Медведев А.В. и др. Математический практикум. І курс: Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
181
Ряд
)(
1
xu
n
n
∑
∞
=
называется функциональным, если его члены являются функ-
циями от x. Совокупность всех значений х, при которых этот ряд сходится,
называется его областью сходимости. В области сходимости сумма функцио-
нального ряда S(x) есть функция от х.
Степенные ряды.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
...)(...)()()()(
0
2
020100
00
+−++−+−+=−=
∑∑
∞
=
∞
=
n
n
n
n
n
n
n
xxaxxaxxaaxxaxu (5)
где a
n
(n = 0, 1, …) - числа, называемые коэффициентами ряда. При
x
0
=0 ряд принимает вид
......)(
2
210
00
+++++==
∑∑
∞
=
∞
=
n
n
n
n
n
n
n
xaxaxaaxaxu
.( 6 ).
Область сходимости степенного ряда (6) есть симметричный
относительно начала координат интервал (-R, R), называемый интервалом
сходимости ряда (6). Число R (0 ≤ R < +∞) называется радиусом сходимости
ряда (6).
Радиус сходимости может быть вычислен по формулам
1
lim
+
∞→
=
n
n
n
a
a
R
(7)
или
n
n
n
a
R
1
lim
∞→
=
. (8)
Степенной ряд (6) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне
интервала сходимости ряд (6) расходится. Степенной ряд (5) сходится абсо-
лютно на интервале (x
0
-R; x
0
+R). При
Rx
±
=
ряд (6) ( при
Rx ±=
0
x
ряд (5))
может расходится, сходится условно или сходится абсолютно.
182
Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда есть непрерывная
функция. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости,
то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.
Пример 9.
Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ря-
да
∑
∞
=1
2
n
nn
n
x
. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.
Имеем
n
a
n
n
2
=
,
1
2
1
1
+
=
+
+
n
a
n
n
, тогда, используя формулу (7), найдём радиус
сходимости 1
2
11
lim
2
1
2
)1(2
lim
1
<=
+
=
+
=
∞→
+
∞→
n
n
n
n
R
n
n
n
n
.
Таким образом, ряд сходится абсолютно внутри интервала
−
2
1
;
2
1
и рас-
ходится вне этого интервала.
При
2
1
=x
ряд принимает вид
∑∑
∞
=
∞
=
=
11
1
2
2
nn
n
n
nn
. Это гармонический ряд,
известно, что он расходится.
При
2
1
−=x
ряд принимает вид
∑∑
∞
=
∞
=
−
=
−
11
)1(
2
)1(2
n
n
n
n
nn
nn
. Это ряд Лейбница, он
сходится условно.
Следовательно, область сходимости данного ряда
−
2
1
;
2
1
.
Ряд Тейлора.
Пусть функция f (x) имеет в некоторой окрестности точки x
0
производные
до (n+1)-го порядка включительно. Тогда для любого x из указанной окрест-
ности имеет место формула Тейлора
)()(
!
)(
...)(
!
2
)(
)(
!
1
)(
)x()(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
fxf
n
n
+−++−
′′
+−
′
+=
,
183
где R
n
(x)- остаточный член, который может быть записан в форме Лагранжа
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)(
+
+
−
+
=
n
n
n
xx
n
f
xR
ξ
,
(
)
0
;
xx∈
ξ
или
(
)
xx
;
0
∈
ξ
.
Если функция f (x) имеет производные всех порядков, ограниченные в
совокупности в окрестности точки x
0
или выполняется условие
0)(lim
=
∞→
xR
n
n
,
то в указанной окрестности функцию можно представить в виде степенного
ряда
...)(
!
)(
...)(
!
2
)(
)(
!
1
)(
)x()(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
+−++−
′′
+−
′
+=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
fxf
.
Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции
В случае x
0
= 0 ряд Тейлора принимает вид
...
!
)0(
...
!
2
)0(
!
1
)0(
)0()(
)(
+++
′′
+
′
+=
n
n
x
n
f
x
f
x
f
fxf
Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.
При разложении функций в степенные ряды часто используются
разложения в ряд Маклорена следующих функций:
...
)!1(
...
!3!2!1
1
132
+
−
++++=
−
n
xxxx
e
n
x
,
(
)
∞∞−∈ ;x
;
...
)!12(
)1(...
!5!3!1
sin
12
1
53
+
−
−++−=
−
−
n
xxxx
x
n
n
,
(
)
∞∞−∈ ;x
;
[ ]
...
!)1(2
)1(...
!6!4!2
1cos
)1(2
1
642
+
−
−+−+−=
−
−
n
xxxx
x
n
n
,
(
)
∞∞−∈ ;x
;
...)1(...
4
3
2
)1ln(
1
432
+−++−+−=+
−
n
xxxx
xx
n
n
,
(
)
1;1−∈x
;
...
1
2
)1(...
7
5
3
)1ln(
12
1
753
+
−
−++−+−=+
−
−
n
xxxx
xx
n
n
;
(
)
1;1−∈x
.
Пример 10.
Разложить в ряд по степеням х функцию
x
xf
2)(
=
.
Найдем значения функции и ее производных в точке x
0
= 0:
,12)0(,2)(
0
=== fxf
x
,2ln)0(,2ln2)(
=
′
=
′
fxf
x
184
,2ln)0(,2ln2)(
22
=
′
′
=
′
′
fxf
x
…………………………………………………
2ln)0(,2ln2)(
)()( nnnxn
fxf ==
.
Находим остаточный член
1
1
)!1(
2ln2
)(
+
+
+
=
n
n
n
x
n
xR
ξ
. Так как при любом x
0
)!1(
lim
1
=
+
+
∞→
n
x
n
n
, а
12ln0
<
<
, то
0)(lim =
∞→
xR
n
n
. Следовательно, функцию можно
представить в виде ряда Маклорена:
...
!
2ln
...
!
3
2ln
!
2
2ln
!
1
ln
1)(
3
3
2
2
+++++=
n
n
x
n
xxx
x
xf
,
(
)
∞∞−∈ ;x
.
Ряды Фурье
Рядом Фурье функции
)(xf
, определённой на отрезке
];[
π
π
−
, называется
ряд
( )
∑
∞
=
++
1
0
sincos
2
n
nn
nxbnxa
a
,
коэффициенты которого определяются по формулам:
∫
−
=
π
π
π
dxxfa )(
1
0
,
∫
−
=
π
π
π
nxdxxfa
n
cos)(
1
,
∫
−
=
π
π
π
nxdxxfb
n
sin)(
1
.
Теорема Дирихле. Если функция f(x) на отрезке
];[
π
π
−
имеет конечное
число экстремумов и является непрерывной, за исключением, быть может,
конечного числа точек разрыва первого рода (эти условия называются усло-
виями Дирихле), то её ряд Фурье сходится во всех точках отрезка
];[
π
π
−
.
Если S(x) - сумма ряда Фурье функции f(x), то во всех точках непре-
рывности этой функции S(x)=f(x), а во всех точках x=x
0
разрыва первого
рода
[ ]
)0()0(
2
1
)(
000
++−= xfxfxS
. На концах промежутка т. е. при
π
±
=
x
функция имеет значение
[ ]
)0()0(
2
1
)(
−++−=
ππ
ffxS
.
Сумма ряда Фурье есть периодическая функция с периодом 2
π
.
Если функция
)(
xf
задана на промежутке
];[
ll
−
и удовлетворяет на нем ус-
ловиям Дирихле, то указанная функция может быть представлена в виде
суммы ряда Фурье:
185
∑
∞
=
++=
1
0
sincos
2
)(
n
nn
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
ππ
, где (5)
∫
−
=
l
l
dxxf
l
a )(
1
0
,
∫
−
=
l
l
n
dx
l
xn
xf
l
a
π
cos)(
1
,
∫
−
=
l
l
n
dx
l
xn
xf
l
b
π
sin)(
1
.
В случае, когда
f(x)-
четная функция, ее ряд Фурье содержит только коси-
нусы, т.е.
l
xn
a
a
xf
n
n
π
cos
2
)(
1
0
∑
∞
=
+=
,
где
∫
=
l
n
dx
l
xn
xf
l
a
0
cos)(
2
π
.
В случае, когда
f(x
)- нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только си-
нусы, т.е.
l
xn
bxf
n
n
π
sin)(
1
∑
∞
=
=
,
где
∫
=
l
n
dx
l
xn
xf
l
b
0
sin)(
2
π
.
Пример 11.
Разложить в ряд Фурье на отрезке [-2‚ 2] функцию f(x)=x.
Эта функция на заданном отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, так как
непрерывна и монотонно возрастает. В силу нечетности функции
ее ряд Фу-
рье имеет вид
2
sin)(
1
xn
bxf
n
n
π
∑
∞
=
=
,
где
=+−=
−==
==
==
∫∫
2
0
2
0
2
0
2
cos
2
2
cos
2
2
cos
2
,
2
sin,
2
sin
2
2
dx
xn
n
xn
n
x
xn
n
vdxdu
dx
xn
dvxu
dx
xn
xb
n
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
n
xn
n
n
n
n
4
)1(
2
sin
)(
4
cos
4
1
2
0
2
+
−=+−=
. Таким образом
186
2
sin
)1(4
)(
1
1
xn
n
xf
n
n
π
π
+
∞
=
−
=
∑
.
Задачи для самостоятельного решения.
Числовые ряды.
Найти сумму числового ряда:
1.
1
2
1
4
1
2
+ + + +
K K
n
.
2.
5
6
13
36
2 3
6
+ + +
+
+
K K
n n
n
.
3.
1
1 2
1
2 3
1
1
⋅
+
⋅
+ +
⋅ +
+
K K
n n
( )
.
4.
1
1 3
1
3 5
1
2 1 2 1
⋅
+
⋅
+ +
− ⋅ +
+
K K
( ) ( )
n n
.
5.
1
1 2 3
1
2 3 4
1
1 2
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
+ +
⋅ + ⋅ +
+
K K
n n n
( ) ( )
.
Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости рядов:
6.
2 1
3 2
2
2
1
n
n
n
+
−
=
∞
∑
.
7.
n
n
n
+
+
=
∞
∑
1
2 1
1
.
8.
1
10 1
1
n
n
+
=
∞
∑
.
9.
2 1
3
3
1
n
n
n
−
+
=
∞
∑
.
10. ( )
n n
n
+ −
=
∞
∑
1
1
.
Используя признак сравнения, исследовать сходимость числовых рядов:
11.
1
3
2
1
n
n
+
=
∞
∑
.
12.
1
1
3
1
n
n
−
=
∞
∑
.
13.
1
1
2
1
+
+
=
∞
∑
n
n
n
.
14.
1
4 5
2
1
n n
n
− +
=
∞
∑
.
15. sin
π
2
1
n
n
=
∞
∑
.
16.
tg
n
n
π
4
1
=
∞
∑
.
17.
1
1
1
ln( )
n
n
+
=
∞
∑
.
18.
ln
n
n
n
5
4
1
=
∞
∑
.
19. ( )
n n
n
− −
=
∞
∑
1
1
.
20.
1
1 1
1
n
n n
n
( )
+ − −
=
∞
∑
.
Исследовать сходимость данных рядов с помощью признака Даламбера:
21.
2 1
2
1
n
n
n
−
=
∞
∑
.
22.
n
n
n
2
1
3
=
∞
∑
.
23.
n
n
n
2
1
1
1
5
+
+
=
∞
∑
.
24.
3
1
n
n
n!
=
∞
∑
.
25.
n
n
n
( )!
+
=
∞
∑
1
1
.
26.
( )!
!
n
n
n
n
+
⋅
=
∞
∑
1
2
1
.
27.
( )!
n
n
n
n
+
=
∞
∑
1
1
.
28.
n tg
n
n
⋅
+
=
∞
∑
π
2
1
1
.
29.
n
n
n
2
1
2
⋅
=
∞
∑
sin
π
.
30.
( )!3 2
10
2
1
n
n
n
n
+
⋅
=
∞
∑
.
Исследовать сходимость данных рядов с помощью радикального признака
Коши:
187
31.
n
n
n
n
2 1
1
+
=
∞
∑
.
32.
n
n
n
n
+
=
∞
∑
1
1
2
.
33.
1
1
1
ln ( )
n
n
n +
=
∞
∑
.
34. arcsin
n
n
n
1
1
=
∞
∑
.
35.
n
n
n
n
3
2
(ln )
=
∞
∑
.
36.
n arctg
n
n
n
3
1
3
π
=
∞
∑
.
37.
2 1
3 2
1
2
n
n
n
n
+
−
=
∞
∑
.
38.
n
n
n
n
+
=
∞
∑
1
1
2
.
39.
n
n
n
n
n
+
⋅
=
∞
∑
1 1
2
1
2
.
40.
n
n
n
n
⋅
+
=
∞
∑
3
5
2
1
.
Исследовать сходимость данных рядов с помощью интегрального признака
Коши:
41.
1
2
2
n n
n
ln
=
∞
∑
.
42.
1
2 1 2
1
( ) ln( )
n n
n
−
=
∞
∑
.
43.
1
2 3
5
( ) ln( )
n n
n
− −
=
∞
∑
.
44.
1 1
1
2
n
n
n
n
ln
+
−
=
∞
∑
.
45.
1
1
2
1
2
+
+
=
∞
∑
n
n
n
.
Исследовать сходимость данных рядов:
46.
( )−
+
=
∞
∑
1
1
1
n
n
n
.
47.
( )
ln( )
−
+
+
=
∞
∑
1
1
1
1
n
n
n
.
48.
( ) ( )
ln( )
− +
+
=
∞
∑
1 3
4
1
n
n
n
n
.
49.
( )−
⋅
+
=
∞
∑
1
2
1
1
n
n
n
n
.
50.
( )− ⋅
−
+
=
∞
∑
1
2 1
1
1
n
n
n
n
.
51.
( )
ln( )
−
=
∞
∑
1
2
1
n
n
n n
.
52. ( ) cos
−
=
∞
∑
1
6
1
n
n
n
π
.
53.
( )
( )
−
+ ⋅
−
+
=
∞
∑
1
2 1 2
1
2 1
1
n
n
n
n
.
54.
( )
ln
−
−
=
∞
∑
1
1
n
n
n n
.
55.
( )
!
−
+
=
∞
∑
1 2
1
1
2
n n
n
n
.
Функциональные ряды.
Определить области сходимости рядов:
56. ln ( )
n
n
x
=
∞
∑
1
.
57.
1
1
1
+
=
∞
∑
x
n
n
.
58.
sin
nx
n
n
2
1
=
∞
∑
.
59.
x tg
x
n
n
n
2
1
=
∞
∑
.
60.
1
3
1
1
1
( )
n
x
x
n
n
+
+
−
=
∞
∑
Степенные ряды.
Найти интервалы сходимости степенных рядов. Исследовать сходимость ря-
дов на концах интервала сходимости.
61.
x
n
n
n
n
⋅
=
∞
∑
5
1
. 62.
( )−
+
=
∞
∑
1
1
1
n
n
n
x
n
.
63.
( )
x
n
n
n
+
=
∞
∑
1
3
1
.
188
64.
( )
( )
x
n
n
n
n
−
+
=
∞
∑
1
2 1
2
1
.
65.
( )
x
n
n
n
+
−
=
∞
∑
4
2
4
3
2
.
66.
n
n
x
n
n
!
=
∞
∑
1
.
67.
tg x
n
n
n
1
3
5
1
=
∞
∑
⋅ +
( ) .
68.
( )( )
!
n x
n
n
n
2
1
1 2+ −
=
∞
∑
.
69.
n
n
x
n
n
5
1
2 1
1
5
( )!
( )
+
+
=
∞
+
∑
.
70.
4 1
2
1
n n
n
x
n
( )
+
=
∞
∑
.
Разложить функцию
y f x
=
( )
в ряд Тейлора в окрестности точки
x
0
.
71.
f x x
( ) sin
=
2
,
x
0
=
π
.
72.
f x x
( ) ln
=
,
x
0
1
=
.
73.
f x
x
( )
=
1
,
x
0
2
=
.
74.
f x x( ) = −3
3
, x
0
0
=
.
75.
f x
x
( ) sin=
π
4
, x
0
2
=
.
76.
f x
x
( ) =
+
1
1
2
3
, x
0
0
=
.
77.
f x shx
e e
x x
( ) = =
−
−
2
, x
0
0
=
.
78. f x x e
x
( ) =
2
, x
0
0
=
.
79. f x x( ) cos( )
=
+
π
, x
0
0
=
.
80. f x e x
x
( ) sin= , x
0
0
=
.
Ряды Фурье.
Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах.
81.
Функцию
f x x( )
=
π
в интервале
(
;
)
0
π
в ряд синусов.
82.
Функцию
f x x( )
=
−
π
в интервале
(
;
)
0
π
в ряд синусов.
83.
Функцию
f x x( ) =
2
в интервале
(
;
)
0
π
в ряд косинусов.
84.
Функцию
f x x( )
=
−
2
в интервале
(
;
)
0
2
в ряд косинусов.
85.
Функцию
f x x( ) =
в интервале
(
;
)
−
2
2
в ряд синусов.
86.
Функцию
f x
x npu x
npu x
( )
, ,
, .
=
− ≤ <
≤ <
2 0
0 0
π
π
в интервале
(
;
)
−
π
π
.
87.
Функцию
f x
x npu x
npu x
( )
, ,
, .
=
− − ≤ ≤
< <
π
π
0
0 2
в интервале
(
;
)
−
π
π
.
88.
Функцию
f x
x npu x
npu x
( )
, ,
, .
=
+ − < ≤
< ≤
1 1 0
0 0 1
в интервале
(
;
)
−
1
1
.
89.
Функцию
f x
x npu x
x npu x
( )
( ), ,
( ), .
=
− + − ≤ ≤
− − < <
2 2 0
2 0 2
в интервале
(
;
)
−
2
2
.
90.
Функцию
f x
x npu x
x
npu x
( )
, ,
, .
=
− − ≤ <
≤ <
π
π
π
0
0
2
в интервале
(
;
)
−
π
π
.
189
ЛИТЕРАТУРА.
Беклемишев,Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
Д.В.Беклемишев. – М.: Высшая школа, 1998. – 320 с.
Бугров,Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и анали-
тической геометрии / Я.С.Бугров, С.М.Никольский. – М.: Наука, 1980. – 176с.
(- М.: Наука, 1984; Дрофа, 2006)
Бугров,Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. /
Я.С.Бугров, С.М.Никольский. – М.: Наука, 1988 (Дрофа, 2007).
Бугров,Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
ФКП. / Я.С.Бугров, С.М.Никольский. – М.: Наука, 1985 (Дрофа, 2005).
Ильин,В.А. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. / В.А.Ильин,
Э.Г.Позняк - М.: Физматлит, 2007.
Ильин,В.А. Линейная алгебра: Учебник для вузов. / В.А.Ильин,
Э.Г.Позняк - М.: Физматлит, 2007.
Каплан,И.А. Практикум по высшей математике: в 2 т.учебное пособие /
И.А. Каплан, В.И. Пустынников : под общ. ред. проф. В.И. Пустынникова. –
6-е изд., испр. и доп. -М.: Эксмо, 2006. – Т.1 - 576 с.; Т.2 – 512с. – (Образова-
тельный стандарт XXI).
Курош,А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. – М.: Наука, 1968. – 432
с.
Лунгу,Н.К. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / Н.К.Лунгу,
Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко.– М.: Айрис-пресс, 2003.- 576
с.: ил. – (Высшее образование).
Лунгу,Н.К. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. Под ред. С.Н.
Федина. / Н.К.Лунгу, В.П.Норин, Д.Т.Письменный, Ю.А.Шевченко. – М.:
Айрис-пресс, 2004.- 592 с.: ил. – (Высшее образование).
Мальцев,А.И. Основы линейной алгебры / А.И.Мальцев. – М.: Наука,
1970. – 400 с.
Пискунов,Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,2.
Привалов,И.И. Аналитическая геометрия. / И.И.Привалов. М.: Наука,
1966. - 272 с.
190
Рублев, А.Н. Линейная алгебра / А.Н.Рублев. – М.: Высшая школа, 1968.
– 384 с.
Рябушко,А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике:
Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 1 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е.
Юруть; Под общей редакцией А.П. Рябушко.- Мн.: Выш. шк., 1990. – 272 с.:
ил.
Рябушко,А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике:
Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е.
Юруть; Под общей редакцией А.П. Рябушко.- Мн.: Выш. шк., 1991. – 352 с.:
ил.
Рябушко,А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике:
Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е.
Юруть; Под общей редакцией А.П. Рябушко.- Мн.: Выш. шк., 1991. – 288 с.:
ил.
Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы
математического анализа: В 2ч./В.А. Болгов, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко
и др.; Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича.- М.: Наука, 1981. – Ч.1. – 368
с.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: Аналитическая
геометрия. Линейная алгебра. Математический анализ. Теория вероятностей.
Математическая статистика. Линейное программирование: Учебное пособие
/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002. 575 с. – (Серия «Высшее
образование»).
Смирнов,В.И. Курс высшей математики, т. 1,2./ В.И.Смирнов. - Изд-во
БХВ-Петербург, 2007.
Тышкевич,Р.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия /
Р.И.Тышкевич, А.С.Феденко. – Минск.: Вышэйшая школа, 1968. – 504 с.
Шнейдер,В.Е. Краткий курс высшей математики. Том 1 / В.Е.Шнейдер,
А.И.Слуцкий, А.С.Шумов. – М.: Высшая школа, 1978. – 384 с.
Шнейдер,В.Е. Краткий курс высшей математики. Том 2 / В.Е.Шнейдер,
А.И.Слуцкий, А.С.Шумов. – М.: Высшая школа, 1978. – 328 с.