Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

представлению о зернистом строении континуума и к идее асимптотичес-

кого приближения.

§'

2. Эмбрион идеи функции.

Для того чтобы спасти неизменность формы, Д. Скотт мыслит различные

ее совершенства, различные формы форм в своей промежуточной области

бытия, formaliter ex natura rei

208

и называет их формальностями

®.

Результатом победы скоттического взгляда является количествен-

ная точка зрения на основные аристотелевские свойства, определяющие

четыре эмпедокловых элемента

210

: сухость, влалшость, теплота и холод.

Это - первые переменные величины, причем сперва интенсивные,

затем экстенсивные.

Из субстанциальных форм они обращаются в субстанции, в свое-

го рода материи, с уже самостоятельным существованием, и как таковые,

вследствие занятия определенной части пространства, экстенсивными ве-

личинами. Впрочем, мысль, оперируя этого рода величинами, находится

все время в колебании: эти величины то эмансиципируются, то снова по-

гружаются в сферы пространственного мышления.

Телезий

" признает три элемента во вселенной: два бестелесных

- тепло и холод, и один телесный - материю. Тепло идет с неба, холод из

земли, и в круговороте вселенной происходит их смешение.

Тепло выгоняет холод и обратно, выгнав его из тела, может увели-

чиваться в своем количестве притоком нового тепла.

Эта количественная точка зрения приводит учеников Д. Скотта к

однозначному соответствию между формальностями и длинами прямоли-

нейных отрезков и отсюда к учению о широтах форм (latitudine formarum)

Н. Орсзма

212

, представляющему, по существу, графическое представление

форм в зависимости от времени, так что интензирующаяся форма мыслит-

ся как функция переменного - времени longiludo; долгота - это та же абс-

. цисса, latitudo - широта - ордината; первая определяет значение незави-

симого переменного, вторая - (пункции.

Степень - gradus latitudinis, разность между двумя следующими

друг за другом широтами, представляет приращение функции

213

Нуль функции - это "нестепень" (non gradus). Но характер функци-

ональной зависимости определяется в духе Аристотеля и схоластики - ка-

чественно, а не количественно.

Случай f(x) = 0 для некоторой области изменения х характеризует-

ся Орезмом как "одноформенная" степень повсюду (uniformis gradus per

totuin).

Этому случаю противополагается разноформенность (diflbrmis),

причем различаются: случай разиоформенности повсюду и частью, чему

отвечают графики: например, образуемые кругом или прямой, не парал-

342

лельной ОХ, и образуемые отрезками таких кривых и прямых, параллель-

ных ОХ,

Орезмом выдвигается еще одноформенная разноформенность и

разноформенная разноформенность (uniformilas difformis et difformitas

dinormis).

В первом случае excessus graduum - приращение долготы, отвеча-

ющее определенной широте, постоянно, что имеет место для прямой, на-

клонной к ОХ.

Не следует думать, что дальнейший ход мысли определялся только

скоттической, а не томнстической схоластикой. Тщательный анализ вскры-

вает как томистические, так и скоттические элементы в мысли XV и

XVI веков. В актуально бесконечно малых, как неделимых Кеплера

214

Кавальери

215

, мы легко видим помянутые выше кванты Фомы Аквинского

и выходящие изнутри, но вместе с тем и привходящие, извне, формальнос-

ти Скотта, обладающие каким-то неполным существованием.

Но следует отметить, что развгоающийся

XVII веке рационализм

по духу своему ближе к томизму. Эмбрион идеи функции, начавший раз-

виваться в XVI столетии

*, останавливается в своем развитии в XVII веке.

Интересно отметить, что Декарт, положивший начало аналитичес-

кой геометрии, основанной на координатном принципе, чужд идее пере-

менного. Уравнение кривой

" характеризуется не функциональной зави-

симостью ординаты от абсциссы, характером изменения первой в зависи-

мости от второй, а способом построения первой, когда дана вторая.

§ 3. Лейбниц и Ньютон.

Идея переменного снова, и уже определенно, выступает на закате рациона-

лизма в постепенно математизирующейся форме у Лейбница и у Ньюто-

на.

Это сперва величина, изменяющаяся только во времени

218

, Для всех

изменяющихся величин устанавливается одно универсальное независимое

переменное - это время t.

Это сперва действительное время, а затем более абстрактное и об-

щее умопостигаемое время, нечто, что в результате характеризуется одним

признаком - служить универсальным независимым переменным.

Эта воскресшая идея в сочетании с идеей актуальной бесконечнос-

ти,

крепко владевшая умами этой эпохи, дает понятие предела в той фор-

ме,

в которой она в довольно смутном виде выступает у Лейбница гак ме-

тафизическая идея, а у Ньютона уже как математическая, идея.

Некоторый объект X (ие обязательно величина) изменяется. Ко-

нечный результат достигается конечным или бесконечным процессом во

времени. При этом время, в продолжении которого совершается бесконеч-

ный щюцесс, мыслится как актуально бесконечный промежуток времени.

343

Предел А мыслится всегда достигнутым объектом X.

Предел А рассматривается кис одна из форм, можно сказать, пос-

ледняя форма. С этой идеей связывается основное свойство предела, вы-

раженное Лейбницем в форме

214

: "Datis ordinatis eliam quaesita sunt

ordinata", т.е. если данные (иначе говоря, различные значения или общие

формы X) известным образом упорядочены, то тот же порядок имеет мес-

то и в искомых, что следует понимать (вводя математический термин "пре-

дел") в следующем смысле: "Свойства, присущие Xво все время его изме-

нения, остаются и в пределе"..

Чисто метафизический принцип непрерывности natura non facit

sallus (природа не делает скачков) устанавливает существование между

объектами А и В еще промежуточного по своим свойствам объекта С = (А

В)

220

Отсюда возникает мысль о необходимости прохождения каждым

изменением объектов X непрерывной совокупности форм, из которых смеж-

ные между собой формы неразличимы.

Если изменение объекта X должно закончиться формой А, то меж-

ду X и А существует бесконечное множество промежуточных форм. Если

при изменении X какое-либо свойство X остается неизменным, оно най-

дется и в А, ибо в противном случае делается скачок и, так сказать, в пос-

ледний момент, когда изменение заканчивается, X улетучивалось бы.

Поэтому принцип непрерывности с этим необходимым его след-

ствием Лейбниц принимает за принцип общего порядка; он замечает, что

этот принцип безусловно необходим в геометрии и полезен в физике.

Если эллипс с бесконечно возрастающей осью datum (данное), то

и то, что присуще эллипсу (например, основное свойство фокуса и директ-

риссы) остается неизменным в параболе

221

Эти лейбиицианские идеи подвергаются у Ньютона математиза-

ции.

Основная лемма ньютоновского метода первых и последних от-

ношений: величины и отношения величии, которые стремятся в данное

время к равенству и в течение его могут приблизиться к нему ближе,

чем на какую угодно данную разность, становятся, наконец, равны.

По латыни: quantilas ut et quanlitatum rationes, ad aequalitatem dato

tempore constanter tendunt et eo pacto proprius ad invicem accedere possunt

quam pro data quavis differentia funt ultimo aequales.

Перевод ultimo aequales проф. Крыловым

222

-"« пределе равны,"

совершенно искажает смысл, ибо создает представление не о последней их

величине, о которой идет речь, а о величине, находящейся вне сферы воз-

можных значений X, к которой X стремится, никогда ее не достигая, как

это мыслили только позднейшие математики.

Доказывается эта лемма от противного:

"Если отвергнуть эту лемму, то разность их равна D. Поэтому не

344

могут приблизиться более, чем на D, что противно условию".

Последнее и первое отношения Ньютона не

~ в нашем смыс-

ле;

это значение х : у, когда х, у обращаются в нули или когда начинают

расти с нуля.

Актуально бескончено малые метода неделимых ие подчинялись

второму постулату "Начал" Евклида

223

. Из х = у + а, где х и у конечны, a

а бескончено мало, выводилось, что х = у, ибо, как говорили, а исчезало

в сравнении с у

224

Это исчезновение бескончено малых положено в основу техники

метода флюксий Ньютона

225

Различие между предшественниками Ньютона и самим Ньютоном

то,

что первые признавали особые актуально бескончено малые постоян-

ные величины, ие подчиняющиеся некоторым основным числовым зако-

нам.

Ньютон же признавал особое состояние изменяющейся величины,

когда она не представляет в собственном смысле величины, а только вели-

чину зарождающуюся

220

Молено говорить об отношении таких зарождающихся (или исче-

зающих) величин, но при этом из того, что X : У = А

А еще нельзя выве-

сти,

что X = У

Если раньше бесконечно-малая дуга отождествлялась стягиваю-

щей ее хорде

227

, то Ньютон такого отождествления уже не делает.

Для него ratio arcus est chordae et ratio aequalitatis (последнее от-

ношение дуги и хорды - это отношение равенства)

228

Бертран и Кестнер.

Чрезвычайно явственно выступает различие точек зрения рационалистов

XVII в. и сенсуалистов XVIII века при сравнении вольфиаискмх

" учебни-

ков с очень оригинальным в свое время произведением Бертрана Женевс-

кого

230

В основе рассуждений вольфианцев лежит представление зернис-

того строения пространства, зернами которого являются актуально беско-

нечно малые, в которых исчезает форма.

Это реальное строение пространства постигается своего рода со-

зерцанием чистого разума, выходящим за пределы чувственности.

Даваемые рационалистами определения задаются целью не подве-

дения под genus proximum (ближайший род) с помощью differentia specifics

(различающего признака), но вскрывают внутреннюю структуру опреде-

ляемой вещи; бескончено малый прямолинейный отрезок это некоторая

концепция чистого разума, а не чувственный элемент, и из него слагается

как прямая, так и кривая

231

345

С сенсуалистической точки зрения XVTII века

332

математическое

исследование начинается с переработки абстракцией опытного материала.

Из понятий круга и прямой, получаемых из опыта, ни одно не мо-

жет претендовать на приоритет.

Понятие длины кривой не сводится к длине прямолинейного от-

резка, а принимается как нечто само по себе понятное.

У Бертрана еще нет общей идеи предела и точного его определе-

ния,

но отказавшись от отождествления

233

круга с polygoims infinitorum

laterum infinite parvorum (многоугольником с бесконечным числом беско-

нечно малых сторон) он доказывает, что длина окружности это предел впи-

санных и описанных многоугольников.

Но у него в основной теореме выступает не предел величины, а

предел формы, так что он может быть помещен как раз в середине между

Лейбницем с метафизической идеей предела и д'Аламбером, у которого

эта идея подверглась если не полной, то, во всяком случае, довольно глубо-

кой математизации. Теория Бертрана формулируется так:

Круг-предел расширения (dilatation) правильных вписанных много-

угольников с 6

сторонами, а равно предел сжимания (contraction) опи-

санных многоугольников того же числа сторон.

Для вывода отсюда длины окружности приходится пользоваться

скрытой аксиомой о том, что если объект X имеет своим пределом А, то и

величина, определяемая X; имеет своим пределом соответствующую вели-

чину А, что, конечно, представляет частный случай основного положения

Лейбница

Другая скрытая аксиома: если расстояние точек вписанных в круг

(или вообще в выпуклую кривую) многоугольника, отсчитываемых по ра-

диусу от окружности (или вообще по прямым, соединяющим какую-либо

точку внутри кривой с точками последней), бесконечно уменьшаются с уве-

личением числа сторон многоугольника, то многоугольник бесконечно при-

ближается к кругу (или вообще к этой кривой).

Бертрану приходится пользоваться следующей доказываемой им

леммой:

1) Если АВ хорда, SQ отрезок радиуса между дугой круга АВ и

хордой АВ, то SQ < — АВ. В этом же роде и вывод из общего положения

теоремы о площади круга

235

Примером колебания между точками зрения актуальной и потен-

циальной бесконечности представляется теория предела у Кесгнера

236

Он замечает, что разность между сектором круга и вписанным в

него треугольником ОАВ меньше Д АСВ, а площадь последнего в сравне-

нии с ОАВ может быть сделана как угодно мала

237

346

С (площадь круга) = S (площадь многоугольника) +

Но окончательная формулировка совершенно в вольфианском духе;

"Площадь круга одинакова с площадью многоугольника с беско-

нечным числом бесконечно малых сторон".

Но самый ход рассуждений проникнут уже идеей предела. Кестнер

доказывает, что дуга подходит к своей хорде в желаемой близости, или,

что отношения дуги к хорде может быть сделано как угодно близко к отно-

шению 1:1, что доказывается тем, что при уменьшении дуги, наибольшее

расстояние ее точек от хорды может быть сделано как угодно мало.

Следует здесь заметить, что Кестнер нигде не употребляет термина

"предел", но скрытым образом пользуется лейбницианским принципом,

заключая, что свойство площади равняться произведению длины перифе-

рии на апофему, присущее S, остается и у С.

§ 5. Д'Аламбер; де ля Шаппель и Гуриев.

Только д'Аламбер дает определение предела

238

"Говорят, что величина - предел другой величины, когда вторая

может приблизиться к первой ближе, чем на заданную величину, как бы

мала ни была, без того, чтобы приближающаяся величина могла пре-

взойти ту, к которой она приближается и затем, чтобы разность этой

величины и предела была бы абсолютно неуказуема".

Это определение, конечно не вполне совпадает с современным,

Во-первых, оно вовсе не требует, чтобы предел был постоянной

величиной. Если мы имеем две переменные величины X и У, и X догоняет

У, никогда его не достигая, то, согласно определению д' Аламбера, У будет

пределом.

Во-вторых, дело идет только о переменном X, остающемся мень-

ше предела А (хотя такое же определение тотчас устанавливается и для

случая, когда X больше А). Таким образом, это определение не обнимает

случая предела непрерывной дроби.

Чтобы понять сделанное д'Аламбером добавление "затем, чтобы

разность этой величины и предела была бы абсолютно не указуема," пред-

пололсим, что переменное X принимает значения

Х|, X j, Х

, X',, Х

, х'

где разности | А - XJ с возрастанием и бесконечно убывают, но к А

- Х'

это уже не относится. А тогда уже не предел X.

На современном языке мололо условие: "вторая может прибли-

зиться к первой ближе, чем на любую величину, как бы мала она ни

была'"

выразить так: сколь бы мало ни было положительное число s , можно най-

347

ти такое н, что

|A-XJ< е

Второе же условие таково: не существует е такого, чтобы принад-

лежащем выборе дал некоторого и > v, имели бы |А - XJ > е.

Различие значения переменного и предела резко подчеркивается

д'Аламбером. Предел, говорит д'Аламбер, никогда не совпадает и не ста-

новится равным величине, для которой он предел, но она приближается к

нему все больше и больше, и может различаться гак угодно мало.

д'Аламбер не мог бы написать: lim 3 = 3.

Идея предела и у д'Аламбера не ари^тетизирована.

Примеры, приводимые д'Аламбером, указывают, что дело идет не.

только о величине, но и о форме, как у Бертрана.

"Круг, например, предел вписанных и описанных многоугольни-

ков,

так как он никогда точно с ними не совпадает, но может бесконечно с

ним сблизиться".

Гурьев

239

заменяет определение д'Аламбера следующим:

"Есть ли какая-нибудь величина от какого ни есть известного без

конца продолжаться могущего действия всегда возрастает или убывает и

от того к другой непременной величине приближается так, что может раз-

личаться с нею меньше, нежели всякая по произволению данная взятая

того же рода величина и со всем тем никогда ее не достигает, то сия другая

непременная величина есть то, что пределом первой (возрастающей и убы-

вающей) мы называем".

Возражение Гурьева относится, собственно, не к даламберовскому

определению предела, а к его сокращению, несколько его искажающему, в

котором говорится, что "разность между переменной величиной и преде-

лом может быть сколько угодно мала'". В этом только случае и возникает

отмеченная Гурьевым двусмысленность; рядом с правильным понимани-

ем возможно и неправильное, а именно: что эта разность оказывается точ-

но равной всякой заданной величине, как бы мала она ни была.

Гурьев подчеркивает, что предел обязательно постоянное.

Д'Аламбер и более тщательно де ля Шаппель

240

основывают тео-

рию пределов на двух положениях, которым предлагаются доказательства,

оставляя таким образом основные постулаты под порогом сознания:

Если две величины суть пределы одной и той же, то эти величи-

ны равны.

Пусть А • В произведение двух величин А и В.

Предположим, что С - предел А и D - предел В; я говорю: С • D -

произведение пределов, необходимо есть предел А

•

В произведения А и В.

Первая лемма, играющая ту же роль, что лемма Ньютона, превра-

щающаяся у позднейших авторов в обычную 1-ю лемму элементарной те-

ории пределов; если две переменные при своем изменении остаются рав-

348

ными, то равны и их пределы, доказывается так:

Пусть Z и X пределы одной и той же величины Y, тогда Z = X, ибо

если бы мелсду ними имелась некоторая разность V, то X = Z + V. Но по

предполоясеиию Y может приблизиться к X как угодно близко, т.е. раз-

ность X и Y может быть сделана как угодно мала.

Так как Z различается от X на величину V, то отсюда следует, что Y

не может приблизиться к Z ближе, чем на V, и поэтому Z не может быть

пределом Y, что противно условию.

§ 6. Литье, Гурьев и Ла—Круа.

Откуда ведет происхождение вторая лемма современной элементарной те-

ории пределов?

Я думаю - из работы Лголье

'" , премированной, как лучшее в свое

время сочинение на эту тему, изложение которой считалось в свое время

безупречным в смысле строгости.

Именно у Люлье особое значение получает предел отношения, ко-

торый он еще резче Ньютона различает от предела величины, каждое опре-

деляя в отдельности.

В определении д'Аламбера еще остается, но в затушеванном виде,

бесконечно малое, как разность между пределом и переменной величиной,

хотя это уже новое бесконечно малое, потенциальное, а ие актуальное, как

у Кеплера и Кавальери, именно то, про которое мы говорим, что его предел

есть нуль.

Но с таким бесконечно малым примирились лишь.много позже.

Люлье необходимо было строить теорию пределов без бесконечно малых.

Самое определение предела у Люлье резко отличается от даламбе-

ровского и сближается с современным чисто порядковым определением

242

Если переменная величина всегда остается меньше данного, но

при этом может сделаться больше, чем всякая величина меньше данной,

то она называется пределом переменной возрастающей (limes qnantitalis

mutabilis crescentis).

По тому лее образцу строится определение убывающей величины и

также пределов отношений.

Основная лемма:

"Если всегда X : Y = m : п, то HmX : limY = m : п", доказывается

методом исчерпывания (так как во многих учебниках лелсандроватипа рас-

сматриваются случаи несоизмеримости).

Предполагается, что m : n = А

В' (В' < В)

А = lim X, В = lim Y

и получается противоречие с построенным определением предела.

Таким образом, Люлье вдет от постоянного отношения двух пере-

менных к отношению их пределов.

349

В других случаях ои идет от предела отношения к отношению

пределов.

X X

От lim— = 1 он заключает к lim X = lim Y, при этом lim— может

Y Y

иметь смысл и тогда, когда lim X, lim Y потеряли смысл, как это и имеет

место для производной, но если lim X и lim Y имеют смысл, то, конечно,

имеет смысл и >

можно идти в обратном направлении, чего, одна-

ко,

Люлье никогда не делает.

По образцу, указываемому д'Аламбером, Бланше

2,13

строит теорию

пределов в своем издании элементов Лежандра, заменяя ею арифметизи-

рованную Лежандром методу исчерпывания древних.

Что длина окружности и площадь круга могут быть рассматривае-

мы как пределы, это признается за очевидные пололсения, хотя с указания-

ми (в духе Бертрана) на бесконечное сближение их форм.

В доказательство пропорциональности окружности радиусам скры-

тым образом входит признание

.. X limX

lim—

Y limY

а в доказательство теоремы Архимеда

244

- вторая лемма д'Аламбера.

Впрочем, еще до Бланше, элементы Лежандра подверглись мето-

дической переработке Лакруа

215

, и его учебник имел очень большое влия-

ние на учебную литературу.

Он первый вводит туда теорию пределов; под влиянием отрица-

тельного к ней отношения самого Лежандра, Лакруа обнаруживает еще

большую осторожность, чем Люлье, избегая упоминания не только беско-

нечно малого, но даже слова "предел", хотя в основе его рассуждений, ко-

нечно, лежит идея предела.

При доказательстве первой теоремы об окружности, он выдвигает

ньютоновскую лемму в следующем виде: если две неизменные величины

А и В таковы, что можно доказать, что разность между А и В меньше

всякой дайной величины 5 , то эти величины равны: А = В.

К этой лемме присоединяется еще первая лемма д'Аламбера.

Изложение Гурьева иное

'"'.

Из своего определения предела, так некоторого постоянного, им

выводится следующее заключение:

Если имеем две переменные величины X, Y, возрастающую и убы-

вающую, так, что X < А < Y и при этом разность мелсду X и Y молсет быть

сделана меньше всякой данной величины, то А предел X и предел Y.

Если лее то лее имеет место и для В;

X < В < Y

350

то выводится на основании однозначности предела, постулируемой первой

леммой д'Аламбера, что А = В.

Легко видеть, какое применение находит это при выводе теоремы

Архимеда

В конце концов элементарная теория пределов вьпсристаллизиру-

ется в ту форму, которую находим в учебниках лежандрова типа

248

, напри-

мер,

в русских учебниках Давидова

и Киселева

250

Логизация идеи пределов.

Если французам мы обязаны математизацией идеи пределов, то немцам

и, еще больше, итальянцам - ее логизацией.

Следует понять, что античный математик никогда бы не признал

эти теории логичными.

В то время, как античный логик, в глазах которого бесконечность в

силу логических противоречий, в ней таящихся, не имеет никакого права

гражданства в логике, оперирует только с классами, содержащими конеч-

ное число объектов, современный логистик в самое основание своих пост-

роений кладет бесконечный класс.

Таким образом, бесконечным классом в логизированной теории

пределов является совокупность всех значений, принимаемых перемен-

ным:

а а а ... а.

12 3 л

Конечно, для того, чтобы признать как раз то, что было с таким

трудом ассимилировано, изменяющийся, объект, содерлсащий всегда инту-

итивный элемент, неуловимый чистой логикой, этого мало.

Наряду с логикой классов следует выдвинуть и логику отношений

с понятием порядка уже сомнительной логической чистоты, причем при-

знать так жестоко раньше отвергнутую актуальную бесконечность не только

как аморфную массу, но как бесконечность взаимоотношений между эле-

ментами.

Переменное из объекта, которому присуще больше реальности, чем

переходящим значениям a, a, a

... а

, через которые оно проходит, и о

которых мы можем говорить, только если они пройдены или могут быть

пройдены переменным, в конечном итоге обращается в символ, в тип рас-

положения элементов бесконечного множества.

Но как определить последовательные элементы этого множества?

Конечно, только с помощью определенных операций над предше-

ствующим и элемента

ми.

Можно сказать, что при логизировании точка зрения из объектив-

ной становится субъективной.

Сперва объект сам изменяется, (см. определения д'Аламбера) и

доказывающий становится в положение наблюдателя, теперь же объеюп

35.1.