Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

исчез - доказывающий, с помощью операций, которые он тоже старается

логизировать, воссоздает до какого угодно места ряд значений, принимае-

мых этим объектом.

Характерным признаком предела является не то, что между пере-

менными X и А, при изменении X, бесконечно уменьшается разность, а то,

что в ряде значений X, Х

... Х

, мы можем найти такое, что отличие

его от А было бы как угодно мало.

Так что и здесь опять вводится актуально бесконечное, бесконеч-

ный класс операций, с помощью которых мы определяем разности X - А.

Арифметизированная математическая мысль признает только ряды

чисел:

X Х

... X и их предел А.

Предел определяется как число А, для которого существуют опера-

ции,

дающие для всякого (•: такое v, что при ii>v|A-XJ< в (J).

Предел сперва понимается как последнее значение переменного,

затем как то, к чему переменное бесконечно приближается, никогда с ним

не совпадая.

Сперва предел существует совершенно так же, как существует каж-

дое значение переменного: затем его бытие оказывается вроде бытия кан-

товской вещи в самой себе

' относительно мира явлений: он вне сферы

изменения переменного.

Третий этап - это совершенное уничтожение реальности предела

даже в указанном смысле, что соответствует переходу от кантовской точки

зрения к точке зрения Маха

252

и Авенариуса

253

, упраздшпощей вещь в са-

мой себе.

Предел выступает в смысле символа, сгущающего ряд чисел.

Несколько иная, но близкородственная точка зрения: предел как

символ сходящегося, убывающего или возрастающего ряда чисел.

X, X, X, ... Х

I 2 3 п

Тогда неравенство 1) заменяется на

|Y.-XJ<s (2)

при

> V

В геометрической теории пределов предел, конечно, ни в коем слу-

чае ие может быть низведен на роль только символа, как в арифметической

теории пределов, иначе, теории иррациональных чисел.

И вот между геометрией и арифметикой начинается разделение,

начинается разарифметизирование геометрии. За геометрическими пре-

делами оставляется реальное, а не только символическое значение.

Второе условие д'Аламбера обращается в постулат Кантора

Если имеются два таких класса прямолинейных отрезков, что

352

ни один отрезок первого класса не больше любого отрезка вто-

рого класса и

2) при данном сколь угодно малом отрезке в в первом и во втором

классе имется по отрезку, разность которых меньше 8 , то имеется отре-

зок, которой не меньше любого отрезка первого класса и не больше любо-

го отрезка второго класса.

При этом постулируется рельное существование такого предела.

Определение длины окружности и площадей круга, в которые об-

ращаются теперь раньше доказываемые теоремы, оправдываются

255

теперь

доказательством выполняемое™ этих условий.

Длина окружности - предел вписанных многоугольников при уд-

воении числа сторон - оправдывается доказательством того, что разность

между периметром п-угольника и 2 и-угольпшеа может быть сделана как

угодно мала при достаточно большом п.

Порядковый характер предела.

Каиторовский постулат представляет собой, в сущности говоря, развитие

основной ньютоновской леммы, заменяемой ей равносильной первой лем-

мой об однозначности предела.

Вывод этих лемм из остававшихся скрытыми аксиом претворяется

в вывод канторовского постулата из аксиомы Дедекиида о сечении.

Пусть точки данного отрезка разделены на два класса, причем:

1) всякая точка отрезка принадлежит одному из классов,

2) любая точка первого класса предшествует любой точке второго

класса в данном направлении,

тогда на данном отрезке существует такая точка, что всякая точка,

ей предшествующая, принадлежит к первому классу, а всякая за ней следу-

ющая - второму.

Так как канторовский постулат выводится из дедекиндовского, то

естественным является замела в определениях предела

—

сечением, и пере-

ход к чисто порядковому определению предела.

Длина окружности, по Дедекинду, уже не предел в даламберовом

смысле, т.е. периметр вписанного многоугольника, отрезок, который боль-

ше периметра всякого вписанного в окруленость многоугольника и меньше

периметра всякого описанного.

С понятия предела теперь окончательно снимается количествен-

ный характер. Это уже чисто порядковое понятие; это только то, что следу-

ет за элементами множества А и предшествует элементам дополнительно-

го множества А', при предположении, что нельзя указать среди элементов

А последнего, а среди элементов А' - первого

''.

Собственно говоря, идея предела совершила весь круг своей жизни.

То,

чем если еще не окончательно сделался, то стремится стать

353

предел - нечто совершенно иное, чем предел д'Аламбера.

Нельзя сказать, чтобы динамический характер европейского мыш-

ления, который находится в определенной противоположности к статичес-

кому характеру античной мысли, был теперь совершенно уничтожен.

Он только переведен в плоскость производимых умом операций

при творчестве нескончаемых рядов объектов, которые мыслятся уже не

в движении, а окристаллизованиыми в своей чисто античной неподвиж-

ности.

VI. Философские элементы в эволюции методических

идей в математике первой половины XIX века.

Введение.

Совершенно таким же образом, как по одной кости ископаемого животно-

го можно восстанов ить весь его скелет, в частях которого отражается це-

лое, по одному отрывку деятельности человеческого гения определенной

эпохи можно было бы при некоторой прозорливости ума начертать конту-

ры этой эпохи. Геометрия Рамуса

257

- эта ныне уже забытая попытка низ-

вержения в XVI веке вместе с другими кумирами и великого Евклида

258

как капля воды отражает в себе всю эту эпоху, еще пропитанную средневе-

ковой схоластикой и мистицизмом, еще не порвавшую все цепи, связую-

щие ее с прошлым, но с детской верой устремляющуюся в будущее. Вмес-

то доказательств - система определений, устанавливающая иерархичес-

кую лестницу с дихотомиыми рамическими делениями рода на виды, взле-

тающая до summuin genus

259

геометрии Арно

260

, с введением, трактую-

щим о воспитательном значении геометрии, развивающей обращение с

сверхчувствеными предметами, которые нам дает lux naturale

261

иерархи-

ей геометрических истин по принципу Дегарта: идти от простого к слож-

ному

262

, с прямыми доказательствами, заменяющими гонимые пор-роя-

левской логикой

263

апагогические. Этому отвечают Декарт, Мальбранш и

Спиноза, а не превозносящие опыт и борющиеся с метафизическими суе-

вериями энциклопедисты, настроение которых так хорошо отражается в

Institutions de Geometrie де ля Шаппеля

'', задающимися целью научить

геометрии шутя, постоянно аппелируя к окружающим предметам как пояс-

няющим моделям.

Не всегда можно усмотреть сознательное влияние философских

идей эпохи на математику; такое влияние больше всего должно сказаться

на низах, а не в верхах эволюционирующей математической мысли. Для

исследования его следует брать учебник, а не научный мемуар.

Чаще всего соответствие между математической мыслью и мыс-

лью философской определяется просто каким-то настроением, охватыва-

354

ющим все умы. Едва ли молено предполоясить, что философская идея про-

гресса

265

, чуждая рационалистической эпохе и воспитанная мыслителями

второй половины XVIII века, родила теорию пределов с переменным, бес-

конечно приблюкающимся к некоторому постоянному, но никогда его не

достигающим, Не "Эскиз исторической картины прогресса человеческого

разума" Кондорсэ уже в эпоху революции повлиял на д'Аламбера

", а, вне

сомнения, то общее настроение, которое резко выдвинули отвечающие этому

настроению идеи, только много времени спустя облекшееся в более стро-

гие логические формы.

Я хочу обратить внимание на эпоху спекулятивной немецкой фи-

лософии, начинающуюся с Канта и завершающуюся Гегелем и Гербартом.

Изучение старой учебной литературы дает интересный материал для суж-

дения если не о прямом влиянии на литературу спекулятивных философов,

то о соответствии двух течений - математического и философского.

Кант и Песталоцци.

Прежде всего о Песталоцци

267

Метод Песталоцци обучения арифметике

называется односторонне-субъективным, т.к. он придает ничтожное зна-

чение материалу, а все сводит к методу в противоположность односторон-

не-объективному методу вольфиаицев. Арифметика имеет целью развить

особую умственную способность оперировать абстрактными идеями.

Согласно гносеологическому взгляду Канта

268

, число одшодь не

происходит из опыта; оно его предваряет, как время и пространство. Прав-

да,

число у Канта, это не простая форма, гак время и пространство, а ре-

зультат некоторого процесса, предваряющего опыт

не выходящего за сферу

форм,

налагаемых нашим рассудком на материал опыта с целью его обра-

ботки в более совершенное, способное обращаться в знание, состояние.

В качестве основного материала элементарного образования Пес-

талоцци выдвигает число, форму и название.

Роль времени в гантовском мировоззрении у Песталоцци занима-

ет пространство.

Наглядность у Песталоцци сводится к тому, что число изучается в

пространстве; не дается готовым, но извлекается оттуда с помощью опери-

рующего над чистыми схемами (каковыми являются числовые фигуры)

процесса.

В дальнейшем

лее

абстрактное число должно оторваться от его про-

странственного носителя, и все операции должны производиться уже

уме.

Из основных принципов Песталоцци вытекает преимущество ум-

ственных операций перед письменными

269

Они не только дают более чистую гимнастику тем способностям

ума, которые задается [целью] развить арифметика, но также материал для

обучения третьему основному элементу образования, по плану Песталоц-

355

ни,

- называнию.

Письменное обозначение - это уже нечто производное; следует на-

учить читать раньше, чем писать; считать раньше, чем нумеровать в чис-

лах.

Обучение выговариванию

270

у Песталоцци занимает столь же важ-

ное,

если еще не более важное место, чем обучение арифметическим дей-

ствиям в уме. Метод азбуки наглядности Песталоцци вполне соответствует

методу его первоначального изучения арифметики.

Он идет не от конкретных предметов к геометрическим формам,

но сразу обращается к простейшим типам этих-форм.

Встав на точку зрения формального пргшципа образования, поста-

вив главной, если не сказать единственной, целью образования развитие

"внутренних сил человеческой натуры", он обращает наглядную геомет-

рию в гимнастику созерцания, но при этом чисто пассивного, геометри-

ческих форм и механического их воспроизведения вычерчиванием. Глав-

ная задача методики - нахождение искусственных способов, увеличиваю-

щих природную способность отличения форм

271

Здесь дело обстоит так лее, как в арифметике Песталоцци - при

созерцании числовой фигуры, учащимся познаются операции над числа-

ми,

после чего ученик сам начинает действовать, причем он все время учится

говорить, высказывать все то, что он видит и делает.

В геометрии - такие же скучные и однообразные упражнения, как

и в арифметике.

Сперва 376 упралсиеинй, относящихся к сравнению горизонталь-

ных и вертикальных углов.

Затем - созерцание и образование простейших форм: параллель-

ных прямых, прямого угла, двух прямых углов, четырех, прямоугольника.

Прямая и квадрат - это два образа, лежащие в основе дальнейшего.

Дальше - необычайно длинные упражнения с квадратом и пря-

мой,

делением квадрата параллельно сторонам и диагоналям и т.д. Как в

гносеологии Канта, так и в методике Песталоцци, синтез стоит на первен-

ствующем месте.

Элементы предваряют, опыт, деятельность ума двояка: или комби-

нирующая эти элементы, или вырабатывающая из них и материала опыта

соединения.

Философская мысль Канта

272

сохраняет двойственность, характер-

ную для его предшественников, отделявших чувственный мир от реально-

го,

для которого первый является только как бы искаясенным изображени-

ем.

Этот второй мир совершенно удален из сферы знания, обратившись в

вещь в себе, первый лее раскололся пополам. Одно - это формы нашей

интуиции или рассудка, другое - данное им как материал для обработки.

Эти формы предваряют опыт, но не извлекаются из него; более

того,

они не даны в начале опыта в виде эмбрионов, чтобы затем вместе с

356

ним эволюционировать; они или в готовом виде даны, или же вырабатыва-

ются в трансцендентальной, не зависящей от опыта, сфере.

В противоположность методике Песталоцци, методика Грубэ

273

методика 60-х годов, родилась в атмосфере, пропитанной пышно расцвет-

шими тогда экспериментальными науками.

Опыт - вот истинный источник знания. Этот взгляд или, может

быть, только настроение с ним связанное, должно было охватить и методи-

ку абстрактных знаний.

Следует резко различать опыт от наблюдения. Голое наблюдение

относится пассивно к материалу, с которым душа приводится в соприкос-

новение; опыт (или лучше сказать эксперимент) преполагает создание са-

мим познающим определенных, наперед им задуманных, обстоятельств для

намеченного им к наблюдеЕшю явления.

Следует отличать эмпиризм времен энциклопедистов (60-70-е годы

XVIII века)

274

, как эмпиризм наблюдения, от эмпиризма XIX столетия (50-

60-е годы)

273

, как эмпиризма эксперимента. Между ними - периоды кри-

тической и спекулятивной философии, углубившей наше воззрение на опыт.

Метод Грубэ - метод экспериментирования над числами. Он тре-

бует прежде всего путем опыта познания чисел в их взаимоотношегшях, и

он ищет средства воспитания сознательного арифметического мышления с

помощью возможно глубокого проникновения в природу чисел.

Мы здесь видим, как анализ данного опытом материала заменяет

синтез заложенных в нас до опыта элементов.

§ 3. Кант и Тибо.

Кантовская гносеология резко отделяет интуицию от рассудка. Простран-

ство не концепция, а априорная форма интуиции. Геометрия изучает не

пространство, ибо сущность его не может быть выражена в понятиях. Гео-

метрия скорее изучает те же операции, которые производит над интуитив-

ным материалом конструирующая фантазия.

Именно под влиянием кантовских идей геометрия превращается,

как это имеет место у Тибо

276

, в науку о построениях в пространстве

(Wissenschaft der Konstruction im Raum).

Постулаты и аксиомы сливаются у рационалистов и эмпириков, у

кантианцев же они опять резко разделяются.

Первые дают чисто интуитивный материал. Это первый акт кон-

струирующей фантазии, это простейшие построения, неприводимые

дру-

гим,

которые прелсде всего следует изучить. Это то, что дает нам всецело

интуиция,

Аксиомы лее, по Тибо, это "условия, которыми связывается незна-

ние при установке их представления". Это то, что приносит интуиции рас-

судок.

357

Именно под влиянием Канта в геометрии выступают генетические

определения. Тибо часто говорит о движении, образующем геометричес-

кие объективы. Но это движение иное, чем то, которое определяется посту-

латами позднейших математиков 50-70 г. г. Это основной акт конструиру-

ющей фантазии. Что такое прямая? Это простейшее построение - говорит

Тибо.

Для разъяснения, в чем состоит это простейшее построение, сле-

дует описать этот акт, который производит прямую.

Это - прогрессивное движение, иначе говоря, движение одного

направления, так что у Тибо появляется раньше направление, а потом уже

прямая.

Между двумя точками моясет быть проведена только одна прямая.

Но Тибо кажется, что из этого рода положений не может еще выйти науки.

Если прямая становится затем предметом научного исследования, то именно

потому, что в ней находится единственно количественное - ее длина, по-

зволяющая призвать число, а нам - и рассудок с его категориями. Геомет-

рия для Тибо, оригинального продолжателя, арифметизирующего элемен-

тарную геометрию Лежандра

277

, вполне количественна; качественной гео-

метрии, т. е. геометрии положения, тогда еще не было.

То,

что говорит Тибо о прямой, характерно для понимания и даль-

нейшего развития его идей. Что можно построить параллельную, перпен-

дикуляр, треугольник, четырехугольник, две пересекающиеся, круги и т.д.,

об этом говорит интуиция. Но па вопрос, когда возможны эти построения,

в логических или в духе Лежандра числовых терминах, должен ответить

рассудок. Геометрия - наука о построениях - является у Тибо последова-

тельным изучением способностей конструирующей фантазии в порядке их

усложнения. Прямая дается простейшим из основных актов. Акт, произво-

дящий угол, уже сложный, составленный из таких двух основных "про-

грессирующих" актов, сперва определяемых одним, затем другим направ-

лением.

Уже при рассмотрении углов возникает понятие об эквивалентно-

сти актов.

Эквивалентными являются такие акты, которые производят те

зюе результаты. Угол производится как упомянутым выше сложным ак-

том,

так и простым актом вращения прямой около некоторой точки.

Другое основное понятие - это понятие независимости и зависи-

мости актов:

Из данной точки М я могу провести прямую, и прямую, независи-

мо,

от этого могу провести и из другой точки N; и количественному при-

знаку первой (длине) могу дать какое угодно значение, не зависящее от

количественного признака второй.

Из данной точки М могу описать окружность какого угодно радиу-

са R

и из другой точки М„ независимо от этого, могу описать другую

358

окружность тоже какого угодно радиуса Rj.

Наряду с независимыми актами над различными объектами суще-

ствуют и независимые акты, произведенные над одним и тем же объектом.

Много заставила говорить о себе теория параллельности Тибо

278

Тибо отмечает, по его мнению, очевидную независимость следую-

щих

актов:

поступательного передвижения прямой, того, что соответствует

"перенесению" - translation позднейших авторов, и вращения.

Угол производится вращением, которое только и дает изменение

направления; перенесение же оставляет направление неизменным.

Вращение должно совершиться на один и тот же угол, повернем ли

мы сперва прямую, а затем перенесем до совмещения с другой, или обрат-

но:

сперва перенесем, а затем повернем.

Если мы имеем два угла с паралельиыми (т.е. одного направления)

сторонами (\, (1

, Г,), то для приведения 1, в 1

нам необходимо совер-

шить вращение на угол а 1

(

в 1' а затем перенос 1^ в

или

сначала пере-

нос 1, в 1

и затем вращение \

в Г, на угол а', вследствие чего а = а'.

Таким образом устанавливается равенство углов с параллельными

и одинаково направленными сторонами, в частности, соответствующих

углов при пересечении двух параллельных третьей прямой.

Если в треугольнике ABC с двумя данными сторонами а, Ь, будем

изменять угол С вращением этих сторон около С, то будет вместе с тем

производиться акт изменения противолежащей стороны с.

Этот последний будет уже зависящим от первого актом. Эта зави-

симость может быть предметом научного исследования только с помощью

признаков, характеризующих их независимо или зависимо, каковыми, по

взглядам Тибо, могут быть только числа.

Основная научная проблема геометрии сводится к исследованию

функциональной зависимости переменных величин.

Всегда ли при возрастании X возрастает или убывает У, или суще-

ствуют переходы от возрастания к убыванию

и/или

обратно (максимумы

или минимумы)?

Какова область изменения?

У Тибо нет обычных доказательств наложением теорем о конгру-

энции треугольников. Его изложение существенно отличается от евклидов-

ского, т.к. в основе, как очевидные факты интуиции, выдвигаются положе-

ния ие о равенстве фигур, а о характере изменения простейших фуншщй

276

В треугольнике с данными сторонами Ь, с Тибо подвергает изменению сто-

рону а и отмечает как очевидный фаю" постоянное возрастание угла А с

возрастанием а и убывание А с убыванием а, а также изменение в обрат-

ном направлении угла В. Отсюда (не наложением) выводится, что в равно-

бедренном треугольнике углы при основании равны. Если А = а, В = (3 и

Р > а, то и треугольник, в котором А = (J, В = а, будет равнобедренным,

359

вследствие чего получаем, что сторона а с изменением А будет изменяться

от одного значения

другому, ему равному, т.е. не будет изменяться вовсе,

что противно указанной выше аксиоме вращения

280

Гегель и Попсле.

Я не буду здесь развивать историю немецкой спекулятивной философии,

выводить гегельянские идеи из кантовского критицизма. Указав отрывок

из методической литературы по чистой математике с явным влиянием кан-

товских идей, я представляю теперь ясе математические идеи, в которых

определенно звучит гегельянский мотив.

Кант разбил веру в силу силлогистической логики, в возможность

решения с ее мощью метафизических проблем. Спекулятивная философия

Шеллинга и Гегеля

281

не возвращается к докантовской точке зрения, но

вдет дальше, стараясь найти для вселенной схему, подчиненную иной, ди-

алектической логике, не подчиняющейся закону противоречия. Вся все-

ленная представляется окаменелой мыслью, развитием идеи, идущей че-

рез иерархию понятий, располагающихся в троицы: тезис, антитезис и

примиряющий их синтез.

Первая стадия - чистое бытие (тезис), которое таит в себе противо-

речие, так как при своей полной бессодержательности совпадает с ему про-

тивоположным понятием небытия. Оба понятия входят как моменты в по-

нятие уже высшего порядка становления, в котором указанное противоре-

чие снято.

Качество и количество, тоже скрывая в себе противоречие, прими-

ряются в мере

282

и т.д.

Можно сказать, что

диалектике философскую мысль привела идея

предела, если только понимать последнюю не в узкоматематическом смыс-

ле,

а в более общем метафизическом или гносеологическом смысле.

При признаваемой рационализмом актуальной бесконечности, пре-

дел есть одно из значений, последнее значение переменного, но с точки

зрения отвергающих эту бесконечность эмпиризма и критицизма, предел

недостижим, он вне сферы изменения переменного.

Пусть математический объект X определяется некоторыми призна-

ками

а, Ь, с...

причем эти признаки всегда подчиняются некоторым условиям, например,

а > 0. Объект X будет оставаться, как бы а ни было мало.

Но что будет при а = 0? С одной стороны, не X, так как X определен

при условии а > 0, с другой стороны, это X, ибо а = 0 относится к пределу

X, а свойства X, которые остаются неизмененными при изменении X, при-

надлежат и пределу X.

Очень характерно определение предела в учебнике лежандровско-

360

готипаБескибы

283

, выраженное в терминах гегелевской логики: "Предел -

это наиболее внешнее вещи, в чем снимается то, что было, и начинается

то,

чего не было".

Таким образом, имеются два момента А и В внешние друг другу,

согласно гегелевской терминологии.

Когда А перестает быть А, становясь В, а В перестает быть В, ста-

новясь А, мы имеем пределы А.

Это не математическое, а чисто метафизическое определение, ста-

рающееся захватить определение общего, но смутного понятия предела, не

поддающегося математизации, проводимое в духе гегелевской диалекти-

ки,

выступает, как синтез противоположностей А (тезис) и В (антитезис).

Это направление мысли породило то, что можно назвать понятия-

ми-вырождениями, или несобственными понятиями.

Угол определяется, по Бертрану

284

, как часть плоскости, ограни-

ченная двумя пересекающимися прямыми. Но уменьшайте также смеж-

ный угол. В пределе пересечения уже не будет, и одна сторона будет слу-

жить продолжением другой.

С одной стороны это угол. Ибо,' если скажем, что это не угол, то

можно спросить, с такого же момента АОВ перестает быть углом. С другой

стороны, мы можем сказать, что это не угол, ибо мы имеем ие пересекаю-

щиеся, а совпадающие прямые.

Таким образом выступает понятие развернутого угла (Gerader

Winkel).

Прямой угол определяется уже так половина развернутого угла, так

что в последующих учебниках отпадает теорема о равенстве двух прямых

углов. Доказательство же теоремы о сумме двух смежных углов сводится

просто к замечанию, что эта сумма равна развернутому углу, уже по само-

му определению прямого угла вдвое большему прямого.

В гегелевский период возникает

понятие о бесконечно удаленной

точке

285

прямой. Сам Евклид нигде не обнаруживает такого понятия. Вра-

щающийся в области бесконечного Кестнер

" говорит о бесконечном про-

должении прямой, но вводит ие одну, а две бесконечно удаленные точки

прямой. Но кестнеровские бесконечно удаленные точки забываются други-

ми авторами.

Бесконечно удаленная точка прямой, бесконечно удаленная прямая

плоскости и бесконечно удаленная плоскость пространства - эти так назы-

ваемые необыкновенные

287

элементы

288

проективной геометрии, которые

являются в гегелевском смысле диалектическими элементами геометрии.

Две параллельные прямые не пересекаются, но, с другой точки зре-

ния,

они пересекаются в бесконечно удаленной точке, ибо основной прин-

цип теории пределов, выработанный предшествующей стадией математи-

ческой мысли, заставляет признать, что свойство пересекаемости при вра-

щении одной из прямых вокруг одной из ее точек остается и в предельном

361