Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

До сих пор вид функции A* (v) не фиксировался. В различных

задачах функцию A* (v) можно выбирать по-разному, исходя из фи-

зического существа задачи. Если имеем дело с задачей на критический

размер, то в качестве величины А*

(и)

можно, например, взять реше-

ние сопряженной задачи, проинтегрированное по объему реактора,

т. е.

4>) = jdrcp5(i\i>), (3.2.12)

причем функция ср5 (г, v) находится с помощью решения приближен-

ной задачи, например

Pi-приближении. Следует отметить, что в боль-

шинстве случаев удобнее всего выбрать

А *

равной единице, особенно

в тех случаях, когда число групп достаточно велико. Поэтому в даль-

нейшем будем предполагать, что A* (v) = 1.

§ 3.3. МНОГОГРУППОВАЯ СИСТЕМА ОСНОВНЫХ И СОПРЯЖЕННЫХ

УРАВНЕНИЙ РЕАКТОРА

Рассмотрим эквивалентную задачу для потока нейтронов. Если ра-

ди простоты опустить штрихи при ф, 2 и w (Я

-*й'),

то задача опре-

деления критической массы и потока нейтронов будет сведена к ре-

шению кинетического уравнения (3.1.1) с граничным условием (3.1.2).

Умножим его почленно на do и проинтегрируем по переменной v

в пределах группы

Vj^

< v < vji

QV<pi

2iq>l

= [dQ'[dv'<p \ dvw(uL

,v'-+v). (3.3.1)

Здесь <fy= \ dvy.

J-I

Рассмотрим интеграл в правой части уравнения (3.3.1), обозначив

его

А ф. Представив

его в виде суммы

интегралов

по группам

с/^ < v' <

< v

нетрудно прийти к следующей приближенной формуле:

Лф

« 2 \ dQ'

Ф*

(г, О) w Ы

At>i,

(3.3.2)

где

Avj^vj—vj^;

'-*/ р

(Но)

= \ dvw

([г

->•

v)\

< v[ < v

. (3.3.3)

Введем обозначение

sw=wV)^

)

Тогда многогрупповая система кинетических уравнений запишется в

виде

пуф/+2/ф/=21^

'ф

(г,а

)2Ы; 1

{335)

/(г,

= 0 на Г при Qn<0. )

Для получения многогрупповой системы сопряженных уравнений

будем исходить из эквивалентного сопряженного уравнения (3.1.3)

с граничным условием (3.1.4). Для интервала скоростей ^_

< v <

это уравнение можно записать в следующем виде:

/-'

—ЙУф*

+ 2'ф* = 2§<*Д' $ А>'ф*(г,»',0')ш Ы- (3.3.6)

i-i

Предположим, что решение (3.3.6) на интервале v^

< v <

есть слабо меняющаяся по v функция. Соответствующие функции бу-

дем обозначать ф*' (г, ft). Тогда уравнение (3.3.6) перепишется так:

—

QV<p*'

+ 2V/ = 2 f dQ'<p*

(r, Q'/jg (|i

). (3.3.7)

Граничными условиями для уравнений (3.3.7) будут следующие:

Ф*/ (г, Q) = 0 на Г при ftn > 0. (3.3.8)

Итак, мы пришли к многогрупповой системе сопряженных кинети-

ческих уравнений.

В заключение приведем формулы для многогруппового расчета,

учитывающие свойства функции ф*. Поскольку она не зависит от ско-

рости нейтрона в пределах группы, можно записать:

Где

ы=

-%г

(2т

(1го)

J Л-^Оф*''/^' J Лир J Ж'»т(*-»')Рт(|1о)

(3.3.9)

",/-i

i-i

(3.3.10)

J Лг^Оф^Я»' j <Ц>Р

(ц

)

J-I

В формулах (3.3.9) и (3.3.10) величины w

(v -W) являются

коэффициентами разложения функции

(\i

v -+v') в ряд (3.2.8)

по многочленам Лежандра.

Формулы усреднения групповых констант (3.3.9) содержат как не-

известный поток нейтронов ср, так и ценность ф*'. Практически во

многих случаях эти функции можно получить на основе изучения про-

стых модельных задач, например в диффузионном приближении. В по-

следние годы имел место прогресс в области использования метода

Монте-Карло именно для получения усреднения групповых констант

по формулам (3.3.9). Такое направление является перспективным для

теории групповых методов

[179].

§ 3.4. ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА ГРУПП

До сих пор нас интересовали однородные задачи на критический

размер реактора. Однако во многих случаях приходится иметь дело

с задачами неоднородными. Для решения таких задач можно восполь-

зоваться многогрупповым методом, сформулированным в предыдущих

параграфах главы. Однако соответствующие многогрупповые уравне-

ния не будут в таком случае «наилучшими» с точки зрения существа

задачи.

В самом деле, указанные многогрупповые уравнения построены та-

ким образом, чтобы критический размер реактора, рассчитанный с по-

мощью многогрупповой системы, был правильным. Что касается не-

однородных задач, то они связаны с отысканием тех или иных линей-

ных функционалов, обсужденных в гл. 2. В этом случае, очевидно,

многогрупповые системы уравнений желательно получить в предпо-

ложении, что интересующий нас функционал в результате перехода

от невозмущенной задачи к многогрупповой не изменится.

Итак, рассмотрим задачу (1.3.1). Пусть линейный функционал да-

ется выражением (2.1.10). Тогда сопряженной задачей по отношению

к тому функционалу будет задача (2.2.11). Эти задачи будем назы-

вать невозмущенными.

Введем в рассмотрение возмущенные задачи, которые отличаются

от невозмущенных тем, что функции 2 и ОУ(|Х

, v'-+v), входящие в со-

ответствующие уравнения, заменяются величинами, не зависящими

в пределах групп от скорости нейтрона.

Запишем формулу теории возмущений для функционала /

[ср]:

[

] = - fdrfdQfdv Ц2' — 2)

ФФ

*' —

/Л1'/ЖЛр*' X

x[w (|i

, v -W) — w' (|i

, v

-W)]],

(3.4.1)

где штрихом отмечены функции, соответствующие возмущенной зада-

че.

Потребуем теперь, чтобы б/ = 0. Рассуждая далее так же, как

и в случае задачи на критический размер реактора, приходим к сле-

дующим задачам:

йУф>+2/

/-2 J ЛГФЧГ. Й')2 Ы=/

{ЗА2)

ф/(г,

= 0 на Г при Qn< 0, ]

где

//= \ dvf(r,v,Q) (3.4.3)

для основных уравнений, и

-QV^+SV/-2

JdQV'fc

Q')

S'(I*O)

= P

, )

(ЗЛ4)

*/(г,

Д)

на Г при fln>0, J

где

= Ш J ^Р

для сопряженных уравнений. Здесь величины 2' и 2 ((я

) снова

определяются формулами (3.3.9), где в качестве функций ф и ф*'

необходимо взять решения соответствующих неоднородных задач.

3.5. МНОГОГРУППОВАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

На основе полученных много групповых систем основных и сопря-

женных уравнений реактора можно сформулировать соответствующую

теорию возмущений. Рассмотрим многогрупповую систему основных

уравнений (3.35). Эту систему будем называть невозмущенной.

Рассмотрим далее возмущенную систему, отличающуюся от (3.3.5)

тем,

что в ней величины 2' и 2 заменены 2'' и 2', причем

/-►/

/->/ /->/

2'/

= 2' + 62'; 2'= 2+6 2. (3.5.1)

Запишем возмущенную систему уравнений реактора:

-ftV

*'/

+ 2'/

*'/-2jd«4*

/,/

'(M =

Ф*'/(г,

О)

на Г при Йп>0. )

В качестве характеристического параметра задачи примем

= Ш

Э(Ь

В этом случае величины 2 и 2' необходимо представить в виде

(|io)

= 2

)

;

) = 2

)+Г S/ , (3.5.3)

где X' = X + 6Я, причем

6А,

—

искомая величина.

Уравнения (3.3.5) почленно умножим на ф*'' и просуммируем

По всем /, а уравнения (3.5.2) умножим на ф'/ и также просуммируем

По /. Полученные соотношения проинтегрируем по всему объему ре-

актора, по всем телесным углам единичной сферы и вычтем получен-

ные результаты один из другого. Тогда, используя свойства сопряжен-

ности, а также граничные условия для функций ф' и ф*'', нетрудно

прийти к равенству

2|^г|^бЕ/ф/ф*'/-2Е|^г|^ф*

/|^Й'ф

X [б 2

(|х

) + Г б 2, + 8к S

J - 0. (3.5.4)

Разрешив соотношение (3.5.4) относительно 6А,, получим*

a&=

/ / /

где

/ = J7fflq>'(r

i>, 0). (3.5.5)

Если возмущения физических параметров малы, то приходим к

формуле малых возмущений

2 J dv

ЛОбЕ

> ф*

~2 21 J

Ф*

rfQ/

Ф*

<& Vo)

6Я= 1 !—

- ■ • (3.5.6)

221^ФоФ*о

у/

Аналогичным образом могут быть получены формулы теории воз-

мущений для неоднородных уравнений.

* Формулы (3.5.5) и (3.5.6) получены в работе

[230].

ЭФФЕКТИВНАЯ ОДНОГРУППОВАЯ ТЕОРИЯ

Глава 4

ОДНОГРУППОВОЕ

КИНЕТИЧЕСКОЕ

УРАВНЕНИЕ

§ 4.1. ЭФФЕКТИВНОЕ ОДНОГРУППОВОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

При расчетах критических масс реакторов имеет существенное зна-

чение эффективная одногрупповая теория. Сущность ее состоит в том,

что многогрупповая система кинетических уравнений реактора реша-

ется приближенными методами. Затем с помощью приближенного ре-

шения усредняются физические константы. В результате нетрудно

прийти к одногрупповой задаче, которая решается с помощью хорошо

разработанных методов.

Одногрупповые основные и сопряженные уравнения оказываются

весьма полезными во многих случаях. Например если требуется более

точный расчет

или критического размера реактора, то имеет смысл

сначала выполнить необходимый расчет с помощью простых методов

в многогрупповом приближении, усреднить физические константы

и прийти к одногрупповой задаче, которую затем решать более точ-

ными методами. Одногрупповой метод оказывается весьма полезным

также при решении задач в дву- и трехмерной геометриях. Для это-

го сначала решаются соответствующие задачи в предположении одно-

мерной геометрии, затем получают усредненные константы и оконча-

тельный расчет проводится для дву- или трехмерной задачи в рам-

ках одногрупповой методики. При таком подходе имеется возможность

получить весьма точное значение £

ф или критического размера реак-

тора. Следует, однако, помнить, что одногрупповая задача приводит

только к правильным значениям £

эф

или критического размера. Ос-

тальные характеристики реактора, такие, как интегральный поток

нейтронов по всем группам или число вторичных нейтронов деления,

вообще говоря, получаются неточными.

Существенную роль одногрупповая теория играет при решении

задач на компенсацию реактивности реактора с помощью системы уп-

равления и защиты. Эта задача тесно связана с расчетом компенсации

реактора. Она может быть решена указанным методом в рамках одно-

групповой теории в различных геометриях.

Рассмотрим многогрупповую систему основных уравнений реактора

(3.3.5):

fiVcp' + SV—2 f d°V(r, Q')S(|io) = 0 (4.1.1)

при условии

cp'(r, Й) = 0 на Г при Йп<0. (4.1.21

Наряду с многогрупповой системой основных уравнений рассмо-

трим одногрупповое сопряженное уравнение

—

ОУФ*+2Ф*—f

dQ'<p*(i\ Q')a>Gi

) = 0 (4.1.3)

при условии

Ф* (г, Q) = 0 на Г при On > О,

(4.1.4)

где 2 (г) и w (|х

) — пока произвольные величины.

Функции 2 (ц,

) и w (\i

) представим в виде рядов по многочленам

Лежандра:

(|i

) = -±- ^

(2л

+ 1) S Р

(fx

);

4я „

(4.1.5)

где

/-►/

! A /-/

= у f 2 (|i

) P

) d|i

; w

=-j [w Ы ^n Ы фо-

Величины 2 и w найдем из условия, согласно которому критиче-

ский размер реактора, определяемый системой основных уравнений

(4.1.1) и сопряженным уравнением (4.1.3), должен быть одним и тем же.

Поступим следующим образом. Умножим уравнение (4.1.1) почленно

на ф*, а уравнение (4.1.3) — на фЛ Результаты просуммируем по /,

проинтегрируем по г и Q и вычтем один из другого. Тогда

dQ jj dr f(ф* Q Уф' + у

ЙУФ*)

+ (2/ — 2) ф* ф/ —

-Г

/ j dQ'

Ы-Ф* S j

(|io)l]

0. (4.1.6)

С учетом граничных условий (4.1.2) и (4.1.4) по теореме Гаусса—

Остроградского члены с производными сократятся, а соотношение

(4.1.6) примет вид

J dQ

dr 1(2/ ф/

ф*

—2ф*

) — Гер/ jj dQ'

q>*

w (fx

) —

'-/

*2^'

(,i

)

-0,

(4.1.7)

где чертой сверху_отмечено суммирование соответствующих величин по

индексу /, т. ,е. Л' = 2AL

Принимая во внимание тот факт, что

\dQ f drq?\dQ'<p*w(щ,) = Jdii J^гф* f

ip?

w(щ)dQ\

соотношение (4.1.7) окончательно приведем к следующему виду:

UQ f аг[ф*(27ф7_2ф"0 —

(4.1.8)

Ф*

/-»•/

JdQ'tp/ieW-jdfivS 2 Ы

=о.

Равенство (4.1.8) будет выполнено, если потребовать, чтобы выпол-

нялись соотношения

[<Ш^Гф*(2'ф/—

2<р/)

= 0;

Jdfl

|^Гф*

dQ'

[(p'^W-^'i' Ы| =0,

(4.1.9)

где интегрирование по г ведется в пределах данной зоны реактора.

Второе соотношение из (4.1.9) преобразуем с учетом (4.1.5):

2(2n+l)jdr[^^*JdQ>P

(N)-

*$^О'ЧФ

ПЫ]

= 0, (4.1.10)

где о^ = 2 о;.

Соотношение (4.1.10) выполнится, если положить

j dr [o;

dlhp*

jdft' ?

(j^ - J

dQcp*

JdQ' Sjy

P„ (щ)]

(4.1.11)

Из первого уравнения (4.1.9) и равенства (4.1.11) следует, что

2 = jdQ j Лгф*2/ф/ / jdfl j Лчр*ф/;

= jdft j

rfnp*JdQ'

5Г? P

(ц

)

/ jdQ j Л

* J dQ V

Ы-1

(4.1.12)

Таким образом, эффективные одногрупповые константы найдены

и можно сформулировать односкоростную теорию. В самом деле, за-

дачу на критический размер реактора теперь нетрудно получить в виде

Q Уф

+ 2ф = /ЛГф (г, ft') w (|л

);

(г, ft) = 0 на Г, при ftn < 0.

(4.1.13)

К основной задаче (4.1.13) присоединим сопряженную (4.1.3), (4.1.4).

В том случае, когда рассеяние изотропно,

) =

(1/4JI)(2

(4.1.14)

где величины 2

и v/2/ определяются формулами

= §йгЩЩ<р*

/ JdiVcpJ;

^2,= f drvySj^/cpS / Jdr^S, (4.1.15)

причем

/ = (1/4я)/йОф/ (г, Q); ф5 =

(U4n)fdQ<p*

(г, О). (4.1.16)

§ 4.2. ОБЩИЙ МЕТОД ОДНОГРУППОВОГО УСРЕДНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ

КОНСТАНТ

В § 4.1 был рассмотрен простейший метод эффективного одногруп-

пового усреднения физических констант. Изложим более общий ме-

тод усреднения, который может быть применен не только к решению

задач на критическую массу, но и на прохождение нейтронов через

вещество.

Рассмотрим многогрупповую систему основных уравнений (4.1.1)

при условии (4.1.2), а также одногрупповое сопряженное уравнение

реактора (4.1.3) при условии (4.1.4) и введем некоторые, пока произ-

вольные, величины Л*Л

Умножим (4.1.1) почленно на Л*Лр*, а (4.1.4) — на Л*'ф'. Ре-

зультаты просуммируем по /, затем проинтегрируем по г и Q и вычтем

один из другого. Тогда

Так же как и в предыдущем случае, с учетом граничных условий

(4.1.2) и (4.1.4) по теореме Гаусса—Остроградского члены с производ-

ными сократятся. Тогда соотношение (4.2.1) переходит в следующее:

jdQ Jdrf(2/q>M*/q>*—2ф*Л*7фГ)—| Жу1 \ dQ'у*

(\i

)—

Л*'

f dft f dv\

(<p*

Vcp/

q>/

Уф*)

+ (2/—2)

ф*

ф/;—

ф/|^Й

ф*шЫ-ф*2|^

(

2(М]} =

(4.2.1)

—Ф*Л*/2|^О'ф

ЗЫ]} =

(4.2.2)

Изменив порядок суммирования и интегрирования в последнем слагае-

мом формулы (4.2.2), получим

j<Ю jdr{q>*(2/<p/A*i—

2q>/А*')—Ф*[

jdQ'ф/ Л*/да(ц

)—

Потребуем, чтобы выполнялись равенства

\drq>*

(2/

ф/

Л*/—2ф7л*Г) = 0;

(4.2.3)

ф/

A*i

(цо)—ф/

Л•'

-0,

(4.2.4)

где интегрирование по г ведется в пределах данной зоны реактора D

Приняв во внимание второе соотношение из (4.1.5), выполним даль-

нейшие преобразования, аналогичные приведенным в §4.1. В резуль-

тате получим формулы группового усреднения констант:

2 =

(dQ f <*г2/ф/Л*'ф* / JdQ f

dry!

A*i

ф*;

J dQ J

dnp*

j dQ' P

(|i

)

ф/

w»

A*'

«tap*

jdQ'

/>„

(no)

фМ*/

(4.2.5)

Итак, усредненные физические константы получены. Единствен-

ная неопределенная здесь величина А*К Она выбирается произволь-

но.

По существу, А*

выбирается из физических соображений. Для

простоты сначала предположим, что решение многогрупповой сопря-

женной системы уравнений представляется в виде

Ф*/(г, 0) = Л*/ф*(г, Q),

(4.2.6)

т. е. имеет место разделение переменных. В таком случае формулы ус-

реднения перепишутся следующим образом:

f dQ f drS/ф/ф*' / fdQ f dnp/ф*/; j

J\ I

§dQ j

dQ'

(Ы ф'2

»*

Ф*'

fdQ f rfr frffl'P

(ne)9/q)*/

(4.2.7)