Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

2) острых и

3) прямых.

Первую гипотезу Саккери удается отвергнуть, исследование же вто-

рой ие приводит к доказательству абсурдности, удовлетворяющему автора

и содержит скрытым образом основы гео-

метрии Лобачевского, геометрии "острого ^

угла".

В этом исследовании ярко высту-

пают свойства геометрического места рав-

ных расстояний в той геометрии, где такое

геометрическое место ис представляется

уже прямой. д

Часто, приходится читать, что гео-

Черт. Ь-

метры две тысячи лет размышляли над

доказательством постулата о параллельных, что на попытки решения этого

заколдованного вопроса пошла колоссальная энергия многих веков.

Но это иллюзия, которая получается проектированием недавнего

прошлого в отдаленное прошедшее, нами почти забытое.

Молено сказать, что вплоть до Ламберта, начиная с возролсдения

геометрии в XVI веке, геометры относились в общем довольно легкомыс-

ленно к этому вопросу.

Саккери в XVII веке - один из немногих исследователей в этой

области, почему ему и ие суждено было заслужить внимания у современ-

ников.

В человеческом уме есть склонность обращать пололсеиия.

"То,

что содерлсит противоречие, не молсет существовать", это

—

основная аксиома при построении метафизических систем рационалистов,

в особенности в последнем периоде, когда уже возникли первые разочаро-

вания в разуме, когда прямые доказательства уже стали пополняться кос-

венными.

"То.

что ие существует, то не существует потому, что содержит про-

тиворечие", это - обратное положение, в которое можно вполне не верить,

прекрасно веря в первое.

Разуму присуще особое самомнение, вера в возможность все дока-

зать как существование чего-либо другого, так и не существование чего-

либо другого.

Так как наиболее сильным орудем его доказательств является при-

ведение к абсурд)', вскрытие глэотиворечий в объекте несуществование ко-

торого он подозревает, то вполне естественно верить, что всякое несуще-

ствование обуславливается именно абсурдностью. Поэтому признание

других геометрий, ие содерлеащимн противоречий, из которых некоторые

должны не существовать, когда существует евклидова, геометрия, это нечто

такое, к чему разум мог лишь долго и с большим трудом приучиться.

262

Рационалистический период пришел к сознанию различной сте-

пени очевидности той груды аксиом, которые он вскрыл.

Недостаточная очевидность постулата о параллельных и его эк-

вивалентов - вот что побуждало математиков XVIII века так много раз-

мышлять об этом предмете.

Положение:

"Те положения, которые логически выводятся из очевидных истин,

менее очевидны, чем эти истины" обращается в естественном заблужде-

нии разума в положение: "Все менее очевидные положения должны выво-

диться из более очевидных" и отсюда начинается изыскание

ЭТИХ

выво-

дов

Но при этом истина постулата о параллельных как бы начинает

терять часть своей очевидности, она уже не представляется столь очевид-

ной,

как раньше, отвержение ее ие кажется столь невозможным, гак это

казалось в XVII веке и при этом преимущественно в глазах эмпирически

настроенных умов.

Идею о возмояаюсти построения чуждой логических противоре-

чий иеевклидой геометрии мы находим впервые у Ламберта.

§10. История смешанных углов.

В то время, как восхождение от вида параллельных прямых к роду парал-

лельных линий приводило к чуждому Евклиду определению о параллель-

ных и в общих чертах сходным теориям параллельных у различных мате-

матиков, основанным на этом определении, восхождение от прямолиней-

ного угла

роду его объемлющем)', к углу вообще, вело к жестокой пробле-

ме о касательном угле (angulus conLingenliae), к ожесточенной полемике,

родственной полемике об uiviversalia в XI веке.

Совершенно верно, что метод схоластической философии отлича-

ется от метода той философии, которая развивается от Декарта до Канта.

Утробная жизнь человека отличается от жизни человека уже родившегося

и уже несвязанного с материнским организмом. Жизнь трехмесячного плода

отличается от жизни девятимесячного, но в так мало похожем на человека

эмбрионе можно усмотреть уже некоторым образом дифференцированны-

ми те части, из которых должны затем развиться определенные более важ-

ные органы.

Совершенно таким же образом и

схоластической философии мож-

но увидеть в искаженном виде все важные идеи, из нее эволюционировав-

шей философской мысли.

Бесконечно малое в неясной форме выступает и в тумане средне-

вковой мысли.

Этот туман начинает рассеиваться в эпоху возрождения. Метафи-

зическое бесконечно малое начинает свою математическую жизнь.

263

В эпоху Петра Рамуса Вы видите не эмбрион современной науч-

ной мысли, а ребенка, правда, еще очень слабого, не могущего самостоя-

тельно стоять на ногах. Прислушайтесь к тому, что говорят 1сомментаторы

Евклида, который является для математика XVI века таким же безошибоч-

ным,

как Аристотель для философов XI века, и Вы легко усмотрите, откуда

произошло неделимое, бесконечно малое XVII века.

До Кеплера и Кавальери следует изучить Кардана, Клавия и Пеле-

тария, а в особенности ожесточенный спор последних о 16-й теореме 3-й

книги "Начал" Евклида

"Прямая, проведенная от конца поперечника круга под прямыми к

оному углами, падает вне круга; в пространства же между прямой и окруж-

ностью ие может упасть другая прямая; и угол полуокружия есть больше

всякого прямолинейного угла, а остальной

меньше".

Доказательство Евклидом ведется от

противного.

Предполагается, что перпендакуляр

из точки А

диаметру АС лежит внутри кру-

га.

Соединяя С и А мы находим, что угол С

равен А (т.к. АСО - равнобед. треуг.) и по-

этому сумма углов в треугольнике больше

двух прямых (противно т. 17 I книги).

Предполагая между окружностью и

AF прямую AG, не встречающую окружно-

сти,

из О опускаем перпендикуляр OD на

AG. Тогда OA (как наклонная) > OD, чего

быть не может, ибо OD > OA.

Отсюда выводится уже не Евклидом, а Проклом

угол CAT касания менее всякого прямолинейного угла.

Такой угол, меньший всякого прямолинейного угла представляет

ли собой величину?

Вот математическая проблема XVI века, в обсуждении которой они

пользовались чисто схоластическим методом.

Проблема идет о возможности подведения угла касания под класс

величины.

Но самый класс величин не определяется, он извлекается путем

своего рода рефлексии уже готовым, и различные его свойства еще полней

его определяющие извлекаются по мере надобности.

Это большое заблуждение - приравнивать схоластические споры к

словесным спорам и видеть решение их проблем в надлежащем выборе

терминов.

Если мы теперь не рассуждаем об угле касания, то вовсе не потому,

что мы имеем правильное решение проблемы, волновавшей Клавия и Пе-

Черт. 7.

следствие, что

264

летария, а просто потому, что мы такого рода проблемы исключили из об-

ласти математических исследований, мы разочаровались в возможности

математизации сравнения прямолинейных и криволинейных углов, хотя в

нематематизированном мышлении мы производим такое сравнение.

Нельзя считать решением ссылку на то, что угол между прямой и

кривой - это угол между этой прямой и касательной к кривой, на основа-

нии которой все углы касания равны нулю. То, что мы назовем до начала

математического изучения и следовательно то, что дается упомянутой выше

рефлексией - углом между кривыми (хотя бы мы и не были в силах это

точно формулировать словами), конечно, не тождествено углу между их

касательными.

Эти два угла равны только в том случае, если признать угол каса-

ния равным нулю, так что упомянутый выше аргумент может родить толь-

ко ложный круг.

"Угол между кривыми есть угол между касательными" • это или

чисто номинальное определение, где термин

"угол"

употребляется в смыс-

ле безусловно расходящемся с тем, которое уже находилось раньше в на-

шем уме, или же представляет положение, выдаваемое за аксиому, что на-

клонение двух кривых измеряется наклонением их касательных.

Но при этом, в этой формулировке, содержится гораздо больше,

чем то, что может быть признано очевидным.

Очевидна не пропорциональность этих наклонений, которую не-

возможно было бы установить, ибо для этого необходим был бы третий

член - мера наклонения двух кривых, соответствующая дуге-мере накло-

нения двух прямых. Очевидно только то, что с возрастанием наклонения

касательных, возрастает наклонение кривых и обратно.

В 3-й книге "Начал" Евклида есть две интересные загадки:

Определения 7 и 11-е.

7-е. Угол отрезка (сегмента) есть тот, который содеряштся прямою

и окружностью круга.

Так что этот смешанный угол, образованный дугой круга и пря-

мой,

угол сегмента, не следует смешивать с углом в сегменте, о котором

говорится в определении 8.

8-е. Когда на дуге отрезка, возьмется такая ни есть точка, и от

оной к концам прямой, которая есть основание отрезка протянутся пря-

мые, то содержимый протянутыми прямыми угол называется углом в от-

резке (в сегменте).

11-е.

Подобные отрезки круга суть те, кои вмещают равные углы,

или в коих углы взаимно равны.

Ни в одном из своих доказательств Евклид ие пользуется смешан-

ным углом.

Теорему 24: "На равных прямых подобные отрезки (сегменты) кру-

гов равны", Евклид доказывает на основании 23-й: "На той же прямой и

265

по ту же ее сторону ие могут быть составлены два отрезка кругов подобные

и неравные".

В 11-м определении совершенно непонятное повторение одного и

того же определения. Мне представляется весьма вероятной следующая

гипотеза: "Сперва определение подобия сегментов было: "кои имеют рав-

ные углы" соответственно определению подобия треугольников б-й книге

"Начал".

Теорема 24-я о равенстве подобных сегментов на равных прямых

доказывалась наложением ( в роде т. 4 I книги).

Причем, как в теор. 4 для прямолинейных углов, так и здесь для

смешанных обращалась 8 аксиома 1-й книги: "Совмещающиеся взаимно

взаимно равны", т.е. при равенстве углов посгулировалась возможность

их совмещения.

Возражения против очевидности такого совмещения и вынудили

произвести изменение, подставить на место определения (см. вторую часть

опред. 11) то, что раньше являлось теоремой, непосредственно вытекаю-

щей из упомянутого выше положения.

Одним словом, по моему мнению, определение 7-е- это рудимент,

свидетельствующий о прошлой истории 3-й книги.

Первая лее часть - тоже рудимент, но подвергшийся некоторому пе-

рерождеиию, затушевавшему его прежнюю историю как полезного органа.

Здесь уместно сказать несколько слов о 8-й аксиоме I книги.

Тот факт, что Евклид в теореме 4 и других пользуется обращением

этой аксиомы, заставляет эту аксиому и в системе аксиом представить в

прямом и обращенном виде. Две совмещающиеся величины равны и две

равные величины совмещаются, что вызвало возражение Марделэ

Вне сомнения, что сам Евклид не имел в мыслях обращения акси-

омы 8-й в общем случае, а только для углов и отрезков.

Тут было только бессознательное пользование скрытыми аксиома-

ми,

наряду с многими другими. Следует помнить, что Евклид совершенно

не пользуется нашей идеей равенства геометрических фигур, которое со-

стоит в тождестве формы и размеров при различии в положении.

Положение 4 формулируется так:

"Ежели два треугольника имеют две стороны равные двум сторо-

нам,

каждую каждой; и один угол равный одному углу, а именно, кои со-

держатся сами равными прямыми; то и основание будут иметь равное ос-

нованию; и треугольник будет равен треугольнику, и прочие углы будут рав-

ны прочим углам, каждый каждому, кои противолежат равным сторонам".

См,

также полоясения VIII и XXVI.

"Равны" употребляется здесь в смысле "равновелики", так что Ев-

клидом утверждается:

1) равновеликость упомянутых треугольников,

2) равенство некоторых их элементов.

266

Когда же Клавий обращает 8 аксиому то он становится на нашу

точку зрения

„

он уже понимает равенство в нашем смысле, и в этом смысле,

конечно, 8 аксиома обратима, на что и указывает ее дальнейшая судьба, а

именно, превращение ее в определение.

Таким образом, судьба смешанного угла мне представляется в та-

ком виде: "Смешанный угол пользовался раньше всеми правами. Но евк-

лидова строгость доказательства, вызванная софистической логикой, из-

гнала его из геометрии. Но схоластическая логика вернула его обратно,

чтобы через сто лет он снова сошел бы со сцены и на тот раз, видимо, на

очень долгое время...",

Смешанный угол последний раз выплывает при борьбе математи-

ков-рационалистов с доказательством с помощью наложения.

Арце, стараясь избегнуть метода наложения, развивает доказатель-

ство 5-й теор. I книги, укачанное Аристотелем

"Углы равнобедренного треугольника при основании равны".

К евклидовым аксиомам Арце прибавляет еще 6 новых, в числе

которых 17-я: "In шю eodemque cicrulo omnes anguli semicirculi sunt invicem

aequales".

В одной и той же полуокружности все полуокружные углы равны.

Таким образом, Арце считает возможным говорить о смешанных

углах, не определяя их с помощью определенных касательными прямоли-

нейных.

Другой аксиомой утверждается: "18 Cujuslibet segmenti duo anguli

sunt invicem aequales. В каждом сегменте оба углы равны.

(Z ВСВ = Z СВС)

Чтобы доказать упомшгутую выше теорему Арце из О описывает

окружность радиусом равным ОВ = ОС и замечая, что на основании акси-

омы 17: Z ВСО = Z СВО на основании аксиомы 18: Z ВСВ = Z СВС,

откуда согласно евклидовой аксиомы: Z ВСО = Z СВО, что и т.д.

Черт. 8.

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПРОИСХОЖДЕНИИ

НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ

СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ.

Введение.

В истории математики хорошо разработана та часть, которую можно на-

звать анатомией: хронология открытий, элементы заимствованные и ори-

гинальные в математике данного культурного периода. Разработана и фи-

зиология: развитие различных математических теорий мы представляем в

зависимости от хода развития других явлений культурной жизни.

Но еще очень слабо затронуто то, что можно назвать эмбриологи-

ей,

т.е. генезис математических идей, начиная с их зарождения. В таком

исследовании, чрезвычайно •деликатном, приходится прибегать к тем ис-

точникам, которые обычно обходятся историком математики: прежде всего

следует обратить внимание не только на верхнее, по и на нижнее течение

математический мысли, ие только на научные произведения, но и на забы-

тые большей частью теперь учебники, ибо в них-то резче всего сказывает-

ся настроение мысли, кладущее свой отпечаток больше всего на понима-

ние основ науки; во-вторых, приходится обратиться и к философским ми-

ровоззрениям исследуемой эпохи, в которых, конечно, следует искать эмб-

рионы основных научных идей,

Исследование происхождения основных идей анализа бесконечно

малых ведет к изучению ныне забытых комментариев Евклида с исправ-

ленными выпрямленными доказательствами, осуществляемыми введени-

ем постулатов уже анализа в скрытой или явной форме, и к изучению фи-

лософии актуальной п потенциальной бесконечности от Аристотеля через

схоластику до рационализма XVII века.

Исследование основных современных геометрических идей ведет

нас к изучению ныне забытых учебников конца XVIII в. и начала XIX в. и,

с другой стороны, к изучению кантианства и гегельянства, кладущих свой

отпечаток на эти учебники.

Повторяю, что исследования эти должны быть очень деликатны.

Очень легко впасть здесь в иллюзию, и историческую эволюцию увидеть в

искаженном виде. Это, между прочим, имеет место у математиков с недо-

статочно развитым историческим чутьем относительно XVII века, внешний

облик которого может быть и похож на современную эпоху, но только вне-

шний, так как более глубокое исследование вскрывает нещзоходимую про-

пасть.

268

Я предлагаю читателю ряд очерков из истории математических

идей. Эти очерки могут иметь не только историческое значение, но и ме-

тодическое. Идеи забытые - не всегда идеи ложные, а часто только такие,

которые не находят применения в ходе современной научной работы, при

незначительном в этом смысле научном значении они могут иметь значе-

ние педагогическое. Преподаватель, прочтя настоящие очерки, может над

многим задуматься.

Эти очерки составляют только небольшую часть моего большого

многолетнего труда по истории математики в указанном сейчас направле-

нии.

Пройденный мной длинный путь я вспоминаю с признательностью к

многим лицам и учреждениям, помогавшим мне в этой, порой нелегкой,

работе.

Прежде всего приношу свою благодарность Правлению Северо-

Кавказского Государственного Университета и Президиуму Ассоциации

Исследовательских Институтов за ежегодные командировки для работы в

библиотеках, богатых старыми книгами. Затем приношу свою благодар-

ность профессорам Н. И. Порфирьеву и И. Н. Парфентьеву, благодаря ко-

торым в 1926 году я получил возможность пользоваться при исключитель-

но удобной обстановке богатой книжной сокровищницей геометрического

кабинета Казанского Университета. Не могу также не отметить того пре-

дупредительного и внимательного ко мне отношения, которое я всегда встре-

чал в библиотеке Московского Университета, а также исключительно лю-

безное ко мне отношение в 1924 г. заведующей математическим отделени-

ем Ленинградской Публичной библиотеки.

Наконец, особенную благодарность выражаю Правлению Северо-

Кавказского Университета, дающему мне возможность увидеть в печати

хотя бы часть этого особенно близкого мне моего духовного детища, при-

чем как раз в столь знаменательное для меня время 30-летнего юбилея

моей научной и педагогической деятельности. Приношу также свою благо-

дарность Н. М. Несторовичу, любезно взявшему на себя большую часть

труда по исправлению корректуры.

Май 1928 г. Ростов-Дон.

Д.

Мордухай-Болтовской.

I. Два основных источника методов решения уравнений.

(ХП век).

Простое фальшивое правило

Самые интересные, но, конечно, и самые трудные проблемы истории мате-

матики это те, которые относятся к эмбриологии идей.

Обычно история математики исследует ход развития идеи уже во

вполне оформленном виде. Хорошо известны все факты, относящиеся к

269

истории числовых уравнений, но не делаются попытки пойти вглубь - ис-

следовать самые корни идей, лежащих в основе этих методов.

Попытки таких исследований я хочу дать. Я хочу показать, что эти

идеи с психологической необходимостью должны были развиться из ос-

новных свойств нашего ума. причем, хочу проследить, как самые прими-

тивные методы должны были обратиться в современные совершенные.

Самый примитивный способ (но, конечно, не метод) решения за-

дачи - ряд попыток; неизвестное просто подбирается так, чтобы оно удов-

летворило поставленным условиям.

Берется произвольное значение для неизвестного, согласно арабс-

кой терминологии: предположение; производятся над ним все те опера-

ции,

которые должны дать определенный результат. Если полученный ре-

зультат не совпадает с данным или, как говорят арабы, отклонение не

нуль, то переходят к другому и так дальше, пока не наталкиваются на

решение. Так древние египтяне решили, вероятно, задолго до Ахмеса

за-

дачу вроде следующей:

Разделить 1000 рублей между тремя лицами А, В, С, так, чтобы В

получил в

1-^-раза

больше А, С - ~ того, что А и В вместе и еще 40 руб.

Ход решения состоял в том, что последовательно предполагают,

что А получает 100, 200, 300 р. и определяют, сколько получит В и С и,

наконец, все вместе.

Первая идея, которая должна была прийти в голову, такова: в том

случае, когда результат получается слишком большим, когда отклонение

положительно, нужно брать следующее предположение меньше, в против-

ном случае - больше; благодаря этой идее получаются все более узкие об-

ласти пробуемых предположений.

Конечно, этот уже более совершенный способ основывается на при-

знании, что результат d

возрастает вместе с предположением х

. Но эта

вера не только ие обоснована, но, в общем, и неверна.

Это один из законов, управляющих эволюцией идей: всякая исти-

- на содержит заблуждение; необходимо всегда признать что-либо непра-

вильное, чтобы продвинуться к правильному.

Такого же рода заблуждение является стимулом и дальнейшего

продвижения.

Вторым заблуждением является признание двух величии х

у, еди-

новременно возрастающих, пропорциональными.

Эта ошибка: в отождествлении монотонности с прямой или обрат-

ной пропорциональностью, вместе с тем - источник ошибок

как

ученичес-

ких, так и тех, которые дает нам история математики. Но эта ошибка выз-

вала regula falsi

, фальшивое правило в его простейшем виде.

270

Вне сомнения, простейшее фальшивое правило, применимое ко

всем задачам, ие обосновывается, так как обосновать его, конечно, раньше

не было возможности. Ошибка в отождествлении монотонности и пропор-

циональности не замечалась, так как в первых ггаостейших задачах это

действительно имеет место и применение правила было вполне законно.

Открытие regula falsi - бесспорно крупное открытие в младен-

ческий период математики; оно дает возможность, так сказать, одним уда-

ром превратить неправильное решение в правильное.

Если при взятом предположении х

результат d

вдвое менее дан-

ного d, то искомое х вдвое более х

; если

= 3d, то и х

= Зх и т.д.

Приведенная выше задача так решается по простому фальшивому

правилу;

Отняв от 1000 р. - 40 р. (т.е. прибавку, полученную С сверх т час-

ти А и В), т.е. взяв 960 руб., будем делить так, что В получит в

1—раза

более А, С -

—

того, что А и В вместе,

Предположим, что А получит 4, тогда В - 6, а С - 2; все вместе-12,

вместо 960 р., т.е. в 80 раз меньше. Отсюда делается заключение, что оши-

бочный слишком малый результат получился потому, что предположение

взяли слишком малое. Если возьмем в 80 раз больше, то В и С получат в 80

раз больше и сама сумма будет в 80 раз больше, т.е. 960 рублей.

В алгебраической символике правило это будет представлять ме-

тод решения уравнения первой степени:

ах + bx + с(а.'х + b'x) = d (I)

без соединения подобных членов.

А именно, берется для х какое-нибудь значение х = х

и определя-

ется число d

, которому равен результат подстановки в левую часть уравне-

ния (1) этого решения х = х

, так что

ах

-I-

с(а'х + b'x) = d; (2)

х определяется по формуле:

х = х

— (3)

"о

которую нетрудно вывести из (1) и (2).

Для разобранного нами примера имеем уравнение:

3 U 2 ^

х + —х -I— х + -х = 960

2 5\ 3 )

полагается равным 4;

271