Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

ского уравнения (5.2.5) будет функцией только z, Ь и ф. В результате

уравнение (5.2.5) примет вид

2я Я

cosfl-^ +

2cp

= -^- Г d$' fsinO'dO'q>(z, ф', d')gW +

dz 4я J J

о о

/(*,♦,*).

(5.2.6)

Если решение ф и источники / не зависят от азимута

г]),

то уравнение

(5.2.6) несколько упростится:

cos О

—2.

2ф

Я 2Я

Jsin*'£H>'<p(*, *')-^-Jd*'ef(l*o)+/(2,«). (5.2.7)

Введем новую независимую переменную [г по формуле \i = cos О.

Тогда уравнение (5.2.7) перепишется в виде

,»iL +

2q>

= -|- j ф'ф(г,|1')г(1*'-1*)+/(г.1*). (5-2-8)

— 1

2Я

где g(|i' -> ^) = J- Г g(|i

)d*'.

Функция #(|А'->-|А) обладает свойством симметрии: g (|i'-»■ |i) =

= 8

(И*

"^и').

Если рассеяние изотропно, то g ([х

) = 1, g ([*' ->|i) =

= 1 и уравнение (5.2.8) имеет вид

H-|L+Zq> = -|L J d|*'<p(z,|i') +

/(*,|i)-

(5.2.9)

На границе при z = О, Я дополнительно необходимо поставить усло-

вие

Ф (Я, |i) = % (у) при

|А

< 0; ф (0, (г) = У

(р) при

(Л

> 0, (5.2.10)

если на слой извне падают потоки У

(Я, |i) = ф (0, |х) при

\х

< 0, ф (0, |i) = ф (Я, |i) при |i > 0,

если рассчитывается периодическая задача для ячеек. Эти усло-

вия объединим одной формулой, позволяющей рассмотреть более

общие краевые условия:

Ф(Я, f*) = x^(0, |i) + Vi(|i) при [х<0; 1 (5 2 11)

Ф(0,

[г)

= х

ф(Я, |i) + V

((i) при [г>0, J

где 0 ^ x

^ 1.

Нулевой момент выразится формулой

Фо

(*) = у Г Ф(г, [A)d|x.

Если источники нейтронов изотропны, то следует положить / (z, ц) =

= /о (г).

Уравнение (5.1.15) для функции и (z, \i) при четной по \i

функции

g (\i

) принимает вид

_L/(

)^-l

«+B = C(2)Jg(|l'->.|l)tt(7,|l')d|l4^(2,H), (5.2.12)

где 0 < jx < 1, с = 2/S, / = 2"

, /

(г, ,г) = / (z, fx)/2,

^fe|i) = Y(/i(2,|i) + /i(ar

-|i)).

ц/(г) а

(fi&v)—Л(*.

—

rt).

2 . дг

Уравнение такого типа впервые было получено Е. С. Кузнецовым

[1031.

Связь функций и и ф осуществляется с помощью равенств

и (z, \х) = (ф (z, fi) +

(г, — ц))/2;

(г, |i) = и (z, fx) — ц/ (г) dw/dz + (Д (г,

\х)

— f

(z, — у)) 12]

Ф (z, — fi) = и (z, ц) + И^ (*) dw/dz — (Д (z, ц) — /

(г, —

\л))12

(где [г ^ 0), пользуясь которыми, получаем краевые условия

[(1 + х

) и—(1 —х

) \ildu/dz] |

= 2х

а |

=я

—

-(l-*i*

)(/i(0, fx)-/i(0, -[A))/2 + V

-X

IY, (5.2.13)

[(1

+ х

) t/ +

(1 —

*i и

) [ildu/dz] |

гвЯ

= 2х

2==г0

+ (!-*!х,ШЯ, rt-/i№ -rtM/2+Vi-x.v,,

при |а > 0 соответствующие условиям (5.2.11).

Найдем скалярные произведения, входящие в функционал G (и)

(5.1.25),

при / (z, ц) = / (z, — ji), V| = x

= 0 (i = 1, 2); они с точ-

ностью до общего постоянного множителя равны:

н 1

(1о«.

и)- J<*z jd(x [/-i(z)u*(z,

\i)

+ \i

l(z) (j£-J] +

о 0

_ я 1 1

(cSw,

= j dz

d\i

dp' 2

(z)

и (z, \i) и

(z,

\L') g (|i/ ->

Ц,);

ooo

(и,

F) = Jdz f d|ui(2r, fi)/(z, ji).

(5.2.14)

Задачи

со

сферической симметрией,

В ка-

честве координат примем расстояние гот центра сферически-симметрич-

ной системы

до

рассматриваемой точки

Р и

угол

между радиус-

вектором точки

Р и

осью

z. В

данном случае будем иметь

d<p

дф дг , дер d$

Из геометрического рассмотрения нетрудно получить

0 Л

n d®

sinft

d% dl г

Если

качестве переменной принять

\х =

cos

ft, то

= [X

J*L+i^L^. (5.2.15)

В результате кинетическое уравнение для задач со сферической сим-

метрией будет иметь вид

дг

г д\л

= '-!-jVq>(r,

lOsO**-*-!*)

/(r,

|i). (5.2.16)

В частности, при изотропном рассеянии

^ ftL + i^li as>

Js. Г

+/(Г)

(

5.2.17)

or г 0(Л 2 J

Здесь,

так

же как и

выше, переход

глобальным характеристикам

Фо

(

)

/о (

)

осуществляется

помощью равенств

1 1

Фо

(г)

=^— f

(г,

(X)

d|i; /о

(0 = у f /(г,

|i) dji.

Если источник нейтронов изотропен,

то /

(г,

|х) = /

(г). Уравнение

(5.2.16) можно записать

дивергентной форме:

= ^L Jdji4(r,n')«(|A'-^l*) +

/(M*).

(5.2.18)

На границе с вакуумом при г = R следует поставить условие

(/?, ^) = 0 при \i < 0.

Уравнение (5.1.15) для функции и (г,

\х)

при четной по \i

функции

g (fx

) и четной по |я функции / (г, ц,) принимает вид

-V{r)QV]*u +

= c(r)\d\i'

u{r

v)g(p'-+v) +

fi{r

\i) (5.2.19)

(0<г<Я, 0<[х< 1);

и + Цг) QVu = 0 при г = #,

< \i < 1,

Лг7

5м . 1-й,

д«

где

QVu

(х

——| £_ —- .

дг г d\i

Функции и и ф связаны соотношениями

и (г, (А) = [ф (г, \i) + ф (г, — |А)]/2;

/ (г) QVw = [ф (г, — ji)— ф (г, |л)]/2,

и с точностью до общего постоянного множителя соответствующие

функционалы равны

(5.2.20)

и,

и)

= j г

dr J d^ f/"

(г)

(г,

ji)

о о *•

/(г)(и

^-+^^)]

^1^"

Я 1 1

(CSK,

и)

= J

dfx' S

(г)

и (r, \i) и (г, JA') g

0*'

И*);

0 0 0

Я 1

(«i,

F) = J r

4ра (r, |i) / (r, ц).

Задачи с цилиндрической симметрией. Рас-

смотрим бесконечный цилиндр радиусом R. Пусть 2— ось цилиндри-

ческой симметрии. Если нейтрон находится в точке Р, то

— угол

между направлением полета нейтрона и вертикалью в точке Р; г|) —

угол между проекцией направления полета нейтрона на плоскость

(х

) и осью Xi, г — расстояние от оси симметрии до проекции точки

Р на плоскость (х

). В этом случае

dy __ дф дг , дф dip , дф d$

~d[~~ дг "ai~ "Згр" dl <№ dl

Из геометрических рассмотрений следует, что

■—

= sin

cos

*ф;

-^ =

= ; «л = 0. В результате кинетическое уравнение примет

вид

2Я Я

V дг г дф )

-|j-

<ty'

Jsin*'d*'<p(r

г|Л *')*Ы + /('. г|>, #). (5.2.21)

о о

Уравнение (5.2.21) можно записать в дивергентной форме:

sin

("ЙГ

cos

^ -

ip) т*-

))

+2<р=

2я Я

-|j-

f Л|>' f sinO'dr ф(г, *', *')fifOi

) = /(r

Ф, *). (5.2.22)

о 0

Пусть в качестве переменных взяты \i = cos

и у = cos

-в

Если

известно, что источник / (г, г|),

*&)

— четная относительно ф = О,

д = л/2 функция, то уравнение (5.2.21) для задач с цилиндрической

симметрией примет вид

1 1

= -^- f -^

^7Ф (г,

|i,

(l»e)

+ /

(г,

|», Т). (5-2.23)

При изотропном рассеянии g (ц.

) = 1. Переход к глобальным ха-

рактеристикам ф

(г), /

(г) осуществляется с помощью равенств

Фо

1 1

fo(r)=±[dy Г-_*_/(,,

л J J

Vl-n

(5.2.24)

Если исгочник изотропен, то / (г, [i, у) = /

(г). Уравнение (5.1.15)

для функции и (г, |х, Y) принимает вид

1 1

= — f—т= f dyu(r, |i, v)g(Ho) + -F(r, щ v).

С точностью до общего постоянного множителя соответствующие функ-

ционалы равны

R 1 1

и,

и)

= J rdr f —=•

dy [/-

(г)

и*

(г,

ц,

) +

Vf^[>£+!=tJS-]-}

1 1

f-7^=- f <%КГ=?а*(Я, и, Y);

J Vi—и^ i

о о

к r

o ^ ^ о о

X «(г, fi, y)u(r,\i', y')g(\i

R 1 1

(и,

F)=

rdr Г—^Ц- f dya(

, [х, v)/(r, (А, у).

О о " "** о

§ 5.3. О КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ НА ГРАНИЦЕ БЕСКОНЕЧНОГО

ЦИЛИНДРА

В этом параграфе мы обсудим постановку некоторых эффективных

краевых условий при г = R для решений уравнения (5.2.21). Цилиндр

может облучаться извне некоторым потоком нейтронов. Это означает,

что при г = R задано условие

ф (Я, if, О) = V

(я|),

О) при я/2 < ip < Зя/2, (5.3.1)

где V (гр, Ф) — заданная функция.

Существуют и так называемые эффективные краевые условия для

ячейки реактора, возникающие при упрощении решения следующей

задачи. Пусть реактор состоит из ячеек, имеющих форму призм с об-

разующими, параллельными оси г (например, правильных шести-

или четырехгранных призм). Необходимо вычислить поток нейтронов

внутри каждой призмы. Эта задача упрощается путем последователь-

ного введения следующих двух допущений.

Предполагается, что высота призм бесконечна, свойства среды

внутри призм не зависят от г. Призмы одинаковы по свойствам и фор-

ме,

они заполняют все пространство R

. Таким образом, приходим к

периодической задаче во всем пространстве; некоторые решения та-

кого рода задач найдем в § 5.8.

Каждая из призм заменяется некоторым эффективным круговым

цилиндром радиусом R, внутри которого свойства сред и источники

считаются зависящими только от г, г|э, ft.

Следовательно, при втором допущении приходим уже к одномер-

ной пространственной задаче. В рамках его требуется на границе ячей-

ки при г = R поставить такие граничные условия, которые бы доста-

точно удовлетворительно описывали процессы переноса нейтронов

в условиях допущения 1, Одним из подобных условий является усло-

вие зеркального отражения для ячейки Вигнера—Зейтца [63]:

(#,

г|),

0) = ф (Я, я —

а]),

О) при я/2 <

г])

< Зя/2, (5.3.2)

при котором нейтроны зеркально отражаются от стенки цилиндра от-

носительно обоих углов \|) и Ф. Если принцип зеркального отражения

по углу # является справедливым и для симметричных решений в не-

круговых ячейках, ибо нейтроны, вылетающие под углом

из одной

ячейки, являются влетающими под тем же углом

в соседнюю ячей-

ку, то требование зеркального отражения по углу г|э плохо согласу-

ется в области эффективной границы круговой ячейки с истинной кар-

тиной распределения нейтронов в этой области для периодических

задач. Нетрудно заметить, что при замене многоугольника окружно-

стью наибольшее различие в поведении потоков нейтронов наблюдает-

ся в окрестности г = /?, г|) = я/2, Зя/2. Поэтому было бы желательно,

чтобы нейтроны, попавшие в эту окрестность, учитывались в эффек-

тивном краевом условии с меньшим весом. Значит, краевое условие

целесообразно искать в виде (5.1.5). Конечно, в выборе такого типа

краевых условий имеется определенный произвол.

Напишем краевые условия для круговой ячейки, в основе получе-

ния которых взят закон сохранения для каждого Ф общего баланса

нейтронов на внешней границе ячейки любой формы. Эти условия бу-

дут сохранять интегральные по г|э свойства распределения нейтронов

при г = R.

Пусть Г — периметр некруговой ячейки; п — внешняя нормаль

к Г, а

Т±

= у J

(х, ф, #)

cos

г|)

| Л|>,

где х £ Г, а интегрирование ведется по гр, для которых векторы п,

й образуют соответственно острый или тупой угол. Для кусочно-

гладких границ почти всюду имеем

Г+1 = 7U = 1. (5.3.3)

Тогда при отсутствии на Г источников для каждого $ справедливо

равенство

jr+9dr = $.7\_q>dr. (5.3.4)

г г

Естественно потребовать, чтобы равенство (5.3.4) было справед-

ливо и для круговой ячейки. Поскольку в этом случае функции Т±ф

сохраняют постоянные значения на Г

, где Г

— периметр круговой

ячейки, (5.3.4) превращается в равенство Г+ф = 7\_ср при г = R,

0< #< я.

Для круговой ячейки Г+ф = 7\р, где

Я/2

Гф = — Г

(#, я|), ft) cos i|xh|). (5.3.5)

— Л/2

Краевое условие на границе цилиндра при г = R поставим в сле-

дующем виде. Пусть влетающие в ячейку нейтроны распределены

согласно закону

Ф (#, г|), ft) = х (а —

cos

г|))

Гф + V (яр, ft)

при я/2 < г|)< Зя/2, 0 < ft < я,

где V (яр, ft) — известная функция, характеризующая падающий на

цилиндр поток нейтронов, оператор Гф cos ft — среднее число ней-

тронов, вылетающих из цилиндра и пересекающих единичную площад-

ку под углом ft, нормаль которой есть вектор (1, 0, 0). Скаляры а

и b выберем такими, чтобы при х = 1, V = 0 и любом 0 < ft < я

был выполнен баланс нейтронов. Это значит, что Т (а + b cos

i|>)

= 1,

т. е. ft = 4 (1 — а)/л. Окончательно краевое условие запишем в виде

Ф (R, о|>, ft) = х (а — 4 (1 — а)/я cos

г|))

Гф + V

(яр,

ft)

при я/2<\|з< Зя/2, О<0<я;. (5.3.6)

Теперь величина х играет роль альбедо; она означает, что х-я

часть вылетевших из цилиндра нейтронов возвращается обратно по

закону (5.3.6); при х = 0 получаем условие (5.3.1). В формуле (5.3.6)

величину а можно взять, если нет на то особых соображений, равной,

например, единице или нулю, получая при этом стандартные распре-

деления. При расчетах ячеек (х = 1, V = 0) выбор а существенно

влияет на поведение d(p

/dr в окрестности г = R. Для достаточно ши-

рокого класса задач а можно выбрать так, чтобы

dq>

/dr

= R

= 0,

при х = 1, что в наибольшей степени соответствует характеру наших

допущений. Расчеты различных типов ячеек с применением формулы

(5.3.6) показали достаточно хорошее согласие с аналогичными резуль-

татами вычисления коэффициента теплового использования по ме-

тоду Монте-Карло.

§ 5.4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПАЙЕРЛСА

В некоторых случаях удобно иметь дело не с интегро-дифферен-

Циальным уравнением Больцмана, а с интегральным уравнением. По-

лупим интегральное уравнение в предположении, что рассеяние ней-

тронов изотропно. Ради простоты источники нейтронов будем считать

изотропными.

Рассмотрим невогнутую область D, заполненную веществом, огра-

ниченную поверхностью Г. Тогда в указанных выше предположениях

кинетическое уравнение будет иметь вид

ЙУф + 2

= Q(r), (5.4.1)

где

Q(r) = 2

(r)-f/o(r); ф

(г) = (1/4я)$£/Оф(г, ft). (5.4.2)

Если на внешнюю границу Г из вакуума падает изотропный поток

нейтронов, то

Ф(г, ft)-У(г) на Г при ftn<0, (5.4.3)

где V (г)

—

заданная функция точек поверхности Г.

Рассмотрим сначала случай, когда свой-

ства среды остаются неизменными для всех

точек области D. Это значит, что

= const,

2 = const. Функцию

(г) временно будем

считать известной. Тогда решение уравнения

(5.4.1) при условии (5.4.3) нетрудно найти

следующим образом. В кинетическом урав-

нении (5.4.1) скалярное произведение ОУф

запишем в виде производной по направлению

ft, т. е.

QV<p=-4-(r-№. О)1б-о,

где £ отсчитывается от точки Р в направле-

нии, противоположном вектору Q (рис. 5.1).

Рис.

5.1. Схема движе- Таким образом, вдоль луча Q кинетичес-

ния нейтрона в среде кое уравнение (5.4.1) запишется в виде

вдоль луча Й:

Я-точка наблюдения; £- 0

координата по лучу Й, от- ф

(Г

считываемая от точки Р; д£

|о

—

расстояние по лучу от

точки до поверхности Г __. Q

|Д\ • Г 5 4 4)

при условии, ЧТО

Ф(г—£

О,

0) = У(г—ЕоО).

(5.4.5)

Заметим, что в уравнении (5.4.4) и граничном условии (5.4.5) г явля-

ется радиус-вектором точки Р.

Решение задачи (5.4.4), (5.4.5) имеет вид

Ф(г-10,

= V(r-6oQ)exp(-2(b-6)) f

+ J

Q(r-6'0)exp(-S(6'-»)d6'.

Следовательно, положив g = 0, получим

(5.4.6)

(г,

ft) =

V (г—So

ft)

ехр

(-Zgo)

+ j

(r-?ft)

ехр

(-21) #. (5.4.7)

Равенство (5.4.7) проинтегрируем

по

Фо

(г)

= -±-

йШ

(г-1о Й) exp (-2£„)

+ ~\dQ^Q(r-lQ)exp(-H)dt

(5.4.8)

В соотношении (5.4.8) положим

—

г', г

— £

заметим,

что

<! £<: £

, а элементы объема dr' и площади drr равны dv'

d\dQ\

dQ/|Qn|,

где g

г —

г' |; 6

1гг-г'|.

Тогда выражение (5.4.8) можно представить

виде

Фо

4я

J *

г—г'

drrV(rr)

|JLJiL

4л

—Гг.

I-—г|

ехр(—2|г—г

гР

(5.4.9)

Если теперь принять во внимание соотношение (5.4.2), то выражение

(5.4.9) запишется

виде интегрального уравнения

Фо

(г)

= J dr' 2

(г') К

(г'

г)

F (г),

(5.4.10)

где

F(r) = jdr7o(r')/C(r'->r)

jdr

F(r

)

—Г

г—г

К (г*-»» г);

К (г'

г)

- '

P(-

"—

г>

г—г

(5.4.11)

Интегральное уравнение (5.4.10) называют уравнением Пайерлса.

В том случае, когда

2 = 2

(г) и 2

(г),

т. е.

когда среда

области

неоднородна, интегральное уравнение Пайерлса имеет

вид

Фо (г)

dr'

(г')

фо

(г')

(г'

-»-

г)

(г),

(5.4.12)