Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

при котором степень очевидности какого-либо истинного положения воз-

растет.

Для этого необходимо очищение разума от чувственности, закры-

вающей лучи его натурального света своего рода туманом. И если мы те-

перь обратимся к рассуждениям рационалистов, то легко усмотрим при-

сутствие в них особого рода доказательств, имеющих своим содержанием

не строго логический вывод исследуемого положения из положений оче-

видных или же выведенных из очевидных, но различного рода пояснения,

настраивающие так, что положения, очевидные для автора, после этих по-

яснений становятся в равной мере очевидными и для читателя.

Возьмем основную аксиому Арно

175

, введение которой позволяет

ему избежать неприятного для рационалистов XVII века метода наложе-

ния.

Она состоит в том, что если двум точкам С и D прямой присуще

свойство равпоудаленпости от А и В, то то же свойство присуще всем

точкам прямой CD

176

Другие авторы, делая уступку методу наложения, но желая сохра-

нить оригинальный порядок теорем по Арно (ordo Arnoldiani), доказыва-

ли это положение не с помощью теорем о конгруэнтности треугольников, а

С помощью сгибания, т.е. методом наложения

177

. Арно, с одной стороны,

сознавая, что он ие сможет, минуя метод наложения, доказать это положе-

ние, с другой стороны, сознавая и то, что оно уступает в очевидности дру-

гим его аксиомам, вынужден употребить упомянутое выше средство убеж-

дения, или увеличения степени очевидности.

Приводим его шесть аргументов:

"Я утверждаю, - говорит он, - что только одно созерцание

(consideration) природы прямой линии заставляет видеть истинность этого

положения и что без него невозможно сохранить в геометрии естествен-

ный порядок вещей.

Ибо:

1) Так как положение прямой зависит только от двух точек, и

при задании этих двух точек оно все дано, т.е. положение всякой другой

точки определено, видно (П est visible), что положение этих двух точек се-

кущей линии, из которых каждая представляет равно отстоящую от двух

точек, определяет все точки так, что они тоже равно отстоят".

Это,

конечно, ие логическое доказательство и Арно за таковое его

не выдает.

Пусть точка С находится на расстоянии d от точки А, пусть другая

точка D находится на том же расстоянии d отточки А. Рассуждая по Арно,

нужно было бы заключить, что и всякая другая точка Е прямой CD нахо-

дится на том же расстоянии d от А

178

Действие этого шаткого аргумента усиливается другим:

2) "Если бы была какая-либо точка Е, более близкая к А чем к В,

то прямая необходимо была бы согнута в эту сторону'".

322

Здесь разум приглашается к особого рода операции, к попытке по-

строения прямой с противным аксиоме свойством.

3) "Нет основания тому, почему бы этой точке приблизиться к од-

ной стороне предположительно перед другой, ни тому, почему приблизить-

ся на то или другое количество.

Ибо положение данных точек, определяющих и все остальные точ-

ки прямой, может их определить только с равными расстояниями, ибо для

них самих существует это равенство".

Это весьма туманное изложение вероятно следует понимать так:

Точки С и D вполне определяют прямую CD. Плоскость ею разби-

вается на две части Р и Q. Если бы мы не имели СА = СБ и DA = DB, то

обе стороны Р и Q различались бы по своим свойствам относительно пря-

мой С и точек А и В, и причиной сему было бы то, что пара расстояний от

A (d,, d,) была бы иной, чем пара расстояний от В (d',, й'

)

]П

Но раз (d,, d

)(d'

) одинаковы для обеих сторон, то и все свой-

ства одинаковы, ибо все свойства определяются, если будут даны расстоя-

ния Е и D от А и В.

Это,

конечно, не математическое до!сазательство. Это обращение к

общим свойствам пространства, которые как бы смутно нами чувствуют-

ся,

а не зрятся, как частные свойства фигур, определяемые аксиомами.

Рационалист Арно, конечно, отвергает, что какое-либо ложное по-

ложение может когда-либо сделаться очевидным.

Если положение ие всегда очевидно, но когда-либо бывает, тако-

вым,

то оно истинно, ибо существуют моменты, когда туман чувственнос-

ти,

застилающий истину, расходится и разум с полным внутренним про-

зрением постигает истину.

4) "Все геометры, - продолжает Арно, - видимо сходятся на оче-

видности этого положения, ибо при решении всех проблем, касающихся

перпендикуляров, все их дело сводится к разысканию двух точек секущей,

из которых каждая отстоит одинаково от двух точек прямой.

И какими бы рассуждениями они ни старались доказать, что их

проблемы таким образом разрешаются, тем не менее ясно, что по природе

вещей только именно это их разрешило".

Арно хочет сказать, что тот факт, что решение ведется всегда через

явно или неявно использованную его аксиому, которую при окончательном

обосновании стараются обойти, указывает на лежащую уже в уме некото-

рую тенденцию к ее признанию.

В 5-м аргументе Арно просто аппелируется к особому вниманию -

своего рода апперцепции очевидности.

Особенно интересен 6-й аргумент. Вера Арно в разум так велика,

что он признает возможность не только вывода всех положений из очевид-

ных, как Гильберт, но и возможность строгого проведения всей системы

323

доказуемых положений в некотором естественном порядке, отвечающем

установленной им иерархии геометрических объектов по степени их про-

стоты.

В б-м аргументе он выставляет необходимость установления в ос-

нове геометрии его аксиомы для осуществления естественного порядка как

доказательства не только истинности, но и очевидности этого положения,

т.е. наличности какого-то тумана у тех, для кого это положение неясно само

по себе.

б) "То, что должно уничтожить сомнение в том, что положение это

можно принять как ясное само по себе (claire

d'elle

meme), это то, что ина-

че пришлось бы нарушить естественный порядок вещей и употребить тре-

угольники для доказательства свойств линий, т.е. с помощью более слож-

ного объяснять более простое, что совершенно противно истинной мето-

де".

§ 5. Херигоп и Гильберт.

Если рационалисты XVII века заботились больше об очевидности основ-

ных положений, а наши современники об их минимуме, то вовсе не следу-

ет думать, что первые совсем исключили требование минимума, а вторые

остаются глухи к требованиям очевидности.

Как можно меньше аксиом со слабой степенью очевидности - вот

требование минимума XVII и XVIII в.в. Гильберту же при выборе своей

минимальной системы постулатов приходится все-таки ограничиваться

положениями очевидными, ибо иначе геометрия перестала бы убеждать.

Он позволяет только быть менее требовательным в этом отношении. Если

бы он отверг требование очевидности, то, может быть, достиг бы еще боль-

шего сокращения основных постулатов, но его геометрия тогда никого не

убедила бы.

Попыток построения геометрии при минимуме основных неоче-

видных положений еще не было сделано. Но они были бы необычайно ин-

тересны: в наличности тех или иных теорем они никого не убедили бы, но

они дали бы знание, с точит зрения будущей науки не менее ценное, - зна-

ние логических связей между положениями геометрии иных, чем те, с по-

мощью которых убеждаются в их истинности.

В XVII в. ту роль, которую в недавнее время сыграл Гильберт, вы-

полнил Херигон

180

Аксиоматика Херигона сводится к коллекционированию очевидных

истин, и он вполне уверен, что ему удастся, пополнив надлежащим обра-

зом Евклида, собрать полную коллекцию аксиом. Он совершенно не инте-

ресуется вопросом: зависимы или независимы аксиомы его системы, и бес-

спорно, что в его системе аксиом существуют зависящие между собой.

324

Но он интересуется тем, чем современная аксиоматика менее всего

интересуется. Он еще интересуется тем, чем интересовался схоластик, смот-

ревший вглубь понятий и различавший их не столько с точки зрения опе-

рациональной, сколько с точки зрения внутреннего содержания. Суще-

ствуют геометрические объекты, играющие совершенно одинаковую роль

в формально-логических операциях, логические эквиваленты относительно

большей или меньшей части аксиом, лежащих в основе геометрии, но, бес-

спорно, различные между собой, хотя различие определяется такими при-

знаками, которые ие укладываются в логические термины и при разверты-

вании геометрической системы являются логически недействующими. С

логической точки зрения непрерывная система точек (пунктуал), которую

несет на себе окруясность, и сама окружность могут быть отождествлены,

ибо,

например, три точки определяют этот пунктуал и вместе с тем и его

носитель - окружность; прямая может иметь с ней не больше двух точек и

с этим пунктуалом и с окружностью, хотя совокупность, хотя бы и беско-

нечная, точек и кривая, бесспорно, - две различные вещи.

То ясе относится и к углу как наклонению и к углу в бертрановском

смысле, как неопределенному пространству, ограниченному двумя пересе-

кающимися прямыми

181

и т.д.

Если при коллекционировании очевидных истин отойти от чисто

формальной точки зрения, при которой происходит отождествление раз-

личных объектов, удовлетворяющих одной и той же системе формальных

постулатов, то коллекция наша сильно разрастется, как это имеет место у

Херигона.

Интересно исследовать и онтологические, и логические системы

аксиом, которые выявляют тот же характер. У картезианца Гейлинку

(Melhodus, Сар. П), мы имеем как различные аксиомы: последующее вер-

но,

если предыдущее верно; говорящий, что последующее верно, говорит,

что и предыдущее верно; невозможно, чтобы предыдущее было верно, а

последующее не верно и т.д.

Наряду с 4-мя "постулатами" (3 евклидовских он дополняет по-

стулатом: всегда можно взять величину большую или меньшую данной) он

выставляет еще 44 аксиомы (Communes notioues).

Различие точек зрения рационалистической и современной (моле-

но было бы сказать логической) выступает уже в первой группе гильбер-

товских

182

аксиом: 1,.,. Сопряжения (der Vcrknupfung) по Гильберту:

1) Две различные точки А и В определяют прямую.

2) Любые две различные точки прямой определяют эту прямую;

эти аксиомы можно было заменить двумя взаимными (получаемыми обме-

ном точки на прямую и обратно).

1) Две различные прямые а и b определяют точку.

2) Любые две различные прямые, принадлежащие точке, опреде-

ляют эту точку.

Для Херигона же аксиомы:

1) две прямые пересекаются в одной только точке (9 а. Ь),

2) две прямые имеют одну только общую точку,

суть совершенно различные положения, в равной мере очевидные.

При этом к ним присоедштяются две аксиомы, устанавливающие

между ними связь:

Две прямые имеют общую точку пересечения (10 а.1).

Общая точка двух прямых - это точка их пересечения (19 а.Ь).

При дальнейшей обработке мы получаем аксиомы:

1) Две прямые a, b имеют или все точки общими, или одну, или ни

одной.

2) Две прямые a, b имеют или одну точку пересечения или не пере-

секаются.

3) Если прямые a, b пересекпотся, то имеют только одну общую

точку.

4) Если прямые a, b имеют только одну общую точку, то они пере-

секаются.

5) Если прямые a, b имеют две или больше общих точек, то не

пересекаются, а совпадают.

6) Общая точка прямых a, b в том случае, когда существует одна

такая точка, всегда есть точка пересечения.

7) Точка пересечения прямых a, b всегда их общая точка.

Конечно, при развертывании системы формально-логических до-

казательств

а и b равны между собой

можно заменить

а = b, b = а

установив как основной постулат, что второе отношение а, вытека-

ет из первого.

Но в понятии равенстваме-жду собой чувствуется нечто иное, чем

совокупность двух отношений а = b и b = а, члены которых имеют опреде-

ленный порядок. Это отношение совершенно чуждо идее порядка.

Конкретная операция проверки: (А равно В) сводится к наложе-

нию А на В, (В равно А) - к наложению В на А, - при этом основной

постулат утверждает, что, если в первом случае имело место совпадение,

то оно имеет место и во втором.

Проверочная операция (А и В равны) сводится к такой операции, в

которой роли А и В совершенно одинаковы (в случае отрезков А и В оба

переносятся так, чтобы концы их попали в одну точку и отрезки подверга-

ются одинаковому вращению до их совпадения).

У Херигона в его идеографии для двух этих понятий имеются раз-

личные обозначения.

а 2/2 b - а равно b

326

а & b snt 2/2 Fe - а и b равны между собой.

Впрочем, следует согласиться, что здесь у Херигона остается неяс-

ность и незавершенность. В данном перечне его аксиом нет аксиомы экви-

валентности а = b и b = а и поэтому равенство "а 2/2 Ь" в его системе

аксиом следует понимать скорее в смысле "а и b равны между собой", чем

в смысле "а равно Ь". И здесь, как в разобранном выше случае, дальней-

шая обработка аксиоматической системы согласно идеям рационализма

повела бы к массе новых аксиом и к дальнейшему раздуванию и без того

громоздкой системы.

Обратим внимание на то, что у Херигона нет аксиомы а = а.

Равенство это с евклидовой и его точки зрения могло бы иметь

смысл только в случае двух, а не одного объекта

183

Отношение равенства имеет всегда два члена.

Сказать Д ABC = Д ABC все равно, что сказать, что

сам себе брат.

Иное дело логическая аксиома тождества "А есть А", здесь первый член не

одно и то же, что второй: первый индивидуум, второй же класс. "А есть

А" - не равенство, а отношение А к классу, состоящему из одного этого

индивидуума.

Но тогда аксиома "если а = Ь, то а + с = b + с" не подводится под

аксиому "если а = Ь, с = d, то а + с = b + d" (2 акс. I книги "Начал" Евклид)

и т.д.

§ 6. Алгебраическая аксиоматика Херигона.

Приведем алгебраические аксиомы Херигона.

1а)

а =

la.

Ь)

а =

c = d

= с

(а.

с)

Ь = с

а > с

с =

b = d

с = а

а> b

327

Ilia. 1)

c =

]

-d

a *bl

IVa. I)

c = b

a + c^b+d

Ilia, b)

a =

}

IVa. b)

a=b|

a +

a > b

IVa. c) .M + ob +

a * bl

Va.

dГ"'

a > b

Vac

>c<d

a-ob-d

Vla.b) a>b}2a>2b Via. c)

Via. 1)

b = c 1

VIad

) a = 2c^

= 2C

a =—с

2 I

Vila. 1) i

b = —с

Vila, b)

=-c

b=id

a > b

b = o

VIIa.c)

a =

г a =— с

a=b

Vfla.d)

a-b

c*dl

XVa.b)

a = b

[(c + a)-(d + b) = c-d

a = b

XVIIa. 1) }-(a-c)-(b-d) = d-c

XVIIIa.

^|(c-a)-(d-b)

= c-d

a =

XX)

=—d

Ka-c)

|(b-d)

XX)

)

b =

2dj

+ b) = 2(c + d)

не > b|

ХХ1а

)аие<ь|

= Ь

Мы пользуемся современной символикой.

Если строго различать символы

2|2 и snt 2|2 Fe

п"

Ь"

понимать

во

втором смысле,

т.е.

брать

+ b 2|2 с + d

& d snt

2)2.

то

не

трудно видеть,

что I at)

вытекает

из Ш а, и II а

(

На первый взгляд представляется очень странной аксиома

VI а,

как будто

бы

тождественная

I а.

Чтобы решить

эту

загадку, следует заметить,

что 2с

результат неко-

торой операции

над с -

удвоения.

Чтобы усвоить себе особое значение этой операции, следует уяс-

нить,

что

представляла

из

себя алгебра

во

времена Херигона.

Понятие геометрической величины проделало большую эволюцию.

Когда

алгебре предлагают уравнение

ах

bx + с =

О,

то

а, Ь, с

считают числами,

(неизвестное) тоже числом.

Но

XVII

XVIII

вв.

алгебраическая величина

это - род,

объем-

лющий

два

вида: непрерывные величины, каковыми являются геометри-

ческие длины, поверхности

объемы, дискретные величины,

т. е.

числа,

причем понятие числа

не

идет дальше рациональной области.

Сочетание

понимается

или как

результат умножения числа

а на

Ь,

или

как результат умножения отрезка

а на

Ь, причем понимание умноже-

ния отрезков подвергается метаморфозе. Сперва

это

образование прямоу-

гольника, построенного

на а и b

(мелсду

а и Ь, гак

говорит Евклид)

- ре-

зультат

ab -

площадь этого прямоугольника, позднее

лее (у

Декарта)

это

отрезок, получаемый построением

на OA и

ОС: откладывается

OA = а, ОС

приводится

АС на

ОС,

на OA

откладывается

ОВ = b и из В

проводится

|| АС,

тогда

OD = х = ab, т.е. х : а = b ; I

181

329

Алгебра возможна потому, что нормальные законы операций: сло-

жения, вычитания, умножения, деления отрезков - те же, что у соответ-

ствующих действий над числами.

Обращение алгебры в численную алгебру произошло с установкой

взаимообразиого соответствия между числами и геометрическими объек-

тами.

Стоя на такой точке зрения, Херигон естественно должен был вы-

делить удвоение, как особую операцию над величинами, так как для не-

прерывных величин (например, отрезков) умножение сводится к последо-

вательным удвоениям, а само удвоение есть геометрическая операция, не

производимая ни в коем случае над двумя отрезками, а только над одним.

Деление же пополам, не основанное на теории подобия, коренным обра-

зом отличается от деления на 3, 4, 5 частей.

Интересно сравнить систему аксиом Херигона с системой Форту-

натов ^ относящейся уже к XVIII веку.

I. а, Ь, с части m

ш = а + b + с

а + b + с = in

II.

а, Ь, с части га

in > a, m > b, m > с

III.

IV.

а = b

d = c

а = d

а = с

b = с у b = d a*b

VI.

a = b

b = a

с = a

c = b

VII.

a = b

b = a

a = с

b=c

vm.

a = b

b = a

c = d

d = c

a = c

ГХ.

a = b

b = d

b = alb« и

C==D

U^d

a = b

a +

c = b

c = d

a = b| ane>b] , a>b] ,

XI.

U-c = b-d xil. uf

a = b

XIII. >a + c>b + d

c = d

а не < b c=d

XIV.

a > b

c = d

a — о > b —

Здесь a=b определенно отличается от , причем последняя

Vb = iij

символика ставится на место херигоновскнх

330

Snt 2|2 Fe

Первая аксиома Евклида (и вместе с тем и первая аксиома Хериго-

на) у Фортунато разбивается на три: IV, VI, VII.

Последние две он мог бы сплавить в одну:

а = Ь|

b = а

b = с

с = a

с = b

а =

Отчего аксиома VI не подводится как частный случай, под IV, за-

меняя d на а?

Потому что во втором случае мы имели бы три условия: а = b, а = с,

а = а, с иным порядком членов и с недостающим условием.

Если отнести эти аксиомы к отрезкам, то геометрическое их значе-

ние будет совершенно различно:

в VII а накладывается на b, a b на а, и в обоих случаях имеет место

совпадение, с накладывается на а - утверждается совпадение при наложе-

нии с на Ь,

в VII а на b, b на а, а на с и утверлдается совпадение при наложе-

нии b на с,

в IV а на b, d на с и в обоих случаях совпадение, кроме того а на d

и тогда совпадение - утверждается совпадение при наложении b на с.

К этому времени юллекционирование очевидных аксиом оказыва-

ется математикам совершенно не по силам, так как число их быстро рас-

тет, проблему о собирании всех очевидных аксиом приходится заменить

проблемой о собирании тех, из которых можно вывести все положения, но

при этом вовсе не ставится условие независимости этих постулатов.

Необходимость сокращения их числа вызывает к жизни аксиому а

= а, которая может иметь смысл и быть признана за очевидную истину при

изменении самого смысла взаимоотношения равенства между а и Ь, кото-

рое должно уже пониматься не в смысле непосредственного их взаимоот-

ношения, а взаимоотношения каких-то двойников, создаваемых мыслью

(отрезок накладывается сам на себя).