Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

координат, но эти ученые не могут овладеть названным приемом из-за того,

что понятие координаты на плоскости не выяснено.

Без этого приема математическая мысль сперва преобразует урав-

нение

Jf(x,y) = 0 (16)

в более простое

ф(х',у') = 0 (17)

при помощи формул

щ(х,у)=у'

х = х', (18)

истолковывая геометрически эту зависимость так, что и х', у', отзывают-

ся координатами.

Общей методы еще нет. Не сознается даже то, что формулы преоб-

разования должны иметь линейную форму:

х' = ах+Ьу+с

у' = а'х + Ь'у+с'

Так, например, обстоит дело в сочинениях де ля Гира

11.

Прямая в аналитической геометрии

Аналитическая геометрия даже во второй половине XVIII в. обхо-

дится без тригонометрии. Последняя в своей гониометрической части раз-

вивается медленно. Символика и алгебра тригонометрических велггчин

создаются только Майером и Эйлером.

Основные формулы в теории прямой

у = ах-1-Ь, (20)

a=lgoc,

где угол а, образуемый прямой с Ох, появляется только вместе с гонио-

метрической символикой

Вывода уравнения прямой у Декарта нет; у Ферма уравнение пря-

мой имеется. Это странное явление объясняется различием их подходов.

Декарт, идя от кривой к уравнению, извлекает

(х,

у) из внутренних элемен-

тов кривой, принимая, например, за у полухорду, за х ее высоту. Ферма же,

идя от уравнения к кривой, долясен брать за

(х,

у) внешние элементы. Мож-

но сказать, что хотя

(х,

у) у него и не являются координатами на плоскости,

но их можно признать координатами точки на прямой.

12. Преобразование координат без тригонометрии

Крамер

дает общие формулы преобразования координат. Но, во-первых,

эти формулы не тригонометрические, во-вторых, они представляют собой

382

формулы преобразования не координат точек на плоскости, а координат

точек кривой.

Общие формулы Крамера пишутся так:

x=m+pz+ru (21)

у = п + qz + ли,

где коэффициенты р, q, i; s выражаются не тригонометрически, но через

заданные отношения сторон различных треугольников, возникающих при

преобразовании координат.

Тригонометрические формулы преобразования мы встречаем у

Эйлера. Отличие его изложения от современного состоит только в том, что

он не пользуется общепринятыми ныне леммами о проекциях. Оперирова-

ние с относительными геометрическими величинами, или, как некоторые

говорят, с алгебраическими отрезками, тогда еще не производилось. Тако-

го рода приемы могли войти в геометрию только после знаменитого спора

об отрицательных геометрических величинах в начале XIX в., определен-

ным образом выявившего право гражданства их в геометрии

''.

13.

Начало истории кривых второго порядка

Современный учебник аналитической геометрии трактует только о прямой

и кривых второго порядка. Уравнением параболы, эллипса и гиперболы

мы обязаны Декарту и Ферма, которые, гак мы видели, подошли к ним с

различных сторон. Но следует помнить, что для них эти кривые прежде

всего являлись коническими сечениями. Оба они пользуются их свойства-

ми,

выведенными стереометрически, согласно Аполлонию. Можно сказать,

что у них еще нет чисто плоскостной аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия на плоскости рождается с того момента,

когда эти кривые получают чисто планиметрическое определение. Это зна-

менует начало новой эпохи. Эллипс становится геометрическим местом

точек, сумма расстояний которых от двух точек постоянна, гипербола - гео-

метрическим местом точек, разность расстояний которых от двух точек

постоянна, парабола - геометрическим местом точек с равными расстоя-

ниями от точки (фокуса) и прямой (директрисы).

Стереометрическая сторона дела при этом не исчезает, но отходит

на второй план. Наряду с частью, развивающей три планиметрические те-

ории,

излагается, но уже во вторую очередь, теория параболы, эллипса и

гиперболы как конических сечений. Этот момент относится к де ля Гиру.

У Лопиталя аналитическая геометрия планиметризована, но еще

не алгебраизована в той мере, как у нас. Начинается она с изучения пара-

болы,

эллипса и гиперболы. Определение их дается обычное, но только в

геометрической форме. Определением служит, как у Дегарта, построение

непрерывным движением. "Прикрепляем, говорит Лопиталь, на плоско-

сти юнцы нити FMf в данных точках F и I, расстояние между которыми

383

меньше длины нити, берем грифель, чтобы держать эту нить натянутой, и

двигаем его вокруг этих двух точек так, что он возвращается в прежнее

положение. Он описывает тогда в этом движении кривую, которую назовем

эллипсом". Парабола, эллипс и гипербола получают у Лопиталя название

"конических сечений", раньше чем доказывается, что они возникают как

плоскостные сечения конуса.

Наконец, третья эпоха характеризуется тем, что конические сече-

ния подводятся под их объемлющее понятие кривых второго порядка и

согласно этому строится и их стереометрическая аналогия - поверхности

второго порядка.

В настоящее время обычно подходят к параболе, эллипсу и гипер-

боле, отправляясь от общего рассмотрения кривых второго порядка. Эл-

липс является кривой второго порядка без бесконечно удаленных точек,

гипербола - с двумя бесконечно удаленными точками, парабола - с одной.

(

—

У!

14. "Введение в анализ бесконечно малых" Эйлера

Эйлер

оперирует общим уравнением кривой второго порядка. Но он дает

значительно меньше, чем наши учебники, и не использует преобразования

координат для исследования кривых второго порядка. Вывод упрощенных

уравнений кривых второго порядка совершается на основании некоторых

общих свойств кривых второго порядка.

Главная заслуга Эйлера состоит

в том, что он первый дает общую теорию

кривых второго порядка, основываясь на

уравнении

сх

[3х

+ уу +8х

+еху+&

=0. (22)

Правда, эту общую теорию Эйлер

развивает не далеко. В пятой главе дает-

ся,

по терминологии Эйлера, вывод глав-

ных свойств кривых второго порядка.

Первое свойство состоит в том,

что прямая, проходящая через точку касания и делящая пополам какую-

либо хорду, параллельную касательной, делит пополам и все другие хор-

ды,

параллельные касательной. Это свойство выводится Эйлером из рас-

смотрения коэффициентов уравнения кривой (22).

Второе главное свойство, получаемое через рассмотрение свобод-

ного члена уравнения (22), состоит в том, что (фиг. 8) для хорд MN, парал-

CDNR.

лельных касательной СК в конце С диаметра DC, отношение

CL-LD

ML-LN

имеет

постоянное значение.

384

Это свойство, как мы видели ранее, было известно и Аполлонию и

Архимеду, и играло важную роль в их рассуждениях. Таким образом, далее

Эйлер оказывается связанным с "Коническими сечениями" Аполлония.

Из этих свойств и выводится упрощенное уравнение кривой вто-

рого порядка. Полагая

CL-LD _к

ML-LN~h

CD = а (диаметру), CL = х, ML=NL= у

Эйлер получает уравнение

=-(ах-х

) (23)

т.е. вида

=2px + qx

. (23')

В эйлеровском "Введении" нет еще исследования кривой второго

порядка, заданной общим уравнением в современном смысле. Это иссле-

дование у нас разделяется на два момента: 1) приведение уравнения пре-

образованием к центру и к осям, 2) исследование формы кривой по урав-

нению.

Что делает Эйлер? Он берет в б-й главе упрощенное уравнение:

=а+|3х+ух

(24)

и заключает, что при у > 0 имеются четыре ветви, уходящие на бесконеч-

ность, которые мы, признавая на прямой только одну бесконечно удален-

ную точку, признаем за две ветви.

Заключение это выводится из того, что при х = ±со мы получаем

для у вещественное значение оо.

При у<0 и х =

±оо

,у становится мнимым, т.е. бесконечные вет-

ви отсутствуют. При у=0 мы имеем две (по-нашему - одну) ветви, иду-

щие на бесконечность, Совершенно так лее, как это делается теперь, Эйлер

дает трем типам полученных таким образом кривых названия гиперболы,

эллипса и параболы.

15. Кестнер; Врио и Бую

Известный методист-математик Кестнер

разрешает общее уравнение кри-

вой второго порядка:

a + fix+yy+5х

+еху+£у

==0, (25)

что дает:

385

-(sx +

y)±7(ex+Y)

-4£(5х

+рх+а)

(26)

Из формулы (26) Кестнер делает заключения относительно асимп-

тот или числа ветвей, причем облекает свои выводы в форму, в которой

фигурирует еще не отмененный принцип исчезновения конечного в срав-

нении с бесконечно большим, а также бесконечного низшего порядка в срав-

нении с бесконечным высшего порядка.

Величина под радикалом, говорит Кестнер, выражается так:

где ф,р определяются с помощью коэффициентов уравнения (26). Но, со-

гласно учению о бесконечности, продолжает Кестнер. я принимаю, что когда

х бесконечно, то

ибо остальные члены в сравнении с этим исчезают. Если s - 4^5 > 0, то

кривая линия имеет возможные ординаты для положительных и отрица-

тельных бесконечных х. Поэтому кривая не будет эллипсом. Далее, как и у

Эйлера, делается заключение о существовании четырех ветвей и о том, что

в рассматриваемом случае имеется гипербола.

Если Е

-4£5 < 0, то ординаты при бесконечных полоясительных

и отрицательных абсциссах невозможны и имеется эллипс. При

—

4£5 =0 Кестнер берет

z—срх

+ р , заставляет исчезать Р в сравнении с

фх и получает параболу.

У Врио и Бую

, учебник которых сыграл особенно важную роль в

истории методики аналитической геометрии, парабола, эллипс и гипербо-

ла определяются еще в начале курса их фокальными свойствами (среди

примеров определения геометрических мест уравнениями). Сейчас лее за

этими кривыми рассматриваются: циссоида Диоклеса, строфоида, улитка

Паскаля и другие кривые.

Подробное изучение параболы, гиперболы и эллипса следует уясе

после изучения кривых второго порядка вообще.

В первую очередь дается построение линии второго порядка, пред-

ставляющее изучение формы кривой по уравнению. Затем следует упро-

щение уравнения, введением к которому служит изучение центральных и

диаметральных свойств кривых второго порядка. Конечно только после-

днее приводит

заключению, что под понятие кривой второго порядка под-

водятся лишь парабола, эллипс и гипербола и их известные вырождения.

Уравнение

z = (s

-4^S)x

+срх + р,

z = (e

-4£S)x

Ах

-t-Bxy + Cy

+Dx+Ey + F = 0 (27)

386

разрешается относительно у:

y=-^^±~V

MxJ+2Nx+p

(28)

и особо изучаются случаи:

М<0,

М>0иМ =

О.

Далее рассматриваются основные свойства кривой второго поряд-

ка. В преобразовании к осям и к центру мы теперь довольно близко следу-

ем Врио и Бую.

Современные учебники ведут свое происхождение главным обра-

зом от большого руководства Сальмона

, который сам находится под вли-

янием курса Брио и Бую, и других родственных учебников.

Без сомнения, большое значение в развитии аналитической геомет-

рии имело понятие предела, данное д'Аламбером, и понятие о единственно-

сти на прямой бесконечно удаленной точки, принадлежащее Понслэ.

ПОРИЗМЫ И ДАННЫЕ

§ 1. Очень трудно проникнуть в ход мыслей античного человека. Историк в

большей или меньшей мере проектирует в прошлое настоящее. Лежандр,

упрощая Евклида, не сознает, что это упрощение достигается только изме-

нением самого понимания геометрического доказательства.

Евклид

, конечно, никогда не признавал бы лежандрова доказа-

тельства теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треу-

гольника

Ведь во всех своих доказательствах Евклид берет только те эле-

менты в фигуре, построение которых доказывается. У Евклида геометри-

ческие объекты получают существование только через построение. Лежандр

же в своем доказательстве использует медиану треугольника, но при этом

он вовсе не дает построения середины основания, он только постулирует

существование медианы.

Третий случай равенства треугольников, на котором основывается

лежандрово доказательство, Евклид доказывает не до предложения о рав-

нобедренном треугольнике, а после него.

Прием доказательства Евклида основывается на лемме, что для

двух точек С, D, лежащих по одну сторону обрезка АВ (фиг. 1), невозмож-

но одновременное выполнение равенства

CA=DA и CB=DB,

а эта лемма доказывается

только с помощью предложе-

ния о равнобедренном треу-

гольнике. Вот почему Евкли-

ду приходится строить другое,

значительно более сложное

доказательство этого предло-

жения.

"Начала геометрии" А

Лежандра отличаются от "На- Фиг. 1.

чал"

Евклида, во-первых, различным пониманием доказательства, иначе

говоря, существования геометрических объектов; во-вторых, тем, что из-

ложение Лежандра арифметизировано: каждая геометрическая величина у

него выражается числом, и каждому числу отвечает геометрическая вели-

чина, в то время

как

у Евклида все доказательства ведутся без обращения к

числам. Более того, Евклид не ставит никаких вычислительных задач, не

дает приемов вычисления площадей, поверхностей и объемов.

Вычислительная геометрия начинается только с Архимеда.

388

Вне сомнения, на евклидовы "Начала" оказали влияние аристоте-

лева "Аналитика" и, прибавим еще, "Метафизика"

, с которой тесно свя-

зана логика, так как логика Аристотеля имеет ясно выраженный онтологи-

ческий характер. Но вместе с тем в "Началах" отражается и платоно-пи-

фагорейская философия, выставляющая правильные тела как конечную цель

геометрии.

Согласно Аристотелю, наука должна ставить две проблемы: суще-

ствует ли вещь и почему она существует, и если она существует, то как она

существует?

У Евклида в первой проблеме существование понимается в смыс-

ле возможности построения. Проблема: существует ли А и почему суще-

ствует А, является у него в форме: можно ли построить А, и если можно, то

как построить?

Вторая проблема ставится так: какова зависимость мелсду объек-

тами А, В, С,..., возможность построения которых улсе установлена?

Обычно историки, стараясь быть наиболее понятными, облекают

мысли античных математиков в современные словесные и далее символи-

ческие формы. Это, конечно, довольно опасный прием, но мы далее все лее

рискнем к нему прибегнуть. При этом необходима оговорка. Евклид мыс-

лил не точно по предлагаемой схеме. Но, вне сомнения, существует опре-

деленное соответствие мелсду этой схемой и евклидовым мышлением, и

молено сказать, что Евклид шел бы точно по этому пути, если бы арифме-

тизировал геометрию в смысле Лежандра.

§ 2. Только вполне усвоив евклидово понимание доказательства, мы уяс-

ним себе три формы евклидова мышления. В "Началах" даются условия

существования некоторых объектов: простых а, Ь, с и слоленых, из них со-

ставленных со; (а, Ь, с); дается также зависимость мелсду ними и выводят-

ся некоторые свойства, сводящиеся

эквивалентности некоторых построе-

ний.

Символически это выралсается так:

а=А .

оь(а,Ь.с,...) = Л

Ь=Л ' !-->Ф(а,Ь,с,...)=ф(а,Ь,с,...),

cp,(aAc,...)=ifr

(a,b,c...)J

с =Л

где символ = А означает "существует", а символ = эквивалентность.

Обобщением этой схемы или, вернее, ее изменением является со-

хранение тех лее условий, ио замена вывода таким:

Ф(х, у, z, а, Ь,

с,...)

= ф (х, у, z, а, Ь, с,..). (2)

Вто время как а, Ь, с... суть данные величины, х, у, z...-произволь-

ные. В частности:

Ф(х,у,г,...а,Ь,с) = ф (а, Ь, с,...). (3)

389

Можно сказать,

что при

некоторых построениях

х, у,

%,...

не

оказы-

вают никакого влияния,

результат получается один

и тот же,

каковы

бы

на были

х, у, z...

Но возможно другое изменение

(1).

Возможна замена вывода

та-

ким:

Ф(а,Ь,с,...)

= Л, (4)

т.е. утверждение только существования,

евклидовом смысле, некоторого

объекта

Ф.

Если первой схеме отвечают "Начала",

то

второй

"Поризмы",

третьей -"Данные" Евклида.

Но,

конечно,

это

лишь схемы самого общего характера.

Тот

мате-

риал,

которым

мы

располагаем, необходимо проанализировать глубже.

"Данные"

до

нас дошли полностью,

"Поризмы"

только

в тех

отрывках,

которые имеются

"Собраниях" Паппа

Кроме поризмов

данных,

Евклида имеются

еще

проблемы.

Им

отвечает следующая схема.

Ищутся такие:

х=сх

(а, Ь, с, ... )

у«р

(а,Ь, с,...)

(а, о,

с,,..),

чтобы заданная зависимость

Ф(х,

у, z,а, Ь, с,

...)зф

(х, у, z, а, Ь, с,...)

обращалась

теорему

Ф(а,Ь,

с, ...) =

(а, Ь,

с,...).

В такой общей, абстрактной форме поризм оказывается

тем, чем

его считал Папп,

- ни

теоремой,

ни

проблемой,

чем-то средним,

их

свя-

зующим.

Если

(у, z)

исчезают так,

что

зависимость сводится

Ф(х,

а, Ь, с, ...) =

(х, а, Ь, с,...)

и приходится искать

х, то при

решении проблемы

на

основании теоремы

используется поризм.

§3.

Мы

сперва будем говорить

поризмах. Поризмы бесспорно сыграли

некоторую роль

истории аналитической геометрии. Именно

поризмах

зарождаются

те

определенные

неопределенные задачи, которые

XVIII

в. играют существенную роль

учебниках алгебраической,

т.е.

аналити-

ческой геометрии.

Существует некоторая преемственность между античными пориз-

мами

"Геометрией" Декарта (1637)\

При этом следует иметь

виду поризмы

не

только

евклидовом

понимании,

но и

поризмы,

уже

преломленные через призму рационалис-

390

тической идеологии, содержащие в себе более общие идеи, чем те, которы-

ми пользуется аналитическая геометрия.

Однако приложение этих идей не идет дальше частных примеров:

они не содержат общих методов. Историк математики должен различать

общие идеи и их осуществление

. Одно дело - общая идея исчисления бес-

конечно малых, состоящая в разложении изучаемой величины на беско-

нечно малые элементы, в отождествлении последних с более простыми (по-

нашему, в замене их эквивалентами) и в вычислении суммы (по-нашему,

предела суммы) этих простых элементов; другое дело - техника интеграль-

ного исчисления, начинающаяся только с понятия дифференциала и интег-

рала, как предела суммы специального типа.

Общая схема поризма дана нами

выше;

она объясняет, почему тер-

мин "поризм" употребляется Евклидом в "Началах" в смысле леммы, вы-

ражающей некоторую связь между остающимися неопределенными вели-

чинами. На основании этой схемы можно следующим образом формулиро-

вать сущность поризма:

Поризм - это предложение, в котором высказывается, что неко-

торое свойство имеет место для величии, находящихся в зависимости

от нескольких данных и нескольких величин, остающихся неопределенны-

ми.

Как и существование, зависимость со

(

зф. должна определяться

построением, производимым с элементами а, Ь,

с,...,

которые даны, и с

элементами х, у, z которые остаются неопределенными, т.е. такими, для

которых построение уже ие дано. При таком понимании, подходящем под

евклидово, совершенно исключается бесконечность, и поризм еще не вы-

зывает идей аналитической геометрии.

Только введя актуальную бесконечность, как это сделал Р. Симп-

сон и другие до него, мы получаем поризм в той форме, от шторой уже

легко перейти к основным проблемам аналитической геометрии.

Было бы неправильно думать, что такое понимание поризмов по-

явилось только у Р. Симпсона. Оно должно было зародиться тогда, когда

математическая мысль пропиталась актуальной бесконечностью, когда

метод неделимых выступил как мощный математический аппарат.

"Поризм,

—

говорит Р. Симпсон

, - это предложение, в котором

высказывается, что одной или многим данным величинам (неизменным),

а также бесконечно многим, не данным, но находящимся к данным в оп-

ределенных отношениях, присуще некоторое общее свойство".

Клюгель в своем словаре дает слово в слово симпсоиовское опре-

деление поризма, но прибавляет свое сокращение. Поризм, по Клюгелю, -

это задача, в которой требуется каким-либо образом найти нечто, опреде-

ленным образом связанное с неопределенным'.

391