Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

С учетом (1.1.41) кинетическое уравнение замедления примет йид

§ 1.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Основное интегро-дифференциальное уравнение Больцмана

(1.1.10) содержит дифференциальный оператор. Это значит, что для

полной определенности решения необходимо задать граничное усло-

вие на внешней поверхности реактора Г.

Пусть реактор граничит с вакуумом. Тогда, если поверхность Г

выпуклая (или невогнутая), ь качестве граничного условия необ-

ходимо взять следующее:

<р

(г, v, ft) *» 0 на Г при Qn < 0, (1.2.1)

где п — внешняя нормаль к поверхности Г. Поскольку источники

нейтронов находятся только в самом реакторе, условие (1.2.1) от-

мечает тот факт, что нейтроны, налетающие на поверхность Г из ва-

куума, отсутствуют.

Если поверхность Г вогнута так, что луч, совпадающий с векто-

ром Q, дважды пересекает область, занятую реактором, то в точках

Р и Р' следует положить

,t>Q)= <p(r

„t>G). (1.2.2)

Предположим теперь, что область peaKtopa состоит из зон с раз-

личными физическими свойствами. В этом случае необходимо потре-

бовать непрерывности функции

ср

(г, с/, Q) при переходе из одной

области в другую, т. е.

Ф+

(i>

ft) =

ф_

, v, ft), (1.2.3)

где ф

иф« — соответствующие пределы функции ф при стремлении

к точке Р со стороны одной и другой зон.

§ 1.3. УРАВНЕНИЕ КРИТИЧНОСТИ

В ядерной энергетике многие проблемы переноса нейтронов сво-

дятся к задаче расчета критической массы ядерного реактора, т. е.

нахождения такого стационарного режима работы, который обеспе-

чивается цепной реакцией деления ядер урана, плутония или других

делящихся нуклидов. Однако прежде чем переходить к формули-

ровке этой задачи, исследуем некоторые близкие постановки задач,

имеющие важное значение для формирования численных алгорит-

мов решения' задач теории переноса вообще.

Я)

С этой целью рассмотрим уравнение (1.1.9)

вйёшнлми источ-

никами излучения

форме

= Scp + /, (1.3.1)

где

— дифференциальный оператор, действующий

на

функцию

<р,

такой,

что

L<p

QVcp

2<p, (1.3.2)

— интегральный оператор, определенный соотношением

Sq>

= jdft' §dv'w{ii

,v'-+v)<p{r,v',Q').

(1.3.3)

Что касается функции

(г,

v, fl), то она

описыбает внешние источ-

ники излучения,

не

связанные

цепной реакцией деления. Функция

ф удовлетворяет определенным требованиям гладкости, ч*обы соот-

ношения (1.3.2)

(1.3.3) имели смысл,

также граничным условиям

(1.2.1)

—

(1.2.3). Пространство таких функций обозначим

В.

Уравнению (1.3.1) формально поставим

соответствие следующее:

1ф = Я5ф + /, Ф€£, (1.3.4)

где К — формальный параметр.

Как и при

исследовании интеграль-

ных уравнений, разрешимость задачи (1.3.4) существенно зависит

от параметра X. Именно для этой цели параметр Л введен

уравне-

ние переноса. Естественно,

что

при X

= 1

уравнение (1.3.4) перехо-

дй1*

уравнение (1.3.1). Поэтому особое значение для нас будет иметь

исследование разрешимости задачи

окрестности Я

= 1.

Если

на

уравнение (1.3.4) подействовать оператором, Обратным

по отношению

L, то

однозначно приходим

интегральному урав-

нению

XL-

S<p

+ L-*f.

(1.3.5)

Это уравнение обычно используется

при

статистическом моделиро-

вании процесса переноса нейтронов

[168].

Заметим, что

отсутствие внешних источников

(/ = 0)

при неко-

торых

может иметь место нетривиальное решение уравнения (1.3.4).

Однородное уравнение

Ly=*KStp

t ф

£Я (1.3.fr)

Называют уравнением квазикритичности.

этом случае обычно имеем

^ 1, а

физически реализуемое решение уравнения переноса нейт-

ронов будет соответствовать случаю, когда

к = I.

Уравнение (1.3.6)

при

А,

—

запишем

несколько иной форме:

Lcp

Дф

{v)F^

€ В, (1.3.7)

где

^Ф

= ^- \dSi' tdv'v

(v')<p{t,v',a').

(1.3.8)

Известно, что однородное уравнение (1.3.7) не всегда имеет не-

тривиальное решение, а лишь при некоторых комбинациях входящих

в уравнение коэффициентов. В самом деле, если ядерный реактор

состоит из активной зоны с заданным распределением ядер деляще-

гося изотопа урана или плутония и отражателей, только рассеиваю-

щих и замедляющих нейтроны, то стационарная самоподдерживают

щая реакция деления будет осуществляться при вполне определен-

ной критической массе делящегося вещества, распределенного по

активной зоне реактора. Найти это стационарное состояние — зна-

чит получить ненулевое решение задачи (1-3.7). Точнее, необходимо

найти распределение ядер делящегося вещества в активной зоне

реактора при заданных замедлителях нейтронов в активной зоне и

отражателе при наличии различных поглощающих веществ так,

чтобы осуществить стационарный режим деления в отсутствие внеш-

них источников. В этом случае приходим к одной из возможных

постановок задач на критический режим работы реактора. Можно,

например, при заданном распределении делящегося вещества варьи-

ровать размерами отражателей или изменять замедляющие и рас-

сеивающие свойства активной зоны. В практических расчетах, сле-

довательно, требуется решать обратную задачу по восстановлению

плотностей делящегося вещества и замедлителей в реакторе, обеспе-

чивающих критический режим его работы.

Вместо решения таких обратных задач при расчетах ядерных

реакторов оказалось более просто и эффективно решать прямые за-

дачи некоторого модифицированного уравнения переноса следую-

щего вида:

= Scp + (ШэфЫ^Ар,

6 В. (1.3.9)

Уравнение (1.3.9) отличается от (1.3.7) введением постоянного па-

раметра

1/&

ф,

где &

эф

— эффективный коэффициент размножения

реактора. Смысл этого коэффициента ясен. 'Он показывает, на-

сколько следовало бы изменить коэффициент размножения деляще-

гося вещества, чтобы осуществить самоподдерживающуюся ядерную

реакцию при заданных параметрах реактора или, другими словами,

получить нетривиальное решение уравнения (1.3.9). ЕстестЬенно,

что практически невозможно изменить коэффициенты выхода числа

нейтронов на одном делении V/, но мы в состоянии изменить концент-

рацию урана или замедлителей и методом перебора решить ряд задач

типа (1.3.9) и получить кривую зависимости &

эф

от вариации деля-

щегося вещества или замедлителей. Эта кривая обычно дает воз-

можность с помощью интерполяции найти тот вариант, который со-

ответствует к

9ф

= 1. Этот случай уравнения (1.3.9) совпадает с (1.3.7)

и дает нетривиальное решение задачи переноса нейтронов.

Уравнение (1.3.9) обычно называют уравнением критичности

ядерного реактора. Оно играет большую роль при проектировании

и расчетах энергетических и ядерно-физических установок.

В заключение обратим внимание еще на один случай стационарных

задач теории переноса, который связан с так называемыми подкри-

тическими системами, т. е. с такими ядерными реакторами, для ко-

торых эффективный коэфффициент размножения к

дф

и нетри-

виального решения однородной задачи (1.3.7) не существует. Если,

однако, в такую под критическую систему ввести внешний источник

излучения нейтронов, то в результате в ядерном реакторе при

^эф

устанавливается стационарное распределение нейтронов.

Соответствующее уравнение переноса в этом случае принимает вид

= Sq> +

(v)F<p

+ /,

£ В. (1.3.10)

Здесь /

—

внешний источник нейтронов, стимулирующий развитие

цепной реакции деления, причем этот источник тем более эффекти-

вен,

чем &

эф

ближе к единице,

§ 1.4. ОДНОСКОРОСТНОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

В том случае, когда рассеяние нейтронов происходит на непод-

вижных ядрах, а сечения 2

е8

, 2

<в

, 2

и 2/ не зависят от скорости,

можно перейти к односкоростному кинетическому уравнению. Для

этого рассмотрим уравнение замедления

ftVcp +

2cp

= jdft' §dv'<p(T

v\Q')w{\L

v'->v)+f{r

Q); (1.4.1)

(г, v, ft) = 0 на Г при ftn < 0,

где

w (\i

, v' ->v) =

(ii

v' -*l>) +

WisdlQ,

v' ->y) +

+ aVi

an(Hoifl' ->■») + tt>/((i

,t;' ->i>).

Проинтегрируем уравнение (1.4.1)

по

переменной

у.

Тогда

ft VO+SФ= f dft' f do'

Ф(Г,о',

ft) f

Ждо

(ji

,i>' ->») +/(r, ft),

(1.4.2)

где

0(r,ft)==j^9(r,t;,ft);/(r,ft)= J<fo/(r,o,Q).

С учетом нормировки функций &y

, ш

2п

, а;/ получим

dvw(\x

v' -*v) =

= f Aw

(|i

t>'

-»

+ ^ (2

+ v„

2»

S«,

„ + v/ 2

). (1.4.3)

В предположении, что рассеяние происходит на свободных и непод-

вижных ядрах, имеем

ldvg

{\i

v'-+v)=s

Здесь у (v/v\ v

) = у (vfv

). Переходя в интеграле (1.4.4) к новой

переменной интегрирования £ по формуле

8—1-7 Г" 7"'

(1Ж5)

выражение (1.4.4) преобразуем к виду

К*-*->°^1

Д^

6(afl

'-^

где Ш = *(i) =5 &+VV + М

— 1) (М + I)-

есть корень урав-

нения (1.4.5).

С учетом свойств

б-функции вычислим интеграл в выражении (1.4.6):

[PQ'+V(QQ')»+A1«-1 I

4J)

Y(QQ')i + М«—1

Если рассеяние изотропно э системе центра масс, то

**.<*.

V -«О - ±^+/(ООТ+М^

. (1.4.8)

М V(0Q')8+M«—1

Анализ формул (1.4.7) и (1.4.8) показывает, что в правой их части

стоят выражения, зависящие только от QQ' = \t

= cos в. Отсюда

приходим к выводу, что

J dvges

(ft*, f' -^f) = &в Ы- (1.4.9)

Следовательно, выражения (1.4.7) и (1.4.8) представлены в виде

М У^ + М* —1

Рассмотрим предельный переход при М -^оо. Тогда

t("

P=r

)^T(i)-i

и, следовательно, g

* (щ) = 1, т. е. приходим к очевидному резуль-

тату, что рассеяние на бесконечно тяжелых ядрдх

изотропно

в лабо-

раторной системе координат. В более общем случае для любых замед-

лителей выражение (1.4.11) можно представить в виде ряда по много-

членам Лежандра, т. е.

&*(й>) = 2 ВпРпЫ, (1.4Л2)

п—О

где g

— коэффициент разложения функции g

(\i

) в ряд Фурье по

многочленам Лежандра.

Возвращаясь к уравнению (1.4.2), устанавливаем, что его инте-

гральный член преобразуется к виду

В результате уравнение (1.4.2) примет вид

nVO + SO = JdQ

O(r,ft')^(fi

)+/(r,Q), (1.4.13)

Ф (г, Q) = 0 на Г при On < О,

где

W Ы = (1/4Я) iZesges Ы + %is + V

V/2,].

(1.4.14)

§ 1.5, КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ

ОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ

Другим частным случаем кинетического уравнения, имеющим важ-

ное значение, является случай кинетического уравнений дйя беско-

нечной среды. Так как в бесконечной однородной среде все направле-

ния движения нейтрбнов оказываются равновероятными, tto решение

задачи не будет зависеть от

Учитывая далее,

ч*го

вследствие однород-

ности пространства решение также не бyдet зависеть от г, кинетиче-

ское уравнение (1.1.9) в этом случае можно записать в виде

2 (v) ф (v) = Sdv'y (v') w (i/ -+tf) + f (v), (1.5.1)

где

w (t/ -+v) = IdQ'w ((x

, V -+v); 2 (v) = 2

(v) + 2

(i>).

(1.5.2)

Заметим, что

W = W

fao» if -*V) + ®i8 ([*<»

' ^

) +

n^n (p<o, V -+tf) +

+ W/(|Ad. if -+v)

(1.5.3)

где функции w

, w

nt2n

и w

определены в § 1.1.

Рассмотрим случай, когда рассеяние нейтронов происходит на

свободных неподвижных ядрах. Тогда функция w

(р<»

if ->■») будет

определена формулой

Следовательно,

»•#

(о'

-*- v)

= j d Й' w

(ц

v' -+

_2„

(JL HJ*±J£JL.

(

i.5.5)

В частности, если рассеяние изотропно

системе центра масс,

то

»„(,,'-*сО-2„.ЙШ2.-2.. (1.5.6)

Если неупругое рассеяние несущественно,

реакции

(я, 2п) и де-

ления ядер отсутствуют,

то

уравнение (1.5.1) запишется

виде

М— 1

2Ф = -^ j ^1

2ез

(,')<р(

')+/(,). (1.5.7)

Глава &

СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

§2.1.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ РЕАКТОРА

Сопряженные уравнения

функции, являющиеся решениями сопря-

женных уравнений, играют исключительную роль

теории ядерных

реакторов. Теория сопряженных уравнений реактора впервые была

разработана

Е.

Вигнером

[36, 37]. В

дальнейшем

эта

теория усовер-

шенствовалась

работах

А. С.

Романовича

и Л. Н.

Усачева [230],

Р.

Эрлиха

и Г.

Гурвитца [274],

С.

Глесстона

и М.

Эдлунда

[63] и др.

Для односкоростных кинетических уравнений теория сопряженных

уравнений разработана

К.

Фуксом [279]. Общие результаты по теории

сопряженных уравнений

сопряженных функций изложены

рабо-

тах

Б. Б.

Кадомцева [86], а также Г. И. Марчука

В. В. Орлова [170].

Важнейшей особенностью сопряженных уравнений является

то, что

они дают возможность построения теории возмущений.

Рассмотрим поток нейтронов

(х)

удовлетворяющий однородно-

му уравнению

L<p

= 0,

(2.1.1)

где L —линейный оператор, заданный

на

системе функций {ф

(х)},

удовлетворяющих некоторым требованиям.

При

этом под

будем

по-

нимать совокупность всех переменных задачи (г, v, й). Предположим,

что оператор

L и

система функций

{ф}

— вещественные. Введем

рас-

смотрение скалярное произведение функций

(х)

и g

(#),

так что

£ {ф}, a h £

{ф*}. Свойства функций множества

{ф*}

будут

об-

суждены

дальнейшем. Если переменная

непрерывна,

то

скалярное

произведение может быть определено

как

интеграл

от

произведе-

ния этих функций:

fe. h) = fg(x)h(x)dx,

(2.1.2)

где интегрирование ведется

по

всей области определения функций

и h.

Наряду с оператором L введем в рассмотрение сопряженный Ё

смысле Лагранжа оператор L*, определяемый с помощью следующего

равенства:

(A,Lg) =

(g,L*A).

(2.1.3)

Если в качестве функции g выбрать решение уравнения (2.1.1), то

из соотношения (2.1.3) следует, что функция h должна быть решением

сопряженного уравнения

L*q>* = 0. (2.1.4)

Отсюда, в частности, следует, что множество функций {ф*} должно

определяться из того условия, чтобы оператор L* на этом множестве

имел смысл, а также удовлетворялось функциональное соотношение

(2.1.3).

Операторы L и L* представим в следующем виде:

L =

XN,

= M*+^N*, (2.1.5)

где операторы М и М*, а также N и N* удовлетворяют условиям

(А,

g) =

М*А),

(А,

(g, N*A), (2.1.6)

— обычно вещественное число, смысл которого будет пояснен в

дальнейшем. Представление операторов L и L* в виде сумм допускает

известный произвол и диктуется математическими или физическими

соображениями. Например, для уравнений реактора в качестве опера-

тора N удобно принять оператор числа вторичных нейтронов деления.

С учетом равенств (2.1.5) основное и сопряженное уравнения за-

пишутся в виде

Мф=—

ЯЫф;

М*ф*=— М*ф*. (2.1.7)

Уравнения (2.1.7) однородны, поэтому вместе с соответствующими

однородными граничными условиями, которым удовлетворяют функ-

ции множеств

{ф}

{ф*},

они определяют задачу на собственные числа.

Пусть {XJ—спектр собственных чисел, а

{ф*}

и {ф?}—соответствующие

собственные функции основного и сопряженного уравнений. Обычно

первое собственное число X = Х

допускает неотрицательные реше-

ния уравнений (2.1.7), имеющих физический смысл потока нейтронов

и функции, сопряженной с потоком, которую будем в дальнейшем на*

зывать

ценностью

нейтронов.

Очевидно, реактор будет стационарным

и критическим, если удовлетворено условие: X = К

= 1.

Переходим теперь к рассмотрению неоднородных уравнений

Lq> = /(*), (2.1.8)

где / (х) — функция, описывающая внешние источники нейтронов.

При решении тех или иных физических задач, описываемых неодно-

родными уравнениями, обычно имеют цель получить в результате зна-

чения некоторой величины, являющейся функционалом от потока

<р

(х). Линейный функционал может быть выражен в виде скалярного

произведения. Например, если нас интересует число актов некоторого

ядерного процесса с нейтронами в среде, характеризующейся сече-

нием 2 (х) по отношению к данному процессу, то это число есть

h = /ф (х) 2(x)dx= (ф, 2). (2.1.9)

Таким образом, будем рассматривать физические величины, кото-

рые могут быть выражены в виде линейного функционала от потока

(я):

Мф] = (ф. Р). (2.1.10)

где величина р характеризует интересующий нас физический процесс.

Рассмотрим теперь неоднородное сопряженное уравнение

L*q>; = p(*)

(2.1.

И)

где р (х) — пока произвольная функция.

Так как

(Ф;,ЬФ) = (Ф,Ь*Ф;), (2.1.12)

то,

воспользовавшись уравнениями (2.1.8) и (2.1.11), получим

(ФР.

/) = (ф. Р). (2.1.13)

Отсюда долучим //

[фр]

= /

[ф]. Поэтому, если нужно найти значе-

ние функционала 1

[ф], можно получить его, либо решив уравнение

(2.1,8)

определив эту величину по формуле (2.1.10), либо решив урав-

нение (2.1.11) и определив ту же самую величину по формуле

/р[ф] = (ф;, /). (2.1.14)

Следовательно, линейному функционалу (2.1.10) может быть по-

ставлена в соответствие функция

(р*

(х), удовлетворяющая уравнению

(2.1.11),

причем в качестве свободного члена этого уравнения следует

использовать именно функцию р (х), характеризующую интересующий

«ас ядерный процесс.

Пусть в среде имеется источник нейтронов единичной мощности,

помещенный в точку х

> т. е. /

(х)

= б (х — х

). Поскольку (v (*),

$ (х —

))

=* v (#*), то

[ф]

= If~b

<*-*,)

1фр1

фр (^о).

]

Следовательно, сопряженная функция фр (*

) описывает зависимость

функционала 1

[ср] от точки помещения источника нейтронов единич-

ной мощности.

Представим себе физическую систему (или прибор), в которой из-

меряется некоторая величина, являющаяся линейным функционалом от

потока /

[ф]. Если в некоторую «точку» системы впустить определен-

ное количество частиц (или, наоборот, изъять частицы), то измеряемое

значение величины /

[ф]

соответственно увеличится (или уменьшится),

лрич§м это увеличение (или уменьшение) будет зависеть от той точки

Хь,

э которой изменено число частиц. Как видно из предыдущего рас-

смотрения, эта зависимость описывается сопряженней функцией

ФР(*),

удовлетворяющей уравнению (2.1.11). Следовательно, сопря*

яфнная функция

<pj (х)

дает вклад частиц, находящихся

той или иной

точке системы, в интересующий нас функционал /

. Поэтому функцию

фр (х) можно назвать

ценностью нейтронов

точке

х по

отношению

функционалу I

Up].

§ 2.2. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕАКТОРА

Стационарная самоподдерживающаяся цепная реакция деления

в ядерном реакторе описывается однородным уравнением (1.1.9) при

граничном условии (1.2.1). В этом случае

Ьф

ЙуФ

Ф—\

dQf

>' ф(

> »'. 0')ИИсь v'-+v). (2.2.1)

Требуется также, чтобы операторы в соотношении (2.2.1) имели смысл

для функций рассматриваемого множества.

Введем в рассмотрение скалярное произведение функций ф (г, v, Q)

и ф* (г, v

Й):

(

ф*)

= ^dv

du \ dv

фф*,

(2.2.2)

^где интегрирование проводится по всей области переменных (г, v

Q).

Для определения вида сопряженного оператора L* воспользуемся

основным функциональным соотношением (2.1.12).

Рассмотрим левую часть этого соотношения

(

Ьф)

= [ dv

dQ \

Жир*

[Яуф + 2ф—

—^dQ' |Л>'Ф(Г, о',

Q')w(\i

v'-+v)]. (2.2.3)

Используя теорему Гаусса^—Остроградского

Jdr (QV) фф* = JdT

фф*,

где n — единичный вектор нормали к поверхности Г, приходим к

следующему соотношению:

\ dry*

ЙуФ

= — f

ЛчрЙуФ*

+ [ dT\Qn\

фф*.

(2.2.4)

Если теперь потребовать, чтобы выполнялось условие

Ф* (г, v, Q) = 0 на Г при Qn > 0, (2.2.5)

и принять во внимание условие (1.2.1), то будем иметь

$^Г|ЙП|ФФ* = 0.

Таким образом,

$Л$<Ю$Жкр*ОуФ== — f

dr J dQ

ЛнрОуФ*.

(2.2.6)