Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

Изменив Ё интегральном члене (2.2.3) порядок интегрирования, по-

лучим

\dr\dQ\dv<p*(r,v,(l) f dO' ГЛ'ф(г. tf', Й') oy(fA

,i;'-^i>):=

= J

JdQ$dtKp(r, ^ Q)JdQ' Jdo'

*(г, у', O')o>(|*

, »-W). (2.2.7)

Принимая во внимание (2.2.6) и (2.2.7), соотношение (2.2.3) пре-

образуем к виду

(ф*,

Lq>)

= \

f dft

diwp Г

—

йуф*

+ 2ф*—

—JdQ'JduVM'.

О'^О**

о-*ь')].

(2.2.8)

Отсюда следует (2.1.12), где

Ь*

—Йуф*

+ 2ф*— f dQ' \ dv' ф*(г, v', Q')tw(|i

, о->о'). (2.2.9)

Если теперь предположить, что в качестве ф (г, v, й) выбирается

решение задачи (1.1.9), (1.2.1), то приходим к сопряженной задаче

—йу<Р*

+ 2ф*—JdQ' JdtiVM'. Q')a;(|io

o->o') =

(2.2.10)

Ф* (г, о, Q) = 0 на Г при Йп > 0.

Переходим теперь к рассмотрению неоднородного кинетического

уравнения (1.3.1) при условии (1.2.1). Если нас интересует некоторый

функционал /

[ф], то, согласно общей теории, сопряженное уравнение

реактора по отношению к функционалу /

[ф] будет иметь вид

—ЙУФ;

;—JdQ'^dv'

;(г, V\ Q')W (|io,

v-+v')

= p(r,*,Q); (2.2.11)

Ф* (г, v, Й) = 0 на Г при Йп > 0,

где р (г, и, й) — функция, характеризующая тот или иной ядерный

процесс. В таком случае

[ф]

= j

dXk

dtnpp;

/, [

;i = j dr J dQ

dwp;

/. (2.2.12)

Приведем выражения для некоторых основных функционалов,

встречающихся в теории переноса нейтронов в веществе.

Если интересующей нас величиной является число актов не-

которого процесса, имеющего сечение 2

(г, и) в объеме D

внутри

рассматриваемой области Ь, то это число может быть представлено

в виде функционала

оо

/а[ф]= f dx j dQ f dvZ*(x

v)y{x, v, Й)

или в виде функционала

оо

// [фа! = f

f дЛ J dvf

(Г,

Q) ф

(Г,

У,

О),

bat.

где / (г, v, Й) — распределение источников нейтронов в среде, а

(г, и, й) — решение сопряженного уравнения (2.2.11) при условии

р = 2

(г, и), г g D

, 0 вне этой области.

Измерительный прибор регистрирует излучение, попадающее

в его объем через поверхность Г

с некоторой эффективностью р (г

г/, й). Показания такого прибора могут быть записаны в виде функцио-

нала

/а

[ф]

= J dr

f dv J

ЛЙЙпр

, v,

О) ф

, v, й), (2.2.13)

о Q

n>0

где п — единичный вектор нормали к поверхности Г

, направленной

внутрь объема прибора. Если распределение источников в среде есть

f (г, и, й), то этот функционал может быть также записан в виде

[ф£]

= j dr

<f Q/

(r,

Й) Ф«

(г,

у, Й), (2.2.14)

причем функция ф

(г, а, Й) удовлетворяет уравнению (2.2.11) с по-

верхностным «источником»:

p = P(r, о, й).Йпб(г—г

Если измерительный прибор находится вне объема D, то также

можно пользоваться указанными формулами, в которых р (г, и, й)

будут характеризовать вероятность

для

вылетевшего из среды нейтрона

цопасть в прибор и быть им зарегистрированным. При р =

функцио-

налы (2.2.13) и (2.2.14) описывают полный поток нейтронов, вылетаю-

щих из среды D

через поверхность Г

В качестве функционала можно рассматривать и сам поток из-

лучения в некоторой точке (г

, v

, Й

), В этом случае

= б (г—г

) б (v—v

) 6 (Й—Й

и сопряженная функция ф£ есть не что иное, как функция Грина со-

пряженного уравнения.

Заметим, что

различных задачах могут встречаться

другие функ-

ционалы, не сводящиеся к приведенным выше.

Рассмотрим однородное односкоростное уравнение (1.4.13). С по-

мощью преобразований, аналогичных рассмотренным, нетрудно полу-

чить однородное сопряженное уравнение

—ЙУФ*+2Ф«—$<Ш'Ф*(г, Q*)a>(|i

)»0; (2.2.15)

Ф* (г, Q) *= 0 на Г при йп > 0.

Если рассматривается неоднородное уравнение (1.4.13), то сопря-

женное по отношению к функционалу /

[Ф] уравнение имеет вид

—ОУФ;+2Ф* = ^0'Ф

(Г,0')^(^О) + Р(^ Q); (2.2.16)

Ф; (Г, Q) = 0 на Г при On > 0.

В качестве /

[Ф] или // [Ф

] можно взять функционалы, анало-

гичные тем, которые были рассмотрены выше, с той только разницей,

что интегрирование по переменной v следует исключить.

Переходим теперь к кинетическому уравнению для бесконечной од*

нородной среды. В этом случае воспользуемся однородным уравнением

(1.5.1).

Введя скалярное произведение по формуле (ф, ф*) = /<&фф*,

нетрудно прийти к сопряженному уравнению

2ф*

(v) — fdv'y* (v') w(v ->i>') = 0. (2.2.17)

Если рассматривается неоднородное кинетическое уравнение (1.5.1),

то сопряженным уравнением по отношению к функционалу /

[ф]

будет следующее:

2Ф;—^do'

<p;(v')w(v-*v') = p(v). (2.2.18)

§ 2.3. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Сформулируем результаты теории возмущений для неоднородных

уравнений реактора. Рассмотрим уравнение (2.1.8). Если свойства сре-

ды,

с которой взаимодействуют нейтроны, изменяются, т. е. если опе-

ратор уравнения (2.1.8) переходит в L' = L + 6L, то изменяются

само решение задачи (2.1.8) ф (*) и значение функционала /

[ф]:

(*) -*ф' (*), /

[ф] -*/р ** 1

+ Ы

Установим связь между изменением оператора 6L и изменением

функционала 6/

. Уравнение (2.1.8) будем называть невозмущенным.

Для возмущенной системы уравнение запишется в виде

LV={I- + 6L)<p'=/. (2.3,1)

Сопряженная функция невозмущенной системы, соответствующая

функционалу /

, описывается уравнением (2.1.11). Умножая скаляр-

но обе части уравнения (2.3.1) на ф

, а обе части уравнения (2.1.11)

на ф', вычитая полученные результаты один из другого и используя

определение сопряженного оператора L*, получаем слева

(

;, LV)-V, L*<P;)=(<P;, eiy>, (2.3.2)

а справа

(ф;,

/) - (Ф', Р) = /р 1ф] - /р 1Ф'1 = - «/,. (2.3.3)

Приравнивая выражения (2.3.2) и (2.3.3), полунаем искомое общее

соотношение теории возмущений:

6/р - -

(<р£>

«Ц>'). (2.3.4)

Если вместо уравнений (2.3.1) и (2.1.11) рассмотреть сопряженное

возмущенное уравнение

(L*+6L*)q>

'=p (2.3.5)

и невозмущенное основное уравнение (2.1.8), то аналогично можно

получить соотношение

б/р = —(Ф, 8L*<cp*')> (2.3.6)

которое, конечно, эквивалентно (2.3.4).

Если возмущение оператора L (а следовательно, и L*) мало, так

что оно несильно искажает функции ф и ф£, то в формулах (2.3.4)

и (2.3.6) можно приближенно положить ф' = ф и ф*' = ф*. При этом

получим две эквивалентные формулы теории малых возмущений:

= —(

6ЬФ);

б/

= —(ф,

8L*

Ф;).

(2.3.7)

Полученные формулы теории возмущений кроме их прямого исполь-

зования для оценки различных эффектов и для анализа измерений мо-

гут иметь и еще одно весьма важное применение.

При теоретическом рассмотрении и в практических расчетах часто

пользуются методом замены исследуемой сложной системы упрощен-

ной моделью. Необходимым условием такой замены является, очевид-

но,

требование, чтобы она не приводила к изменению некоторых ос-

новных для рассматриваемого вопроса характеристик системы. При-

мерами такого подхода в теории диффузии нейтронов могут служить

замена гетерогенной среды гомогенной с соответствующим образом

усредненными сечениями или методы усреднения по некоторому энер-

гетическому интервалу изменяющихся с энергией сечений. К таким ме-

тодам относится и метод эффективных граничных условий, заключаю-

щийся в замене истинных условий некоторыми упрощенными, но та-

кими, которые приводят к правильному значению потока нейтронов

вдали от границы.

Полученные выше формулы теории возмущений позволяют сформу-

лировать весьма общий подход к такого рода задачам.

Пусть рассматриваемая система характеризуется оператором L,

причем наиболее существенной величиной в рассматриваемой задаче

является функционал Л, [ф]. Если искомая простая модель характе-

ризуется оператором L = L + 6L, то для того, чтобы величина 1

не изменялась при переходе от истинной системы к модели, необходимо,

чтобы

81= — (q>;

[L' —L]q>') = 0, (2.3.8)

fo;.L4') = (<tf.Lq>'). (2.3.9)

Если нас интересуют несколько величин /

, 1

Рг

и т. д., то соот-

ветственно получаем несколько условий типа (2.3.9) с решениями ф^,

Фр

и т. д. Условие (2.3.9) не определяет однозначно искомой эквива-

лентной модели, но является необходимым условием и вместе с дру-

гими соображениями может помочь ее нахождению,

2.4. ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Выведем формулы теории возмущений для уравнений реактора.

Сначала рассмотрим однородное уравнение (1.4.1). Представим его

в виде

М<р + Шр = 0, (2.4.1)

где

Мф =

ЙУф

+ 2ф—

dQ'

А>'<р(г, v\ Q')o>

(|i

v'->v)\ ]

N<p=—JdQ' I do' <p(r,i/, Q')w

(ptoV'-+v).

(2.4.2)

Здесь X — характеристический параметр, связанный с коэффициентом

размножения нейтронов в реакторе &

эф

формулой X = Ш

ф- Сопря-

женное уравнение реактора (2.2.10) также представим в виде

М*Ф*

= 0,

где

М*

ф*

—ЙУФ*

2ф*—С

ЛГ

&>'

ф*

(г, v\ Й') w

(|i

->■ У');

1М*ф*:=—JjdQ' Г^'ф*(г, у', Q')w

([i

v-+v').

(2.4.3)

(2.4.4)

Уравнения (2.4.1) и (2.4.3) примем в качестве невозмущенных.

Если теперь предположить, что физические параметры реактора воз-

мущены, т. е.

2'= 2+ 62, Ws=w

= w

+8w

(2.4.5)

то для обеспечения стационарного режима работы реактора необходимо

потребовать изменения величины

или параметра

Я,

согласно форму-

ле (2.3.8):

6Х = — (ф*. 6Lcp')/(<p*, N9'),

(2.4.6)

где 8L<p' = 6Мф'+ Я8^'. Имея это в виду, получим

6Я =

(fdrf dQ fdwp* |Ф'

JdpJrfQjdwp'q.» U J J L

—

dQ'[dv' ф' бш

(|л

, и' -+v) —

—X f dQ' fW

Ф'

ба»/

((i

0' -*-t»)|] •

Аналогично для односкоростной задачи

62 —

(2.4.7)

6Я

—■—К<

jdrjdQO'O* U J

drfdQrO*8Z —

—JdQ' Ф' би»,((1

)—Л JdO'O' вгоДщ,)]}

(2.4.8)

а для задачи, учитывающей только энергетическую зависимость,

8Х=

- /("Лир* Гф'бЕ

—

Jrfwp'9*lJ L

— C£foV6a;

(i>'-*iO—Я^у'ф'б^^'-^у)]]. (2.4.9)

Если теория возмущений формулируется для неоднородных кине-

тических уравнений, то, согласно изложенной теории, вариации ис-

следуемых функционалов найдутся в следующем виде:

для общего кинетического уравнения

б/

--^г|^|^ф;[ф'б2-^а

^у'ф'бш(^

,с;'-->у)]; (2.4.10)

для односкоростного кинетического уравнения

в/

=—JdrJdOO;[o'6S —^О'Ф'в^Ы] (2.4.11)

и, наконец, для задачи с энергетической зависимостью

—

Jdiwp;

[q>'

62 —

^dv' ф' 6w(v'-+vj\ . (2.4.12)

Здесь в качестве /

[ф1

можно рассматривать любой линейный функ-

ционал. Если

формулах (2.4.7)—(2.4.9), (2.4.10)—(2.4.12) возмущение

в функции потока

считать малым, то можно ф' заменить на

и таким

образом прийти к соответствующим формулам малых возмущений.

МЕТОД ГРУПП

Глава

МНОГОГРУППОВЫЕ

КИНЕТИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ

§ 3.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Эффективным методом расчета ядерных реакторов является много-

групповой метод. Сущность его состоит в том, что весь интервал ско-

ростей нейтронов разбивается на ряд частичных интервалов — групп,

в пределах которых сечения ядерных процессов предполагаются не

зависящими от скоростей нейтронов. В действительности, однако, се-

чения ядерных процессов существенно зависят от скоростей нейтронов,

в силу этого становится очевидной необходимость рационального ус-

реднения физических констант многогруппового расчета. Поскольку

любое усреднение всегда связано с дополнительными погрешностями

в решении задачи, необходимо пользоваться такими методами усред-

нения, которые бы давали минимальную погрешность в наиболее важ-

ной физической характеристике реактора. Такой характеристикой ре-

актора, например, является его критический размер; если же реактор

некритический, то—параметр к

эф

или любой из функционалов задачи.

Получим многогрупповые системы основных и сопряженных урав-

нений и одновременно найдем способ усреднения групповых констант.

Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение Больцмана

йУф

+ 2ф = ий' ftfo' ф(г, v\ Si')w(\i

v'->v). (3.1.1)

Пусть его решение удовлетворяет граничному условию

(г, v, Й) = 0 на Г при йп < 0. (3.1.2)

Задачу (3.1.1), (3.1.2) будем называть невозмущенной.

Как известно, сопряженной задачей по отношению к данной явля-

ется следующая:

—

ЙУф*

2ф*

= ^Й'^'ф*(г, v', Q')w{\i

v-+v'), (3.1.3)

Ф* (г, v, й) = 0 на Г при Йп > 0. (3.1.4)

Рассмотрим теперь возмущенную задачу, которая отличается от

невозмущенной тем, что в ней величины 2 и w выбраны кусочно-по-

стоянными функциями своих аргументов с возможными разрывами пер-

вого рода на границах групп. Решения возмущенных задач будем от-

мечать штрихом.Тогда основное уравнение реактора будет иметь вид

ЙУФ'

2'Ф'=

Г<*Й' \dv'<t'(r,v'

Q')w'{tio

-+v) (3.1.5)

при условии, что

<р'

(г, v, Q) = 0 на Г при Йп < 0, (3.1.6)

и сопряженное уравнение запишется как

—

ОУф*

+ 2

ф*' = \аО

?Л

ф*'(г, v\ Q')w'{\i

v-+v') (3.1.7)

при условии, что

Ф*' (г, v, Q) = 0 на Г при Йп > 0. (3.1.8)

§ 3.2. ФОРМУЛЫ УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ГРУППОВЫХ КОНСТАНТ

Если основным результатом наших вычислений является крити-

ческий размер реактора, то групповые константы 2' им/ можно вы-

брать таким образом, чтобы в невозмущенной и возмущенной задачах

значение критического размера осталось неизменным. При выполне-

нии этого условия возмущенную задачу будем называть «эквивалент-

ной» невозмущенной.

Для нахождения групповых констант поступим следующим обра-

зом. Умножим уравнение (3.1.1) почленно на ф*' и результаты проин-

тегрируем по всей области определения решения задачи. Далее ум-

ножим (3.1.7) на ф и результат также проинтегрируем по указанной

области. Вычитая одно из полученных соотношений из другого, при-

ходим к следующему основному функциональному соотношению:

Jdr$dQ$di>(2

—2')ФФ*'

+ Jdr

jj dQ

dvq>

f dO' f dv' ф*' w' (|i

, v' ->*>) —

—^dr^dQ \ dvy*'

^dQ'

<^dv'

(pw(\i

v'-+v)=Q. (3.2.1)

Здесь мы воспользовались тем фактом, что при граничных условиях

(3.1.2) и (3.1.8) по теореме Гаусса—Остроградского члены с произ-

водными сократятся.

Изменив порядок интегрирования в последнем слагаемом форму-

лы (3.2.1), получим

JdQ $Л;(2-2')фф*'- J

j dQ J

dv<p

f dQ' ^dv'

*' x

X[wlyLQ

v-+v')

—

w'(\i

v-+v')] =

(3.2.2)

Потребуем, чтобы оба слагаемых в соотношении (3.2.2) порознь обра-

щались в нуль. Тогда

22 $

А>(2—20ФФ*'

(3.2.3)

n *,-!

222

dwpJdQ'

&>'<р*'х

7-1 4-1

/-+/

X [w(\i

, v-+v')

—

= 0,

(3.2.4)

где

—

фиксированные зоны реактора. Далее потребуем, чтобы

выполнялись следующие равенства:

jj dr^dQ

^ dv(2 —

2')фф*'

5/-i

J drJdQ

dwpJdQ'

dv'<f)*'[w(\i

v-+v

)

—

= 0.

/-/

(3.2.5)

(3.2.6)

j-i

i-i

i-»i

Из соотношений (3.2.5), (3.2.6) найдем величины

2' и w.

Они

будут

определяться формулами

V. , V.

2/-

dr^dQ

cfoZcpcp*'/

drJdQ

Лкрср*

ч-i ч-i

о;

7 t

drJdQ

dwpJdQ'

dv'

q>*'

w(\i

,v-*v')

"7-i

"i-i

f drJdQ

dwpJdO'

<fo' q>*'

i-i

4-i

(3.2.7)

Существенной особенностью полученных формул является

то, что

они приводят

групповым величинам, усредненным

как с

потоком ней-

тронов

группе

ф, так и с

ценностью

их в

возмущенной задаче

ф*\

Из формул (3.2.7) следует,

что для

вычисления групповых констант

требуется знать решение задачи, которое заранее неизвестно.

Тем

не

менее формулы (3.2.7) можно использовать

для

получения групповых

констант.

самом деле, формулы (3.2.7) представлены

виде дроб-

ных функционалов

и они

слабо чувствительны

погрешностям.

Та-

ким образом, если решения задач

ф*'

известны

некоторой погреш-

ностью,

то для

вычисления групповых констант можно пользоваться

приближенными решениями

формулами (3.2.7).

Приведем некоторые обобщения изложенной теории

на

случай

бо-

лее детального учета анизотропии рассеяния

многогрупповой систе-

ме констант. Формулы (3.2.7) дают возможность получить групповые

величины

не

зависящие

от

Q' и

Я.

ряде случаев, однако, требует-

ся более детальное рассмотрение спектра нейтронов

реакторе,

так

что использование

для

расчетов многогрупповой системы

эффектив-

ным изотропным законом рассеяния нейтронов оказывается недостаточ-

ным. Для получения многогрупповой системы с учетом анизотропии

рассеяния будем поступать следующим образом.

Функцию рассеяния нейтронов представим в виде ряда по много-

членам Лежандра:

0*0.»'-*

«О

=~ 2 (^+1)<М»'-*»)Л»Ы;

т=0

J-+1

0*о)=7- 2 (

2т

)™тРтЫ

т =

(3.2.8)

Рассмотрим далее соотношение (3.2.6), которое теперь запишется в

виде

2 (2т+1) $ dr^dQ J dwpJdQ' $ £fo'q>*'

m=0

l-i

X [tw

(o->t;') —о;

те

]Я

те

(|Хо) = 0.

Отсюда следует, что величину w

можно определить так:

(3.2.9)

(3.2.10)

drJdQ J dwpj'dQ' J ^'(p*'P

4-i

Метод усреднения физических констант в пределах групп в виде

(3.2.7),

(3.2.10) будем называть простейшим. Этот метод приводит к

многогрупповой системе уравнений, решение которой позволяет найти

правильный критический размер реактора.

Чтобы возможно точнее приблизиться к истинным нейтронным по-

токам, можно вывод групповых констант несколько обобщить. Так, ос-

новное уравнение (3.1.1) следует умножить на Л* (v) ср*', а уравнение

(3.1.7) — на Л* (у)ф и далее совершить все преобразования, указан-

ные при получении формулы (3.2.1). В результате этих преобразова-

ний приходим к следующим формулам усреднения:

J I

j *

S/= J drjdQ jj dv2A*<w*' f drfdQ J dvA*w*'\

n Vl /

n Vl

/-W

drj*dQ J dwpJdQ' J* do'i4*9*'o;

(o'->o)P

(jio)

4-i

j drJdQ J dwpJdO' f <fo' Л*ф*'Р

Vi ч-i

(3.2.11)