Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

Г.

И.

АРЧУ

В.

И.

ЛЕБЕДЕВ

Численные

методы

в теории

переноса

нейтронов

Издание

второе,

переработанное

дополненное

МОСКВА АТОМИЗДАТ

1981

УДК 539.125.523.348: 621.039.51.12

Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейт-

ронов.— 2-изд., перераб. и доп.— М.: Атомиздаг,

1981.—

456 с.

Излагаются физическая и математическая постановки задачи, методы теории

групп и сведения к малогрупповым уравнениям, исследуются свойства точных ре-

шений уравнения переноса и сопряженных уравнений. Дается обзор общих ите-

рационных методов решения уравнений, изложение и исследование различных

итерационных методов, специфических для задач переноса, а также для задач на

собственные значения. Значительное внимание уделяется достижениям отечест-

венных ученых.

По сравнению с первым изданием (вышло в 1971 г.) добавлен материал, свя-

занный с изложением многомерных разностных схем и квадратурных формул

для уравнения переноса; содержится изложение итерационных методов (чебы-

шевских, вариационных, комбинированных), добавлено приложение с обзором

программ решения уравнения переноса, составленных по излагаемым в книге

методам.

Для научных работников — математиков, физиков, инженеров. Может быть

использована аспирантами и студентами старших курсов вузов.

Табл. 4. Ил. 19. Библиогр. 350.

035 (01) — 81

2304

000°00 © Атомиздат, 1981

Предисловие к первому изданию

Настоящая книга представляет собой монографию по вычислитель-

ным методам в теории переноса излучения, сотому вопросу посвяще-

но значительное число журнальных статей советских и зарубеж-

ных авторов. В ряде случаев такие исследования обобщены в виде

обзорных статей и монографий. Тем не менее алгоритмические ас-

пекты теории переноса излучения рассмотрены в литературе еще

недостаточно. Современные высокопроизводительные электронно-

вычислительные машины и развитие математики стимулировали раз-

работку и применение таких вычислительных методов теории пере-

носа, практическая реализация которых ранее считалась невозмож-

ной. Появились новые оригинальные алгоритмы, сочетающие в себе

универсальность в применении к широким классам задач с возмож-

ностью оптимизации их на основе априорной и апостериорной ин-

формации. Вместе с тем вычислительная математика обогатилась в по-

следние годы большим числом разнообразных вычислительных ме-

тодов, основанных на итерационных схемах, которые требуют тща-

тельной классификации и систематизации, теоретического анализа,

выделения практически целесообразных и эффективных в прило-

жениях алгоритмов. Понимая, что для успешного решения практи-

ческих задач необходимо достаточно широкое знакомство с идеями

различных итерационных методов, авторы посвятили в книге отдель-

ную главу обзору итерационных методов решения операторных

уравнений.

Авторы попытались систематизировать накопленную информацию

по затронутым вопросам, осмыслить основные, с их точки зрения, ас-

пекты и вытекающие из них тенденции развития. Книга содержит

развитые авторами в теории переноса новые методы последователь-

ных приближений, численной аппроксимации уравнений и численной

реализации вариационных принципов. Авторы не стремились дать

в монографии исчерпывающий обзор результатов, достигнутых в вы-

числительных методах теории переноса. Они попытались сформули-

ровать свою точку зрения, в значительной мере субъективную, только

по тем вопросам, которые находились в сфере их интересов и внима-

ния. И это должно явиться некоторым извинением по отношению к тем

исследователям, работы которых не нашли в этой книге должного

отражения. Они исходили также из того, что более или менее под-

робное обсуждение различных аспектов теории переноса уже дано

в монографиях одного из авторов [161, 162] и в сборниках статей

[28,

37, 48], отражающих итоги работ советских и зарубежных уче-

ных. Поэтому многие вопросы теории ядерных реакторов в моногра-

фии освещены недостаточно полно или вовсе опущены. Это относится,

например, к резонансной структуре сечений, методам термализации

нейтронов с учетом молекулярных эффектов и кристаллических свя-

зей,

ядерным реакциям типа (п, 2/г), поляризации нейтронов, методу

Монте-Карло и др. Однако в монографии существенное внимание

уделено вопросам преобразования сложного уравнения теории пе-

реноса нейтронов в многогрупповую систему взаимосвязанных урав-

нений, а затем в односкоростное уравнение, где предполагается, что

в нем уже учтено многообразие физических эффектов, связанных

с особенностями ядерных реакций. Мы считаем, что принятая аб-

стракция не умаляет общности развиваемых в книге подходов к об-

суждаемым проблемам.

Книга ставит своей целью обратить внимание математиков-вычис-

лителей на большое разнообразие встречающихся в этой области

математических задач, выдвигающих интересные проблемы для чис-

ленных методов. Для физиков и инженеров-прикладников она может

содействовать совершенствованию научных основ проектирования

ядерных реакторов. Помня, что каждая новая важная область при-

кладной физики вызывает к жизни новые концепции в вычислитель-

ной математике и многими своими глубокими достижениями обязана

строгому математическому исследованию этих концепций, авторы

стремились к тому, чтобы книга могла ввести читателя в круг главных

идей и результатов современной теории. При этом акцент делается

на математическое содержание задач.

Выработке точки зрения авторов на вычислительные методы тео-

рии переноса способствовали проведенные в Советском Союзе кон-

ференции и симпозиумы, дискуссии на которых стимулировали более

четкое и ясное понимание перспектив развития теории переноса и ее

приложений.

Содержание монографии явилось результатом деятельности авто-

ров совместно с коллективами математиков Вычислительного центра

СО АН СССР и Института атомной энергии им. И. В. Курчатова. Ав-

торы пользуются случаем выразить искреннюю благодарность сот-

рудникам, которые внесли существенный вклад в предлагаемую мо-

нографию. В подготовке книги к печати активную помощь

авторам

ока-

зали Ю. А. Кузнецов, В. В. Смелов, а также В. И. Агошков, Ю. Е. Бо-

яринцев, Ю. А. Власов, С. И. Коняев, Н. И. Лалетин, В. Ю. Пляш-

кевич, В. В. Пененко, У. М. Султангазин, О. П. Узнадзе, Е. С. Ца-

пелкин. Всем этим товарищам авторы приносят свою глубокую бла-

годарность.

Г. МАРЧУК, В. ЛЕБЕДЕВ

Предисловие ко второму изданию

Дурное развитие атомной энергетики стимулировало активный поиск

эффективных методов решения задач переноса нейтронов — основы

физического расчета ядерных реакторов. За годы после выхода пер-

вого издания монографии авторов численные методы расчета урав-

нений переноса и их приближений обогатились рядом новых идей и

первоклассных алгоритмов. Особое развитие получили вариационные

методы, которые позволили с более или менее единой позиции полу-

чать достаточно эффективные численные алгоритмы решения задач

переноса и позволяющие с единых позиций обосновать достаточно

широкое семейство приближенных методов. Второе крупное направ-

ление — алгоритмическое обеспечение вычислительных методов в тео-

рии переноса — несомненно связано с теорией итерационных процес-

сов.

Существенно продвинуты в этом направлении чебышевские ме-

тоды,

методы сопряженных градиентов, блочно-релаксационные ме-

тоды,

методы в подпространствах и др. Все это привело авторов к мыс-

ли о необходимости подготовки второго издания книги.

Во втором издании исправлены замеченные опечатки и неточности,

текст подвергся исправлениям и добавлениям. Из крупных исправ-

лений и добавлений отметим следующие. В гл. 1 добавлен параграф

с формулировкой задачи по нахождению эффективного коэффициен-

та размножения &

ф, а в гл. 10 изложены итерационные методы

решения этой задачи с применением чебышевских итерационных ме-

тодов. В гл. 5 добавлен параграф с изложением квадратурных фор-

мул для сферы повышенной алгебраической точности. Изменению

подвергся материал § 6.6—6:9; в этой главе добавлен параграф с из-

ложением метода псевдоисточников. В корне переработана и рас-

ширена гл. 8. В ней излагались методы вывода так называемых

Рш-уравнений — уравнений, получаемых на основе вариационных

принципов применительно к функционалу В. С. Владимирова. В свое

время на этом пути впервые удалось получить определенного типа

уравнения метода конечных элементов, решения которых сходились к

точному. Теперь эта глава содержит и другие проекционно-сеточные

аппроксимации уравнения переноса. В гл. 9 добавлены параграфы

с изложением двумерных схем S

- и DS

-методов, а также ВЕМ-

схем.

Улучшено изложение § 9.5, а в § 9.9 добавлены новые раз-

ностные схемы для плоского слоя. В гл. 10, посвященной итера-

ционным методам, по-новому изложены чебышевские методы и методы

расщепления оператора. Расширены параграфы, посвященные методу

сопряженных градиентов. Введены новые параграфы, в которых

изложены блочно-чебышевские методы и комбинированные методы,

позволяющие учесть информацию о распределении начальной ошиб-

ки.

Исключены двусторонние итерационные методы и многошаговые

итерационные процессы; вместо них добавлено изложение симмет-

ризуемых итерационных методов в подпространствах. По-новому

изложено содержание § 11.25. Добавлено также Приложение с из-

ложением кратких характеристик программ, составленных на основе

излагаемых в книге численных алгоритмов.

Авторы благодарны всем товарищам, указавшим опечатки, допу-

щенные в первом издании. В подготовке книги ко второму изданию

основную помощь авторам оказали В. И. Агошков, Ю. А. Власов,

С. И. Коняев, Ю. А. Кузнецов, Н. И. Лалетин, В. Ю. Пляшкевич,

В.

В. Смелов, С А.Фролова, В.В.Орлова. Всем этим товарищам

авторы приносят свою глубокую благодарность.

Г. МАРЧУК, В. ЛЕБЕДЕВ

Введение

Теория переноса излучения — одна из ведущих проблем современ-

ной науки, быстро развивающаяся на основе достижений теорети-

ческой физики и глубоко проникающая в самые различные области

естествознания и техники. Весьма общая математическая формули-

ровка задач теории переноса дается с помощью линеаризированного

кинетического уравнения Больцмана. Кинетические уравнения —

это своеобразный класс многомерных интегро-дифференциальных

уравнений математической физики, для которого в последние годы

стали бурно развиваться численные методы решения. Причиной та-

кого прогресса явились и неуклонно возрастающая роль математи-

ческих исследований в проектировании ядерных реакторов, и су-

щественное развитие вычислительной математики и вычислительных

машин.

В связи с развитием функционального анализа, теории обобщен-

ных функций и теории обобщенных решений краевых задач получили

глубокое развитие математические исследования свойств решений

задач переноса. Исследования таких вопросов, как существование и

единственность решения, его гладкость, непрерывная зависимость от

коэффициентов уравнения и правой части, спектральные свойства,

вариационные принципы и свойства операторов уравнения переноса,

заложили, фундамент для применения и оценки эффективности чис-

ленных методов.

Важное значение в теории переноса имеет теория сопряженных

уравнений, которая была разработана как для однородных, так и

для неоднородных уравнений. Она оказала существенное влияние на

постановку новых задач и на обоснование различных аппроксимаций

уравнений переноса, удобных для алгоритмического решения кон-

кретных проблем нейтронной физики.

Прогресс атомной науки и техники стимулировал развитие про-

стых приближенных методов решения кинетических уравнений.

В настоящее время наиболее продвинутой в алгоритмическом и тео-

ретическом аспектах является диффузионная теория. Поскольку диф-

фузионное приближение далеко не во всех случаях приводило к удов-

летворительному решению задачи, разработка более точных методов

решения уравнений переноса уже давно является важной задачей

вычислительной математики. Существенное развитие и обоснование

лолучил метод сферических гармоник. Большое влияние на развитие

методов решения уравнений сферических гармоник оказали метод У

матричной факторизации разностных аналогов уравнений.

За последние годы для решения кинетических уравнений было

создано большое число разнообразных и оригинальных разностных

аппроксимаций и вычислительных алгоритмов, основанных на ите-

рационных методах и вариационных принципах. Это позволило су-

щественно повысить эффективность реализации алгоритмов на ЭВМ.

Актуальными стали исследования связей между объемом вычисли-

тельной работы и достижимым качеством приближения. Очевидно,

что тип аппроксимации разностными уравнениями, разность между

решениями дискретной и непрерывной задач, скорость сходимости

итерационного метода решения разностных уравнений (и выбор в нем

итерационных операторов), общее число действий, необходимых

для решения задачи с заданной точностью, а также выбор прост-

ранств, в которых оцениваются погрешность и скорость сходимости

итераций, являются взаимосвязанными характеристиками. Совре-

менное состояние вычислительной математики уже настоятельно тре-

бует исследования и учета при выборе алгоритма решения взаимных

зависимостей описанных факторов, ибо только тогда можно говорить

о разумном выборе вычислительного алгоритма и его операторов для

решения с хорошей точностью непрерывной задачи.

Для большинства непрерывных задач такое комплексное иссле-

дование вопроса о разумном выборе алгоритма — чрезвычайно слож-

ная проблема, которая является основной целью вычислительной ма-

тематики. Чтобы иметь возможность получить ответ о качестве при-

меняемого алгоритма, по крайней мере необходимо:

1) построить системы уравнений, аппроксимирующих непрерыв-

ную задачу;

2) исследовать те свойства решений непрерывных задач, которые

потребуются при оценке алгоритма решения;

3) исследовать свойства решений систем уравнений, в частности

оценить на некотором классе функций погрешность точного решения

дискретной задачи по отношению к точному решению непрерывной

задачи;

4) найти (итерационный) метод решения систем уравнений, удов-

летворяющих априори наложенным ограничениям;

5) построить и исследовать операторы итерационного метода,

исследовать скорость сходимости этого метода и объем запоминаемой

информации.

Задачи теории переноса, будучи существенно многомерными, до-

статочно сложными и актуальными, представляют собой достойный

предмет исследования с точки зрения основных проблем вычисли-

тельной математики. Своеобразие и важность этих задач влияли и

будут ощутимо влиять и на развитие основных концепций, подходов

и методов вычислительной математики, и на прогресс вычислитель-

ной техники.

Советские ученые обогатили теорию переноса рядом новых важ-

ных исследований, определяющих направление научного поиска.

Основное внимание приобретают многомерные задачи переноса и оп*

тимизация вычислительных алгоритмов их решения. Если говорить

о главных тенденциях в развитии вычислительных методов в настоя-

щее время, то можно отметить следующие: построение итерационных

алгоритмов и оптимизация их на основе аппроксимации операторов

задач переноса более простыми операторами, построение оптималь-

ных алгоритмов на основе вариационных методов, применение ме-

тода расщепления для редукции сложных задач к простейшим.

На фоне этих ведущих направлений возникают алгоритмы, отли-

чающиеся своеобразием и оригинальностью.

Большое внимание исследователей привлекают экстремальные

задачи теории переноса (минимум критических масс при некото-

рых ограничениях в конструкциях, минимум дозы излучения, выхо-

дящего из защиты, оптимальные тепловыделения в реакторе и ячей-

ках и др.), для которых реализуется минимум существенных функ-

ционалов задач. Такие проблемы изучены еще слабо, хотя отдельные

интересные результаты в этом направлении уже получены.

Достаточно глубокое развитие методов решения линейных урав-

нений позволяет надеяться, что эти методы могут проникать в более

сложные задачи для нелинейных кинетических уравнений, интенсив-

но изучаемых в теории разреженных газов, в теории плазмы и др.

По-видимому, переход к решению нелинейных задач явится естест-

венным этапом в развитии теории переноса.