Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ

Глава 1

КИНЕТИЧЕСКОЕ

УРАВНЕНИЕ РЕАКТОРА

§ 1.1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАМЕДЛЕНИЯ

Упругое рассеяние является важнейшим механизмом замедления

нейтронов в реакторах на промежуточных и тепловых нейтронах.

Если энергия нейтрона много больше kT

, где k — постоянная Больц-

мана, а То — температура среды, то процесс рассеяния нейтрона

на ядре слабо зависит от скорости движения ядер среды и в этом слу-

чае можно считать ядро неподвижным. Если энергия нейтрона срав-

нима с kT

или меньше, то при расчете рассеяния нейтрона на ядре

вещества необходимо учитывать тепловое движение ядер среды, мо-

лекулярные связи и кристаллические эффекты.

Введем в рассмотрение индикатрису рассеяния нейтрона в резуль-

тате упругого соударения с ядром, которую будем обозначать

^(м-о*

v' ->и). Предполагается, что функция w

зависит от коси-

нуса угла рассеяния нейтрона при соударении с ядром

1*0

= 00',

где О' — единичный вектор, характеризующий направление полета

нейтрона до соударения, а О — после соударения с ядром.

Другой аргумент индикатрисы рассеяния, обозначаемый v' ->v

характеризует изменение скорости нейтрона при соударении с ядром.

В дальнейшем будем предполагать, что индикатриса рассеяния

нейтронов известна и нормирована следующим образом:

§dQ$dvw

(»

v'-»v) =

(v'),

где 2

ез

(р')—макроскопическое сечение упругого рассеяния нейт-

рона, имеющего до столкновения скорость v\ a dti — элемент по-

верхности единичной сферы.

Можно ввести в рассмотрение более наглядную с физической точки

зрения функцию ges^o»

' ~*

)> связанную с w

([i

v' ->t>) соот-

ношением

Щш

(IV О' ->

= Jj- 2

(V')

ges

(l*Of *' ">

«О-

Тогда соотношение нормировки для функции g

запишется следую-

щим образом:

Величину (1/4я)£е

(И'о>

' -*

) можно назвать плотностью веро-

ятности упругого рассеяния нейтрона, имевшего скорость v' и на-

правление полета Q', а после соударения с ядром изменившего их

соответственно на v и Q.

Наряду с упругим рассеянием нейтронов при столкновении с яд-

ром может осуществиться процесс неупругого рассеяния. Неупругое

рассеяние обычно реализуется на тяжелых ядрах. При этом ядро,

захватывающее нейтрон, переходит в возбужденное состояние [72].

В дальнейшем ядро, испустив нейтрон, переходит в свое невозмущен-

ное состояние.

Введем в рассмотрение функцию рассеяния нейтрона в резуль-

тате неупругого соударения с ядром, в процессе которого реализу-

ется только один нейтрон. Эту функцию будем обозначать w

(\i

v' ->v). В силу предположения об изотропности рассеяния нейтро-

нов в лабораторной системе координат можно положить

ЩА»*

' ~*

)

(1/4я)а>|

(1>' -*»).

Функция w

(\i

v' -+v) нормирована следующим образом:

оо

j d

J dvw

(|*о. v'-+v) = j dvw

-> v) = 2,

(

').

где 2

(v') — макроскопическое сечение неупругого рассеяния для

процессов с испусканием одного нейтрона. Функцию w

(yL

v' -+v)

представим в следующем виде:

Wishio,

V -+v) = (l/4*)2|

(tOft

(|io.

' -*»).

где

gu(v* V ->») = g

(xf ->v).

В этом случае имеем условие нормировки

ОО

^\dQ^dvg

(fa

v' + v)=^dvg

(v'-+v) = l.

о о

Чтобы учесть в процессе неупругого рассеяния появление двух

нейтронов, введем в рассмотрение функцию рассеяния w

(ji

v' -+v)

которая в предположении изотропности рассеяния равна

2л

0*0»

»'->») = (1/4Я)

2п

(v' ->

и нормирована следующим образом:

оо

JdQ J

dvw

n<2

„(JVv'-v)

= jdvw

n<2n

(v'^v) = 22„,

„(v

где S„,

(t>') — макроскопическое сечение захвата нейтронов с по-

следующим участием в реакции (п, 2л),

Функцию w

(\x

->t>) представим в виде

n(V>

,v' -+v) =

/4я)

Vn,

2п^п,

2/1

ГДе g„, 2« (Мч» <>' ~> *>) = £«, 2/i (t>' -> U), V

, 2п = 2.

Очевидно, имеет место условие дюрмировки

00 оо

— fd a f rf^

2/i(|Ao^'-^t;)= I* di#/i

/i(t>'->t;)==l.

о о

В процессе взаимодействия нейтрона с ядром делящегося нуклида

имеется определенная вероятность того, что нейтрон при захвате

ядром вызовет его деление. При этом ядро разделится на два пример-

но равных осколка с большой кинетической энергией, которые тормо-

зятся в среде и передают свою энергию атомам окружающей среды.

В результате кинетическая энергия осколков переходит в тепловое

движение атомов среды.

При делении ядра имеется вероятность появления V/ нейтронов.

Эта величина является функцией энергии нейтрона, вызывающего

деление, т. е. v/ = v/(p), где v — скорость нейтрона, налетающего

на ядро.

Угловое распределение вторичных нейтронов, образующихся при

делении ядра, обычно считается изотропным в лабораторной системе

координат.

Введем в рассмотрение функцию распределения вторичных нейт-

ронов по углам и скоростям До/([х

, v' ->и). В силу предположения

об изотропности распределения вторичных нейтронов будем иметь

Щ(Ро> v' ->») = (1/4я)ш/(о' -+v).

Величина Ш/([х

, v' -+v) нормирована следующим образом:

оо оо

f d Q f dvWf ([*<,, v'

->■

v) =

dvw

(v'

->■

v) = v

(v') 2y (v').

о о

Функцию Wf(\i

, v' -+v) представим в виде

где gf(ii

, v' -+v) = gy(t/ -*u). Тогда функция g/([i

, t/ -+v) будет

нормирована на единицу:

оо оо

Существенно отметить то обстоятельство, что функцию gf(v' ->v)

можно считать не зависящей от скорости налетающего нейтрона, т. е.

gf(v' -+v) =

(v).

Функцию gf(v) обычно называют спектром деле-

ния нейтронов,

Захват нейтронов ядром может происходить

результате различ-

ных ядерных процессов.

дальнейшем под захватом нейтронов будем

понимать радиационное поглощение, захват нейтронов

последую-

щим делением, поглощение нейтрона

процессе реакции

(/г, 2п).

Это значит,

что

сечение захвата нейтрона ядрами данного сорта

со-

ставится

из

суммы

= а

+ o

2п

где сг

, оу и а

п§ 2Л

—

со-

ответственно микроскопические сечения радиационного поглощения,

деления

реакции

(л, 2/г).

Сечение радиационного поглощения имеет, вообще говоря, резо-

нансный характер. Если резонансы перекрываются,

то

имеет смысл

говорить

об

усредненном сечении поглощения. Следовательно, можно

положить

= о

+ а

аг

, где о

— усредненное, медленно изменяю-

щееся

энергией сечение,

a а

аг

— сечение резонансного поглощения

на наиболее ярко выраженных резонансах.

дальнейшем

под а

будем понимать плавно меняющуюся часть сечения поглощения,

ре-

зонансное сечение каждый

раз

будем рассматривать особо.

Пространственно-энергетическое распределение нейтронов

реак-

торе описывается кинетическим уравнением Больцмана.

настоящей

главе дан краткий вывод кинетического уравнения для потока нейт-

ронов.

При

изложении ограничимся рассмотрением только стацио-

нарной проблемы, имеющей наибольший интерес

вопросах расчета

критических масс ядерных реакторов. Кинетическое уравнение запи-

шем для фазового пространства

(г,

i>,

Й).

Переход

другим фазовым

пространствам может быть осуществлен

помощью преобразования

переменных.

Рассмотрение проведено для общего случая индикатрис рассеяния

в предположении,

что они

абсолютно интегрируемы.

заключение

рассматриваются

два

предельных случая: односкоростное кинети-

ческое уравнение

кинетическое уравнение

для

бесконечной одно-

родной среды.

Рассмотрим фазовое пространство

(г, t;, Й) с

элементом drdvd&*

Около точки

Р с

радиус-вектором

выделим элементарный объем

dr. Если

(г,

Й) — плотность нейтронов

единице фазового про-

странства

(г,

i>,

й) в

момент времени U

то

число нейтронов

объеме

dx около точки

Р,

имеющих разбросы скорости

интервале (и,

dv)

направлений

(Й, й +

dfl), равно

(г,

ii)drdvdii.

В мо-

мент времени

t + dt их

число будет

(г

vQdt,

Q)drdvdQ. Таким

образом, полное изменение числа нейтронов

объеме drdvdQ

за

время

dt равно

dN = ln{T+vQdt

Q)—n{T,v,Q)]drdvdQ.

(1.1.1)

Разложив выражение (1.1.1)

ряд Тейлора и ограничившись членами

первого порядка малости, получим

= vQVndrdvdQdt.

(1.1.2)

Рассмотрим теперь ядерные процессы, в результате которых про-

исходит изменение числа нейтронов

элементе фазового прост-

ранства dtdvdik

за

время

dt.

Подсчитаем число нейтронов, выбываю-

щих

из

элемента фазового пространства. Оно составится

из

нейтронов,

поглощенных

рассеянных средой,

т. е.

)vn{r

Q)drdvdQdt

(1.1.3)

где

—

макроскопическое сечение поглощения нейтронов; S

(y)

Без

fa)

(t;)

+ 2

{v) — полное макроскопическое сечение

рассеяния.

Подсчитаем далее число нейтронов, прибывающих

элемент фазо-

вого пространства

интервал времени

dt.

Очевидно,

оно

образуется

из суммы нейтронов, рассеянных

из

других элементов фазового прост-

ранства

источников деления,

т. е,

оо

dR= \d& §dv'w

(\i

,v'->v)v'n {r

Q')drdvdQdt (1.1.4)

dS = $dQ'fdv^

(\i

v'-+v)v'n(r

Q')drdvdQdt

(1.1.5)

где

WaiVo,

t/ ->i>) =

(\i

v' -+v) +

(\i

v' -+v) + w

n 2n

(\l

Функции w

eS9

i89

определены выше.

Составим уравнение баланса нейтронов

dN + dP = dR + dS.

(1.1.6)

Подставляя

уравнение баланса (1.1.6) соотношения (1.1.2)—(1.1.5)

и сокращая

на

drdvdQdt, приходим

кинетическому уравнению

за-

медления нейтронов:

оо

QVtw

+ 2 wi = f

rfO'J dv'w(p

v' -+v)v'n(r

v''

Q')

(1.1.7)

где

= 2

+ 2

; w = w

+ w

(1.1.8)

Введем

рассмотрение функцию

<р

= vn.

Тогда

окончательном

виде кинетическое уравнение замедления нейтронов запишется

так:

Я VФ

+2 Ф= j d Q' J

dv'w{]i

-»-О)Ф(Г,

v', Q').

(1.1.9)

Здесь интегрирование проводится

по

всевозможным скоростям

из

интервала

(0, оо) и

всем направлениям единичной сферы.

В развернутом виде с использованием свойств функций Wi([i

v' ->v) (индексом i обозначен любой ядерно-физический процесс)

уравнение (1.1.9) можно записать следующим образом:

оо

Й'

J dv'w

о'

->о)

Ф(г,

v', О') +

+JL Г j

О'

Jdo'a»,,

(о'

о) ф

(г,

о', Й')+

+ §dQ' § dv'w

,2n(v'-+v)<t(r

Q') +

(t;)JdQ'jdt;4

(09(r,t;\Q

)l. (Ы.10)

Рассмотрим теперь частный случай, когда неупругое рассеяние

несущественно, а реакция (я, 2/г) вовсе отсутствует. Тогда кинети-

ческое уравнение (1.1.10) имеет вид

Й V Ф

+ 2

= -^ Jd

Й'

do'

(у')

(r,

v', й') g

О*,,

o«

-*.o)+

+*y(»)Q(r). (1.1.11)

где

оо

7" 2

е8

К.

о'

о)

(Но,

о'

-»-

о).

(1.1.12)

Величину feed^ot

' ->

) в простейших случаях найти весьма

просто. Одним из таких случаев является рассеяние нейтронов на

неподвижных ядрах. Очевидно, предположение о рассеянии нейтро-

нов на неподвижных ядрах является удовлетворительным приближе-

нием

случаю, когда скорость нейтронов много больше скорости ядер.

Найдем выражение для функции £

в(ро» v'

->У)

при рассеянии

нейтронов на свободных и неподвижных ядрах.

Рассмотрим систему нейтрон — ядро. До соударения с нейтроном

ядро предполагается неподвижным. Для удобства будем пользо-

ваться двумя системами координат: неподвижной, связанной с яд-

ром-мишенью (лабораторная система координат), и подвижной, свя-

занной с центром масс системы (рис. 1.1).

Пусть v

— скорость нейтрона до соударения в неподвижной

системе координат. Тогда в этой системе скорость центра масс опре-

делится соотношением

= v

V(l+Al), (1.1.13)

где М — масса ядра (массу нейтрона считаем единичной).

Скорость нейтрона в подвижной системе координат, связанной

с центром масс, будет равна

w' = v'—v; = Afv'/(l+Af) (1.1.14)

и скорость ядра

< =

o = -v;= -v;= -v7(l+ M). (1.1.15)

Нейтрон

о--

а о

Рис. 1.1. Лабораторная (а) и связанная с центром масс (б) си-

стемы

Итак, скорость нейтрона, центра масс и ядра удалось выразить

как в неподвижной системе координат, так и в системе центра масс

только через скорость нейтрона до соударения его с ядром в непод-

вижной системе координат.

Остается теперь найти соответствующие скорости после упругого

соударения нейтрона с ядром. Для удобства будем обозначать их

теми же буквами без штрихов. Для нахождения скорости нейтрона

и ядра-мишени в системе центра масс после соударения воспользуемся

законами сохранения количества движения и кинетической энергии

системы:

w+MWo-w' + Mw;; |

(1 л 16)

/2 + Ato§/2 = w'

/2 + Af<

/2. J

Учитывая соотношения (1.1.14) и (1.1.15), приводим уравнения (1.1.16)

к следующему виду:

w + Mw

= 0;w*+Mw

o = Mv'*/{l+M). (1.1.17)

Из первого равенства имеем

ю.= Mw

. (1.1.18)

Подставим

до

из

(1.1.18)

ро

второе соотношение (1.1.17).

резуль-

тате

= v'/(l + М)

=-шо. (1.1.19)

Подставив

из

(1.1.19)

равенство (1.1.18), получим

Mv'/(l

+ М)

--=

w'.

(1.1.20)

Из соотношений (1.1.19)

(1.1.20) следует,что относительные ско-

рости

как

нейтрона,

так и

ядра-мишени

системе центра масс

до

и после столкновения

по

величине равны.

Остается лишь определить угол,

на

который вектор скорости

нейтрона отклонится

результате столкновения.

этой целью

от-

носительную скорость нейтрона после столкновения запишем

сле-

дующем виде: w

v—V

=Y-T-V^, откуда

w+v;«w+v7(l

Al).

(1.1,?1)

Используя соотношения (1.1.14), приведем равенство (1.1.21)

виду

v = w+w7M. (1.1.22)

Из соотношения (1.1.22) следует,

что

w'VM

(2/M)ww'cosa, (1.1.23)

где cosa

= (w,

vf')/ww\ Разрешив уравнение (1.1.23) относительно

cos

а и

воспользовавшись соотношением (1.1.20), получим

cos

a =

—

[(М

/2Ш1

—

(v/v')

l (1.1.24)

С помощью (1.1.24) найдем выражение

cps в = (v, w')/w'«

Для этого спроектируем параллелограмм скоростей

на ось w\

Тогда

будем иметь

vzos

в =

wcos

+ ф'/М.

(1.1.25)

Учитывая соотношения (1.1.20)

(1.1.24), приведем равенство

(1.1.25)

виду

cos

в =

1{М

l)/2)(vfv') — ЦМ

—

\)№(v

lv). (1.1.26)

Из (1.1.24) вытекает следующее неравенство:

< v'lv < (М +

1)/(М

1), (1.1.27)

т.

е.

(М

- l)v'/(M + 1) < v < v'.

(1.1.28)

Неравенство (1.1.28) указывает на тот факт, что скорость нейтро-

на после соударения

ядром находится

строго определенных пре-

делах.

Перейдем теперь

определению функции распределения нейтро-

нов

по

скоростям

направлениям после столкновения, С этой целью

введем

рассмотрение функцию (l/4ri)g

(v'

->v)

— плотность

ве-

роятности того,

что

нейтрон, имевший

до

столкновения

ядром ско-

рость

v', в

результате столкновения изменит скорость

на v. По оп-

ределению, функция (1/4я)

g^v'

->v) должна быть нормирована

на

единицу:

_1_

4я

о'

J-jdvg

(v'->v)^l; (1.1.29)

Г *dv\dQg.

{y'-+v)**l.

Найдем явное выражение для функции g

(v' ->-v).

этой целью

рассмотрим сначала закон распределения вероятностей

системе

центра масс. Если предположить, что рассеяние нейтронов

системе

центра масс изотропно,

т. е.

вероятность рассеяния нейтронов

на

ядре зависит лишь

от

телесного угла,

а не от

направления,

то с

уче-

том нормировки будем иметь

d(o

= \sinadad$\,

(1.1.30)

где р — азимут, а

dco

— элемент телесного угла в системе центра масс.

Имея

виду функциональную связь переменных

а и v

(при фик-

сированной начальной скорости

v')

продифференцировав выраже-

ние (1.1.24), получим

sinada= —

-—-^

(1.1.31)

Следовательно,

из

предположения

об

изотропности рассеяния

в системе центра масс вытекает закон распределения нейтронов по

скоростям. Плотность вероятности такого распределения равна

+ l)g _о

4л М

(1.1.32)

Найдем Теперь закон распределения нейтронов

по

углам. Оче-

видно,

что в

силу существования функциональной связи (1.1.26)

угол отклонения

будет полностью определен, если

v' и v

зафикси-

рованы. Формула (1.1.14),

частности, показывает,

что

упругое

столкновение нейтрона

ядром возможно лишь при условии (1.1.26)..

Что касается случаев, когда равенство (1.1.26)

не

выполняется,

то

для

них

вероятность распределения оказывается равной нулю. Имея

это

виду, можно формально написать трехмерный закон распре-

деления вероятностей

помощью б-функции.

учетом выражения

(1.1.32),

также нормировки (1.1.29) функция &e(v' ->v) примет

вид

'«^-^'['Н^-^т)}

о-

где

В фазовом пространстве

(г, v, П)

функция g

s(v'Q' ->rfl) будет

иметь

вид

(1.1.34)

где

cos

в.

Заметим,

что

функция

тождественно равна нулю

вне интервала (1.1.27).

Если рассеяние нейтронов

системе центра масс неизотропно

анизотропия характеризуется функцией

у (а, г/),

нормированной

на единицу

—

4я

то вероятность того,

что

нейтрон после рассеяния будет двигаться

около направления

со в

интервале

(ю, ю +

dco), равна

(a,

v')d(o

у (a,

i>')sin adadp |

(1.1.36)

Принимая во внимание (1.1.24) и учитывая соотношение (1.1.31),

получаем плотность вероятности распределения нейтронов по ско-

ростям:

^.^(агсс^-^.-^]},,-).

В результате для анизотропного рассеяния в системе центра масс

получим следующую функцию для плотности вероятности:

(l/4«)fo.(v'-*v) =

fJL, ^ i*!±lt _L_

/Af+i_ £—«=±^1. (1.1.38)

В фазовом пространстве

(г, v, Я)

будем иметь

= Y

f_L,HJ^±I)iJL

L _/Af±liL_d!=Li)l. (1.1.39)

V / 4яУИ г>'» L { 2 о' 2

V ;

Видно, что функция §

*(о'й' -+vQ) зависит от углов только через

= QQ'. Следовательно, можно ввести обозначение

gJf/Q' -*t>Q) = ft,(fi

Итак, окончательно будем иметь

(1/4я)&,(|1о,о'-м>)в

fJL

/)i*±22L_L «[,,,-(«±1 JL-*tiL i\l. (1.1.41)

4»'

/ 4яЛ1 »'* 1

го

V 2 о' 2 » /J '