Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов
Подождите немного. Документ загружается.
Формула (5.5.26) для N (z) получена в предположении^ что функ-
ция A (v) существует. Пусть теперь N (z) задана формулой (5.5.26),
a A (v) определяется из равенства (5.5.23). Тогда если N (г), задан-
ная формулой (5.5.26), удовлетворяет требуемым свойствам аналитич-
ности, то функция A (v), заданная формулой (5.5.23), существует и
удовлетворяет интегральному уравнению (5.5.21). Выясним вопрос о
том, является ли функция N (z) аналитичнои в плоскости с разрезом
и стремится ли она к нулю на бесконечности. Числитель (5.5.26) удов-
летворяет этим свойствам, знаменатель тоже является аналитической
функцией в плоскости с разрезом
и
стремится к константе при
|
z
\
->
оо
(с < 1). Осталось выяснить вопрос о том, обращается ли в нуль числи-
тель,
когда равен нулю знаменатель. Из определения функции Q (z)
следует, что 1 + 2n\Q (z) = О при z = ± v
0
. Учитывая (5.5.11), ви-
дим, что
_£р г уу^'
=
Гц'Фо
±
(|*')»>')^'-о.
2 J ^' ±
v
0
J
Последнее равенство следует из ортогональности с весом |х функций
Ф
0
±([х) и а|/ (fx). Значит, числитель (5.5.26) обращается в нуль при
z = ± v
0
, т. е. функция N (z) имеет требуемые свойства, функция
A (v) существует и представление (5.5.20) возможно. Теорема 5.5.2
доказана.
Таким образом, представив функцию
г|э
(\i) в виде (5.5.18), находим,
что функция
Ф
(х,
V)
=
а
0
+
Ф
0+
(fi) ехр
[—(х—x
0
)/v
0
]
+ яо-Фо-
(у>)
exp
[(х
—*o)/v
0
]
+
1
+ f i4(v)CM|i)exp[
—
(х—x
0
)/v]dv (5.5.27)
является решением однородного уравнения
(5.5.1)
и
q>
(JC
0
,
\i) =
op
(\i).
Теперь найдем элементарные решения однородного одномерного
самосопряженного уравнения
1
~р*Л^+и
=
с
f
a(*,|i')d|i'.
(5.5.28)
о
Учитывая, что функция и (х, \i) — решение уравнения (5.5.28)
—
связана с функцией ф (л:, \i) — решением уравнения (5.5.1) — соот-
ношением
и (х, |i) = [ф (х, |i) +
Ф
(*, — |г)]/2,
где 0< \i < 1, сконструируем элементарные решения (5.5.28), нор-
мированные условием
]*
и&)х
=
1.
Для этого используем найденные ре-
80
шения (ро±(*, ^)» <Pv(*> !^)> которые определены формулами (5.5.10),
(5.5.13):
UQ±(X,
[i) = V
0
(|х) exp (=F
x/v
0
)\
Uy
±
(x, fi) = V
v
((A) X
X exp
(=F
x/v)
t
(5.5.29)
где
F
0
=
^
0
2
/(v2-ji
2
);
V
v
((i) = P IcvV^-i*
1
)] + К (v) б (,i-v)
f
(5.5.30)
a vg[0, 1]. Справедлива
Теорема 5.5.3.
l
(VM^VV
(\i)d\i
= 0 при v^=v'. (5.5.31)
В самом деле, подставив *v, w
v
, выраженные формулами (5.5.29),
в уравнение (5.5.28), получим
(1 _ yVv») F
v
= с; (1 — fx
2
/(v')
2
) W = с (5.5.32)
Умножая первое уравнение на W» второе на V
v
, вычитая получен-
ные уравнения одно из другого и применяя к результату оператор
1
j...
d\i, приходим к соотношению
[w~^]i^
vVv
'
dii==
°-
(5>5
-
зз)
о
Следовательно, при v' Ф v справедливо равенство (5.5.31). Из теоре-
мы 5.5.3 вытекает
Следствие 5.5.1. Функции V
0
, V
Vy
v £ [0, 1] —
полная
в L
x
(0, 1]
система функций.
Учитывая представления (5.5.18), (5.5.27), видим, что в этом слу-
чае любая функция V (\i) £ L
x
[0, 1] может быть записана в виде
V(|i) = aV
e
(|i) + j4(v)Vv(|i)dv
f
а следовательно, функции
и± {х,
\i)
= aV
0
(|i) exp (± {x—x
0
)/v
0
) +
l
+ |Л (v) V
v
Oi)
exp
(q=
(*-*
0
)/v
0
)
d v (5.5.34)
о
являются двумя решениями уравнения (5.5.28), такими, что
и
±
(х
01
и) = V (|i).
Обсудим теперь вопрос об элементарных решениях многомерных
задач
/OV<p +
<p
= cS<p (5.5.35)
81
с постоянными /, с. Положим /= 1. В работах [121,130] найдена пол-
ная в L
2
(Q) система решений уравнения (5.5.35). Е. Берайс [258]
также исследовал вопросы нахождения решений задачи (5.5.35).
Полученные решения будут, вообще говоря, обобщенными функция-
ми,
зависящими от параметра v и вектора
со
£ й, и лишь для значений
v = ± v
0
эти функции являются обычными функциями. Некоторые
из полученных элементарных решений были известны и ранее (см., на-
пример, монографию Дэвисона [81], в которой они были названы
«странными» решениями).
Будем искать решение (5.5.35) в виде плоских волн
Ф(х, B) = (D
v
((oQ)exp(
—(ox/v),
(5.5.36)
где
со
— единичный вектор; v — числовой параметр, а Ф
ш
= <P
V
(сой)
— функция, определенная на й и зависящая от пока не определенных
параметров v, со.
Подставляя (5.5.36) в (5.5.35), получаем для O
V0)
следующее урав-
нение:
[ 1
—coflv"
1
] O
v0)
= cSOvco. (5.5.37)
Обозначив |х = <ofi и воспользовавшись формулами суммирования
на сфере (5.1.36), (5.1.37), видим, что уравнение (5.5.37) переходит в
уравнение (5.5.3) для функции <D
V
(H<), которое определяет набор функ-
ций Фо^Ы» ®v
(м>).
Повторяя рассуждения, приведенные в начале
этого параграфа, получаем следующие элементарные решения:
Фо±
(х,йсо) = Ф
0
±
(Й(о)
exp ("-F x(o/v
0
); (5.5.38)
cp
v
(х,
Йш)
= O
v
(Йсо)
exp (—xco/v) (5.5.39)
при v £ [—1, 1], где Фо±(|х),
<D
V
(\i) определяются формулами
(5.5.11),
(5.5.8), а со—произвольный единичный вектор.
Теорема 5.5.4. Для любого
фиксированного
со
S(Q'to©
v
(fl'w)(lV(Q'(o))==0 при v^v'.
Доказательство. В силу формул суммирования на сфере
и на основании теоремы 5.5.1 имеем
1
S(Q'(o0v(fl
,
(o)O
v
^fl
,
(o))=— Г |i<D
v
(|i)<lV(|i)d|*==0,
2
Л
что и доказывает теорему 5.5.4.
Теперь обсудим вопрос о полноте полученной системы функций.
Пусть функция г|) (й) представима рядом Фурье по сферическим функ-
циям
*(0)=2 S^mW- (5.5.40)
/г = 0
i
Тогда справедлива
Теорема 5.5.5. Система функций Ф
0
±(Йю), <D
v
(Qco), где v
£ [— 1, 1], <o£Q, образует полную систему функций в пространст-
82
ее функций г|э (й),
представимых
рядом Фурье (5.5.40) по
сферическим
функциям.
Доказательство. Преобразуем ряд (5.5.40), пользуясь
формулами (5.1.30)—(5.1.36):
•ф
(ft) = S
S 2c
ni
Y
ni
(Q')P
n
(Q'Q)
rc
= 0
i
■
S ^c
ni
S[Y
ni
(Q')P
n
(QQ%
м = 0
/
(5.5.41)
где P
n
(\x)
— многочлены Лежандра, a c
ni
выражаются в виде произ-
ведения коэффициентов Фурье функции я|) (й) на некоторые опреде-
ляемые формулой (5.1.36) постоянные. Из разложения функции г|э (й)
в ряд (5.5.41) следует, что мы докажем теорему 5.5.5, если покажем
возможность представления многочленов Р
п
(\i)
через функции Ф
0
± (|ы),
O
v
(|ы), где |ы = ftft\ По теореме 5.5.1 это можно сделать; теорема
5.5.5 доказана.
Учитывая разложения (5.5.18), (5.5.27), (5.5.41), заключаем, что
если функция г|) (й) представима рядом (5.5.40), то найдутся такие
функции /
х
(й), /
2
(й), А (й, v), что
яр
(й) можно представить в следую-
щем виде:
*(0)
= 5Г/
1
(Й')Фо+(йй') + /2(0')
(
1
)
о.(аЯ') +
1 1
+ J Л(0', v)<D
v
(QQ')dv
а функция
Ф(х,0)= S /
1
(Й')Фо
+
(ЙЙ
,
)ехр(-Й'(х-х
0
)Ы +
+ /
2
(Й
,
)Фо-(а^')ехр(Й'(х-х
0
)^о)-Ь
+ j* Л(Й', v)<D
v
(QQ')exp(— Q'(x—x
0
)/v)rfv|
является решением однородного уравнения, таким, что ф (х
0
, й) =
= г|) (й). Функции ft (i = 1, 2), А (й, v) определяются однозначно
при соблюдении следующего порядка вычислений: сначала функцию
tp (Й) представляют рядом (5.5.40), а затем, используя разложения
многочленов Лежандра по функциям Фо±, Фv и формулы суммирования
по сфере, определяют функции f
x
(i = 1, 2), А (Й, v).
Аналогично строится система функций, являющихся решениями
многомерного самосопряженного уравнения, полная в пространству
Функций яр (й), представимых в виде
п
= 0 /
83
Эти решения имеют
вид
н
0
± (х,
Йсо)
=
У
0
(Йю)
exp
(±
xco/v
0
);
u
v
(х,
Йв>)
=
V
v
(Йо>)
exp (—x<o/v),
где
v б [0, 1], а
У
0
(ц),
v
v
((л,) определяются формулами (5.5.30)
при
|л =
йй'. Справедливо
Следствие 5.5.2. Для любого
фиксированного
со
S((Q
/
©)
f
Vv(O
/
©)V
V
'(Q
/
©)J
=
0 при v^v'.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоре-
мы 5.5.4.
Н. И. Лалетиным [114] найдены элементарные решения для непло-
ских одномерных геометрий. Опишем способ получения этих решений.
В систему плоских элементарных решений кроме решений,
о
которых
шла речь выше, включим решения вида
<Pv*
(*,
i|>,
\i)
=
S (v — \i) exp (i/m|) — x/v)
9
тфО,
(5.5.42)
где г|? — азимутальный угол,
a
[x
=
cos Ф. Подстановкой
в
уравнение
(5.5.35) легко убедиться,
что
функции (5.5.42) удовлетворяют
ему.
Такие решения становятся необходимыми, когда
в
задаче
с
плоской
геометрией граничные условия зависят не только от угла
Ф
=
arccos
\i,
но
и
от угла t|), например
в
задаче
о
распространении
в
полупростран-
стве наклонно падающего
на
него бесконечно широкого пучка нейтро-
нов.
Обобщенные функции (5.5.13)
и
(5.5.42) удобно переписать
в
виде
00
<Pv (ж,
♦,
Ц)
= 2 -^J
1
-
р
"-
о 0»)
exp (imtj?
- ф) К
(v).
(5.5.43)
i
-, р{
т
)
i
Здесь />£,
о
(|i)
- РГ
(|А)
V(n -
т)Щп
+ т)\,
А
т
(v) =
(Р
п
(v)
[1
—cvQo
(v)]
+
cvQ„ (v) при m
=
0;
-
g
el
i^
f
o(v)
прит^О,
l
" *
}
где
P
n
(v)
и
Q
n
(v) — многочлены Лежандра
и
функция Лежандра
второго рода соответственно.
Часть неплоских элементарных решений получим, взяв линейную
комбинацию плоских элементарных решений, определенных
в
различ-
ным образом ориентированных системах координат. Эти решения имеют
вид
f А
(со) ср?
(по,
а,
йю) <fo, (5.5.45)
где
а
— угол между плоскостями, образующими которых являются
пары векторов (г,
<о)
и
(со,
й).
Здесь со—вектор единичной длины.
Удобно
в
качестве базисной системы
для
решения трехмерных
(по
пространственным координатам) задач брать такие, которые получают-
84
ся при подстановке в (5.5.45) в качестве А (<о) сферических функций
Y
n
,
h
И =
P
{
n
k)
(со
3
)
ехр (Щ) (cos I = (о
х
/ Kb
17
^!);
qC*
(г, Q) = J У„,
л
(со) ср?
(г©,
а,
Йсо)
AD.
(5.5.46)
Если геометрия задачи имеет сферическую симметрию, то потребуется
только cpvoo (г, М-) (fi = Йг/r). Подставив (5.5.43) в (5.5.45) и выполнив
интегрирование, получим
Ф?оо(г, и) = 2 <" ^^Г-
Л
«<
v
>
/n+1/
!!-
V)rV
" Л.(И). (5.5.47)
/1 = 0
/Г
Здесь //1+1/2 (*) —модифицированная функция Бесселя мнимого
аргумента полуцелого порядка. Для двумерных задач удобно взять
Л(а>) = 6(а>
3
)ехр0р£);
<р"
р
(р, Q) =
J*
ехр (ipg)
<ру
(ро, а,
Qco)
d£
|
Шв
.
(5.5.48)
где р — целое число, ар — проекция г на плоскость (дс, у).
Решениям, обладающим цилиндрической симметрией, будет соот-
ветствовать р = 0. Их явный вид
00 2[
"
/2]
9„_L1
ф7о(р, *,!*)= 2 2 -^^^M^.Hp/vJ^oWcos/tl).
п=т /=0,2
(5 5.49)
Здесь т и / пробегают четные значения*:
л
Ф?т (*) = -£-
Г ехр
(-*
cos
0 [Р?и (cos 0 +
+ (-!)</>"„,, _,(cosold/ = (-i)" 2 oS'/iW;
/=
о
т + /
„«/
_ (-1)
2
■
яй
}
(0) [pj?} (0) +
PJ^LI
(0)].
(5.5.50)
1
+ 8*
Выбранные элементарные решения ортогональны соответствую-
щим решениям сопряженного уравнения [cpvpjj* = <PvU (
r
> — &)'
i
Г
И'Ф^оо
(г, |i)
Ф°*ОО
(г, |л) d|x = 0 для всех v, v'**. (5.5.51)
— 1
* Функции P
n
ml
(cos /) изучены в работе
[210].
** Нетрудно убедиться, что ф°
00
(г, ц) = q£
v0(
тать,
что v £
{[0,1],
v
0
} (аналогично обстоит дело для
<р™
(р,г|?,^))
Нетрудно убедиться, что ф^
00
О*, pi) = Ф%оо (
г
» И-)» поэтому можно счи-
85
Функций (5.5.46), однако, недостаточно для решения задач в не-
плоских геометриях. Недостающие решения будут удовлетворять кине-
тическому уравнению всюду, кроме начала координат (г=0 и р = О
соответственно); они выражаются интегралами
2П -fido
ЧСл (г, О) - f j Y
nk
(со) ср?
(по, a, Q<o)dco;
О —ioo
+ ioo
ijtfp
(р,
Q) = J exp (ip (6—60)) qtf
(p®,
a, flco) dg |
0
,
3
=i
— ioo
(5.5.52)
Сферически- и цилиндрически-симметричные сингулярные элементар-
ные решения имеют вид
„,;
00(Л
„>_
5
JS±L
КМ
W^/v
Р.04,
2к+1
!2
■i47(v)fb,i(p/v)x
(5.5.53)
/г=0
оо 2 [л/2]
<О(Р,#,*)=2
2
/г + /Я / = 0,2
ХР?.
о
(cos*)cos/г|>.
Здесь
оо
*m.i(*)
= yjexp(-^chO[P?,m(ch/) + (-l)
/
Pl/
l
m(chO]^ =
о
«2«Й?/С|(*),
/С*
(Л:)
— функции Макдональда.
Ряды, написанные в формулах (5.5.53), не определены в обычном
смысле. Однако их можно рассматривать как обобщенные функции
переменных v, ft, г|э, ji.
Пользуясь формулой (5.5.51) и асимптотическими выражениями
для элементарных решений при г->оо, получаем соотношения
+
1
J И^оо(г, ji)[iK'oo(>% [x)]*d^ = 0 для всех v, v';
-1
И
f И>?оо (г, |i)[ф^оо (г,
|i)]*
d\i = \N(v, 0)/4яг
2
] б(v, v');
-1
М
J
Ц<р$оо
(r, |i) [г|^оо (r, |i)f dp = [tf (v, 0)/4лг>] б (v, v'),
-1
-И
— 1
-1
(5.5.54)
где N (v, 0) = vN
v
, в (v, v') — 6-функция при v £ [— 1, 1] и символ
Кронекера при vQE I— 1, 1]. Аналогичные выражения существуют и
для цилиндрически-симметричных решений.
Заметим, что при переходе от плоской геометрии к другим все пре-
образования касались лишь выражений ехр (— xlv) Y
ni
(ft). Поэтому
запись элементарных решений в виде рядов по сферическим гармони-
кам позволяет без особого рассмотрения использовать результаты,
полученные для плоских геометрий, при учете анизотропии рассеяния
и энергетической зависимости в неплоских геометриях.
§ 5.6. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ
БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЫ
Пусть в кинетическом уравнении 0<с< 1. Определим, следуя
работе
[266],
фундаментальное решение я]^ как решение уравнения
1
*1ь-
+
*'=Т J *Л*.1*')Ф' + -^-в(1*-Ив). (5-6-1)
Функция ty
g
удовлетворяет однородному уравнению для х Ф 0 и ис-
пытывает скачок при х = 0:
V>
[*, (0
+
> V) - % (О", V)] = 6 (ц — |л
0
)/4я. (5.6.2)
Функцию^ ищем в виде (5.5.27) при х
0
= 0 как решение однородно-
го уравнения при х>0 и при *<0, убывающее при |*|-*оо:
1
% = a
0+
i}'o+ (х, [*) + j A
(v)
ip
v
(*,
\i)
dv при х > 0;
о
% = —
До-
фо-
(*>
V) — \ A
(v)
ij\ (х,
\i)
dv при л: < 0.
—
1
(5.6.3)
Равенство (5.6.2) дает уравнение для определения коэффициентов
4ttfA
1
а
0
+
Фо+ №)
+ во-
Фо-
(|*) + Г Л (v) 9v
(ц)
dv. (5.6.4)
Сравнивая (5.6.4)
с
(5.5.18)
и
учитывая
(5.5.19), (5.5.23), (5.5.26),
видим,
что
1
=
JVoi
J
i
^
=1^;
Фо±
^
);
Л(У)
=
Ф
У
(|1О)/(4Я^У).
87
Итак,
iM*.
M»o) =
f[^y
t+W
exp(-^/v
0
) +
exp(—^/v)dv при *>0;
+ г— ехр (—
x/v)
dv
i
v
J
-Т-[
Ф
°-°*:,
)Ф0
'
(И)
exp(*/v
0
)
+
(5.6.5)
+
% Ы ^
v
(I*)
J
M
exp
(лг/v)
dv
при л;<0.
Таким образом, функция Грина G (л;, лг
0
, fx, ц
0
) задается формулой
(5.6.5),
если в ней х заменить х
—
х
0
. В частности, если источник изо-
тропный, то функция Грина
op
0
(х —
лг
0
,
\\) для этой задачи выразится
формулой
•Фо
(*,
V)
= f ^ (*, |А, Но) Фо = -^М #5+
Фо+ (f*)
ехр
(—1
Л:
|/V
0
) +
+ fiVv
1
Ф(|х)ехр(—|^l/v)rfv . (5.6.6)
Вычисляя нулевой момент от г|>
0
, находим плотность нейтронов изо-
тропного источника, сосредоточенного в одной точке:
Ро(*) =
'**
=
~2~
J
*°
(
*' ^
dV>
=
17 ^
6ХР
(_
'
*
'
/Vo)
+
+ \N;
1
exp(-\x\/v)dv\
(5.6.7)
Н. И. Лалетиным [114] найдены моменты функции Грина:
GW' = $dQ§ dQ'GY
nm
(Q)Y
n
>m>(Q'). (5.6.8)
я Q'
Пусть G (х, х\ й, й') — функция Грина в R
3
, определенная во
всем пространстве:
SVG
-\~
2G = 2
S
SG
+ б (х—х') б (й—Й').
(5.6.9)
88
Представим ее в виде ряда
C(x
(
x',Q,Q') = 22S2Gr'r„
ro
(a)r„<
m
<(Q').(5.6.10)
п п' mm*
Для задач с плоской, сферической и цилиндрической симметриями
2s
К (v)
A
l
n
.
(v)
X
l
nm
(xn/v)Z
l
n
,
т
. (х' n'/v)
G™' (x, x') = |
при xn>x
'
n
'
;
(5.6.11)
' V
s
А
1
п(У)
Л
п> (V)^m(^ ^/v)4-m-
(*"/v)
/ = ov n (v, /)
при xn<x'n'.
Поясним обозначения в формуле (5.6.11). Здесь L = min (n', л),
Л^
(v) — коэффициенты разложения плоских элементарных решений
по многочленам Лежандра; N (v, /) — нормировочные интегралы для
плоских элементарных решений. Операция S означает интегрирование
V
по положительной части непрерывного спектра индексов плоских
элементарных решений и суммирование по положительной части дис-
кретного спектра. Функции Х
1
пт
и
Z
l
nm
описывают координатную за-
висимость и имеют вид:
для плоской геометрии
*L= S
m0
6j
0
exp (—xh)\
Z
l
nm
= 6
m0
8,0 exp (x/v)
(n, n' — единичные векторы нормали к поверхностям х = const,
х'
= const);
для сф!ерической геометрии
у/ о с Кп+\/2(
г
М .
7
1 о о
I
n+\[2(rh)
Л
Л
т=О
т
оО/о — '
>
^пт=О
т
оО
/0
—
У rv
у rv
(п,
п' — единичные векторы нормали к поверхностям г = const,
г' = const в точках гиг');
для цилиндрической геометрии
Xim= 6m,lpe
it
t
P
Fia(plv)v-
X,2
i 4m=S
m
,
2p
6
/t2p
0U|(p/v) V~*/2
(п,
n' — единичные векторы нормали к поверхностям р = const,
р'
= const в точках р и р'). В последней формуле р = 0, 1, 2, ...,
т^п, /<л. Функции A
l
n
(v) для односкоростной задачи со сфери-
чески-симметричным рассеянием имеют вид
4w-f1!
(v)
при 1ф0\
cv[Qo(v)P„(v)-Q
n
(v)]np
H
Z=0.