Методическое пособие
Подождите немного. Документ загружается.
может перевести систему из произвольного начального состояния x (0) в
любое другое заданное состояние х (Т) за конечное время Т. Если
матрица
[B AB A
2
B …A
n-1
B]
имеет себе обратную, то система управляема.
Для системы с одним входом и одним выходом вводится понятие
матрицы управляемости Р
С
, которая выражается через А и В как
Р
С
= [B AB A
2
B …A
n-1
B]
и имеет размерность n
n. Если определитель матрицы Р
С
отличен от нуля,
то система является управляемой.
Линейная стационарная система является наблюдаемой, если по
значениям выходной функции y(t) можно определить начальное состояние
х(0) за конечное время Т. Если матрица
Q = [C CA CA
2
…CA
n-2
CA
n-1
]
T
имеет себе обратную, то система наблюдаема.
Наблюдаемость связана с оценкой переменных состояния. Если каждая
переменная состояния вносит свой вклад в выходной сигнал системы, то
система может быть наблюдаемой. Это эквивалентно тому, что на модели
системы в виде графа от каждой переменной состояния существует путь к
выходной переменной.
В большинстве систем, являющихся либо неуправляемыми, либо
ненаблюдаемыми, либо то и другое, происходит сокращение нуля и полюса.
Следовательно, в результате такого сокращения модель системы имеет более
низкий порядок. Система, в которой число переменных состояния больше,
чем её минимальный порядок, будет либо неуправляемой, либо
ненаблюдаемой, либо то и другое.
Все корни характеристического уравнения можно разместить на
комплексной плоскости в заданных точках только в том случае, когда
система является наблюдаемой и управляемой.
Матрица системы с обратной связъю имеет вид
pI A BK
Желаемое характеристическое уравнение системы можно записать в
виде
D(p) = p
n
+ a
n-1
p
n-1
+ … + a
1
p + a
0
.
71
В соответствии с процедурой синтеза путём размещения полюсов
необходимо найти такую матрицу К, чтобы выполнялось равенство
det ( pI – А + ВК ) = p
n
+ a
n-1
p
n-1
+ … + a
1
p + a
0
.
Это уравнение содержит n неизвестных К
i
. Приравнивая в этом
уравнении коэффициенты при одинаковых степенях р, мы получим n
уравнений относительно n неизвестных. В дальнейшем ограничимся
системами с одним входом и одним выходом, поэтому u(t) и y(t) есть
скалярные переменные. Закон управления можно записать в виде
u(t) = – K
1
x
1
(t) – K
2
x
2
(t) – … – K
n
x
n
(t).
Отсюда видно, что сигнал, поступающий на вход объекта, представляет
собой линейную комбинацию всех переменных состояния. Следовательно, и
уравнения относительно неизвестных К
i
будут линейными.
Для систем третьего порядка желательно, чтобы характеристический
полином имел вид
(p
2
+ 2z
p +
2
) (p +
),
где
– собственная частота; ζ - декремент затухания. Это обеспечивает
быстрое нарастание переходного процесса и малое перерегулирование, если
принять z = 0,707. Собственную частоту рассчитывают по выражению
t
P
= 4/(z
) ,
где t
P
– время регулирования.
Для систем с одним входом и одним выходом матрицу коэффициентов
обратной связи по состоянию К = [ К
1
К
2
… К
n
] , с помощью которой
формируется управляющий сигнал u = – Kx, можно определить по формуле
Аккермана. Если задан желаемый характеристический полином замкнутой
системы
q(p) = p
n
+
a
1
p
n-1
+ … +
a
n
,
то матрица коэффициентов обратной связи по состоянию
1
00...1
C
K P q A
,
где q(A) = A
n
+
a
1
A
n-1
+ … +
a
n-1
A +
a
n
I.
Рассмотрим систему, представленную на рис. 2.
72
Рис. 2
В качестве переменных состояния выбираем угловую скорость
, ток
якоря i и напряжение на выходе тиристорного преобразователя u,. Тогда
уравнения в переменных состояния можно представить в виде:
d
/dt = (кФ/J) i
di /dt = (–кФ/ L
Я
)
+ (– R
Я
/ L
Я
) i + ( 1 / L
Я
) u ;
du /dt = (–1/ T
П
) u + (K
П
/ T
П
) U
У
;
Отсюда следует, что матрицы
П
П
П
ЯЯ
Я
Я
Т
к
B
Т
LL
R
L
кФ
J
кФ
A 0
0
;
1
00
1
00
.
Пусть К
П
= 23; кФ = с = 1,36; J = 1,3 ; R
Я
= 0,116 Ом;
Т
Я
= 0,06 с ; Т
П
= 0,01 с; Т
М
= 0,0815 с; L
Я
= 0, 00696 Гн;
желаемый характеристический полином
q(p)= p
3
+ 84,9p
2
+3230p +45280
Тогда
2300
0
0
;
10000
678.143667.16402.195
0046.10
BA
.
Все остальные вычисления необходимо выполнить в MATLAB.
>> A=[0 1.046 0;-195.402 -16.667 143.678;0 0 -100]
A =
73
0 1.0460 0
-195.4020 -16.6670 143.6780
0 0 -100.0000
>> B=[0;0;2300]
B =
0
0
2300
>> Pc=[B A*B A*A*B]
Pc =
1.0e+007 *
0 0 0.0346
0 0.0330 -3.8554
0.0002 -0.0230 2.3000
>> det(Pc)
ans =
-2.6272e+014
>> Pci=inv(Pc)
Pci =
0.0048 0.0003 0.0004
0.0003 0.0000 0
0.0000 0 0
>> I=eye(3)
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
>> q=A*A*A+84.9*A*A+3230*A+45280*I
q =
74
1.0e+005 *
0.3133 0.0198 -0.0477
-3.6899 -0.0014 7.2774
0 0 -4.2872
>> K=[0 0 1]*Pci*q
K =
0.0906 0.0057 -0.0138
Структурные схемы математических моделей двигателя и системы
автоматического управления с обратными связями представлены на рис. 3.
Рис. 3
1. Собрать структурную схему двигателя (рис. 2, 3) в MATLAB,
проверить её работу и откорректировать математическую модель двигателя в
соответствии с данными варианта. Снять переходную характеристику
прямого пуска двигателя в MATLAB. Данные для моделирования приведены
в таблице 1.
Электромеханическую постоянную рассчитать по формуле
2
*
С
RJ
T
Я
M
.
Таблица 1.
75
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Тп, c 0,01
Кп 23 46 23 46 23 46 23 46 23 46
Lя,мГн 6,9 7,4 8,2 7,1 7,7 7,9 8,0 6,5 6,8 8,4
Rя, Ом 0,11 0,14 0,13 0,12 0,16 0,19 0,22 0,18 0,21 0,20
С, В*с 1,3 1,2 1,4 1,34 1,36 1,18 1,45 1,54 1,61 1,65
J,кг*м
2
2,0 2,2 2,5 1,4 1,9 2,8 1,7 1,5 2,1 2,3
2. Для системы (рис. 3) рассчитать коэффициенты обратных связей и
выполнить моделирование в MATLAB. Определить время регулирования и
перерегулирование. Расчётное время переходного процесса t
P
принять
равным (4 - 8)Т
П
. Сравнить переходные процессы при изменении задания и
нагрузки с прямым пуском двигателя.
3. Если к системе предъявляется требование астатизма как по
постоянному входному сигналу, так и по нагрузке, то этого можно добиться
только с помощью ПИ – регулятора (рис. 4), при этом порядок n системы
увеличивается на единицу.
Рис. 4
Синтез регулятора осуществим также методом размещения полюсов.
Задачу целесообразно решать при наличии единичной обратной связи по
скорости.
Уравнения состояния и входной сигнал объекта
dx / dt = Ax + Bu;
y = Cx = [1 0 0 0] x
1
;
u = –Kx – K
4
x
4
;
dx
4
/dt = x
1
– U,
76
где x
4
– выходная координата интегратора ПИ – регулятора.
Данную систему уравнений можно представить в виде
dx
f
/dt = A
f
x
f
– B
f
K
f
x
f
+
1
o
U,
где
0
0
0
;;
0
;
0
4
oKKK
B
B
C
OA
A
fff
или
.
0
2300
0
0
;
0001
010000
0678.143667,16402.195
00046.10
ff
BA
Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение
4 3 2
3 2 1 0
0
f f f
pI A B K p a p a p a p a
Желаемое характеристическое уравнение зададим в виде полинома
Баттерворта четвёртого порядка (время переходного процесса t
п
0, 12с):
4 3 2
174 15156 773333 19753086
Б
A р р р р
Матричный полином, образованный путём использования
коэффициентов желаемого характеристического уравнения
4 3 2
174 15156 773333 19753086
f f f f
f f
q A A A A A I
.
Программа определения коэффициентов в MATLAB
>> Af=[0 1.046 0 0;-195.402 -16.667 143.678 0;0 0 -100 0;1 0 0 0]
Af =
0 1.0460 0 0
-195.4020 -16.6670 143.6780 0
0 0 -100.0000 0
1.0000 0 0 0
>> Bf=[0;0;2300;0]
Bf =
0
0
77
2300
0
>> Pc=[Bf Af*Bf Af*Af*Bf Af*Af*Af*Bf]
Pc =
1.0e+009 *
0 0 0.0003 -0.0403
0 0.0003 -0.0386 3.8796
0.0000 -0.0002 0.0230 -2.3000
0 0 0 0.0003
>> det(Pc)
ans =
-9.0812e+019
>> Pci=inv(Pc)
Pci =
0.0048 0.0003 0.0004 0.0591
0.0003 0.0000 0 0.0054
0.0000 0 0 0.0003
0 0 0 0.0000
>> I=eye(4)
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
>> q=Af^4+174*Af^3+15156*Af^2+773333*Af+19753086*I
q =
1.0e+008 *
0.1723 0.0056 0.0099 0
78
-1.0467 0.0830 -0.1780 0
0 0 0.1998 0
0.0074 0.0001 0.0001 0.1975
>> K=[0 0 0 1]*Pci*q
K =
2.1442 0.0373 0.0249 57.1459
Структурная схема системы управления с ПИ-регулятором
представлена на рис. 5.
Рис. 5
Результаты расчётов были проверены в системе MATLAB 6.5 +
Simulink 4 (рис. 6).
79
Время, с
Рис. 5
Рис. 13.8. 1 – прямой пуск; 2 – с обратными связями; 3 – с ПИ –
регулятором
80