Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Идеография

Херигона,

Херигон при изложении Евклида пользуется особого рода символикой.

Для ознакомления приводим доказательство 5-й теоремы I книги

"Начал" Евклида (чертеж 3).

Hypo Hi.

ab 2|2 ас

abd & асе snt

Req л demonstr

/ abc 2]2 Z acb

Z cbd 2|2 Z bee

Demonstr.

Constr.

hyp.

2j2

ac2|2ab

Z coninum.

Praep.

ad est arb itr.

3.L

l.p.l

ae2|2ad

cd&besnt-

land

4.1

Zabc2|2Zecb

Zdcb2|2Zebc

4.1

de2|2becx

Zadc2|2 Zaebp

Zacd

2|2Zabey

Cons

IT.

ad2]2ae

hyp.

ab2|2ac

la.l

bd2|2ce

ac2|2be

Zbdc2|2Zceb

2 and

3.a.l

Zacd2[2Zabe

Zacb2|2Zabc

Другой пример доказательств стереометри-

ческой теоремы. Если две пересекающиеся прямые

соответственно параллельны двум пересекающим

прямым, не лежащим с ними в одной плоскости,

то углы, ими образуемые, равны:

Черт.

332

Hypotli.

Praep.

ab = de

ac= df

Req

demonstr

^bac2|2 ,/edf

3.1

Lp.l

ab,ac]

Unt22Fea

de,dfj

ad,bc,efl

snt-

be.cfj

Demonstr.

a 33.1'

33.1

a 33.1

33.11

ab2|2cr = de

be2|2cr = ad

ac2|2a=df

cf 2|2ci=ad

Concl.

a8.i|

bc2|2a = ef

Zbac2|2Zedf

Черт. A.

Для того, чтобы разобрать этот шифр, необходимо иметь словари

символов.

+ да

-без

F е между собой

F и в

II или

71 К

; множ. число

пне

а, b, II а, b - прямоугольншс,

построенный на а и b

. есть точка

- есть прямая

о с часть круга

о сегмент круга

угол

сти

- а в квадрате

- а в кубе

= параллельны

перпендикулярно

2|2 равно

3|2 больше

2|3 меньше

д треугольнш<

J прямой угол

[J квадрат

Округ

• прямоугольншс

Словарь сокращений:

hypoth.- гипотеза... предположим, что

req. - требуется

demonstr - доказать

concl. - отсюда следует

333

цифры за чертой - ссылки на ранее доказанные теоремы

15.

а. 1 - 15-е определение I книги "Начал"

а. 1 - третья аксиома I книги

с. 17, 1 - королларий 171 книги

s. 26. 3 - королларий 26 III книги

р. 1 - первый постулат I книги

3 -1 - третья теорема I книги.

Херигон для пояснения своего идеографического языка приводит

ряд примеров.

Часть символов Херигона переводится на нашу алгебраическую

символику.

Идеография Херигона не единственная. Нам трудно привести сло-

варик Угхтреда

|8в

по техническим условиям печатания. Он дает символы

для равно, больше, меньше, не больше, не меньше, равно или меньше,

равно или больше, пропорции, большее отношение, меньшее, непрерыв-

ной пропорции, большего ближайшего, меньшего блюкайшего, ггоямоуголь-

ника, треугольника, квадрата, стороны квадрата, среднепропорциоиалыю-

го,

соизмеримых, несоизмеримых, соизмеримых и несоизмеримых в сте-

пенн'

рационального, иррационального, среднего, линии разделенной в

крайнем и среднем отношении

большей и меньшей части; к этому следу-

ет прибавить еще и алгебраическую символику.

Можно указать еще и на идеографию Болье

191

, в которой наиболее

употребительные слова означаются символами, например: найти, сделать,

построить, есть, их, что и т.д.

8. Пеано и Херигон.

На первый взгляд в этой идеографии может представиться логис-

тическая тенденция, можно увидеть в ней предтечу пасиграфин Пеано

192

Но сходство только внешнее. По существу же здесь огромная раз-

а и b 2|2 с я d

или a 7t b

тс

ница.

Возьмем ряд систем понятий.

334

Ар А,, А

...

А',, А'

, А'

,,.

Д" Д" Д"

положим, что путем некоторых операций

Р Р Р

над ними получаются системы;

в„в

,в

...

в\,в'

,в'

...

В"„ В"

, В",...

отсюда операциями: Q,, Q

, Q

...

получаются:

с„ с„ С,...

с,, с,, с,...

С",С"

с,...

Если с формальной точки зрения системы отождествляются, те при-

знаки, которыми эти системы различаются, являются логически не дей-

ствующими. Для всех них устанавливается одна и та же система символов.

Так Пеано одним и тем же символом г> обозначает и вывод и от-

несение к классу класса.

"а гз о" означает "из а вытекает Ь," если a, b - предложения, и

означает "а есть Ь" если а и b - два класса.

а =э b. b => с:

а => с

можно понимать

так:

"если из а вытекает

Ь,

из b вытекает с, то из а вытека-

ет с", или ясе, "если а. есть b, b есть с, то а есть с".

То же относится и к п, и п- знакам логического умножения и

сложения, словесно выражаемым "и" и "или".

В логике предложений anb-совместное утверждение двух поло-

жений: стороны равны и углы равны; в логике классов aub- класс,

входящий в а и Ь, например, "старый немец", т.е. из класса а стариков

взяты все принадлеясащие ныне к классу немцев.

В логике предложений a u b - утверждение одного из положений:

А равно А, или А меньше В. В логике классов aub-класс, составленный

из а и Ь, например, aub выбывшие из строя, если а - убитые, b - ране-

ные.

В этой символике нетрудно прочесть положения:

-3x + 2=0:

:x = 2ux = 3

(х - 1)- + (у - 2)

= 0. п х. у. zi real: э:х=1пу = 2

первое: если х

- Зх + 2 = 0, то х = 2 или х = 3;

второе: если (х - I)

+ (у - 2)

= 0 и х, у суть величины, то

х = 1 и у = 2 ("то" и "суть" означены одним символом).

Таким образом, проблема символики с современной точки зрения

относится к операциям, которые с помощью нее должны быть ясно пред-

335

ставлены разложенными на простейшие элементарные операции, сводя-

щиеся, по мнению логистиков, к чисто логическим.

С точки зрения рационалистов XVII века все упомянутые системы

должны означаться различными символами, именно для того, чтобы ие

было между ними смешения, чтобы исправить недостатки словесного язы-

ка, грешащие против II и III паскалевых правил. Именно с той целью и

создается новый язык символов, в котором между знаками и понятиями

строго определяется взаимно-однозначное соответствие.

Это не только сокращенные словесные выражения, это - замена

неточного словесного выражения точной символикой.

В выражении "продолжим ab" есть неточность, так как продол-

жить можно, идя и по прямой, и по кривой; если бы bd была дугой круга,

то все-таки можно было бы bd считать продолжением, хотя, правда, кри-

волинейным и т.д.

То же относится и к обозначению

a, b II a, b - прямоугольник, построенный на а, Ь.

Вне сомнения, в этот символ мы имеем вложить то, что может быть

выражено в словах только с помощью длинного периода.

Выражение: "прямоугольник, построенный на а, Ь" - не говорит,

конечно, всего, что следует сказать. Ведь следует для полноты указать, как

следует строить этот прямоугольник.

Положим, что кто-нибудь строит прямоугольник так, что а являет-

ся его диагональю, ah- основанием; он будет употреблять то же выраже-

ние - прямоугольншс, построенный на а и Ь, отличая его от прямоугольни-

ка, построенного на с, d.

С указанной выше формализацией математики символизм опера-

ций подвергается соответствующему упрощению, так как символ начинает

определяться больше механизмом формальных операций и меньше объек-

тами,

над которыми производятся эти операции.

Раньше введения понятия об иррациональном числе и установки

взаимно-однозначного соответствия между числами и геометрическими

величинами была усмотрена система общих законов, соответствующих фор-

мальиым операциям над числами и отношениями, что и вызвало взгляд на

Отношение как на число.

Сперва равенство отношения означается символом "::", так что про-

порция пишется так:

а : b :: с : d (Ухтред),

д с

а равенство дробей так:

—

= —.

b d

В дальнейшем один и тот же символ "=" стал фигурировать в обо-

их случаях (у X. Вольфа).

Херигон предлагает обозначать отношение так:

336

а тс

тс

но чаще употребляет другое: а тс b 2|2 с тс d, в котором 2|2 с точки

зрения его современников можно было бы опротестовать, но "а л Ь" еще

отнюдь не тождественно дроби

§9. Определение у Лейбница.

Аксиоматика Лейбница уже несколько иная. Дальнейший за ним этап, это

математика без аксиом. Необходимо было старой аксиоматике умереть,

чтобы на ее месте родилась новая аксиоматика.

У Лейбница схоластическая проблема о разыскании истинного пра-

вильного определения заменяется проблемой о разыскании совершенного

определения.

Проблему эту он формулирует так:

Предполагается определение всех свойств, по Лейбницу

—

терми-

нов,

заданным - найти лучшее определение

193

В чем же состоит совершенное определение? Оно должно содер-

жать все условия, необходимые и достаточные, чтобы быть в состоянии

доказать все свойства определяемого объекта. Одну и ту же вещь можно

определить различными системами признаков:

Ь„ Ь

, b

Какие же требования следует предъявлять

системе признаков, что-

бы признать к ним относящиеся определения совершенными!

* Пусть п

присуще свойство к. Необходимо, чтобы это свойство могло быть выведе-

но из этой системы признаков. Система признаков а может однозначно

определять Q, так что, задав а, мы всегда найдем Q., но а сами могут

быть выведены из системы k

, к,, Ц..., (суда входит к.

"' Лейбниц признает единственность такого совершенного опреде-

ления. Для вывода всех свойств необходимо иметь одну только систему

совершенных признаков; всякая другая система должна оказаться недо-

статочной при выводе какого-либо из свойств.

Лейбниц верит, что с помощью особого рода, анализа можно вскрыть

это совершенное определение. Во взглядах Лейбница в особенности инте-

ресным представляется идея о возможности таких случаев, при которых

такой анализ оказывается бесконечным, н ряд определяющих признаков

а,, а,, а

., тоже бесконечным.

337

Лейбниц определенно говорит, что анализ истины может быть ко-

нечным и бесконечным. Если он конечен, то он приводит к нескольким

простым положениям, из которых они выводятся; если он бесконечен, то

он ведет от положения к положению, не приводя к принципу по истине

простому.

Лейбниц в первую очередь при научном значении выдвигает ана-

лиз - разложение понятий на их простые элементы с помощью определе-

ния;

во вторую очередь - синтез, состоящий в реконструировании понятий,

исходящий из этих элементов с помощью искусства комбинирования.

Познание вещи совершенно, если совершенным образом произве-

ден ее анализ, и тогда уже возможно дедукцией вывести все ее свойства.

"Признак совершенного знания, - говорит Лейбниц, - это когда

ничего не остается в нем такого, чему нельзя было бы выдвинуть основа-

ния,

и иет явления, которого нельзя было бы наперед указать"

195

Доказательство представляется Лейбницу комбинированием про-

стых элементов.

Лейбниц порой думает, что совершенное определение является раз-

ложением на последние простейшие элементы, дальше уже неразложимые.

Такое разложение вместе с тем дает и оправдание определения,

обнаруживая возможность существования определенного объекта, так как

простые элементы являются уже безусловно совместными, как диспарат-

ные. Чтобы убедиться в непротиворечивости, следует только разложить на

простые элементы.

§10. Аксиоматика Лейбница.

По Декарту, очевидные положения недоказуемы. По Лейбницу, очевидные

положения можно доказывать и он, действительно, доказывает совершенно

очевидные положения.

Так, он доказывает вторую аксиому "Начал" Евклида, что если к

равным величинам прибавить равные, то получатся равные, а также акси-

ому, что часть меньше целого.

Кроме того, он доказывает очевидные положения чисто логичес-

кого характера, и в этом смысле кладет начало математической логике. Он

пытается даже доказать, что если а есть b, b есть с, то а есть с.

Он приходит к мысли о доказуемости и других очевидных поло-

жений сведением их к законам тождества и противоречия, признаком

истинности которых, по мнению Лейбница, является вовсе не их очевид-

ность, а полная невозможность без них логических операций. Можно, строя

металогику, показать, насколько эта мысль неправильна. Можно привести

в движение аппарат, который по своей конструкции вполне аналогичен

формально-логическому аппарату и отличается только тем, что под ним

нет такого субстрата, который мы могли бы признать реальным.

338

Лейбницу кажется, что и сама очевидность является только след-

ствием простоты ее доказуемости, близости этого положения к началу ло-

гической сети, узлами которой являются только эти основные законы и

определения.

"Откуда, - спрашивает Лейниц, - эта достоверность аксиом? Она

не может идти из опыта, ибо индукция не может проверить универсаль-

ность и необходимость положений. Необходимо, чтобы она основывалась

на принципе тождества и противоречия. Все положения должны быть до-

казуемы, кроме тождественных и эмпирических"

196

Лейбниц заявляет, что чтобы узнать, следует ли доказывать поло-

жение, не следует спрашивать, очевидно ли оно и несомненно, даже и то,

постигается ли оно ясно и раздельно (claireinent et distinctenient)j но тож-

дественно ли оно или сводится ли к принципу тождества.

"Из определения, - говорит Лейбниц, - можно все доказать, кроме

тождеств положений, которые уже по самой своей природе представляют-

ся недоказуемыми, и поэтому называются аксиомами: обычно аксиомы

разрешением объекта, или предиката, или обоих вместе сводятся к тожде-

ственным или доказуются тем, что противные предполагают, что вместе то

же и есть, и не есть"

197

Отсюда ясно, что оно приводит в конечном анализе к апагогичес-

ким доказательствам, и что некоторые схоластики были правы, сводя все

аксиомы к принятому противоречию.

Здесь следует отметить, что Лейбниц ничего не говорит о принци-

пе исключенного третьего, на котором основывается апагогическое дока-

зательство, и отсюда можно было бы сделать заключение, что Лейбниц

верил в возможность доказательств исключительно прямых.

Но более глубокий анализ его аксиомы противоречия разделяет ее

на четыре момента, причем последние два дают аксиому исключением тре-

тьего.

а не есть не а

2°

не а не есть а

3° то, что не есть а, есть не а .

4° то, что не есть не а, есть и

По Лейбницу, правила управления разумом должны сводиться толь-

ко к двум:

Ut nulla vox admittilur non explicate, - чтобы ни одно слово не

допускалось без объяснения;

Ut nulla propositio nisi probata - чтобы ни одно положение [не

оставалось] без доказательства.

Он считает их более действительными, чем четыре картезианских

правила в "Первой философии",

199

из которых первое, состоящее в том,

что верно лишь то, что ясно и раздельно воспринимается, - тысячи раз

вводило в заблуждение.

339

Впрочем, Лейбниц дает и другие правила, критикуя более подроб-

но правила Декарта.

Очень характерным является его предложение в противовес декар-

товскому второму правилу: изучать только таите вещи, о которых мы мо-

жем составить только определенное и несомненное знание; он советует, в

том случае, когда это невозможно, довольствоваться вероятным знанием.

Согласно Лейбницу, доказательства выводом из очевидных поло-

жений являются незаконченными и обладают тем же недостатком, что до-

казательства из неочевидных положений, ибо те и другие, как очевидные,

так и неочевидные, следует непосредственно или с помощью принципа

противоречий свести к положениям тождественным.

Генезис

и история теории пределов.

(XVm

век).

Проблема об ишпензировашш

форм.

Генезис идеи предела следует искать не в античном методе исчерпывания

Евклида

200

и Архимеда

201

, с которым ложно отождествлялся метод преде-

лов некоторыми математиками XVILI века

202

, а в знаменитом схоластичес-

ком споре об ишпензировашш форм.

Согласно Аристотелю и схоластикам, каждая единичная вещь со-

стоит из двух элементов: формы и материи

Аристотелевская форма - это наследница платоновской идеи

"''.

До своего соединения с формой материя имеет возможное суще-

ствование, но, соединяясь с формой, она как бы одухотворяется, приобре-

тает актуальное существование. Она мыслится Аристотелем и схоласти-

ками как пустой сосуд (при возможном существовании) и как наполненный

различным содержанием, сменяющими друг друга формами (при актуаль-

ном существовании). Здесь следует помнить, что аристотелевское возмож-

ное существование отнюдь не чисто логическая возможность. Оно нахо-

дится как бы в высшей, в сравнении с последней плоскостью существова-

ния.

То,

что представляется изменением - это только последовательное

соединение с рядом возникающих и погибающих форм.

Мы должны были бы углубиться в эволюцию схоластической мыс-

ли,

чтобы выяснить, каким образом могли возникающие и погибающие

формы Аристотеля обратиться в изменяющие формы схоластиков.

Во всяком случае, совершенно ясно, что проблема интензирования

и ремизни форм (усиления и ослабления) это средневековая проблема.

Вопрос ставился сперва о том, имеет ли место интензирование,

затем о том, как оно происходит.

Эмбрион идеи переменного находится именно здесь, в области этой

340

схоластической метафизики, это изменяющаяся форма, форма, которая,

оставаясь той же, сохраняя, так сказать, свое ядро, свою "этость", вместе с

тем изменяется, принимая различные виды (по Д. Скотту - формальнос-

ти).

Но в эмбриологии идеи переменного и предела, имеет значение не

только тот сдвиг в воззрении на формы, отмечаемый и у более ранних чем

Скотт схоластиков, но и скоттическое объяснение самого интензирования.

Относится ли изменение формы к качеству, т.е. к сущности, или же

к самому существованию

205

, так что новая ступень дает новое бытие.

Здесь, как и в других случаях, томисты и скоттисты ведут меж-

ду собой отчаянную борьбу.

Фома Аквинский учит о радикации формы, он мыслит прибавлен-

ные степени, потенциально заключенные в форме, выступающие в акту-

альное бытие при изменении формы.

Он сравнивает

206

радикацию с деревом, пускающим в землю все

более и более корней и, таким образом, закрепляющимся.

В форме, таким образом, уже в потенции заключается все то, чем

она должна стать. Это сравнение не вполне удачно, а именно потому, что

Фома признает изменение исключительно скачками, всякая изнутри выс-

тупающая новая часть - это что-то вроде современного кванта, на который

только и возможно изменение.

По Дунсу Скопу, прибавляемые части идут извне как раньше не

принадлежащие форме.

Их форма впитывает, оставаясь собой, но подымаясь к высшей сте-

пени совершенства.

Для скоттнстов прибавляемые степени - это что-то возникающее

вне формы, более простое и менее совершенное чем эти формы.

Уже и в этой весьма ранней ступени эмбрионального развития идеи

переменного мы видим ее тесно связанной с идеей предела, весьма неяс-

ные очертания которой мы можем выловить, хотя и с трудом.

Это,

во-первых, полное совершенство формы.

Это конец томистической радикации, когда все содержание формы

перешло из потенции в актуальность. Но это пока только ступень, которая

фактически недостгокима, но логически должна быть признана достижи-

мой.

Но в большую глубину ведет рассмотрение другого конца интензи-

рования. Томисты отказываются мыслить первое изменение с нуля.

Прежде, чем начать изменяться, форма должна создаться

201

, явить-

ся.

Это первый момент. Когда лее начинается интензирование?

Только в последний. Но тогда между моментом создания и этим

протекает время, когда форма остается неизменной. Обратное измене-

ние, ремизия формы, должно прекратиться, не дойдя до нуля.

Здесь открывается два пути - к актуально бесконечно малому, к

341