Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

При таком понимании поризма под это понятие сейчас же подво-

дится определение кривой буквенным уравнением между координатами

точек (х, у), в которое входят параметры а,Ь,с,..., если только спроектиро-

вать в прошлое, как это делает Р. Симпсои, понимание неопределенной

задачи, как задачи, имеющей бесконечное множество решений. Здесь ко-

ординаты точек (х,у) дают бесконечное множество точек, находящихся в

данном отношении к Ох и Оу. Заданными а,Ь,с,... здесь служат параметры.

Эти,

правда, уже частного вида поризмы становятся возможными

только при создании буквенной алгебры и приложении ее к геометрии.

Для разъяснения сущности поризма и пояснения его истолкования

Симпсоном я приведу следующий пример.

Дана окружность с центром С (фиг. 2). Из двух точек D и Е одна

дана, другая же - искомая, определяемая пропорцией:

BD : BE=AD : АЕ. (5)

М - произвольная точка на окружности, и общее свойство геомет-

рического места -неизменность отношения DM : ЕМ.

Если бы, мысля ЕМ и DM как координаты, мы пожелали постро-

ить задачу аналитической геометрии, отвечающую этому поризму, то полу-

чили бы проблему об определении уравнения при заданной системе коор-

динат, определяющего известную кривую (в настоящем случае - окруж-

ность).

По-гречески ж>ро£

|и

оз-

начает то, что представляет пере-

ход,

что можно перевести слова-

ми "легкое заключение". В смыс-

ле короллария, т,е. непосредствен-

ного следствия из доказанного

предложения, термин "поризм"

употребляется в "Началах" Евк-

лида.

Но каким образом от это-

го понимания Евклид перешел к

другому пониманию поризмов, как трудных и замысловатых задач?

Существенным в евклидовом поризме было не то, что он легок и

прост, а то, что он образует переход, промелсуточное звено, и те поризмы,

которые мы находим в "Началах", играют именно роль переходного моста

от одного предложения к следующему, а вовсе не представляют вполне то,

что потом назвали короллариями, т.е. мелкими выводами из теоремы, в

дальнейшем не используемыми.

Цейтен" считает те поризмы, которые находятся в утерянном со-

чинении Евклида, именно такими переходными предложениями, относя-

щимися к коническим сечениям, Таким образом, он, гак и другие авторы,

толкует поризмы, определяя их ие только их конструкцией, но и характе-

392

ром материала, к которому они относятся. Такое толкование несколько ис-

кусственно, и едва ли "Данные" говорят в его пользу.

Существует целый ряд других толкований. Например, Жирар

по-

нимал поризмы как теоремы, относящиеся к пересечению прямых, что,

конечно, неправильно.

Ферма

толковал поризмы шире, но тоже неправильно, отожде-

ствляя их с задачами на определение геометрического места.

4. Если мы пожелаем выразить со-

дерясание поризмов в координатах, то

получим большое многообразие коор-

динатных систем, как точек, так и пря-

мых.

Так, возьмем вместе с Ша-

лем

следующий поризм, облекая его

в алгебраическую форму (фиг. 3).

Даны три прямые L,L',L" ,

по полоясению. Если из точки М од-

ной из этих прямых

опустить перпен-

дикуляры р и q на две другие пря-

мые L',L", то можно найти такую

Фиг. 3.

длину а и такое число X , что перпен-

дикуляр р вместе с а будет к q находиться в отношении, равном

;

\р

у 1

(б)

Здесь координатами точки являются ее расстояния от двух прямых,

и уравнение (6) определяет прямую.

Вот другой пример, приводящий к координатам прямой и к урав-

нению точки. Две прямые заданы по по-

ложению, и на них точки А и В (фиг. 4).

Если проводить прямые mm

так, чтобы

отрезок Am вместе с линией а находился

в данном отношении X к отрезку Вт

т.е.

Am+ii

Вт

=к

(7)

то прямые mm все пройдут че-

рез одну точку.

Фиг. 4.

393

§ 5. Наряду с поризмами у античных математиков выступают еще мест-

ные теоремы и места.

В местной теореме

устанавливается свойство, присущее опреде-

ленной кривой. Так, для окружности местной теоремой устанавливается,

что (см. фиг. 2)

ЕА

ЕВ = DA

DB,

отношение МЕ;МЕ> оказывается для всех точек одинаковым.

Обращаясь к схеме § 2 для получения схемы местной теоремы, мы

должны изменить условие, введя вместо

фДа,Ь,о,...)"ф

;

(а,Ь,с....)

условие

(x,y,z,...,a,b,c,...)=(|)

(x,y,z,...,a,b,c,...)

и оставляя заключение (2) или, вернее, (3).

В месте же, наоборот, определяется, какой кривой присуще данное

свойство. Схема остается, конечно, та же.

Таким образом, местную теорему и место не следует мыслить как

частные виды поризмов, а скорее как другие разновидности очень общей

проблемы.

В аналитической геометрии этим проблемам отвечают:

1) определение свойств кривой, заданной уравнением;

2) определение уравнения кривой по ее свойствам.

§ 6. Чтобы установить, что поризмами могут служить предложения, лежа-

щие вне сферы аналитической геометрии, приведем некоторые примеры,

тоже облекая их в алгебраическую форму, причем схема вывода (2) § 2

будет оставаться в силе. Схема вывода (3) § 2 может быть уравнением,

вьфаясающим зависимость между

a,b,c,...,x,y,z,...

и вытекающим из ф

;

=ф

(

Но (3) может быть и тождеством. Этот случай остается в стороне

от аналитической геометрии.

Толкование поризма Плайфайром

* обнимает и этот случай, По-

ризмы, по его мнению, являются предложениями, в которых утверждается,

что можно найти такие условия, при которых некоторая задача становится

неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Но нельзя не признать вместе с тем узость этого определения, так

как поризм выявляет не только то, что существует бесконечное множество

решений, но и дает его характеристику.

394

Приводим пример поризма, подходящий под толкование. Дана пря-

мая АВ. Поризм утверждает существование на отрезке АВ такой точки D,

что прямоугольник со сторонами АС и СВ вместе с S (некоторой площа-

дью) равен квадрату, построенному на CD, где бы ни была взята точка С за

В.

Полагая АВ = a, BD = Ь, ВС = х, имеем согласно условию

(a + x)x + S=(b-t-x)

или

ax + S = b

+2bx. (8)

Чтобы доказать этот поризм,

мы

должны убедиться, что (8) сводит-

ся к тождеству при надлеясаще выбранных S и Ь, для чего положим:

b=-a;S = -a

2 4

Вот еще пример, более

сложный.

На прямой даны точки

A,B,C,D (фиг. 6), даны АВ = а, ВС =

AD = с, АЕ = х. Поризм утвержда-

ет существование такой точки D и

такого отрезка f, что Фиг. 6.

ВС х СЕ = AD х АЕ

I-

BE х f,

или на языке алгебры

b(a-b+x)=cx+(a+x)f. (9)

Равенство (9) становится тождеством при

oi?l

а ' а

Под схему Плайфайра можно подвести и приведенный выше при-

мер (фиг. 2). Если не ставится никакого ограничения на положения D, Е на

диаметре относительно окружности, то условие DM : ЕМ = X дает одно

определенное решение на АВ. Но если

CD:CA = CA:CE= %,

то здача оказывается неопределенной, и мы будем иметь поризм.

Плайфайр дает прекрасный пример, вьпшляющий сущность пориз-

ма в его понимании: через данную точку М (фиг. 6) требуется провести

прямую так, чтобы сумма расстояний отточекМ,, М

,... М - с одной стороны

равнялась сумме расстояний отточек М^, М.,... - с другой. Ответ: прямую

следует провести через центр тяжести точек М,,М

Но если сама точка М совпадает с центром тяжести, то задача ока-

зывается уже неопределенной. Чтобы облечь ее в алгебраическую форму,

395

следует принять за данные - координаты точек

1VL (aj

• bj), за неизвестные

- координаты прямой (£,, л). Задача ставится о разыскании ,1]) .

В случае поризма

Фиг. 7.

Фиг. 8.

и вместо определенных значений (4, л) мы

имеем уравнение

Л£+Вт| + С=0,

определяющее пучок прямых с вершиной в

М.

В пояснение определения Плайфай-

ра можно привести еще следующий пример:

определение кометной орбиты приводит к

задаче о проведении прямой так, чтобы от-

ношения отрезков между четырьмя данны-

ми прямыми АВ : ВС, ВС : CD были дан-

ные (фиг. 8). Решение дается Ньютоном в

предложении 56 его "Arithmetica universalis"

(1707)'

Но в некоторых случаях возникает

неопределенность, на что указали Боскович

и Кастильон

Такой случай

действительности встретился при определении эфе-

мерной кометы 1739 г.

§ 7. Переходим теперь к данным, отвечающим схеме вывода (3). Шаль

формулирует сущность данных следующим, правда несколько неясным,

образом:

Данные - это предложения, в которых одна или несколько вещей, к

которым относится вопрос, не имеют в формулировке предлоясеиия опре-

деленной величины и положения в силу предположения. Но само предло-

жение сводится к утверждению, что определенные величины и положения

содержатся неявно в предположении, следствием которого оно и является

и может быть осуществлено.

Это то, что Евклид выражает словами "вещь дана", причем следу-

ет предполагать, что вещь дана виртуально, т.е. содержится неявно в пред-

положении и может быть отсюда выведена".

Такое толкование не вполне соответствует намеченной нами в § 2

схеме (3). В толковании Шаля не выявлен экзистенциальный характер дан-

ных. Данные не выводят свойств вещи, но только ее существование, в ука-

занном выше евклидовом толковании.

396

В предложении 60 "Данных" Евклид указывает, что если, две ве-

личины а и b находятся в данном отношении %, то составленная из них

величина а + b находится в данном отношении к каждой а или Ь.

Если бы Евклид, заключает Шаль, хотел из этого предложения сде-

лать теорему в собственном смысле (т.е. в смысле "Начал"), он должен

был бы указать, что отношение

(а+Ь):а =

(>ь

+ 1);Я., a(a+b):b =

(>.

+ l):l.

Другой пример (предл. 86); если в треугольнике задан угол, то пря-

моугольник, построенный на заключающих его сторонах, находится к тре-

угольнику (т.е. к его площади) в данном отношении. Если указать, что это

значение равно

(

(определив синус); то получится теорема.

Приведем еще пример (предл. 89): если в данной окружности дана

по величине и направлению хорда, то она ограничивает сегмент, заключа-

ющий данный угол. Теорема получается, если добавим, что этот угол ра-

вен половине соответствующего центрального угла.

§ 8. Укажем, какую роль сыграли "Данные" в истории геометрии. Аристо-

телевскую первую проблему "существует ли

вещь?"

нельзя отделить от вто-

рой - "как она существует?".

Равным образом, задачу об евклидовом существовании, нельзя от-

делить от задачи о том, каково это существование, а задачу о возможности

построения - от задачи осуществления этого построения.

К решению первой проблемы следует мало прибавить, чтобы по-

лучить вторую. Схема (3) превращается в схему (1), если вывод

Ф(а,Ь,с,...) = Л

привести к эквивалентности проблематического построения с построени-

ем осуществляющим.

Различие с (1) будет только то, что в схеме (1), отвечающей теоре-

ме,

и Ф (а,Ь,с,...),и ф(а,Ь,с,...) суть вполне определенные построения,

вполне осуществляемые, а теперь Ф характеризует только некое проблема-

тическое построение; указывается, как Ф получается из

а,Ь,с,..„

но не до-

казывается возмоясность этого получения, прежде чем не будет указано,

что

Ф(а,Ь,с,...)зф(а,Ь,с,...).

Решение уравнения следует понимать в том смысле, что неявное

определение х уравнением дает тот же результат, что явное определение.

При чисто геометрическом мышлении античные математики вме-

сто преобразования;

+px +

= 0

397

развертывают

ряд

геометрических тождеств.

Окончательной формуле отвечает построение, дающее неизвест-

ное.

По

этому пути Евклид

"Началах" продвинулся недалеко. Античная

геометрическая алгебра Евклида, изложенная

книгах

II и X

"Начал",

выполняет те функции, которые

настоящее время берет

на

себя символи-

ческая алгебра

. Геометрическим тождествам книги 11 отвечают следую-

щие тождества рационального типа:

l)ab + ac=

(b+c);

6)(a+b)b+(|j

=(|

)

;

2)ab

a(a-b)

= a

;

3) ab

b(a-b)-l-b

;

(a-b)

2b(a-b);

7)a

2ab

(a-b)

;

8) 4ab-l-(a-b)

=(a

+ b)

;

-b)b

(f-b)

=g)

; lO)(a

=2Q

Книга

пополняется предложениями

28 и 29

книги

VI, в

которых

дается решение одной геометрической задачи,

из

которой извлекается

ре-

шение квадратного уравнения.

Впрочем,

предложение

книги

"Начал" (задача

золотом

сечении) дает тоже решение квадратного уравнения,

но,

правда, только

специального типа:

х(а-х)=а

(10)

"Данные" уже

силу самой постановки проблемы

не

дают оконча-

тельного решения;

они

задаются целью только обнаружить возможность

получения неизвестного путем

его

построения,

но,

как мы выше заметили,

немного следует прибавить, чтобы перейти

от

возможного построения

его осуществлению.

Так как

неявное задание

представляет именно

про-

398

блематическое построение, неосуществленное, которое может осуществить-

ся только, если х дано, естественно ожидать толчка к развитию решения

уравнения именно со стороны "Данных", а не "Начал" Евклида.

Так это и было. Предложения 84 и 85 "Данных" в переводе на язык

символической алгебры подводят к решению системы уравнений:

ху=Ъ

, (11)

х±у=а,

а вместе с тем, конечно, и квадратного уравнения

-ах

= ±Ь

, (12)

т.е. к решению той задачи, которая решается по-иному в предложениях 28

и 29 книги VI "Начал".

§ 9. Интересно отметить, что те же "Данные" подводят и к решению треу-

гольников и заключают своего рода античную тригонометрию.

Мы приводим предложения "Данных" в символической форме с

соответствующими тригонометрическими формулами.

При этом S есть площадь треугольника, а,Ь,с - его стороны, А,В,С

углы. Предложения:

-c

i,-. с bcsinA

(64)

А - тупой-> дано;

ал=Ь

ч-с -)-bccosA;

Ь>=—~—

+с -а

(65,67)

А-острый -»• дано; a =b +с -2bccosA;

g_ bcsinA

besin A

(66)

А дан ->— дано; Ь=—-—,

(76)

А, В, С, -> — дано;

=h„ (cosB+cosC).

(Здесь h

- высота, опущенная на а.)

§ 10. Мы отошли бы, конечно, очень далеко от характера античной мысли,

если бы взглянули, как это делают некоторые, на поризмы и данные с фун-

кциональной точки зрения

Но мы все-таки ие можем оставить в стороне и этот подход, так

как он в некоторой мере позволяет отметить различие поризмов и данных

и обнаружить два различно направленных течения, идущие от этих двух

типов геометрических проблем до выявления понятия функции.

Можно сказать, что поризм подводит к уравнению, причем нео-

пределенному, не выражающему х через

а,Ь,с,...,

но выражающему у в фун-

кции переменного х, обнаруживая изменение у вместе с х, а также выявляя

399

характер этого изменения. Данные же обнаруживают, что х при изменении

(х,у) не меняется.

Можно сказать, что, если в поризме мы находим в эмбриональном

состоянии основную идею определения геометрического места уравнени-

ем,

то в данных мы видим нечто, отвечающее теории инвариантов

Но такая точка зрения, конечно, есть достояние уже весьма отда-

ленного от возникновения аналитической геометрии времени, - времени,

завершающегося возникновением идеи преобразований, образующих груп-

пу, и идеи инварианта, характеризующего эту группу. Для кривой второго

порядка

Ах

+2Вху + Су

+2Dx + 2Ey+F = 0. (13)

- АС

А + С - это известные инварианты, сохраняющиеся при линей-

ном преобразовании.

ПРОБЛЕМА СМЕРТИ.

Введение

Я ясно сознаю смелость моего выступления и жду в большинстве случаев

несочуствениого

себе отношения и не столько вследствие страшной темы,

выходящей за рамки научного мышления, как вследствие особой позиции,

которую я принимаю.

В самом деле, я делаю вызов на три стороны. Прежде всего я выс-

тупаю против догматически религиозной точки зрения. Моя мистика выс-

вободится от оков, налагаемых неподвижным скристаллизованным догма-

том,

при котором на месте богоискательства стоит найденный Бог. На мес-

те смелой попытки просмотреть в густом тумане очертание загробных сфер

- смиренное закрывание глаз. Затем я выступаю и против метафизики.,

мнящей, что решение страшной проблемы смерти - это дело умозрения,

стоящего выше фактов чистого интеллекта, того интеллекта, который ви-

дит ipainmbi бытия там, где кончаются логические категории, вместо того,

чтобы видеть там начало самых страшных глубин. Наконец, я выступаю

против философствующего естествознания, тщетно старающегося вселен-

ную и все тайны жизни и смерти заключить в узкие рамки реторт и микро-

скопов.

Я покажу, что религия дает слишком мало, что она отвечает не на

вопрос, решает не ту проблему, которая больше всего должна интересовать

ум философа, и если она приходит

соприкосновение с этой проблемой, то

обнаруживается разрушительное ее действие, и человек верующий должен

остановиться, закрыв смиренно глаза на движущуюся на него опасность.

Я обнаружу, что выходящая за узкие границы веры метафизика дает боль-

ше,

пытаясь в своих построениях, не боясь противоречий с религиозными

догматами, а в согласии со своим представлением о духовном, решить воп-

рос о неразрушимости души. Но это будет еще слишком мало, ибо пробле-

му о переживании она превращает в проблему о существовании; отвлека-

ясь от содержания живой души, она рассуждает о пустой форме, стараясь

установить вечность только этой формы. Выше метафизики становится

натурфилософия, и я разверну содержательность ее философствований, в

которых она, в противоположность метафизике, правильно охватывает сущ-

ность проблемы. Но вместе с тем покажу, что она ие в состоянии ее ре-

шить, не переходя из сферы науки в сферу гипернауки, мистического опы-

та,

предполагающего предпосылки, восполняющие положительную науку

и даже противоречащие некоторым законам. Я собираюсь сразиться с дру-

зьями смерти и ненавистниками жизни, я хочу заставить их любить жизнь,

а не смерть, Я буду говорить, не то, что им понятно, а то, что кажется ис-

401