Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

Полагая в формулах (4.2.5) А** = 1, приходим к простейшему

случаю усреднения, рассмотренному в §4.1.

Более точным алгоритмом усреднения групповых констант будет

следующий. Величины A*i определим формулой

Л*/

= f dQ f dnp*/

(г,

О); (vj-

< v < иД (4.2.8)

где интегрирование проводится по всему объему реактора. По своей

структуре Л*' имеет смысл средней ценности нейтронов данной груп-

пы по отношению к &

эф

. Это значит, что усреднение групповых кон-

стант будет проводиться с учетом как потока нейтронов в группах,

так и ценности нейтронов по отношению к &

эф

Если далее в качестве функции ф* (г, А) взять усредненную по

всем группам ценность нейтронов

Ф*(Г,Й)=--С2Ф*/(Г,Й),

где с — несущественная нормировочная константа, то с учетом (4.2.8)

приходим к групповому усреднению констант по формулам (4.2.5).

Таким образом, для использования метода усреднения необходимо

знать многогрупповое решение для потока и ценности нейтронов.

В качестве ф* выбрана усредненная по всем группам ценность нейтро-

нов.

В подавляющем большинстве случаев это оправдано. Однако для

уточнения алгоритма можно воспользоваться методом последователь-

ных приближений. По указанному способу усредним константы и,

решив задачу (4.1.3), (4.1.4) найдем ф*, которое далее снова использу-

ем для усреднения констант, и т. д. Этот процесс следует продолжать

до тех пор, пока одногрупповые физические константы не будут полу-

чены с требуемой точностью.

В заключение полезно обратить внимание на следующее обстоя-

тельство. При получении формул (4.1.12) и (4.2.5) было отмечено, что

усреднение констант проводится по отдельным зонам реактора D

которые выбираются произвольно. Если объем зоны D

устремить к

нулю,

то в соответствующих формулах интегрирование по г исчезнет

и ценности нейтронов ф* (г) сократятся. В результате из (4.2.5) по-

лучатся следующие формулы для одногрупповых констант:

2 =

—= -J • 7П) I

<Ю<р/

Л*/

dQ' P

(\i

)

q>/

A*l

Найденные функции 2 и w

— функции точки, т. е. 2 = 2 (г) и w

= w

(г). Таким образом, приходим к одно групповым уравнениям

(4.1.13) и (4:1.3) с переменными коэффициентами.

Глава

РЕШЕНИЕ

ОДНОСКОРОСТНЫХ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА

§ 5.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА И НЕКОТОРЫЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Некоторые математические методы решений односкоростных задач

переноса будут рассмотрены в последующих главах. Введем новые

обозначения; некоторые из них стали привычными в математической

литературе, а другие удобны для математических преобразований.

Пусть R

(х

) — трехмерное евклидово пространство; х = (х

)

— точка этого пространства с координатами х

, г — вектор,

выходящий из начала координат в точку х [иногда для координат

точек пространства R

будем пользоваться и другими обозначениями:

(х, у, z)\. Пусть Q = (&!, й

, й

) — единичный вектор (2Й? = 1)>

а(2 — поверхность единичной сферы в R

с центром в начале коорди-

нат. Тогда Й обозначает переменную точку й со сферическими ко-

ординатами Ф, г|э (0 s^ д < я, 0 <

г|)

< 2я):

= sin

cos

гр;

= sin ft sin

яр;

= cosd.

Элемент поверхности сферы й выразится формулой:

dQ = sin Qdbdty.

Пусть о — вектор (о)

, со

, (о

); <*>х = 2

е0

***» а #

X й— декарто-

во произведение пространств R

и й, состоящее из пар (х, Q), где

Q пробегает й, а х — R

. Пусть ф (х, й) — функция, определенная

на множестве D X й, где D — область в R

, в которой будем рассма-

тривать процесс переноса нейтронов. Предполагаем, что D — откры-

тое ограниченное выпуклое множество в R

и что начало координат

принадлежит D. Пусть D— замыкание D; Г = D\D—граница

п — внешняя нормаль к Г. Пусть в D и Й введены меры Лебега

н соответствующие им процессы интегрирования, в частности,

Scp=— f<p(x,Q')dG', (

5ЛЛ

)

где

J<p(x,Q')dQ' = J f<p(x,i|/

(

fl')dQ'.

Q 0 0

£1

Под выражением QV<p будем понимать равенство

*d dxt

и обозначим \i

= ЙЙ' =

А'>

е n

' £ &.

Пусть / (х) — измеримая, положительная и ограниченная в D

функция, такая, что

< а

< inf vrai I (х) ^ / (х) < sup vrai I (х) < а < оо,

a g (х, (i

) — индикатриса рассеяния, для которой Sg = 1.

Рассмотрим кинетическое уравнение для функции ф (х, Й), опре-

деленное в области D:

/(х)ЙУср +

= с(х)5

+ /

(х, О), (5.1.2)

где

S<p = Sfe<p). (5.1.3)

Пусть 2 = /-*; 2

с/1;

f (х, Й) = f

(х, Й)//. Тогда (5.1.2) за-

пишется в виде

$2Уф

+ 2ф = 2

5ф + /(х, Q). (5.1.4)

Будем рассматривать кинетическое уравнение, заданное как форму-

лой (5.1.2), так и формулой (5.1.4). Функцию /

(х, Й) предполагаем

принадлежащей некоторому подпространству функций. Дополни-

тельные требования на g и f

наложим позже.

Краевые задачи для уравнения (5.1.2), соответствующие физиче-

ским задачам для реактора и ячеек, можно сформулировать следующим

образом. Требуется найти в области D решение ф (х, Й) уравнения

(5.1.2),

удовлетворяющее на границе Г условиям

(х, й) |

= Г R (х, Й, Й')

(х,

')dQ'

+ V при пй <

(5.1.5)

пй'>0

где V — положительная функция, определенная на Г. Функция

R (х, й, й') характеризует возврат в область D вылетающих из об-

ласти нейтронов. Пусть однородная задача (5.1.2), (5.1.5) имеет толь-

ко нулевое решение. Значение R = 0 соответствует случаю, когда

извне в область D действует источник нейтронов V, а вылетающие из

области D нейтроны не задерживаются границей Г. Обычно краевое

условие (5.1.5) рассматривают в виде

ф (х, й) |

== 0 при пй < 0. (5.1.6)

При условии (5.1.6) в работах В. С. Владимирова [41, 42] решены

такие вопросы, как существование, единственность, гладкость и не-

прерывная зависимость от функций /, с, g, f

решений задачи (5.1.2),

исследованы свойства собственных значений и функций однородной

задачи. Ниже мы воспроизведем некоторые построения и результаты

этих работ.

Зафиксируем некоторое направление ft £ ft; обозначим яд орто-

гональную проекцию D на плоскость, перпендикулярную направле-

нию Я и проходящую через фиксированную точку О. Пусть Р обозна-

чает переменную точку яд. Рассмотрим прямую Р + £ft (— оо< £<

< оо) и обозначим

ЯОР

множество, получающееся от пересечения этой

прямой с областью D; я

ЙР

почти для всех точек (Р, ft) из Q X

JTQ

является открытым интервалом:

+ t®'-Z(Q,P)<l<r\(Q,P)}. (5.1.7)

Для каждого ft эта формула дает разложение множества D на де-

картово произведение двумерного множества

JTQ

одномерного мно-

жества ядр: D = JtQ X

ЯЙР,

выражающее взаимно однозначное

преобразование точек х £ D в точки (Р, £) из Jt

х я

р по формуле

х = Р + £Я. Дифференциальное выражение левой части (5.1.2) мо-

жет быть записано в точке (х, ft) = (Р, ft, £) в виде

Лф=/(х)ОУф +

= /(Р + 60)^ф(Р + 60, ft) +

(

p(P

£ft,ft). (5.1.8)

Пусть

Г^

=(Р+е(Я,Й)Й,Рбя

};Г

={Р+г

)

(ЛО)Й,Ябя

Рассмотрим краевую задачу (5.1.2), (5.1.6), тогда ф (х, ft) = О,

если (х, ft) £ Qx Г_я.

Определим класс функций D

, который будет областью задания

оператора Л, определенного формулой (5.1.8). К классу D

отнесем

функции ф (х, ft) = ф (Р + |ft, ft), которые обладают следующими

свойствами.

Почти при всех (Р, ft) из

X Q функция

(Р + £ft, ft) аб-

солютно непрерывна на замкнутом множестве ядр.

Почти при всех (Р, ft) из л

й функция

(Р + |Q, Й) удовле-

творяет граничным условиям: ф (Р + £Я, ft) = 0.

Лф £ Ж, где Ж

—

гильбертово пространство функций ф (х, Q)

со скалярным произведением

(

, i|))= f /-1(х)ф(х, Й')г|)(х, ft')dQ'dx (5.1.9)

£>XQ

и нормой || ф || = (ф,

ф)

Из условий 1—3 следует, что почти при всех (Р, ft) из яд X ft

существует производная -^ (Р + £ft, ft) (соответственно Й7ф) поч-

ти всюду на ядр (соответственно на D X Q), что D

а Ж и

||ф||<[1-ехр(-аоМ)Л|Лф||,

где d

—

диаметр области D. Многоскоростные задачи с R Ф 0 иссле-

дованы в работе Т. А. Гермогеновой [60].

Пусть операторы задачи (5.1.2), (5.1.5) таковы, что для достаточ-

но гладких функций

(х, ft) справедливы неравенства:

||«-

(сЗф,

Ф)

Со

f fln/У—/ J RtfdQ'\

\dQdV>2C

j ЙПФ

dQdT;

го \ \

Q )) r

l/iKoo; J QnV*dQdr<oo; [ (5.1.10)

j (Q'nW f (0,n)V/?dQydQ'dr<oo,

где d > 0 при

ф 0 и Cj^O при V = 0, а Г

= Q

Д =

(х,

ft, Q') = /?(x, —О, — Q'), V(x, ft) = V(x,-ft).

Пусть ф (x, ft)

—

достаточно гладкое решение (5.1.2), (5.1.5);

получим при условиях (5.1.10) априорную оценку для ф (х, ft). Урав-

нение (5.1.2), умноженное на 1~\, проинтегрируем по D X ft. Тогда,

учитывая (5.1.5), пользуясь формулой интегрирования по частям и

теоремой Фубини, получаем

_|_ J ftn /У

—

/ j

R<?dQ'

dQdT

+1|

- (cS<p,

<р)

(Ф,/!)

+ ^_ j QnV4Qdr+ J

Ф(Х,

ft') ^QnVRdQdQ'dT. (5.1.11)

Го TQ r

Левая часть (5.1.11) согласно (5.1.10) больше, чем

ColMP+Ci f QwpdQdT.

То

Слагаемые в правой части (5.1.11) оценим сверху:

(Ф,

/i)

(Со/2) ||

(1 /2С

) || Д

а при V Ф 0

Ф(Х,

ft') Г QnVRdQdQ' </Г< -^- f QtupdQdT +

То

О TQ

+ -t-Cr

(ft'nW f QnVRdQ^

dQ'dT.

To Va )

Следовательно,

ColMP +

j Onq>»dQdr<Co

|l/ill* + §

QnV*dQdr

СГ

j (Q'n)-

/ j QnVRdCiYdQ'dT.

Это и есть априорная оценка. Из нее следует единственность достаточ-

но гладких решений задачи (5.1.2), (5.1.5). Для одномерных задач,

а также для положительных функций ф, V, R требования (5.1.10)

можно ослабить.

Пусть индикатриса рассеяния g (х, щ) представима в виде

*(х,Ио) = 2 М*)в;Ы. (5.Ы2)

где

Л/"

—

некоторое целое число; ®j (|Л

)

—

четные суммируемые

на [— 1,1] функции, a bj (х)

—

измеримые, ограниченные почти всю-

ду на D функции. В этих условиях, используя прием В. С. Владими-

рова [41], можно перейти от уравнения (5.1.2) для функции ф (х, Й)

к другому уравнению для функции

и(х,

Й)

= [

(х,

Й)

(х,

-Q)]/2. (5.1.13)

Для этого, записывая (5.1.2) для функции ф (х, — й), получаем урав-

нение

—/ЙУф(х,

— Й)

+ ф(х, — 0) =

с3ф

(х,

—

Й).

Складывая с (5.1.2) и вычитая его из (5.1.2), получаем два уравнения

для функций и и v

с = [ф(х,Й)-

(х,-Й)]/2: (5.1.14)

lQVv

= c~Su+[f

Q)+ /

(х, -Й)]/2;

IQVu+v^lhix, Й)-Д(х, -Й)]/2.

Исключая из этих уравнений v, приходим к уравнению

— [IQV]

U+U =

CSU

+ F(X, Й), (5.1.15)

где

F(x,

= (h(x, 0)+/1(х,-Й))/2~/ЙУ(/Пх, Q)-/i(x

Q))/2

—

четная относительно й функция. По функции

и—решению

(5.1.15)—

функция ф (х, й) — решение (5.1.2)

—

определяется формулой

9 = <i-/QVa +

(x,

Q)-Mx, -0))/2. (5.1.16)

Уравнение (5.1.15) будем изучать в фазовой области D ХЙ фа-

зового пространства R

X Q, предполагая, что и принадлежит неко-

торому классу

С,

каждая функция которого удовлетворяет почти всю-

ду

на

границе

Г х Й

краевому условию

= ^

(5.1.17)

В частности, краевое условие (5.1.5) имеет

вид

и —

lQVu=

Г #(х, Й,

Q')(u

—

lil'Vu)dQ'

nQ'>0

+ V-Y(fi(x

Q)-/

-Q))+

+ ± J #(х, Й, Q')(M*. G')-/i(x, -0'))dQ\

nQ'>0

Краевую задачу (5.1.15), (5.1.17)

по

нахождению функции

и (х, Й)

запишем

операторной форме

u + F,

(5.1.18)

где операторы

= —

[/ЙУ]

+ /, L = —

[/ЙУ]

= cS

счита-

ем заданными

на

функциях класса

С.

Предполагается,

что

решение

задачи (5.1.18) единственно

существует

при

любой функции

F из

некоторого заданного класса.

Так, если

R = V = О, /

(х, Й) = /

(х, — й), то

область задания

операторов задачи (5.1.18)

при || f

\\ < оо

определяется следующими

условиями.

Почти

при

всех

(Р, й) из Q X лд

функции

и (Р +60, Й),

(Р

gQ)

±.

к (Р

£Й,

Й)

абсолютно непрерывны

на

замкнутом множестве

UQP.

Почти

при

всех

(Р, Й) из ИХ яд

функция

и (Р + |й, й)

удов-

летворяет граничным условиям

и(Р+£й,

Й)

/(Р

£Й)-А

и(Р+Ш,

Q);

и(Р

Q)« -

1(Р

О)-£-а(Р

т|0,

Й).

и £

Ж у

где

— дифференциальное выражение

= —

[Й/V]

и+ и.

Линейное множество функций, удовлетворяющее условиям 1—3, обо-

значим

Краевые условия (5.1.19)

для

гладких границ запишем

виде

sign(nt)

ди{

+ и(х, t)

|г

0, (5.1.20)

где dldt — дифференцирование

и как

функции

х по

направлению еди-

ничного вектЬра

(5.1.19)

Множество функций

содержится в Ж. Линейное дифференциаль-

ное выражение

вместе

областью задания

определяет

(5.1.18)

линейный оператор

Введем

в D

метрику

[и,

= f

(й, п)

uvdQdr+(lQVu,

IQVv)

(ы,

v)\ (5.1.21)

Г|ХО

= [«, и].

(5.1.22)

Это пространство функций обозначим

Очевидно,

что || и || ^ [и].

Краевую задачу (5.1.15), (5.1.20) можно записать

операторной

форме

+ F, и б D

(5.1.23)

Пусть

||*1<ОО,(5ОФ,Ф)>0,|С|<1.

(5.1.24)

Тогда функция

и £ Я

реализующая минимум функционала

G (v)

= W -

v, v)-2 (v, F),

(5.1.25)

будет решением краевой задачи (5.1.23).

При

|с|<с

< 1 найдутся

две такие постоянные

> 0,

зависящие от с

что

для любой функ-

ции

v £ #

будут выполнены неравенства

<k[v]*^[v]*-(S

v)^d

[v]\

(5.1.26)

А. Дэвисом,

С.

Капланом

[269, 293], Т. А.

Гермогеновой

[60],

А. Басликом [256] были получены функционалы типа (5.1.25)

и для

общей индикатрисы рассеяния.

Если функция

щк

0 и

удовлетворяет условиям (5.1.12), (5.1.24),

то оператор L~

задачи (5.1.23) будет вполне непрерывным, поло-

жительным

самосопряженным

в Н

L^SQ

< в, где

e=^(l-exp(-dao

));||5;||<g=isupvrai|cS|er||.

х б D

Множество характеристических чисел %

задачи

u (5.1.27)

бесконечно,

> 0, и

если

является собственной функцией, соот-

ветствующей значению

то

, Uj)

= 8

и система

полна

в области значений оператора

Пусть

= S

Тогда уравнение (5.1.23) примет

вид

Uo^SoU^Uo +

F):

(5Л.28)

(это интегральное уравнение Пайерлса [321]),

котором оператор

SQL'

является положительным вполне непрерывным оператором,

симметризуемым слева оператором

В работах В. С.Владимирова изложенные результаты распростра-

нены

на

более общие пространства функций. Аналогичным исследо-

ваниям для многоскоростных уравнений переноса посвящены работы

С. Б. Шихова [242—244] и Т. А. Гермогеновой [60, 61].

В наших исследованиях будем использовать уравнения переноса,

записанные во всех формах (5.1.2), (5.1.4), (5.1.15), правые части этих

уравнений будем обозначать Q. Нам будут нужны формулы, связанные

с использованием сферических функций. Пусть Y

(Q) означает лю-

бую сферичесую функцию порядка п. Известно,что существует 2п + 1

независимых сферических функций порядка п (Y

(Q), i = 0, ±1, ...,

..., ± п)

которые можно представить в виде

n*(0) = ^n

(cos*)sin|/|4>, / л -1;|

(Q)

= P

{

)

(cos^)cosi^

*=0, 1, ..., п, j

(5.1.29)

где Рп* (fx) (i ^ 1) — присоединенные функции Лежандра первого

рода, а Р

(\i) = Р

{

(\i) — многочлены Лежандра.

Справедливы равенства:

26n

2и + 1

(2п

+ 1) |хР„

ДО

= (я +

п+1

((0 + пР

_г (|i);

-^) Р'

(ц) = (п+1) (|*Р

(ti)-P

n+1

О*));

S (F

) = 0 при п Ф k или i

Ф-

1 . . (я-|Л)12

("+Ш)!(1 +

)

S(Y*

) =

(2n

+ l)a

S(P

(QQ')Y

(Q')) =

2n+l

■Y

(Q),

(5.1.30)

(5.1.31)

(5.1.32)

(5.1.33)

в которых

ftn

— символ Кронекера.

Система {Y

} полна в L

(Q), и всякая функция ф (Q) £ L

(Q,.)

разлагается в ряд по сферическим функциям Y

(Q), сходящийся

к ней в L

(Q):

i=n

где

Ф(0)=

2 (2n+i) 2 в»»*

|У»«(°).

л=0 /=

— л

&„

= S (

(Q') Г

пг

(Q')).

(5.1.34)

(5.1.35)

Пусть К. (ц) — суммируемая на [— 1, 1] функция. Тогда справед-

лива формула интегрирования на сфере Q

[275]:

5 (К (GQ') Y

(О')) = \ j К (|0 Р

dvY

(О).

(5.1.36)

-1

Этой формулой мы будем пользоваться часто. В частности, при п = 0

получаем

S(/C(00'))=— f K(v)d[k. (5.1.37)

§ 5.2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЙ

Рассмотрим кинетическое уравнение

QV<p+S<p = [2

/(4ji)] jdQ'cp(r, Й')£Ы + /(г, О). (5.2.1)

Вдоль луча I, совпадающего с вектором Q, имеет место соотношение

[см.

(5.1.8)]

GVcp^, (5.2.2)

«в

где S — координата точки вдоль луча.

В декартовой системе координат

d(p ^ дф dxi

/= 1

-У _3L_££L

(5.2.3)

dl A **l

где

—?±-

= Q

= sin

cos ip;

-**» -:Q

= sinftsini|r, -^L = Q

=cos*. (5.2.4)

С учетом равенств (5.2.3) и (5.2.4) кинетическое уравнение (5.2.1)

можно записать

sin ft cos

i|)

——

_|-

sin 0 sin

я]э

—5P-

_|_

s 0

—2—

+ Scp =

дх

2Л

4я

J dtf jsin*'q>(x, Ч>', 0')gW^4/(x,

г|>,

О), (5.2.5)

где \i

= cos * cos Ф' + sin

sinft' cos (ф

—

ф'). Далее удобно пере-

менную х

обозначить z.

Плоскопараллельная геометрия. Предположим,

что функции 2, 2

, g(fx

) и / не зависят

от

координат

и являются

функциями только г, Ф

ф.

Кроме того, предположим, что область

трехмерного пространства, в которой ищется решение,

—

плоскопа-

раллельный слой 0 < z < Я. Тогда, очевидно, решение кинетиче-