Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

положении параллельности.

В связи с этим возникает понятие луча, и угол определяется как

различие направлений двух выходящих из одной точки лучей

289

В эту эпоху Понслэ (1818) провозглашает принцип непрерывное-

яда

290

, по которому свойства, доказанные для какой-нибудь фигуры, рас-

пространяются и на случаи вьфождения, если к этому случаю молено по-

дойти непрерывным изменением.

Так, например, пространственная теорема Дезарга

291

: "Если соот-

ветствующие вершины двух треугольников лелсат на прямых, сходящихся

в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в точках, лелса-

щих на одной прямой", влечет в силу этого принципа плоскую теорему

Дезарга, отвечающую предельному случаю наклонения друг к другу плос-

костей треугольников. Этот принцип или аксиома, решительно оспаривае-

мая Коши, не найдя себе математического обоснования, была потом при-

знана имеющей не логическое, а лишь эвристическое значение. Примене-

ние ее давало логику не доказательство, а систему, которая делает из сово-

купности теорем связное целое, в котором один момент вызывает в силу

намеченного плана системы и смежные моменты.

Главные элементы геометрии распределяет в диалектическую лес-

тницу уже сам Гегель, а дальнейшую обработку этой диалектики геомет-

рии берет на себя Франц

292

, вызывая у Шоттеиа

293

насмешку и значитель-

но более серьезное к себе отношение у Дельбефа

294

Синтез точки как рода пространства (тезис) него отрицания (анти-

тезис), конечно, ие имеет значения.

Не иначе дело обстоит с диалектикой прямой, являющейся - как

количество - мерой расстояния (см. Лелсандр), с другой же стороны, - как

качество - направлением. То, что здесь мыслится о прямой, мыслится о

всем пространстве.

Пространство является не только как количество, но и как каче-

ство, и последний момент не сводится к первому. Нельзя числом опреде-

лить "направо" или "налево", или другие факты распорядка геометричес-

ких объектов.

Идея,

что пространство не только количество, но и качество, пока

еще метафизическая идея.

Но уже в 40-х гг. ХГХ столетия она становится математической,

когда создается геометрия положения Штаудта.

Двум моментам: количеству (расстояние) и качеству (направление)

должны отвечать (по Бретшнейдеру, 1844, Шниц-Дюмонду) две геомет-

рии,

исследующие: 1) положение, 2) величину, которые вместе образуют 3)

органическую геометрию (гегелевский синтез-мера). Здесь интересно при-

вести несколько определений геометрии, характерных для эволюции поня-

тия об этой науке. До Лежандра

295

геометрия - это учение о пространствен-

ных величинах (Ламберт). Для Лежандра это "la mesure de l'etendue" -

362

просто измерение пространства.

Для Тибо - это наука о построениях, и в этом духе - и для Ульриха

и др. немецких методистов.

Для Бретшнейдера геометрия превращается в учение о геометри-

ческих формах.

§ 5. Гербарт и Больцапо.

От Канта идут два главных течения; первое через Фихте и Шеллинга к

Гегелю

*', второе к Гербарту.

Первое развертывает телеологическое мировоззрение, после раз-

рушения

1ЙШТОВСКОЙ

критикой старой догматики, ищет новых объяснитель-

ных принципов в новой диалектической логике, из которой изъят закон

противоречия, стараясь построить с помощью ее общую схему мирового

процесса, идущего по трехчленной системе: тезиса, антитезиса и их при-

миряющего синтеза, к определенной цели.

Второе, ясно выраженное каузальное направление, остается при

силлогистической логике, и вскрытую Кантом немощность догматизма в

сфере метафизических построений, видит в скрытой противоречивости тех

общих понятий, которыми пользовался догматизм.

Второе направление, сперва более слабое, в конце концов побеж-

дает.

Следует иметь в виду, что оба направления гаггеллектуалистичны.

Во взглядах на пространство и на математику они решительно становятся

против Канта. Для них математические положения являются аналитичес-

кими, связанными с понятиями логически, хотя последнее понимается раз-

лично Гегелем и Герба

ртом.

Оба

1сонцептуализируют

пространство, первый - пытаясь включить

его в свою диалектическую цепь

297

, второй, стараясь установить надлежа-

щим образом очищенное понятие пространства, из которого чисто силло-

гически извлекалось бы содержание геометрии.

Для Гегеля пространство дается уже готовым, как и все вообще

понятия.

Он не отвергает содержащиеся противоречия, ибо все понятия, че-

рез которые движется абсолютная идея, содержат противоречия, которые,

снимаясь, ведут к понятиям, выше стоящим на диалектической лестнице.

Гербарт же, наоборот, исправляет понятие, отбрасывая из призна-

ков (а, Ь, с ... d, е, 1) противоречивые (d, е, f), а иногда пополняя еще новы-

ми (а', Ь', с') так, чтобы силлогистический аппарат мог быть приведен в

движение.

Конечно, такая чистка понятий ведет к построению чрезвычайно

общих схем вселенной н, в конечном итоге, дает с увеличением объема

обеднение содержания исправляемых понятий.

363

Гегелевское настроение, развивавшее дух системы, склоняющее к

разысканию на основании невыводимых, но предполагаемых принятой

системой, принципов недостающих звеньев этой системы, давало пестро-

гую,

но быстро идущую вширь математику.

Гербартовское же, наоборот, разрушало систему вскрываемыми

логическими связями, разрушая прежнюю симметричность аксиоматичес-

ких систем, насильственно обращая положения в определения и искажая

последние с целью сделать их более логически плодовитыми; оно устремля-

лось вглубь, требуя замены обширного, но малообоснованного материала

нестрогой математики, немногим, но хорошо обоснованным, материалом

строгой математики.

Наряду с эмпирическим пространством, Гербартом выдвигается

другое - умопостигаемое, очищенное и являющееся уже не формой интуи-

ции,

а концепцией, пространство, вмещающее гербартовы реалии, этот

метафизический остаток от очистки материала опыта.

Чрезвычайно общее гербартовское пространство, возникающее из

понятий совместности, смежности и раздельности, математически не жиз-

ненное, является отцом грассмановского протяжения

298

и дедом римановс-

кого многообразия

299

- siimmum genus

300

пространства, объемлющего и

евклидово и неевклидово пространства. Таким образом, гербартовское по-

строение ведет к метагеометрии. Но оно же ведет к математической аксио-

матике вообще, ибо по существу философия Гербарта - это метафизичес-

кая аксиоматика.

Больцано-"" дает в чистой математике то, что старался дать в мета-

физике Гербарт. Он исправляет понятие и старается привести с помощью

уже исправленных понятий в движение логический аппарат над чисто ло-

гическим содержанием. Конечно, прежде всего должна подвергнуться ра-

дикальной переработке бесконечность. Эта работа только начата Больца-

но,

а закончена Г. Кантором

302

Больцановская бесконечность - это не бесконечность Фонтенеля

303

ибо такая бесконечность несет противоречие, ее же снедающее. Бесконеч-

ная величина по Больцано - это актуальная бесконечность, которая возрас-

тает безгранично и может быть сделана больше всякой данной величины,

но это не то, что ие способно к дальнейшему возрастанию, а то, что являет-

ся последним в ряду возрастающих величин. Это то, что больше всякой

данной величины, это первая величина высшего класса, подымающегося

над классом конечных величин.

Эта бесконечность, действительно, очищена согласно гербартовс-

кому рецепту, но она бесплодна, так как актуальная бесконечность, слу-

жившая к обоснованию положений анализа, изгоняется оттуда Больцано.

Рабочей же идеей является потенциальная бесконечость в маскирующей

ее форме переменной величины, которая может быть сделана более всякой

данной положительной величины.

364

Актуальная бесконечность, чтобы сделаться тоже рабочей идеей,

чтобы создать логическое обоснование анализа, должна была подвергнуться

дальнейшей проработке.

Взаимно однозначное соответствие между элементами двух беско-

нечных множеств у Больцано еще не представляет определения их равен-

ства. Множество точек на конечном отрезке не указывается равным мно-

жеству точек на всей прямой, как у Кантора, но Больцано ясно сознает, что

здесь имеет место взаимнооднозначное соответствие, которое для конеч-

ных множеств является условием необходимым и достаточным для равен-

ства.

В канторовской переработке актуальная бесконечность получает

приоритет в сравнении с потенциальной, так как он стремится к логичес-

кому обоснованию арифметики, очищенному от интуиции теории ирраци-

ональных чисел. Это привело Кантора

пониманию иррационального числа

как символа так называмого фундаментального ряда рациональных чисел:

а, , а,, а

... а

удовлетворяющих условию Iim(a

v+Il

—

) = 0 , т.е. к положению в самой

основе анализа актуальной бесконечности совокупности некоторых элемен-

тов.

ИЗ ПРОШЛОГО АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ

1. Конические сечения античных математиков

Нелегко понять ход мыслей человека XVII в., а еще более - человека ан-

тичного мира. Историки часто обнаруживают склонность проецировать

настоящее в прошлое, в особенности при попытках изложения мыслейуче-

ньгх древности на современном языке. Так* многие находят у Архимеда

основные идеи метода неделимых XVI и XVII вв., хотя вся история антич-

ных и средневековых идей хорошо выявляет длинный путь философской и

математической мысли к актуальной бесконечности, к которой так отрица-

тельно относился Аристотель вместе с другими античными мыслителями.

Совершенно таким лее образом в "Конических сечениях" Аполло-

ния (265-170 до н.э.) некоторые видят идеи аналитической геометрии; но

здесь необходим тонкий анализ. Прежде всего следует хорошо понять, что

одинаковые результаты могут получаться совершенно различными мето-

дами и на основании различных идей. Более того, нельзя видеть аналити-

ческую геометрию и там, где античные операции над площадями, по вы-

ражению площадей алгебраическими формулами, обращаются в части фор-

мального аппарата, которым пользуется аналитическая геометрия ныне,

совершенно так же, как в операциях метода неделимых, соответствующих

операциям дифференцирования и интегрирования, нельзя усматривать чуж-

дые этому методу идеи современного анализа.

Следует различать историю кривых второго порядка, или, вернее

сказать, конических сечений, и историю аналитической геометрии. Первая

начинается с Менехма, ученика Платона, вторая - только с Декарта и Фер-

ма. Но при детальном изучении истории аналитической геометрии мы ие

моясем обойтись без труда Аполлония.

Кроме пятой книги "Конических сечений", трактующей о наиболь-

ших и наименьших величи-

нах, все остальные части

труда Аполлония так или

иначе входят в современные

курсы аналитической гео-

метрии; однако роль раз-

личных теорий и логичес-

кие связи между ними же не

прежние. Так, знаменитые

теоремы Аполлония о со-

пряженных диаметрах те-

366

перь не имеют того значения, какое име-

ли у самого Аполлония, и утратили по-

четное место, отдававшееся им в старых

учебниках.

Отметим далее одну интересную В

и игравшую важную роль, но уже в XVII

в. забытую теорему из "Конических се- В',

чеиий". Она состоит в том (фиг. 1), что

если обозначить через М,Т

МД, каса-

тельные в точках М, и М

, а через Т

(

пересечения их с прямыми ОМ

(

ОМ

, проходящими через центр О, то

треугольники M,T

R и MjT,R равновелики.

Вот другая теорема, которая играла, наоборот, большую роль в ис-

тории аналитической геометрии вплоть до Эйлера и обобщение которой

явилось основной теоремой

теории алгебраических кривых, ведущей свое

начало от Ньютона. Эта теорема состоит в том (фиг. 2), что отношение

тгоямоугольников, построенных на отрезках хорд МА,, МА

и MB

МВ

равняется отношению прямоугольников на отрезках параллельных хорд

М'А;,М'А'

и М'В

МА,-МА

MB,

М'А! -М'В;

(1)

м'в; -М'в

Наконец, укажем третью теорему, которая в настоящее время играет,

пожалуй, еще большую роль, чем в XVII в. Сейчас она относится к теории

поляр,

причем в синтетической геометрии имеет не меньшее значение, чем в

аналитической. Это теорема, утверждающая гармоничность точки А, из ко-

торой проведены касательные

и AU, и точек С, В, D пересечения диамет-

ра,

проходящего через А, с кривой и хордой прикосновения (фиг. 3).

Заметим, что об асимптотах Аполлоний говорит больше, чем со-

временные учебники; но точка зрения его на асимптоты совсем другая,

чуждая тех понятий бесконечности и предела, которыми оперируем мы.

Вне сомнения, самыми важными после диаметральных свойств ко-

нических сечений являются у нас фокальные свойства и построения каса-

тельных. Так как у Аполлония

свойство радиусов-векторов не

является определением эллипса и

гиперболы, а только производным q

свойством, то фокусы ему прихо-

дится определять геометрически

риторическим правилом и по су-

ществу весьма формально. Фокус

Фиг. 3.

367

эллипса, по Аполло

кию,

это точка, делящая большую ось на две такие ча-

сти,

что прямоугольник, построенный на них, равен четверти прямоуголъ-

ника, построенного на параметре, т. е. 2— и большой оси 2а.

<х

Те основные свойства, "симптомы" параболы, эллипса и гипербо-

лы,

в которых мы теперь видим уравнения этих кривых, у Аполлония не

играют той роли, что в настоящее время.

Если переложить эти "симптомы" на алгебраический язык, то ос-

новное свойство выразится уравнением

(2)

/ У

[ X

< <

=2px + qx

где q<0 для эллипса, q>0 для ги-

перболы и q = 0 для параболы. Уравнения

в форме (2) приводятся только для выяс-

нения происхождения терминов эллипса, д

гиперболы, параболы (недостатка, избыт-

ка, равенства).

При этом для параболы квадрат на

ординате у= CD равен прямоугольнику на

абсциссе х = АС и отрезке 2р параметра

(параметр Аполлония равен удвоенному

нашему). Для эллипса этот квадрат равен £

меньшему прямоугольнику, полученному Фиг. 4.

таким построением. В конце А диаметра 2В = 2а восстанавливается пер-

пендикуляр АЕ = 2''р, точки Е и В соединяются прямой, пересекающей

CF1AB

точке F. Тогда квадрат на CD равен прямоугольнику ABFG, ибо

GF:

х = р:а, т.е. GE-EF = ^— и у

= 2рх - qx\ где q =™ (фиг. 4).

Аналогично проводится построение и для гиперболы.

Перевод формулировки античной в современную алгебраическую,

казалось бы, наводит на мысль о том, что отрезки АС и CD суть здесь

координаты, а у

- 2рх + qx

уравнение кривой. Но в действительности у

Аполлония нет идей аналитической геометрии

Два основных принципа аналитической геометрии

Для дальнейшего необходимо прежде всего выявить две основные идеи

аналитической геометрии и, выявив их, признать, что при их отсутствии

нельзя относить геометрические исследования к аналитической геометрии,

хотя бы эти исследования и доходили (чуждым аналитической геометрии

методом) до очень ценных результатов, относящихся к коническим сечени-

ям.

368

В основе аналитической геометрии лежат два принципа

. Первый

из них - координатный принцип можно формулировать так: изучение вза-

имного расположения геометрических объектов сводится к изучению их

расположения относительно некоторых определенных неизменных объек-

тов.

Этот принцип связан с понятием координаты как величины, характе-

ризующей положение объекта - прежде всего точки - относительно неиз-

менных объектов (например, осей Ох и Оу).

Конечно, у самого Аполлония мы ие находим понятия о координа-

те.

Он не мыслил АС и CD как абсциссу и ординату, определяющие поло-

жение точки на плоскости, а только как некоторые линии, связанные с точ-

кой и кривой.

Я формулирую этот первый принцип в столь общей форме, так как

считаю, что в истории аналитической геометрии весьма важна эволюция

этого принципа, начиная с его частной формы - "декартовых координат" и

кончая линейными плюкеровыми координатами прямой, параллельными

координатами и, наконец, проективными координатами.

Второй принцип определяемое™ носителя уравнением состоит в

том,

что свойство, характеризующее элементы, принадлежащие носителю,

выражается уравнением между признаками элементов.

И здесь я беру самую общую формулировку, под которую подво-

дится не только уравнение между координатами, но, например, и уравне-

ние между радиусом кривизны и углом смежности в натуральной геомет-

рии,

являющейся одной из дальнейших ступеней развития аналитической

геометрии.

Если даже считать величины, которыми оперирует Аполлоний, за

координаты, то можно ли сказать, что он оперирует уравнением? Я думаю,

что иет. Ведь в таком случае он должен был бы мыслить себе бесконечное

множество точек носителя - пунктуал и определять это бесконечное мно-

жество одним уравнением, связующим признаки его элеменгов. Но антич-

ная мысль не оперировала актуальной бесконечностью. Логически предло-

жения: "свойство £2 имеет место для каждого из а,, а

..."

и "свойство

П имеет место для всех а", эквивалентны, но психологически переход от

одного к другому требует совместного рассмотрения всей совокупности а

как множества, причем в настоящем случае еще бесконечного.

В аналитической геометрии не следует видеть только одну алгеб-

раизацгао "конических сечений" Аполлония, в ней следует видеть еще выд-

вижение совершенно чуждых античной мысли идей, созданных филосо-

фией XVII в.

Фузионизм античных математиков

Пожалуй, мы могли бы еще говорить о скрытом под геометрической фор-

мой определении кривой с помощью уравнения, если бы подход к парабо-

369

ле,

эллипсу и гиперболе был у Аполлония планиметрическим. Но этого у

него нет. Подход его чисто стереометр ический. Изучаемые кривые у него

являются сечениями прямого конуса, и то, что молено было бы счесть за

координаты, возникает в ходе чисто стереометрического исследования.

В настоящее время получение параболы, эллипса и гиперболы как

сечений конуса перешло в область начертательной геометрии. Хотя в неко-

торых учебниках аналитической геометрии эта глава воспроизводится, но

в них она носит чисто геометрический характер, и в результате построе-

ний получается не уравнение, а основные свойства радиусов-векторов и

директрис, определяющих эти кривые.

Но если идеи, лежащие в основе аналитической геометрии, следу-

ет признать чуждыми античным мыслителям, то этого нельзя сказать об

основных целях аналитической геометрии. Тщательный анализ вскрывает,

что эти цели были не очень далеки от тех, которые ставились античными

математиками. Именно, основной целью геометрии Декарта и Ферма яв-

лялось графическое решение уравнений, к которому приводит алгебраизи-

рованное решение геометрических задач, и при этом преимущественно

задач на построение. Это как раз та цель, которая и являлась главной це-

лью исследования конических сечений у античных математиков.

Действительно, каким образом и с какой целью были открыты па-

рабола, эллипс и гипербола? Были ли они открыты как конические сече-

ния? Или, может быть, им сперва было дано планиметрическое определе-

ние, а уже потом было доказано, что они получаются при сечениях конуса?

Я думаю, что приходится склониться к первому предположению.

Известно, что еще математик IV в. до. н.э. Менехм решал задачу об удвое-

нии куба с помощью параболы и гиперболы или с помощью двух парабол,

причем при изучении этих кривых брались конусы с прямым или тупым

углом при вершине, а сечение производилось плоскостями, перпендику-

лярными к прямолинейно-образующей. Было бы неправильно утверждать,

что конические сечения были изобретены только для решения задачи об

удвоении куба, но вне сомнения, что их появление в геометрии было выз-

вано поисками решений задач на построение.

Следует иметь в виду, что в самой формулировке этих проблем ос-

тавалась неопределенность, не было точно зафиксировано требование вы-

полнения построения с помощью евклидова комплекса: циркуля и линей-

ки.

Сечения пирамид, цилиндров и конусов, видимо, интересовали

математиков еще ранее. Так, Демокрит исследовал плоские сечения, па-

раллельные основанию кругового конуса

Что античные математики допускали сдвиг в самом понимании

классических проблем на построение, ясно видно уже из самого наимено-

вания этих, а также других кривых, получаемых стереометрически, теле-

сными местами, в отличие от плоских мест, каковыми являются прямая и

370

окружность. Парабола, эллипс и гипербола прежде всего являются теле-

сными местами, прежде всего они получаются стереометрически. Здесь

следует вспомнить весьма сложное стереометрическое решение делосской

проблемы удвоения куба Архитом, в котором фигурирует кривая на цилин-

дре,

образуемая пересечением с движущейся параллельно себе окружнос-

тью'

4. Графическое решение уравнений

Яуже отметил, что основной целью ранней аналитической геометрии было

графическое решение уравнений, о чем в прежнее время руководства по

аналитической геометрии говорили очень много. Молено сказать, что ана-

литическая геометрия в начальной стадии своего развития представляла

скорее прилоясение геометрии к алгебре, причем эта черта ее не была утра-

чена далее в XIX столетии.

Обычно на это обстоятельство не обращают внимания. Обращаясь

лее к сочинениям Декарта (1637) и Ферма (ок. 1637), мы ясно видим, что

преимущественно интересовало их именно прилолеение геометрии к ал-

гебре

. Ведь мы не находим в этих работах даже самых простых теорем

чисто геометрического типа, доказываемых методом аналитической гео-

метрии.

Первое время построение корней является основной задачей, но со

временем эта задача сдвигается с первого плана, и если Декарт с нее начи-

нает, то Лопиталь ею кончает".

Но к графическому решению уравнений открываются два пути: 1)

изыскание уравнений, определяющих известные кривые, или, во всяком

случае, кривые, которые вычерчиваются простым непрерывным движени-

ем;

2) определение геометрического значения простейших алгебраических

уравнений.

По первому пути шел Декарт, по второму Ферма (независимо от

Декарта).

В "Геометрии" Декарта видное место занимало решение так назы-

ваемой задачи Паппа. В этой задаче даны по положению несколько пря-

мых и требуется найти геометрическое место таких точек, что если из этих

точек провести под данными углами к данным прямым отрезки, то отно-

шение произведения некоторых из проведенных отрезков к произведению

остальных будет постоянно. Эта задача у Декарта получает особенное зна-

чение только потому, что кривые, дающие ее решение, включают коничес-

кие сечения, являясь естественным их обобщением. Декарт находит среди

них и другие известные кривые, вычерчиваемые непрерывным движени-

ем.

Определяя уравнение кривой, данное каким-либо условием (т.е.

заданное как геометрическое место), Декарт ие находит другого выхода,

371