части отличаются

от целого, которое наряду с частями обладает реальным существованием,

то адекватно или неадекватно? Первое невозможно, т.е. невозможно отли-

чие адекватное полное, так как части входят в целое. Второе невозможно,

ибо деление было бы тогда неполным, целое делилось бы не только на то,

что мы принимаем за части.

Другая аргументация: если кроме частей (а, Ь) еще имеем и неко-

торую форму целостности с, прибавление которой к а и b дает целое, то

все три элемента (а,Ь,с) требуют еще новой формы целостности d и таким

образом открывается невозможный бесконечный процесс.

§ 7. Схоластическое кардинальное и ординальное число.

Здесь скоттическое мировоззрение реализует то, что томисты относят к

разуму. Соединение формы и материи не есть только форма и материя,

разделение их уничтожает ire каждую из них, а их соединение. Вместе -

289

simul

- это, так сказать, тот цемент, который склеивает разнородные эле-

менты и обладает тоже реальностью, хотя, может быть, в меньшей степе-

ни,

чем склеиваемые им элементы.

Но именно такой цемент и отвергается томистами. Соединение

формы и материала - это только материал и форма, и ничего более. Связь

идет от самой материи, вовсе не индифферентной к форме, но только бла-

годаря этой форме и существующей, причем, отвечающей вполне опреде-

ленной форме.

Соединение материала и формы объясняется действием объединя-

ющих факторов: активного - со стороны агента, производящего этот факт,

и пассивного - со стороны материи*, которая представляет расположение

(appetilus) материи.

В этих исследованиях схоластика углубляется в анализ различных

объединенных совокупностей соответственно различию числового и транс-

цендентного единства, она различает трансцендентное и числовое мно-

жество, первое - просто множество, второе - число.

Нельзя сказать, что схоластические понятия числа и множества

вполне отвечают современным.

Если отбросить особые по своим свойствам трансфинитные*'*

числа, то характерный для чисел признак конечности оказывается не при-

сущим множеству; более того, рассматриваемые современной математи-

кой множества - именно бесконечные множества'*.

Схоластическое множество (multiludo)

тоже может быть беско-

нечным (хотя потенциально), число же всегда конечно. Но различие между

множеством и числом в том, что первое является родом, второе видом и

ниже его.

Видовая разность не в способе образования совокупности элемен-

тов,

чем определяются современные множества, а в характере самих эле-

ментов. Схоластическое множество относится к неоднородным элементам,

а число к - однородным.

Так как схоластика реальным признает только конкретное число,

по схоластической терминологии - приложенное, то число может быть в

пяти человеках, в шести камнях, в семи звездах и т.д. Но два человека

вместе с двумя камнями образуют только множество с трансцендентным, а

не числовым единством. Отметим, что кроме однородности единиц, боль-

шинство схоластиков выставляет еще другое условие - материальность со-

ставляющих число единиц.

В схоластике мы видим также борьбу количественной и порядко-

вой точек зрения на число, но теории, защищающие первую точку зрения,

далеко не соответствуют современной количественной теории чисел.

Некоторые схоластики, но не все, мысля сущность числа с помо-

щью обычной арис-готелево-схолястической схемы (форма - материя), ищут

форму чисел®, т.е. то, что дает ему актуальное существование, мысля вме-

290

сте

тем и потенциальное, незаконченное бытие числа, вроде бытия мате-

рии,

не наделенной формой. По мнению одних эта форма дается тем, что

все определяемые числом вещи мыслятся соединенно в одном континуу-

ме

. Пять камней потому, или с того момента, пять, как мыслятся состав-

ляющими как бы один непрерывный камень, разделенный на части. Это,

конечно, количественная точка зрения. Число мыслится здесь вне порядка

составляющих его элементов. Но в то время как современная количествен-

ная теория чисел вдет от дискретного множества к континууму, здесь путь

как раз обратный: континуум кладется в основу дискретной величины,

которая рассматривается как нечто производное, как соединение дискрет-

ной материи с непрерывной формой.

По мнению же других, формой числа является последняя едини-

ца

. Число завершается тогда, когда кончается счет, который кончается

этой последней единицей.

Это,

конечно, порядковая точка зрения.

Против первой, т.е. количественной точки зрения, приводится яв-

ная противоположность дискретного и непрерывного, при которой второе

ни в коем случае не может служить формой первого.

Указывается также на потенциальность такой непрерывности, ибо

ее в действительности нет, так как камни все-таки остаются разделенны-

ми и непрерывность возникает только при действительном их сплавлении.

Против второй точки зрения выдвигается независимость числа от

порядка элементов (а, Ь, с, d); ведь такое же число составляют (а, Ь, с, d),

(d,

a, b, с) и т.д.; указывается также; что формой числа не может явиться

последняя единица вследствие того, что первое и последнее только в уме,

что вне его - только их расположение. В числе нет последней единицы. Нет

ее ни во времени, ни в природе, ни в смысле конечной цели, пи по достоин-

ству.

Последнюю единицу можно сравнить только с крышей дома, кото-

рую ни в коем случае нельзя признать за ее форму.

Отметим, что первый взгляд отвечает возражению на измерение

как на сущность количеств, второе же -томистическому взгляду, берущему

на место измерения распорядок. Согласно первому, число обнаруживается

измерением единиц, согласно второму - расположением частей, причем в

обоих случаях схоластика не может освободиться от пространственного

мышления.

Первый взгляд ближе

Аристотелю, который определяет число как

множество, измеренное единицей

. Единица здесь является мерой и, как

уже выше заметили, ни в коем случае ие телом.

Отсюда вытекает, что множества различных родов различны; что

для Аристотеля, как уже было отмечено, существуют только конкретные

числа: пять камней - другое число, чем пять человек.

291