Малафеев С.И., Малафеева А.А. Моделирование и расчет автоматических систем
Подождите немного. Документ загружается.
81
;
11
q .
222
q
Функция Лагранжа имеет вид
.
2
)(
2
2
2
2112
2
22
2
11
cJJ
WWL
пк
(2.48)
Для определения обобщенной силы Q
1
необходимо вычислить
элементарную работу всех приложенных к первой массе моментов
на возможном перемещении
111
)(
δδ
c
MMA
Следовательно,
.
11 c
MMQ
(2.49)
Аналогично определяется другая обобщенная сила
.
22 c
MQ
(2.50)
Подставляя (2.48) в (2.3) и учитывая (2.49) и (2.50), получим
следующую систему уравнений движения
.)(
;)(
2
222112
1
112112
dt
d
JMc
dt
d
JMcM
c
c
(2.51)
Структурная схема двухмассовой механической системы, соот-
ветствующая (2.51), показана на рис. 2.8.
M
sJ
1
1
12
c
1C
M
s
1
s
1
sJ
2
1
2C
M
1
φ
2
φ
Рис. 2.8. Модель двухмассовой механической системы
Пример 2.8. Моментный исполнительный двигатель с ограни-
ченным углом поворота ротора. На рис. 2.9 показана
упрощенная схема двухфазной синхронной электрической машины
82
с возбуждением от постоянных магнитов. Для рассматриваемого
объекта примем следующие допущения: постоянные магниты изо-
тропны; кривая размагничивания линейная; энергия магнитного
поля сосредоточена в воздушном зазоре (между гладкими цилинд-
рическими поверхностями статора и ротора); зависимость между
потоками сцепления и токами линейная; вытеснение тока отсутст-
вует, магнитные потоки рассеяния пренебрежимо малы.
A
u
A
i
B
u
B
i
φ
S
N
Рис. 2.9. Упрощенная схема моментного двигателя
В качестве обобщенных координат (n = 3) выберем:
1
q
-
угол поворота ротора;
A
Qq
2
и
B
Qq
3
- заряды, прошедшие че-
рез обмотки А и В. Обобщенные скорости в этом случае:
1
q -
угловая скорость ротора;
BA
iqiq
32
;
- токи в обмотках А и В.
Обобщенные силы:
c
MP
1
- статический момент на валу дви-
гателя;
BA
UPUР
32
; - напряжения, приложенные к обмоткам А
и В.
Кинетическая энергия системы
,
2
1
2
1
22
2
BBAABBAA
iiiLiLJW
к
(2.52)
где J - приведенный момент инерции ротора;
L
А
, L
В
- индуктивности обмоток А и В;
83
A
,
B
- потокосцепления обмоток статора с полем индукто-
ра; ;cos
Ф
AA
k
sinФ
BB
k
;
A
k ,
B
k - конструктивные коэффициенты;
Ф - магнитный поток.
Потенциальная энергия 0
п
W . Лагранжиан
к
WL
.
Диссипативная функция
,
2
1
22
2
BBAA
irirD (2.53)
где β - коэффициент момента сил сопротивления;
BA
rr , - активные сопротивления обмоток.
Решение уравнений Лагранжа-Максвелла с учетом выражений
(2.52) и (2.53) дает систему уравнений для моментного двигателя:
.
;cos
sin
;cossin
;
dt
d
uirk
dt
di
L
irk
dt
di
L
Mikik
dt
d
J
BBBB
B
B
AAA
A
A
BBAA
Ф
Ф
βФФ
с
(2.54)
Структурная схема моментного двигателя, соответствующая
системе уравнений (2.54), показана на рис. 2.10.
Пример 2.9. Двигатель постоянного тока. Упрощенная элек-
трическая схема электродвигателя постоянного тока показана на
рис. 2.11, где обозначено: ОВ - обмотка возбуждения, имеющая ак-
тивное сопротивление
в
r и индуктивность
в
L ; ДП - обмотка допол-
нительных полюсов (
п
r ,
п
L ); КО - компенсационная обмотка (
к
r ,
к
L ); ОЯ - обмотка якоря (
я
r ,
я
L );
д
r - дополнительное сопротив-
ление якорной цепи.
Для составления модели двигателя воспользуемся уравнениями
электрического равновесия
84
AA
sLr
1
s
1
Фk
B
A
u
B
u
β
cos
sin
Фk
A
Js
1
BB
sLr
1
Фk
B
Фk
A
C
M
φ
Рис. 2.10. Модель моментного двигателя
ккпп
, , LrLr
ОЯ
д
r
яя
, Lr
ДП КО
u
i
вв
, Lr
в
u
в
i
ОВ
+
-
+
-
Рис. 2.11. Схема двигателя постоянного тока
,
;
с
dt
d
JMM
dt
di
Lireu
где
e
– противоЭДС;
в
Фke
;
k - конструктивный коэффициент;
в
Ф - магнитный поток;
пкя
rrrr
- полное сопротивление якорной цепи;
85
пкя
LLLL
- суммарная индуктивность якорной цепи;
M - электромагнитный вращающий момент;
c
M - статический момент сопротивления нагрузки;
J - момент инерции вращающихся масс, приведенный к валу
двигателя.
Математическая модель двигателя, соответствующая приведен-
ным уравнениям, показана на рис. 2.12. Полученная модель содер-
жит два блока перемножения и, следовательно, является нелиней-
ной.
sL
r
1
k
Js
1
c
M
k
в
Ф
u
e
i
Рис. 2.12. Модель двигателя постоянного тока
В автоматических системах в большинстве случаев управление
двигателем осуществляется путем регулирования напряжения
u
,
приложенного к якорной обмотке при постоянном потоке возбужде-
ния constФ
в
. Уравнения двигателя в этом случае имеют вид
,
;
dt
d
JMciM
c
dt
di
Liru
C
(2.54)
где constФ
в
kc .
На рис. 2.13 показана структурная схема двигателя, соответст-
вующая системе уравнений (2.54), которая в этом случае оказывает-
ся линейной.
86
sL
r
1
c
Js
1
c
M
e
i
u
c
Рис. 2.13. Модель двигателя постоянного тока при Ф
в
= const
Пример 2.10. Уровень жидкости в резервуаре. Резервуар с
жидкостью (рис. 2.14,а) является примером простейшего одноемко-
стного объекта. Уравнение баланса для данного случая имеет вид
,
рп
QQ
dt
dV
(2.56)
где V - объем жидкости, м³;
,
п
Q
р
Q - объемные расходы приточной и вытекающей жидкости,
м³/с.
Объем жидкости в резервуаре равен
,hFV
(2.57)
где F - площадь поперечного сечения, м²;
h - уровень, м.
Количество вытекающей жидкости определяется уровнем:
,hbQ
р
(2.58)
где b- коэффициент, который определяется функцией положения
тока клапана на стоке из резервуара (в данном анализе принимается
постоянным).
С учетом (2.57) и (2.58) уравнение (2.56) имеет вид
.hbQ
dt
dh
F
п
Выполним линеаризацию линейной зависимости расхода от
уровня в рабочей точке h = h
0
. Для малых отклонений ∆Q
р
получим:
87
,hkQ
dt
hd
F
вп
(2.59)
где
0
2 h
b
k
в
- коэффициент пропорциональности:
Структурная схема линеаризованной модели системы (2.59) по-
казана на рис. 2.14, б.
п
Q
Fs
1
h
в
k
h
п
Q
F
р
Q
а б
Рис. 2.14. Функциональная схема (а) и линеаризованная
модель (б) резервуара с жидкостью
Пример 2.11. Паровой теплообменник. В паровом подогрева-
теле топлива (рис. 2.15) по трубкам протекает мазут, а на наружной
поверхности происходит конденсация пара. Температура топлива
на выходе подогревателя зависит от расхода
т
Q и давления грею-
щего пара
п
p в подогревателе, определяющегося степенью откры-
тия парорегулирующего клапана. Если в паре не содержится приме-
сей неконденсирующихся газов, то температура конденсации
п
однозначно определяется давлением насыщенного пара. При анали-
зе динамических характеристик теплообменника примем следую-
щие допущения:
- перенос тепла в аксиальном направлении отсутствует;
- все параметры потока обогреваемой среды (топлива) на входе
в подогреватель неизменны;
- термическим сопротивлением стенок труб, а также тепловой
емкостью пленки конденсата можно пренебречь.
88
Уравнение теплового баланса для потока топлива на элемен-
тарном участке dl трубы имеет вид
Пар
а б
п
p
РТ
B
θ
ст
θ
θ
С
п
θ
l
м
2
1
топ-
ливо
пар
пп
,θ p
θ
θ
Рис. 2.15. Функциональная схема (а) и диаграмма (б) температур
парожидкостного теплообменника; 1 – стенка, 2 – пленка конденсата
,)(
11
dtFkdl
l
Bcdl
t
mc
стттт
или
,
11
ст
dl
l
vT
t
T (2.60)
где
11
1
1
Fk
mc
T
т
- постоянная времени;
т
с
- удельная теплоемкость топлива;
т
m
- масса топлива на единицу длины трубки;
1
k
- коэффициент теплопередачи на внутренней поверхности труб-
ки;
1
F - площадь внутренней поверхности теплообменника;
т
т
m
Q
v - скорость течения топлива;
ст
- температура стенки.
Уравнение теплового баланса для стенки
,)()(
1122
dlFkdlFkdl
t
mc
стстпстст
89
или
),()(
2,1
2
ст
cтп
cт
2
T
T
dldl
t
T (2.61)
где
22
2
Fk
mc
T
стст
- постоянная времени;
11
2,1
Fk
mc
T
стст
- постоянная времени;
ст
c - удельная теплоемкость металла стенки;
ст
m - масса трубки на единицу длины;
2
k
- коэффициент теплопередачи на наружной поверхности
трубы;
2
F - площадь наружной поверхности.
Для решения уравнений (2.60) и (2.61) в частных производ-
ных применим преобразование Лапласа относительно независимой
переменной t. В результате получим систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений относительно независимой переменной l
).(
;
ст
1
2
стпст2
ст11
T
T
sT
dl
d
vTsT
Исключив температуру стенки трубки
ст
, получим диффе-
ренциальное уравнение первого порядка
,
)(
)(
)(
п
sA
sB
dl
d
sA
v
(2.62)
где
)(
))(1(
)(
2,122,121
22,122,111
TTTsTT
TTTTsTsT
sA
;
1)/(
1
)(
2,1212121
2
sTTTTTTTs
sB .
Решение уравнения (2.62) для граничного условия
0
l
;
0)0,(
s представляет собой реакцию звена первого порядка на
ступенчатое возмущение:
90
v
lsA
sA
sB
ls
ls
exp1
)(
)(
),(
),(
п
.
Отношение
v
l
представляет собой транспортное запаздыва-
ние, равное времени прохождения топлива через подогреватель.
Следовательно, передаточная функция подогревателя по каналу ре-
гулирующего воздействия равна
.exp1
)(
)(
)(
)(
)(
п
т
szA
sA
sB
s
s
sH
Наличие звена запаздывания в передаточной функции подог-
ревателя обусловливает периодический характер изменения модуля
и фазы частотной характеристики. Это приводит к появлению резо-
нансных пиков на частотной характеристике подогревателя. При-
чиной резонанса является распределенность синусоидального воз-
мущения по температуре пара вдоль всей длины теплообменника.
Число максимумов и минимумов на частотной характеристике со-
ответствует общему числу полупериодов входного возмущения, ко-
торые «укладываются» по длине теплообменника. Если, например,
времени прохода соответствуют полтора периода колебаний темпе-
ратуры пара, то некоторые частицы топлива две трети времени
движения подвергаются действию более высокой температуры и
одну треть времени - действию температуры ниже нормальной, а
другие частицы, наоборот, подвергаются температурному воздейст-
вию в противоположном соотношении. Такая разница во времени
соприкосновения с нагретыми по-разному стенками теплообменни-
ка приводит к увеличению модуля частотной характеристики.
Пример 2.12. Упрощенная модель анаэробного разложения.
Схема процесса показана на рис. 2.16. При разложении органиче-
ских веществ в резервуаре, содержащем газовую и жидкую фазы,
примем допущение о полном перемешивании смеси. Недиссоции-
рующие летучие кислоты (представленные на схеме уксусной ки-
слотой) рассматриваются, с одной стороны, как субстрат (вещество,
потребляемое бактериями), а с другой стороны, как ингибитор. Пре-
вращение представляет собой элементарную стадию реакции, огра-
ничивающую скорость всего процесса. Предполагается, что в по-
стоянном потоке смеси на входе содержатся катионы. Объемы жид-